第5章 振動(dòng)和波動(dòng)習(xí)題解答.doc

第5章 振動(dòng)和波動(dòng)5-1 一個(gè)彈簧振子，振幅，求(1) 振動(dòng)的角頻率、最大速度和最大加速度；(2) 振子對(duì)平衡位置的位移為x = 0.02m時(shí)的瞬時(shí)速度、加速度和回復(fù)力；(3) 以速度具有正的最大值的時(shí)刻為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，寫出振動(dòng)方程。解：（1）(2) 設(shè)，則 當(dāng)x=0.02m時(shí)，所以(3) 作旋轉(zhuǎn)矢量圖，可知： 5-2 彈簧振子的運(yùn)動(dòng)方程為，寫出此簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅、角頻率、頻率、周期和初相。解： 5-3 證明：如圖所示的振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)頻率為式中分別為兩個(gè)彈簧的勁度系數(shù)，m為物體的質(zhì)量。習(xí)題5-3 圖解： 以平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平向右為x軸正方向。設(shè)物體處在平衡位置時(shí)，彈簧1的伸長(zhǎng)量為,彈簧2的伸長(zhǎng)量為，則應(yīng)有當(dāng)物體運(yùn)動(dòng)到平衡位置的位移為x處時(shí)，彈簧1的伸長(zhǎng)量就為，彈簧2的伸長(zhǎng)量就為，所以物體所受的合外力為由牛頓第二定律得 即有 上式表明此振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，且振動(dòng)的圓頻率為振動(dòng)的頻率為 5-4 如圖所示，U形管直徑為d，管內(nèi)水銀質(zhì)量為m，密度為，現(xiàn)使水銀面作無阻尼自由振動(dòng)，求振動(dòng)周期。 習(xí)題5-4 圖解：以平衡時(shí)右液面位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，向上為x軸正方向，建立坐標(biāo)系。右液面偏離原點(diǎn)為至x時(shí)，振動(dòng)系統(tǒng)所受回復(fù)力為：振動(dòng)角頻率 振動(dòng)周期 5-5 如圖所示，定滑輪半徑為R，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，輕彈簧勁度系數(shù)為k，物體質(zhì)量為m，現(xiàn)將物體從平衡位置拉下一微小距離后放手，不計(jì)一切摩擦和空氣阻力。試證明該系統(tǒng)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并求其作微小振動(dòng)的周期。解：彈簧、滑輪、物體和地球組成的系統(tǒng)不受外力作用，非保守內(nèi)力作功之和為零，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，以物體的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)向下為x軸正方向，建立坐標(biāo)系。設(shè)平衡時(shí)彈簧伸長(zhǎng)，有： （1）物體位于x位置時(shí)（以原點(diǎn)為重力勢(shì)能零點(diǎn)）：對(duì)上式兩邊求導(dǎo)：從上式消去v，且將（1）式代入，得到說明系統(tǒng)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。振動(dòng)周期為：5-6 如圖所示，輕彈簧的勁度系數(shù)為k，定滑輪的半徑為R、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，物體質(zhì)量為m，將物體托起后突然放手，整個(gè)系統(tǒng)將進(jìn)入振動(dòng)狀態(tài)，用能量法求其固有周期。習(xí)題5-6 圖解：設(shè)任意時(shí)刻t，物體m離平衡位置的位移為x，速率為v，則振動(dòng)系統(tǒng)的總機(jī)械能式中C為滑輪的重力勢(shì)能，為一常量，上式兩邊對(duì)t求導(dǎo)得于是 5-7 如圖所示，質(zhì)量為10g的子彈，以速度射入木塊并嵌在木塊中，使彈簧壓縮從而作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，若木塊質(zhì)量為4.99kg，彈簧的勁度系數(shù)為，求振動(dòng)的振幅。（設(shè)子彈射入木塊這一過程極短）解：先討論子彈與木塊的碰撞過程，在碰撞過程中，子彈與木塊組成的系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，設(shè)碰撞后子彈與木塊共同以速度v運(yùn)動(dòng)，則有然后系統(tǒng)做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，因?yàn)楹?jiǎn)諧振動(dòng)過程中機(jī)械能守恒，所以振幅A可由初始時(shí)刻系統(tǒng)的機(jī)械能確定，已知初始時(shí)刻系統(tǒng)的勢(shì)能為零，所以有5-8 如圖所示，在一個(gè)傾角為的光滑斜面上，固定一個(gè)原長(zhǎng)為、勁度系數(shù)為k、質(zhì)量可以忽略不計(jì)的彈簧，在彈簧下端掛一個(gè)質(zhì)量為m的重物，求重物作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的平衡位置和周期。解： 設(shè)物體處在平衡位置時(shí)彈簧伸長(zhǎng)量為,則平衡位置距點(diǎn)為：以平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖建立坐標(biāo)軸Ox，當(dāng)物體運(yùn)動(dòng)到離開平衡位置的位移為x處時(shí)，彈簧的伸長(zhǎng)量就是,所以物體所受的合外力為物體受力與位移成正比而反向，即可知物體做簡(jiǎn)諧振動(dòng)國(guó)，此簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期為5-9 兩質(zhì)點(diǎn)分別作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其頻率、振幅均相等，振動(dòng)方向平行。在每次振動(dòng)過程中，它們?cè)诮?jīng)過振幅的一半的地方時(shí)相遇，而運(yùn)動(dòng)方向相反。求它們相差，并用旋轉(zhuǎn)矢量圖表示出來。解：根據(jù)題意，兩質(zhì)點(diǎn)分別在和處相向通過，由此可以畫出相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖，從旋轉(zhuǎn)矢量圖可得兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的相位差為。 習(xí)題5-9圖5-10 一簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅A = 24c、周期T = 3s，以振子位移x = 12cm、并向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，作出振動(dòng)位移與時(shí)間的關(guān)系曲線，并求出振子運(yùn)動(dòng)到x = -12c處所需的最短時(shí)間。習(xí)題 5-10圖 解：依題意可得，又由旋轉(zhuǎn)矢量法可知所以振動(dòng)方程為：質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到x = -12c處最小相位變化為，所以需要最短時(shí)間為5-11 如圖所示，一輕彈簧下端掛著兩個(gè)質(zhì)量均為m = 1.0kg的物體B和C，此時(shí)彈簧伸長(zhǎng)2.0c并保持靜止。用剪刀斷連接B和C的細(xì)線，使C自由下落，于是B就振動(dòng)起來。選B開始運(yùn)動(dòng)時(shí)為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，B的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，在下列情況下，求B的振動(dòng)方程(1)x軸正向向上；(2)x軸正向向下。 習(xí)題5-11 圖 解：已知m=1kg,可得當(dāng)以B的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，振動(dòng)振幅為由題意知，振動(dòng)初速度(1)x軸正向向上時(shí)：振動(dòng)方程為(2)x軸正向向下 時(shí)：振動(dòng)方程為 5-12 勁度系數(shù)為k的輕彈簧，上端與質(zhì)量為m的平板相聯(lián)，下端與地面相聯(lián)。如圖所示，今有一質(zhì)量也為m的物體由平板上方h高處自由落下，并與平板發(fā)生完全非彈性碰撞。以平板開始運(yùn)動(dòng)時(shí)刻為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，向下為正，求振動(dòng)周期、振幅和初相。 習(xí)題5-12 圖 解：物體下落與平板碰撞前速度： 所以物體與平板碰撞后共同運(yùn)動(dòng)的速度：以平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，向下為x軸正方向，建立坐標(biāo)系。依題意：在x處，物體和平板受力：則：見旋轉(zhuǎn)矢量圖，有： 5-13 在一平板上放一重9.8N的物體，平板在豎直方向作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，周期T =0.50s，振幅A =0.020m，試求(1)重物對(duì)平板的壓力F；(2)平板以多大振幅運(yùn)動(dòng)時(shí)，重物將脫離平板?習(xí)題 5-13圖解：以平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，向下為x軸正方向，物體在x處時(shí)，(1)重物對(duì)平板的壓力（2）當(dāng)N=0時(shí)重物將脫離平板，由，得,習(xí)題 5-14圖5-14 一木塊在水平面上作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，振幅為5.0c，頻率為，一塊質(zhì)量為m的較小木塊疊在其上，兩木塊間最大靜摩擦力為0.4g，求振動(dòng)頻率至少為多大時(shí)，上面的木塊將相對(duì)于下面木滑動(dòng)?解：以平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，向右為x軸正方向，建立坐標(biāo)系，小木塊在x處：在最大位移處，F(xiàn)最大，當(dāng)時(shí)小木塊開始相對(duì)于大木塊滑動(dòng)，由此得：振動(dòng)頻率至少應(yīng)略大于1.4Hz時(shí)，上面小木塊相對(duì)于下面木塊滑動(dòng)。5-15 一臺(tái)擺鐘的等效擺長(zhǎng)L = 0.995，擺錘可上下移動(dòng)以調(diào)節(jié)其周期。該鐘每天快1分27秒。假如將此擺當(dāng)作一個(gè)質(zhì)量集中在擺錘中心的一個(gè)單擺來考慮，則應(yīng)將擺錘向下移動(dòng)多少距離，才能使鐘走得準(zhǔn)確?解：設(shè)原擺鐘周期為T，鐘走時(shí)準(zhǔn)確時(shí)，其鐘擺長(zhǎng)為，周期為，則而應(yīng)將擺錘下移2mm。5-16 一彈簧振子，彈簧的勁度系數(shù)，當(dāng)物體以初動(dòng)能0.2J和初勢(shì)能0.6J振動(dòng)時(shí)，求(1) 振幅；(2) 位移是多大時(shí)，勢(shì)能和動(dòng)能相等? (3) 位移是振幅的一半時(shí)，勢(shì)能多大?解：（1）(2) 時(shí)，即，得(3)當(dāng)時(shí)， 5-17 一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)在同一直線上的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，兩個(gè)振動(dòng)的振動(dòng)方程為 求合振動(dòng)的振幅和初相。解：習(xí)題 5-18圖5-18 有兩個(gè)同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，它們合振動(dòng)的振幅為10cm，合振動(dòng)與第一個(gè)振動(dòng)的相差為/6，若第一個(gè)振動(dòng)的振幅A1=8.0cm，求（1）第二個(gè)振動(dòng)的振幅A2；（2）第一個(gè)振動(dòng)和第二個(gè)振動(dòng)的相位差。解：依題意，作旋轉(zhuǎn)矢量圖，可知5-19 已知兩個(gè)分振動(dòng)的振動(dòng)方程分別為求合振動(dòng)軌道曲線。解：兩個(gè)振動(dòng)方程消去t得：,所以合振動(dòng)軌跡是圓。5-20 質(zhì)量為4536kg的火箭發(fā)射架在發(fā)射火箭時(shí)，因向后反沖而具有反沖能量，這能量由發(fā)射架壓縮一個(gè)彈簧而被彈簧吸收。為了不讓發(fā)射架在反沖終了后作往復(fù)運(yùn)動(dòng)，人們使用一個(gè)阻尼減震器使發(fā)射架能以臨界阻尼狀態(tài)回復(fù)到點(diǎn)火位置去。已知發(fā)射架以10的初速向后反沖并移動(dòng)了3m。試求反沖彈簧的勁度系數(shù)和阻尼減震器提供臨界阻尼時(shí)的阻力系數(shù)。解：已知 m=4536kg，v0=10m/s，A=3m反沖時(shí)，反射架動(dòng)能轉(zhuǎn)換成彈簧彈性勢(shì)能 ，得臨界阻尼時(shí)，由有，阻力系數(shù)：5-21 已知地殼平均密度約，地震波的縱波波速約5.5103，地震波的橫波波速約3.5103，計(jì)算地殼的楊氏模量與切變模量。解:由得，由得，5-22 已知空氣中的聲速為344，一聲波在空氣中波長(zhǎng)是0.671m，當(dāng)它傳入水中時(shí)，波長(zhǎng)變?yōu)?.83m，求聲波在水中的傳播速度。解：根據(jù)波在不同介質(zhì)中傳播時(shí)，頻率不變，又因?yàn)椋?，所?-23 有一沿x軸正方向傳播的平面簡(jiǎn)諧橫波，波速u =1.0，波長(zhǎng) = 0.04，振幅A = 0.03，若從坐標(biāo)原點(diǎn)O處的質(zhì)元恰在平衡位置并向y軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)開始計(jì)時(shí)，試求(1) 此平面波的波函數(shù)；(2) x1=0.05處質(zhì)元的振動(dòng)方程及該質(zhì)元的初相位。解：（1）由題知：u=1m/s,所以O(shè)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為：所以，波函數(shù)為:(2)當(dāng)x1=0.05時(shí)，代入波函數(shù)有初相位。5-24 有一沿x軸正向傳播的平面簡(jiǎn)諧波，波速為2，原點(diǎn)處質(zhì)元的振動(dòng)方程為，試求(1) 此波的波長(zhǎng)；(2) 波函數(shù)；(3) 同一質(zhì)元在1秒末和2秒末這兩個(gè)時(shí)刻的相位差；(4) xA=1.0m和xB=1.5m處兩質(zhì)元在同一時(shí)刻的相位差。解：由題意可得：A=0.6m,，(1) (2) (3) 同一質(zhì)點(diǎn)，位置（x坐標(biāo)）不變(4)同一時(shí)刻，t不變即B點(diǎn)比A點(diǎn)落后。5-25 振動(dòng)頻率為的波源發(fā)出一列平面簡(jiǎn)諧波，波速，試求(1) 相位差為的兩點(diǎn)相距多遠(yuǎn)；(2) 在某點(diǎn)，時(shí)間間隔為的兩個(gè)狀態(tài)的相位差是多少？解：(1) (2) 5-26 有一波長(zhǎng)為的平面簡(jiǎn)諧波，它在a點(diǎn)引起的振動(dòng)的振動(dòng)方程為，試分別在如圖所示四種坐標(biāo)選擇情況下，寫出此簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)。習(xí)題5-26 圖解：（1）（2）（3）(4) 5-27 圖示為t = 0時(shí)刻的平面簡(jiǎn)諧波的波形，求習(xí)題5-27 圖(1) 原點(diǎn)的振動(dòng)方程；(2) 波函數(shù)；(3) P點(diǎn)的振動(dòng)方程；(4) a、b兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向。 解：（1）原點(diǎn)振動(dòng)方程：由圖可知，所以所以：(2)波函數(shù)(3) (4) a:向下 b:向上習(xí)題5-28 圖5-28 一列平面簡(jiǎn)諧波沿x軸正方向傳播，波速為u，波源的振動(dòng)曲線如圖所示。(1) 畫出t = T時(shí)刻的波形曲線，寫出波函數(shù)；(2) 畫出處質(zhì)元的振動(dòng)曲線。解：（1）由振動(dòng)曲線可知，波源振動(dòng)方程為，設(shè)波源在x=0處，則波函數(shù)為當(dāng)t = T時(shí)，(2) 當(dāng)時(shí), 5-29 已知一平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)，(1)寫出t = 4.2s時(shí)各波峰位置的坐標(biāo)表示式，計(jì)算此時(shí)離原點(diǎn)最近的一個(gè)波峰的位置，該波峰何時(shí)通過坐標(biāo)原點(diǎn)?(2)畫出t = 4.2s時(shí)的波形圖。解：（1）t = 4.2s時(shí)，波峰位置所對(duì)應(yīng)的質(zhì)點(diǎn)的位置為：(k為整數(shù))即 (k為整數(shù))則此時(shí)離原點(diǎn)最近的波峰位置為x=-0.4m。由于該波向x軸負(fù)方向傳播，原點(diǎn)比x=-0.4的點(diǎn)先到達(dá)波峰即(2) t = 4.2s時(shí)的波形圖（如圖）習(xí)題5-30 圖5-30 圖示為時(shí)刻沿x軸正方向傳播的平面簡(jiǎn)諧波的波形圖，其中振幅A、波長(zhǎng)l、波速u均為已知。(1) 求原點(diǎn)處質(zhì)元的初相位；(2) 寫出P處質(zhì)元的振動(dòng)方程；(3) 求P、Q兩點(diǎn)相位差。解：（1）由波形圖可知，在t=0時(shí)，o點(diǎn)處的質(zhì)點(diǎn)向 y 軸負(fù)向運(yùn)動(dòng) ，利用旋轉(zhuǎn)矢量法可得，。（2）原點(diǎn)O處質(zhì)元的振動(dòng)表達(dá)式可寫為P處質(zhì)元的振動(dòng)從時(shí)間上比O處質(zhì)元的振動(dòng)落后，因此P處質(zhì)元的振動(dòng)表達(dá)式為得 （3）P、Q兩點(diǎn)相位差為：5-31 一線狀波源發(fā)射柱面波，設(shè)介質(zhì)是不吸收能量的各向同性均勻介質(zhì)。求波的強(qiáng)度和振幅與離波源距離的關(guān)系。解：取兩個(gè)長(zhǎng)均為l，半徑分別為r1和r2的同軸圓柱面S1和S2，由于介質(zhì)不吸收能量，所以通過S1的平均能流與通過S2的平均能流相等，即，又因?yàn)?，所?-32 設(shè)簡(jiǎn)諧波在直徑d = 0.10的圓柱形管內(nèi)的空氣介質(zhì)中傳播，波的強(qiáng)度I = 1.010-2，波速為u = 250，頻率 = 300Hz，試計(jì)算(1) 波的平均能量密度和最大能量密度各是多少?(2) 相距一個(gè)波長(zhǎng)的兩個(gè)波面之間平均含有多少能量?解：（1）(2) 5-33 一個(gè)聲源向各個(gè)方向均勻地發(fā)射總功率為10W的聲波，求距聲源多遠(yuǎn)處，聲強(qiáng)級(jí)為100 dB。解：距聲源r處的聲波強(qiáng)度為 聲強(qiáng)級(jí)為，式中，即，解得：r=8.92m5-34 設(shè)正常談話的聲強(qiáng)，響雷的聲強(qiáng)，它們的聲強(qiáng)級(jí)各是多少？解：正常談話的聲強(qiáng)級(jí)為雷聲的聲強(qiáng)級(jí)為5-35 紙盆半徑R=0.1m的揚(yáng)聲器，輻射出頻率= 103Hz、功率P = 40W的聲波。設(shè)空氣密度 = 1.29，聲速u=344，不計(jì)空氣對(duì)聲波的吸收，求紙盆的振幅。解：，又因?yàn)椋?-36 P、Q為兩個(gè)以同相位、同頻率、同振幅振動(dòng)的相干波源，它們?cè)谕唤橘|(zhì)中傳播，設(shè)波的頻率為、波長(zhǎng)為，P、Q間距離為3/2，R為PQ連線上P、Q兩點(diǎn)外側(cè)的任意一點(diǎn)，求（1）自P發(fā)出的波在R點(diǎn)的振動(dòng)與自Q發(fā)出的波在R點(diǎn)的振動(dòng)的位相差；（2）R點(diǎn)合振動(dòng)的振幅。解：（1）R在Q外側(cè)時(shí)， R在P外側(cè)時(shí)，(2)P和Q波源在R點(diǎn)引起的振動(dòng)正好為反相，所以A=0。5-37 一弦的振動(dòng)方程為，求（1）合成此振動(dòng)的兩個(gè)分振動(dòng)的振幅及波速為多少？（2）兩個(gè)相鄰節(jié)點(diǎn)間的距離為多大？（3）t=2.010-3s時(shí)，位于x=5.0cm處的質(zhì)元的速度為多少？解：（1）弦振動(dòng)為駐波，該振動(dòng)方程與駐波的標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式相比較，得A=0.01m，=0.16，得l=39.2m， rad/s，所以：兩分振動(dòng)的振幅都為A=0.01m。(2)兩個(gè)相鄰節(jié)點(diǎn)間的距離為。（3）質(zhì)元的運(yùn)動(dòng)速度t=2.010-3s時(shí)，位于x=5.0cm處的質(zhì)元的速度為。習(xí)題5-38 圖5-38 如圖所示，一列振幅為A、頻率為平面簡(jiǎn)諧波，沿x軸正方向傳播，BC為波密介質(zhì)的反射面，波在P點(diǎn)反射。已知，在時(shí)，O處質(zhì)元經(jīng)過平衡位置向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)。求入射波與反射波在D點(diǎn)處疊加的合振動(dòng)方程。解：根據(jù)題意，可確定O處質(zhì)元振動(dòng)的初相位為，這樣O處質(zhì)元的振動(dòng)方程為