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第一章 量子理論基礎(chǔ)11 由黑體輻射公式導(dǎo)出維恩位移定律:能量密度極大值所對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)與溫度T成反比,即T=b(常量);并近似計(jì)算b的數(shù)值,準(zhǔn)確到二位有效數(shù)字。解 根據(jù)普朗克的黑體輻射公式, (1)以及 , (2), (3)有這里的的物理意義是黑體內(nèi)波長(zhǎng)介于與+d之間的輻射能量密度。本題關(guān)注的是取何值時(shí),取得極大值,因此,就得要求 對(duì)的一階導(dǎo)數(shù)為零,由此可求得相應(yīng)的的值,記作。但要注意的是,還需要驗(yàn)證對(duì)的二階導(dǎo)數(shù)在處的取值是否小于零,如果小于零,那么前面求得的就是要求的,具體如下: 如果令x= ,則上述方程為這是一個(gè)超越方程。首先,易知此方程有解:x=0,但經(jīng)過(guò)驗(yàn)證,此解是平庸的;另外的一個(gè)解可以通過(guò)逐步近似法或者數(shù)值計(jì)算法獲得:x=4.97,經(jīng)過(guò)驗(yàn)證,此解正是所要求的,這樣則有把x以及三個(gè)物理常量代入到上式便知14 利用玻爾索末菲的量子化條件,求:(1)一維諧振子的能量;(2)在均勻磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)的電子軌道的可能半徑。已知外磁場(chǎng)H=10T,玻爾磁子,試計(jì)算運(yùn)能的量子化間隔E,并與T=4K及T=100K的熱運(yùn)動(dòng)能量相比較。解 玻爾索末菲的量子化條件為其中q是微觀粒子的一個(gè)廣義坐標(biāo),p是與之相對(duì)應(yīng)的廣義動(dòng)量,回路積分是沿運(yùn)動(dòng)軌道積一圈,n是正整數(shù)。(1)設(shè)一維諧振子的勁度常數(shù)為k,諧振子質(zhì)量為,于是有這樣,便有這里的正負(fù)號(hào)分別表示諧振子沿著正方向運(yùn)動(dòng)和沿著負(fù)方向運(yùn)動(dòng),一正一負(fù)正好表示一個(gè)來(lái)回,運(yùn)動(dòng)了一圈。此外,根據(jù)可解出 這表示諧振子的正負(fù)方向的最大位移。這樣,根據(jù)玻爾索末菲的量子化條件,有 為了積分上述方程的左邊,作以下變量代換;這樣,便有 這時(shí),令上式左邊的積分為A,此外再構(gòu)造一個(gè)積分這樣,便有 (1)這里 =2,這樣,就有 (2)根據(jù)式(1)和(2),便有這樣,便有 其中最后,對(duì)此解作一點(diǎn)討論。首先,注意到諧振子的能量被量子化了;其次,這量子化的能量是等間隔分布的。(2)當(dāng)電子在均勻磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),有 這時(shí),玻爾索末菲的量子化條件就為 又因?yàn)閯?dòng)能耐,所以,有其中,是玻爾磁子,這樣,發(fā)現(xiàn)量子化的能量也是等間隔的,而且具體到本題,有根據(jù)動(dòng)能與溫度的關(guān)系式以及可知,當(dāng)溫度T=4K時(shí),當(dāng)溫度T=100K時(shí),顯然,兩種情況下的熱運(yùn)動(dòng)所對(duì)應(yīng)的能量要大于前面的量子化的能量的間隔。2.2 由下列定態(tài)波函數(shù)計(jì)算幾率流密度: 從所得結(jié)果說(shuō)明表示向外傳播的球面波,表示向內(nèi)(即向原點(diǎn)) 傳播的球面波。 解:在球坐標(biāo)中 同向。表示向外傳播的球面波。 可見(jiàn),反向。表示向內(nèi)(即向原點(diǎn)) 傳播的球面波。補(bǔ)充:設(shè),粒子的位置幾率分布如何?這個(gè)波函數(shù)能否歸一化? 波函數(shù)不能按方式歸一化。 其相對(duì)位置幾率分布函數(shù)為 表示粒子在空間各處出現(xiàn)的幾率相同。2.3 一粒子在一維勢(shì)場(chǎng) 中運(yùn)動(dòng),求粒子的能級(jí)和對(duì)應(yīng)的波函數(shù)。解:無(wú)關(guān),是定態(tài)問(wèn)題。其定態(tài)S方程 在各區(qū)域的具體形式為 : : :由于(1)、(3)方程中,由于,要等式成立,必須 即粒子不能運(yùn)動(dòng)到勢(shì)阱以外的地方去。 方程(2)可變?yōu)?令,得 其解為 根據(jù)波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件確定系數(shù)A,B,由連續(xù)性條件,得 由歸一化條件 得 由 可見(jiàn)E是量子化的。對(duì)應(yīng)于的歸一化的定態(tài)波函數(shù)為 2.4. 證明(2.6-14)式中的歸一化常數(shù)是 證: (2.6-14) 由歸一化,得 歸一化常數(shù) #2.5 求一維諧振子處在激發(fā)態(tài)時(shí)幾率最大的位置。 解: 令,得 由的表達(dá)式可知,時(shí),。顯然不是最大幾率的位置。 可見(jiàn)是所求幾率最大的位置。 #3.2.氫原子處在基態(tài),求: (1)r的平均值; (2)勢(shì)能的平均值; (3)最可幾半徑; (4)動(dòng)能的平均值; (5)動(dòng)量的幾率分布函數(shù)。 解:(1) (3)電子出現(xiàn)在r+dr球殼內(nèi)出現(xiàn)的幾率為 令 當(dāng)為幾率最小位置 是最可幾半徑。 (4) (5) 動(dòng)量幾率分布函數(shù) 3.5 一剛性轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I,它的能量的經(jīng)典表示式是,L為角動(dòng)量,求與此對(duì)應(yīng)的量子體系在下列情況下的定態(tài)能量及波函數(shù):(1) 轉(zhuǎn)子繞一固定軸轉(zhuǎn)動(dòng):(2) 轉(zhuǎn)子繞一固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng):解:(1)設(shè)該固定軸沿Z軸方向,則有 哈米頓算符 其本征方程為 (無(wú)關(guān),屬定態(tài)問(wèn)題) 令 ,則 取其解為 (可正可負(fù)可為零)由波函數(shù)的單值性,應(yīng)有 即 m= 0,1,2,轉(zhuǎn)子的定態(tài)能量為 (m= 0,1,2,)可見(jiàn)能量只能取一系列分立值,構(gòu)成分立譜。 定態(tài)波函數(shù)為 A為歸一化常數(shù),由歸一化條件 轉(zhuǎn)子的歸一化波函數(shù)為 綜上所述,除m=0外,能級(jí)是二重簡(jiǎn)并的。 (2)取固定點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),則轉(zhuǎn)子的哈米頓算符為 無(wú)關(guān),屬定態(tài)問(wèn)題,其本征方程為 (式中設(shè)為的本征函數(shù),為其本征值) 令 ,則有 此即為角動(dòng)量的本征方程,其本征值為 其波函數(shù)為球諧函數(shù) 轉(zhuǎn)子的定態(tài)能量為 可見(jiàn),能量是分立的,且是重簡(jiǎn)并的。3.9.設(shè)氫原子處于狀態(tài) 求氫原子能量、角動(dòng)量平方及角動(dòng)量Z分量的可能值,這些可能值出現(xiàn)的幾率和這些力學(xué)量的平均值。 解:在此能量中,氫原子能量有確定值 角動(dòng)量平方有確定值為 角動(dòng)量Z分量的可能值為 其相應(yīng)的幾率分別為 , 其平均值為 3.10一粒子在硬壁球形空腔中運(yùn)動(dòng),勢(shì)能為 求粒子的能級(jí)和定態(tài)函數(shù)。 解:據(jù)題意,在的區(qū)域,所以粒子不可能運(yùn)動(dòng)到這一區(qū)域,即在這區(qū)域粒子的波函數(shù) () 由于在的區(qū)域內(nèi),。只求角動(dòng)量為零的情況,即,這時(shí)在各個(gè)方向發(fā)現(xiàn)粒子的幾率是相同的。即粒子的幾率分布與角

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