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第3講 空間向量與立體幾何專(zhuān)題強(qiáng)化訓(xùn)練1在正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別為CD和C1C的中點(diǎn),則直線AE與D1F所成角的余弦值為()A.B.C. D.解析:選B.以D為原點(diǎn),分別以DA、DC、DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系(圖略)若棱長(zhǎng)為2,則A(2,0,0)、E(0,1,0)、D1(0,0,2)、F(0,2,1)所以(2,1,0),(0,2,1),cos,.則直線AE與D1F所成角的余弦值為.2在正方體ABCDA1B1C1D1中,點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn),則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為()A. B.C. D.解析:選B.以A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,設(shè)棱長(zhǎng)為1,則A1(0,0,1),E,D(0,1,0),所以(0,1,1),設(shè)平面A1ED的一個(gè)法向量為n1(1,y,z),則所以所以n1(1,2,2)因?yàn)槠矫鍭BCD的一個(gè)法向量為n2(0,0,1),所以cosn1,n2.即所成的銳二面角的余弦值為.3(2019浙江省十校聯(lián)合體期末聯(lián)考)在三棱錐OABC中,已知OA,OB,OC兩兩垂直且相等,點(diǎn)P、Q分別是線段BC和OA上的動(dòng)點(diǎn),且滿(mǎn)足BPBC,AQAO,則PQ和OB所成角的余弦的取值范圍是()A. B.C. D.解析:選B.根據(jù)題意,以O(shè)為原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè)OAOBOC2,(2,0,0),設(shè)P(x,y,0),Q(0,0,z),因?yàn)锽PBC,AQAO,所以1x2,0y1且xy2,0z1,(x,x2,z),|cos,|,當(dāng)x1,z1時(shí),|cos,|;當(dāng)x2,z1時(shí),|cos,|;當(dāng)x2,z0時(shí),|cos,|1.當(dāng)x1,z0時(shí),|cos,|,結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)可知PQ和OB所成角的余弦的取值范圍是.4(2019寧波市鎮(zhèn)海中學(xué)高考模擬)在直三棱柱A1B1C1ABC中,BAC,ABACAA11,已知G和E分別為A1B1和CC1的中點(diǎn),D與F分別為線段AC和AB上的動(dòng)點(diǎn)(不包括端點(diǎn)),若GDEF,則線段DF的長(zhǎng)度的取值范圍為()A. B.C. D.解析:選A.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),E,G,F(xiàn)(x,0,0),D(0,y,0),由于GDEF,所以x2y10,DF,由x12y0,得y0,所以2x2,即AD的取值范圍是2,2答案:2,27(2019臺(tái)州市高考模擬)如圖,在棱長(zhǎng)為2的正四面體ABCD中,E、F分別為直線AB、CD上的動(dòng)點(diǎn),且|EF|.若記EF中點(diǎn)P的軌跡為L(zhǎng),則|L|等于_(注:|L|表示L的測(cè)度,在本題,L為曲線、平面圖形、空間幾何體時(shí),|L|分別對(duì)應(yīng)長(zhǎng)度、面積、體積)解析:如圖,當(dāng)E為AB中點(diǎn)時(shí),F(xiàn)分別在C,D處,滿(mǎn)足|EF|,此時(shí)EF的中點(diǎn)P在EC,ED的中點(diǎn)P1,P2的位置上;當(dāng)F為CD中點(diǎn)時(shí),E分別在A,B處,滿(mǎn)足|EF|,此時(shí)EF的中點(diǎn)P在BF,AF的中點(diǎn)P3,P4的位置上,連接P1P2,P3P4相交于點(diǎn)O,則四點(diǎn)P1,P2,P3,P4共圓,圓心為O,圓的半徑為,則EF中點(diǎn)P的軌跡L為以O(shè)為圓心,以為半徑的圓,其測(cè)度|L|2.答案:8.(2019金麗衢十二校聯(lián)考)如圖,在三棱錐DABC中,已知AB2,3,設(shè)ADa,BCb,CDc,則的最小值為_(kāi)解析:設(shè)a,b,c,因?yàn)锳B2,所以|abc|24a2b2c22(abbcca)4,又因?yàn)?,所以(ac)(bc)3abbccac23,所以a2b2c22(3c2)4c2a2b22,所以2,當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí),等號(hào)成立,即的最小值是2.答案:29(2019寧波諾丁漢大學(xué)附中高三期中考試)如圖,矩形ABCD中,AB1,BC,將ABD沿對(duì)角線BD向上翻折,若翻折過(guò)程中AC長(zhǎng)度在內(nèi)變化,則點(diǎn)A所形成的運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度為_(kāi)解析:過(guò)A作AEBD,垂足為E,連接CE,AE.因?yàn)榫匦蜛BCD中,AB1,BC,所以AE,CE.所以A點(diǎn)的軌跡為以E為圓心,以為半徑的圓弧AEA為二面角ABDA的平面角以E為原點(diǎn),以EB,EA所在直線為x軸,y軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系Exyz,設(shè)AEA,則A,C,所以AC,所以 ,解得0cos ,所以6090,所以A點(diǎn)軌跡的圓心角為30,所以A點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度為.答案:10(2019寧波十校聯(lián)考模擬)如圖,在四棱錐PABCD中,BAD120,ABAD2,BCD是等邊三角形,E是BP的中點(diǎn),AC與BD交于點(diǎn)O,且OP平面ABCD.(1)求證:PD平面ACE;(2)當(dāng)OP1時(shí),求直線PA與平面ACE所成角的正弦值解:(1)證明:因?yàn)樵谒睦忮FPABCD中,BAD120,ABAD2,BCD是等邊三角形,所以ABCACD,因?yàn)镋是BP中點(diǎn),AC與BD交于點(diǎn)O,所以O(shè)是BD中點(diǎn),連接OE,則OEPD,因?yàn)镻D平面ACE,OE平面ACE,所以PD平面ACE.(2)因?yàn)锽DAC,PO平面ABCD,以O(shè)為原點(diǎn),OB,OC,OP所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系,則P(0,0,1),A(0,1,0),B(,0,0),C(0,3,0),E,(0,1,1),設(shè)平面ACE的一個(gè)法向量n(x,y,z),則,取x1,得n(1,0,),設(shè)直線PA與平面ACE所成角為,則sin ,所以直線PA與平面ACE所成角的正弦值為.11.(2019浙江暨陽(yáng)4月聯(lián)考卷)在四棱錐PABCD中,PC平面ABCD,BCAD,BCAB,PBAD2,ABBC1,E為棱PD上的點(diǎn)(1)若PEPD,求證:PB平面ACE;(2)若E是PD的中點(diǎn),求直線PB與平面ACE所成角的正弦值解:(1)證明:過(guò)A作Az平面ABCD,以A為原點(diǎn),如圖建立直角坐標(biāo)系,由題意解得,PC,所以B(1,0,0),P(1,1,),所以(0,1,),C(1,1,0),D(0,2,0),設(shè)E(x,y,z),由,得E(,),設(shè)平面ACE的法向量為n(x,y,z),則,取z1,得n(,1),所以n0,因?yàn)镻B平面ACE,所以PB平面ACE.(2)過(guò)A作Az平面ABCD,以A為原點(diǎn),如圖建立直角坐標(biāo)系,由題意解得PC,所以B(1,0,0),P(1,1,),A(0,0,0),所以(0,1,),C(1,1,0),D(0,2,0),所以E(,),(1,1,0),(,),設(shè)平面ACE的法向量為n(x,y,z),則,取z2,得n(,2),所以直線PB與平面ACE所成角的正弦值:sin .12.(2019嵊州市第二次高考適應(yīng)性考試)如圖,在直三棱柱ABCA1B1C1中,底面ABC為邊長(zhǎng)為2的正三角形,D是棱A1C1的中點(diǎn),CC1h(h0)(1)證明:BC1平面AB1D;(2)若直線BC1與平面ABB1A1所成角的大小為,求h的值解:(1)證明:連接A1B交AB1于E,連接DE,則DE是A1BC1的中位線所以DEBC1.又DE平面AB1D,BC1平面AB1D,故BC1平面AB1D.(2)以AB的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),OB,OC所在直線分別為x軸,y軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,則B(1,0,0),C1(0,h)易得平面ABB1A1的一個(gè)法向量為n(0,1,0)又(1,h)所以sin |cos,n|.即,解得h2.13.(2019溫州十五校聯(lián)考)已知菱形ABCD中,對(duì)角線AC與BD相交于一點(diǎn)O,BAD60,將BDC沿著B(niǎo)D折起得BDC,連接AC.(1)求證:平面AOC平面ABD;(2)若點(diǎn)C在平面ABD上的投影恰好是ABD的重心,求直線CD與底面ADC所成角的正弦值解:(1)證明:因?yàn)镃OBD,AOBD,COAOO,所以BD平面COA,又因?yàn)锽D平面ABD,所以平面AOC平面ABD.(2)如圖建系Oxyz,令A(yù)Ba,則A,B,D,C,所以,平面ADC的法向量為m,設(shè)直線CD與底面ADC所成角為,則sin |cos,m|,故直線CD與底面ADC所成角的正弦值為.14.(2019寶雞市質(zhì)量檢測(cè)(一)如圖,四棱錐PABCD的底面ABCD 為矩形,PA平面ABCD,點(diǎn)E是PD的中點(diǎn),點(diǎn)F是PC的中點(diǎn)(1)證明:PB平面AEC;(2)若底面ABCD為正方形,探究在什么條件下,二面角CAFD的大小為60?解:易知AD,AB,AP兩兩垂直,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,設(shè)AB2a,AD2b,AP2c,則A(0,0,0),B(2a,0,0),C(2a,2b,0),D(0,2b,0),P(0,0,2c)設(shè)ACBDO,連接OE,則O(a, b,0),又E是PD的中點(diǎn),所以E(0,b,c)(1)證明:因?yàn)?2a,0,2c),(a,0,c),所以2,所以,即PBEO.因?yàn)镻B平面AEC,EO平面AEC,所以PB平面AEC.(2)因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形,所以ab,A(0,0,0),B(2a,0,0),C(2a,2a,0),D(0,2a,0),P(0,0,2c),E(0,a,c),F(xiàn)(
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