（浙江專(zhuān)用）2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題四立體幾何第3講空間向量與立體幾何專(zhuān)題強(qiáng)化訓(xùn)練.docx

第3講 空間向量與立體幾何專(zhuān)題強(qiáng)化訓(xùn)練1在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為CD和C1C的中點(diǎn)，則直線AE與D1F所成角的余弦值為()A.B.C. D.解析：選B.以D為原點(diǎn)，分別以DA、DC、DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系(圖略)若棱長(zhǎng)為2，則A(2，0，0)、E(0，1，0)、D1(0，0，2)、F(0，2，1)所以(2，1，0)，(0，2，1)，cos，.則直線AE與D1F所成角的余弦值為.2在正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn)，則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為()A. B.C. D.解析：選B.以A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，設(shè)棱長(zhǎng)為1，則A1(0，0，1)，E，D(0，1，0)，所以(0，1，1)，設(shè)平面A1ED的一個(gè)法向量為n1(1，y，z)，則所以所以n1(1，2，2)因?yàn)槠矫鍭BCD的一個(gè)法向量為n2(0，0，1)，所以cosn1，n2.即所成的銳二面角的余弦值為.3(2019浙江省十校聯(lián)合體期末聯(lián)考)在三棱錐OABC中，已知OA，OB，OC兩兩垂直且相等，點(diǎn)P、Q分別是線段BC和OA上的動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足BPBC，AQAO，則PQ和OB所成角的余弦的取值范圍是()A. B.C. D.解析：選B.根據(jù)題意，以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)OAOBOC2，(2，0，0)，設(shè)P(x，y，0)，Q(0，0，z)，因?yàn)锽PBC，AQAO，所以1x2，0y1且xy2，0z1，(x，x2，z)，|cos，|，當(dāng)x1，z1時(shí)，|cos，|；當(dāng)x2，z1時(shí)，|cos，|；當(dāng)x2，z0時(shí)，|cos，|1.當(dāng)x1，z0時(shí)，|cos，|，結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)可知PQ和OB所成角的余弦的取值范圍是.4(2019寧波市鎮(zhèn)海中學(xué)高考模擬)在直三棱柱A1B1C1ABC中，BAC，ABACAA11，已知G和E分別為A1B1和CC1的中點(diǎn)，D與F分別為線段AC和AB上的動(dòng)點(diǎn)(不包括端點(diǎn))，若GDEF，則線段DF的長(zhǎng)度的取值范圍為()A. B.C. D.解析：選A.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0，0)，E，G，F(xiàn)(x，0，0)，D(0，y，0)，由于GDEF，所以x2y10，DF，由x12y0，得y0，所以2x2，即AD的取值范圍是2，2答案：2，27(2019臺(tái)州市高考模擬)如圖，在棱長(zhǎng)為2的正四面體ABCD中，E、F分別為直線AB、CD上的動(dòng)點(diǎn)，且|EF|.若記EF中點(diǎn)P的軌跡為L(zhǎng)，則|L|等于_(注：|L|表示L的測(cè)度，在本題，L為曲線、平面圖形、空間幾何體時(shí)，|L|分別對(duì)應(yīng)長(zhǎng)度、面積、體積)解析：如圖，當(dāng)E為AB中點(diǎn)時(shí)，F(xiàn)分別在C，D處，滿(mǎn)足|EF|，此時(shí)EF的中點(diǎn)P在EC，ED的中點(diǎn)P1，P2的位置上；當(dāng)F為CD中點(diǎn)時(shí)，E分別在A，B處，滿(mǎn)足|EF|，此時(shí)EF的中點(diǎn)P在BF，AF的中點(diǎn)P3，P4的位置上，連接P1P2，P3P4相交于點(diǎn)O，則四點(diǎn)P1，P2，P3，P4共圓，圓心為O，圓的半徑為，則EF中點(diǎn)P的軌跡L為以O(shè)為圓心，以為半徑的圓，其測(cè)度|L|2.答案：8.(2019金麗衢十二校聯(lián)考)如圖，在三棱錐DABC中，已知AB2，3，設(shè)ADa，BCb，CDc，則的最小值為_(kāi)解析：設(shè)a，b，c，因?yàn)锳B2，所以|abc|24a2b2c22(abbcca)4，又因?yàn)?，所以(ac)(bc)3abbccac23，所以a2b2c22(3c2)4c2a2b22，所以2，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立，即的最小值是2.答案：29(2019寧波諾丁漢大學(xué)附中高三期中考試)如圖，矩形ABCD中，AB1，BC，將ABD沿對(duì)角線BD向上翻折，若翻折過(guò)程中AC長(zhǎng)度在內(nèi)變化，則點(diǎn)A所形成的運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度為_(kāi)解析：過(guò)A作AEBD，垂足為E，連接CE，AE.因?yàn)榫匦蜛BCD中，AB1，BC，所以AE，CE.所以A點(diǎn)的軌跡為以E為圓心，以為半徑的圓弧AEA為二面角ABDA的平面角以E為原點(diǎn)，以EB，EA所在直線為x軸，y軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系Exyz，設(shè)AEA，則A，C，所以AC，所以 ，解得0cos ，所以6090，所以A點(diǎn)軌跡的圓心角為30，所以A點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度為.答案：10(2019寧波十校聯(lián)考模擬)如圖，在四棱錐PABCD中，BAD120，ABAD2，BCD是等邊三角形，E是BP的中點(diǎn)，AC與BD交于點(diǎn)O，且OP平面ABCD.(1)求證：PD平面ACE；(2)當(dāng)OP1時(shí)，求直線PA與平面ACE所成角的正弦值解：(1)證明：因?yàn)樵谒睦忮FPABCD中，BAD120，ABAD2，BCD是等邊三角形，所以ABCACD，因?yàn)镋是BP中點(diǎn)，AC與BD交于點(diǎn)O，所以O(shè)是BD中點(diǎn)，連接OE，則OEPD，因?yàn)镻D平面ACE，OE平面ACE，所以PD平面ACE.(2)因?yàn)锽DAC，PO平面ABCD，以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OC，OP所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，則P(0，0，1)，A(0，1，0)，B(，0，0)，C(0，3，0)，E，(0，1，1)，設(shè)平面ACE的一個(gè)法向量n(x，y，z)，則，取x1，得n(1，0，)，設(shè)直線PA與平面ACE所成角為，則sin ，所以直線PA與平面ACE所成角的正弦值為.11.(2019浙江暨陽(yáng)4月聯(lián)考卷)在四棱錐PABCD中，PC平面ABCD，BCAD，BCAB，PBAD2，ABBC1，E為棱PD上的點(diǎn)(1)若PEPD，求證：PB平面ACE；(2)若E是PD的中點(diǎn)，求直線PB與平面ACE所成角的正弦值解：(1)證明：過(guò)A作Az平面ABCD，以A為原點(diǎn)，如圖建立直角坐標(biāo)系，由題意解得，PC，所以B(1，0，0)，P(1，1，)，所以(0，1，)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，設(shè)E(x，y，z)，由，得E(，)，設(shè)平面ACE的法向量為n(x，y，z)，則，取z1，得n(，1)，所以n0，因?yàn)镻B平面ACE，所以PB平面ACE.(2)過(guò)A作Az平面ABCD，以A為原點(diǎn)，如圖建立直角坐標(biāo)系，由題意解得PC，所以B(1，0，0)，P(1，1，)，A(0，0，0)，所以(0，1，)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，所以E(，)，(1，1，0)，(，)，設(shè)平面ACE的法向量為n(x，y，z)，則，取z2，得n(，2)，所以直線PB與平面ACE所成角的正弦值：sin .12.(2019嵊州市第二次高考適應(yīng)性考試)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC為邊長(zhǎng)為2的正三角形，D是棱A1C1的中點(diǎn)，CC1h(h0)(1)證明：BC1平面AB1D；(2)若直線BC1與平面ABB1A1所成角的大小為，求h的值解：(1)證明：連接A1B交AB1于E，連接DE，則DE是A1BC1的中位線所以DEBC1.又DE平面AB1D，BC1平面AB1D，故BC1平面AB1D.(2)以AB的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OC所在直線分別為x軸，y軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則B(1，0，0)，C1(0，h)易得平面ABB1A1的一個(gè)法向量為n(0，1，0)又(1，h)所以sin |cos，n|.即，解得h2.13.(2019溫州十五校聯(lián)考)已知菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于一點(diǎn)O，BAD60，將BDC沿著B(niǎo)D折起得BDC，連接AC.(1)求證：平面AOC平面ABD；(2)若點(diǎn)C在平面ABD上的投影恰好是ABD的重心，求直線CD與底面ADC所成角的正弦值解：(1)證明：因?yàn)镃OBD，AOBD，COAOO，所以BD平面COA，又因?yàn)锽D平面ABD，所以平面AOC平面ABD.(2)如圖建系Oxyz，令A(yù)Ba，則A，B，D，C，所以，平面ADC的法向量為m，設(shè)直線CD與底面ADC所成角為，則sin |cos，m|，故直線CD與底面ADC所成角的正弦值為.14.(2019寶雞市質(zhì)量檢測(cè)(一)如圖，四棱錐PABCD的底面ABCD 為矩形，PA平面ABCD，點(diǎn)E是PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是PC的中點(diǎn)(1)證明：PB平面AEC；(2)若底面ABCD為正方形，探究在什么條件下，二面角CAFD的大小為60？解：易知AD，AB，AP兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，設(shè)AB2a，AD2b，AP2c，則A(0，0，0)，B(2a，0，0)，C(2a，2b，0)，D(0，2b，0)，P(0，0，2c)設(shè)ACBDO，連接OE，則O(a, b，0)，又E是PD的中點(diǎn)，所以E(0，b，c)(1)證明：因?yàn)?2a，0，2c)，(a，0，c)，所以2，所以，即PBEO.因?yàn)镻B平面AEC，EO平面AEC，所以PB平面AEC.(2)因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以ab，A(0，0，0)，B(2a，0，0)，C(2a，2a，0)，D(0，2a，0)，P(0，0，2c)，E(0，a，c)，F(xiàn)(