【全程復(fù)習(xí)方略】（福建專用）高考數(shù)學(xué) 分類題庫考點44 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（）理 人教版(1).doc

考點44 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、選擇題1.(2011重慶高考文科t3)曲線在點處的切線方程為( )(a) (b) (c) (d) 【思路點撥】先求出切線的斜率,然后利用點斜式求直線的方程.【精講精析】選a.由 知,切線斜率為，切線方程為,即.2.(2011重慶高考文科t7)若函數(shù)在處取最小值,則( )(a) (b) (c) (d)【思路點撥】先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),再根據(jù)最值的定義求出的值.【精講精析】選c.,因為函數(shù)在處有最小值,則一定有解得,因為,所以.3.（2011全國高考理科8）曲線y=+1在點(0，2)處的切線與直線y=0和y=x圍成的三角形的面積為( )(a) (b) (c) (d)1【思路點撥】利用導(dǎo)數(shù)求出在點（0，2）處的切線方程，然后分別求出與直線y=0和y=x的交點,問題即可解決.【精講精析】選a.，切線方程是：,在直角坐標(biāo)系中作出示意圖，即得.4.（2011湖北高考理科t10）放射性元素由于不斷有原子放射出微粒子而變成其他元素，其含量不斷減少，這種現(xiàn)象稱為衰變.假設(shè)在放射性同位素銫137的衰變過程中，其含量m（單位：太貝克）與時間t（單位：年）滿足函數(shù)關(guān)系：，其中m0為t=0時銫137的含量.已知t=30時，銫137含量的變化率是-10ln2（太貝克年），則m（60）=（ ）(a)5太貝克 (b)75ln2太貝克(c)150ln2太貝克 (d)150太貝克【思路點撥】銫137含量的變化率即為的導(dǎo)函數(shù)，由t=30時,=-10ln2，可求出m0.【精講精析】選d. ，當(dāng)t=30時，即當(dāng)t=60時，二、解答題5.（2011湖北高考理科t21）（）已知函數(shù)，求函數(shù)的最大值；（）設(shè)，均為正數(shù)，證明：（1）若+，則；（2）若+=1，則 + + .【思路點撥】（）令得，再判斷1兩側(cè)的符號，可知是的極大值，也是最大值.(ii)(1) 即，即，由中的結(jié)論知即，為出現(xiàn)式，可令，得，故將上述各式相加，再結(jié)合已知可得所求.令，則所要證明的式子可化為： 及 又+=1，故，故式可化為：，可令，利用結(jié)論(1)可證；式可化為：，可令，利用結(jié)論(1)可證.【精講精析】（）的定義域為.令解得當(dāng)時，在內(nèi)是增函數(shù)；當(dāng)時，在內(nèi)是減函數(shù)；故函數(shù)在處取得最大值()由（）知，當(dāng)時，有，即從而有得.求和得即，先證令，則于是由得，即.再證 + + .記，令，則于是由得，即， + + .綜合，得證.6.（2011湖北高考文科20） 設(shè)函數(shù)，其中，a、b為常數(shù)，已知曲線與在點（2,0）處有相同的切線l.(i) 求a、b的值，并寫出切線l的方程；(ii)若方程有三個互不相同的實根0、，其中，且對任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【思路點撥】()根據(jù)構(gòu)造含有的方程組求解；()先由是方程的兩相異實根，由0得的范圍，再由時成立，可得.從而由韋達定理可知，且，據(jù)此可進一步求的范圍.【精講精析】()由于曲線與在點處有相同的切線，故有，由此得解得所以切線的方程為()由()得所以依題意，方程有三個互不相同的實根、，故、是方程的兩相異的實根，所以即又因為對任意的，成立，特別地，取時，成立，得由韋達定理，可得故對任意的，有則又所以函數(shù)在的最大值為0.于是當(dāng)時，對任意的，恒成立.綜上，的取值范圍是.7.（2011全國高考理科22）（1）設(shè)函數(shù)，證明：當(dāng)時，.（2）從編號1到100的100張卡片中每次隨機抽取一張，然后放回，用這種方式連續(xù)抽取20次，設(shè)抽得的20個號碼互不相同的概率為.證明：.【思路點撥】本題第（1）問是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性最值的常規(guī)題，不難證明.第(2)問證明如何利用第（1）問結(jié)論是解決這個問題的關(guān)鍵也是解題能力高低的體現(xiàn).【精講精析】(1)所以在上單調(diào)遞增.當(dāng)時，.（2）方法一：由(1)，當(dāng)x0時，,即有故于是,即.利用推廣的均值不等式：方法二：，所以是上凸函數(shù)，于是因此，故綜上：.8.（2011全國高考文科21）已知函數(shù)()證明：曲線在處的切線過點(2,2). （）若在處取得最小值，,求a的取值范圍.【思路點撥】第(i)問直接利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線的斜率，然后易寫出直線方程.第（ii）問是含參問題，關(guān)鍵是抓住方程的判別式進行分類討論.【精講精析】（i）.由得曲線在x=0處的切線方程為，由此知曲線在x=0處的切線過點（2，2）.（ii）由得，=4a2-4(1-2a) =4(a2+2a-1)(i)當(dāng)0,即或時，由得，故.由題設(shè)知，當(dāng)時，不等式無解；當(dāng)時，解不等式得綜合(i)(ii)得的取值范圍是.9.（2011四川高考文科22）已知函數(shù)（）設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間與極值；（）設(shè),解關(guān)于的方程（）設(shè) 證明：【思路點撥】（）函數(shù)問題定義域優(yōu)先，由求出極值點，利用極值點兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值異號判斷函數(shù)的單調(diào)性.（）首先利用對數(shù)的運算性質(zhì)化簡方程，最后轉(zhuǎn)化為 即轉(zhuǎn)化為的圖象與的圖象交點個數(shù),結(jié)合圖象求解.（）構(gòu)造一個新的數(shù)列，轉(zhuǎn)化為數(shù)列求和問題. 設(shè)數(shù)列的前項和為，且當(dāng)時，證明【精講精析】（）令得當(dāng)時，；當(dāng)時，. 在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù).在處取極大值，（）； 原方程可化為 如圖所示：()由已知得 設(shè)數(shù)列的前項和為，且 從而有當(dāng)時，.即對任意的，有又 則故原不等式成立.10.(2011重慶高考理科t18) 設(shè)的導(dǎo)數(shù)滿足，其中常數(shù).()求曲線在點處的切線方程; () 設(shè)，求函數(shù)的極值.【思路點撥】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可求出實數(shù)的值,從而求出函數(shù)的解析式,再求出曲線在處的切線方程.把函數(shù)的導(dǎo)數(shù)代入(),再對函數(shù)求導(dǎo),即可求出極值.【精講精析】()因,故令,得,所以 又令,得,解得.因此,從而,又故曲線在點處的切線方程為,即()由()知,從而有令,得,解得當(dāng)時, ,故在上為減函數(shù);當(dāng)時, ,故在上為增函數(shù);當(dāng)時, ,故在上為減函數(shù);從而函數(shù)在處取得極小值,在處取得極大值.11.(2011重慶高考文科t19)設(shè)的導(dǎo)數(shù)為,若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱,且.()求實數(shù)的值;()求函數(shù)的極值.【思路點撥】根據(jù)二次函數(shù)的圖像性質(zhì)及題中可直接求出的值,然后根