2020版高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)（全國(guó)理）講義：專題九 第六講填空題的解題方法.docx

教學(xué)資料范本2020版高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)（全國(guó)理）講義：專題九 第六講填空題的解題方法編 輯：_時(shí) 間：_T 題型地位數(shù)學(xué)填空題是一種只要求寫出結(jié)果.不要求寫出解答過(guò)程的客觀性試題.填空題的類型一般可分為完形填空題、多選填空題、條件與結(jié)論開放的填空題.這說(shuō)明了填空題是數(shù)學(xué)高考命題改革的試驗(yàn)田.創(chuàng)新型的填空題將會(huì)不斷出現(xiàn)填空題的分值一般占全卷的13%左右題型特點(diǎn)根據(jù)填空時(shí)所填寫的內(nèi)容形式.可以將填空題分成兩種類型：(1)定量型.要求考生填寫數(shù)值、數(shù)集或數(shù)量關(guān)系.如方程的解、不等式的解集、函數(shù)的定義域、值域、最大值或最小值、線段長(zhǎng)度、角度大小等由于填空題和選擇題相比.缺少選項(xiàng)的信息.所以高考題多以定量型問(wèn)題出現(xiàn)(2)定性型.要求填寫的是具有某種性質(zhì)的對(duì)象或者填寫給定數(shù)學(xué)對(duì)象的某種性質(zhì).如填寫給定二次曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率等.近幾年又出現(xiàn)了定性型的具有多重選擇性的填空題解題策略數(shù)學(xué)填空題絕大多數(shù)是計(jì)算型(尤其是推理計(jì)算型)和概念(性質(zhì))判斷型的試題.解答時(shí)必須按規(guī)則進(jìn)行切實(shí)的計(jì)算或者合乎邏輯的推演和判斷.幾乎沒(méi)有間接方法可言.更是無(wú)從猜答.所以在解填空題時(shí).一般要有合理的分析和判斷.要求推理、運(yùn)算的每一步都正確無(wú)誤.并且還要將答案表達(dá)準(zhǔn)確、完整合情推理、優(yōu)化思路、少算多思是快速、準(zhǔn)確解答填空題的基本要求.簡(jiǎn)言之.解填空題的基本原則是“小題不能大做”.基本策略就是“準(zhǔn)”“巧”“快”其基本方法一般有直接求解法、圖象法和特殊法以及等價(jià)轉(zhuǎn)化法等另外.在解答填空題時(shí)還應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(1)結(jié)果要書寫規(guī)范.如分式的分母不含根式.特殊角的函數(shù)要寫出函數(shù)值.近似計(jì)算要達(dá)到精確度要求等(2)結(jié)果要完整.如函數(shù)的解析式要寫出定義域.應(yīng)用題不要忘記寫單位.求軌跡要排除不滿足條件的點(diǎn)等(3)結(jié)果要符合教材要求.如求不等式的解集要寫成集合或區(qū)間的形式.不能只用一個(gè)不等式表示總之.解填空題的基本原則是“直撲結(jié)果”對(duì)于計(jì)算型的試題.多通過(guò)直接計(jì)算求得結(jié)果.這是解決填空題的基本方法它是直接從題設(shè)出發(fā).利用有關(guān)性質(zhì)或結(jié)論.通過(guò)巧妙地變形.直接得到結(jié)果的方法要善于透過(guò)現(xiàn)象抓本質(zhì).有意識(shí)地采取靈活、簡(jiǎn)捷的解法解決問(wèn)題 例1 (1)設(shè)ABC的內(nèi)角A.B.C的對(duì)邊分別為a.b.c.且a2.cosC.3sinA2sinB.則c4.解析在ABC中.因?yàn)?sinA2sinB由正弦定理可知3a2b.因?yàn)閍2.所以b3.由余弦定理可知c2a2b22abcosC4922316.所以c4.(2)(20xx江蘇卷)已知函數(shù)f(x)x32xex.其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)若f(a1)f(2a2)0.則實(shí)數(shù)a的取值范圍是1.解析因?yàn)閒(x)(x)32(x)exx32xexf(x)所以f(x)x32xex是奇函數(shù).因?yàn)閒(a1)f(2a2)0.所以f(2a2)f(a1).即f(2a2)f(1a)因?yàn)閒 (x)3x22exex3x2223x20.所以f(x)在R上單調(diào)遞增.所以2a21a.即2a2a10.所以1a.規(guī)律總結(jié)直接法是解決計(jì)算型填空題最常用的方法.在計(jì)算過(guò)程中.我們要根據(jù)題目的要求靈活處理.多角度思考問(wèn)題.注意一些解題規(guī)律和解題技巧的靈活應(yīng)用.將計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)化從而得到結(jié)果.這是快速準(zhǔn)確地求解填空題關(guān)鍵G 1已知函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù).當(dāng)0x1時(shí).f(x)4x.則ff2.解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在R上周期為2的奇函數(shù).所以f(1)f(1).f(1)f(12)f(1).所以f(1)f(1).即f(1)0.ffff42.所以ff(1)2.2(20xx山東高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中.雙曲線1(a0.b0)的右支與焦點(diǎn)為F的拋物線x22py(p0)交于A.B兩點(diǎn)若|AF|BF|4|OF|.則該雙曲線的漸近線方程為yx.解析設(shè)A(x1.y1).B(x2.y2)由得a2y22pb2ya2b20.y1y2.又|AF|BF|4|OF|.y1y24.即y1y2p.p.即.雙曲線的漸近線方程為yx.當(dāng)填空題已知條件中含有某些不確定的量.但填空題的結(jié)論唯一或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個(gè)定值時(shí).可以從題中變化的不定量中選取符合條件的恰當(dāng)特殊值(特殊函數(shù)、特殊角、特殊數(shù)列、特殊位置、特殊點(diǎn)、特殊方程、特殊模型等)進(jìn)行處理.從而得出探求的結(jié)論為保證答案的正確性.在利用此方法時(shí).一般應(yīng)多取幾個(gè)特例 例2 拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)為F.其準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)雙曲線1(a0.b0)的左頂點(diǎn).點(diǎn)M是這兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn).且|MF|2p.則雙曲線的漸近線方程為yx.解析由拋物線的定義可知.點(diǎn)M到準(zhǔn)線xa的距離就是|MF|2p.不妨設(shè)點(diǎn)M在第一象限.則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為.代入y22px.得點(diǎn)M(.p).即M(3a,2a).代入1.得.所以雙曲線的漸近線方程為yx.規(guī)律總結(jié)特例法的理論依據(jù)：若對(duì)所有值都成立.那么特殊值也成立我們可以利用填空題不需要過(guò)程、只需要結(jié)果這一“弱點(diǎn)”.“以偏概全”來(lái)求解G 如圖.在ABC中.點(diǎn)M是BC的中點(diǎn).過(guò)點(diǎn)M的直線與直線AB、AC分別交于不同的兩點(diǎn)P、Q.若.則2.解析由題意可知.的值與點(diǎn)P、Q的位置無(wú)關(guān).而當(dāng)直線PQ與直線BC重合時(shí).則有1.所以2.對(duì)于一些含有幾何背景的填空題.若能根據(jù)題目中的條件.作出符合題意的圖形.并通過(guò)對(duì)圖形的直觀分析、判斷.即可快速得出正確結(jié)果這類問(wèn)題的幾何意義一般較為明顯.如一次函數(shù)的斜率和截距、向量的夾角、解析幾何中兩點(diǎn)間距離等.求解的關(guān)鍵是明確幾何含義.準(zhǔn)確規(guī)范地作出相應(yīng)的圖形 例3 若函數(shù)yf(x)(xR)滿足f(x1)f(x1)且x1,3時(shí).f(x)x24x3.函數(shù)g(x)則方程f(x)g(x)0在區(qū)間3,3上根的個(gè)數(shù)為4.解析由f(x1)f(x1)得f(x2)f(x).可知此函數(shù)是周期為2的周期函數(shù).因?yàn)榉匠蘤(x)g(x)0在區(qū)間3,3內(nèi)根的個(gè)數(shù).即函數(shù)f(x)和g(x)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)畫出f(x)和g(x)的圖象(如圖所示).得兩圖象有4個(gè)交點(diǎn).即方程f(x)g(x)0在區(qū)間3,3上根的個(gè)數(shù)為4.規(guī)律總結(jié)數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是“以形助數(shù)”.在解題時(shí)要注意培養(yǎng)這種思想意識(shí).做到心中有圖.見(jiàn)數(shù)想圖.以開拓自己的思維使用數(shù)形結(jié)合法的前提是題目中的條件有明確的幾何意義.解題時(shí)要準(zhǔn)確把握條件、結(jié)論與幾何圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系.準(zhǔn)確利用幾何圖形中的相關(guān)結(jié)論求解G 函數(shù)f(x)4cos2cos2sinx|ln(x1)|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.解析函數(shù)f(x)4cos2cos2sinx|ln(x1)|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于方程4cos2cos2sinx|ln(x1)|0的根的個(gè)數(shù).即函數(shù)g(x)4cos2cos2sinxsin2x與h(x)|ln(x1)|的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)分別畫出其函數(shù)圖象的草圖如圖所示.由圖可知.函數(shù)g(x)與h(x)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)用構(gòu)造法解填空題的關(guān)鍵是由條件和結(jié)論的特殊性構(gòu)造出數(shù)學(xué)模型.從而簡(jiǎn)化推導(dǎo)與運(yùn)算過(guò)程構(gòu)造法是建立在觀察聯(lián)想、分析綜合的基礎(chǔ)之上的.首先應(yīng)觀察題目.觀察已知(例如代數(shù)式)形式上的特點(diǎn).然后積極調(diào)動(dòng)思維.聯(lián)想、類比已學(xué)過(guò)的知識(shí)及各種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)模型.深刻地了解問(wèn)題及問(wèn)題的背景(幾何背景、代數(shù)背景).從而構(gòu)造幾何、函數(shù)、向量等具體的數(shù)學(xué)模型.達(dá)到快速解題的目的 例4 (1)如圖.已知球O的球面上有四點(diǎn)A.B.C.D.DA平面ABC.ABBC.DAABBC.則球O的體積等于.解析如圖.以DA.AB.BC為棱長(zhǎng)構(gòu)造正方體.設(shè)正方體的外接球球O的半徑為R.則正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)即為球O的直徑.所以CD2R.所以R.故球O的體積V.(2)已知f(x)為定義在(0.)上的可導(dǎo)函數(shù).且f(x)xf (x)恒成立.則不等式x2f()f(x)0的解集為( C )A(0,1)B(1,2)C(1.) D(2.)解析設(shè)g(x).則g(x).又因?yàn)閒(x)xf (x).所以g(x)0g()g(x).則有1.故選C規(guī)律總結(jié)構(gòu)造法實(shí)質(zhì)上是化歸與轉(zhuǎn)化思想在解題中的應(yīng)用.需要根據(jù)已知條件和所要解決的問(wèn)題確定構(gòu)造的方向.通過(guò)構(gòu)造新的函數(shù)、不等式或數(shù)列等新的模型.從而轉(zhuǎn)化為自己熟悉的問(wèn)題G 設(shè)f(x)是定義在(0.)上的函數(shù).其導(dǎo)函數(shù)為f (x).且f (x)f(x).則關(guān)于x的不等式xf(1)ef(ln x)的解集為(1.e).解析設(shè)函數(shù)g(x).則g(x)0時(shí).不等式xf(1).即.所以0ln x1.即1xe.多選型問(wèn)題給出多個(gè)命題或結(jié)論.要求從中選出所有滿足條件的命題或結(jié)論.這類問(wèn)題要求較高.涉及圖形、符號(hào)和文字語(yǔ)言.要準(zhǔn)確閱讀題目.讀懂題意.通過(guò)推理證明.命題或結(jié)論之間正反互推.相互印證.也可舉反例判斷錯(cuò)誤的命題或結(jié)論 例5 對(duì)于函數(shù)f(x)給出下列四個(gè)結(jié)論：該函數(shù)是以為最小正周期的周期函數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)xk(kZ)時(shí).該函數(shù)取得最小值1；該函數(shù)的圖象關(guān)于x2k(kZ)對(duì)稱；當(dāng)且僅當(dāng)2kx2(kZ)時(shí).0f(x).其中正確結(jié)論的序號(hào)是.(請(qǐng)將所有正確結(jié)論的序號(hào)都填上)解析如圖所示.作出f(x)在區(qū)間0,2上的圖象由圖象易知.函數(shù)f(x)的最小正周期為2；在x2k(kZ)和x2k(kZ)時(shí).該函數(shù)都取得最小值1.故錯(cuò)誤由圖象知.函數(shù)圖象關(guān)于直線x2k(kZ)對(duì)稱；當(dāng)且僅當(dāng)2kx2k(kZ)時(shí).0f(x).故正確規(guī)律總結(jié)正反互推法適用于多選型問(wèn)題.這類問(wèn)題一般有兩種形式.一是給出總的已知條件.判斷多種結(jié)論的真假；二是多種知識(shí)點(diǎn)的匯總考查.主要覆蓋考點(diǎn)功能兩種多選題在處理上不同.前者需要扣住已知條件進(jìn)行分析.后者需要獨(dú)立利用知識(shí)逐項(xiàng)進(jìn)行判斷.利用正反互推結(jié)合可以快速解決這類問(wèn)題G 已知f(x)為定義在R上的偶函數(shù).當(dāng)x0時(shí).有f(x1)f(x).且當(dāng)x0,1)時(shí).f(x)log2(x1).給出下列命題：f(2 017)f(2 018)的值為0；函數(shù)f(x)在定義域上是周期為2的周期函數(shù)；直線yx與函數(shù)f(x)的圖象有1個(gè)交點(diǎn)；函數(shù)f(x)的值域?yàn)?1,1)其中正確的命題序號(hào)有.解析根據(jù)題意.可在同一坐標(biāo)系中畫出直線yx和函數(shù)f(x)的圖象如下：根據(jù)圖象可知f(2 017)f(2 018)0正確.函數(shù)f(x)在定義域上不是周期函數(shù).所以不正確.根據(jù)圖象確實(shí)只有一個(gè)交點(diǎn).所以正確.根據(jù)圖象.函數(shù)f(x)的值域是(1,1).正確對(duì)于概念與性質(zhì)的判斷等類型的填空題.應(yīng)按照相關(guān)的定義、性質(zhì)、定理等進(jìn)行合乎邏輯的推理和判斷.尤其是新定義型問(wèn)題必須進(jìn)行嚴(yán)密的邏輯推理.才能得到正確的結(jié)果 例6 (20xx貴陽(yáng)監(jiān)測(cè))已知不等式1.1.1.照此規(guī)律總結(jié)出第n個(gè)不等式為1.解析由已知.三個(gè)不等式可以寫成1.1.1.所以照此規(guī)律可得到第n個(gè)不等式為1.規(guī)律總結(jié)推理法多用于新定義型填空題.只要能讀懂題意.認(rèn)真歸納類比即可得出結(jié)論.但在推理過(guò)程中要嚴(yán)格按照定義的法則或