化簡(jiǎn)三角運(yùn)算的方法.doc

簡(jiǎn)化三角運(yùn)算的方法湖南省岳陽(yáng)市第十五中學(xué) 林英三角函數(shù)由于公式繁多，變化多樣，因此解題時(shí)要對(duì)三角題的結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，以便選用適當(dāng)方法，使復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題，收到事半功倍的效果.1. 代數(shù)變換例1. 求函數(shù)的值域.分析：在三角函數(shù)問(wèn)題中，若在一個(gè)函數(shù)式中同時(shí)出現(xiàn)與，可考慮設(shè)，則有，這樣就可以把三角問(wèn)題轉(zhuǎn)化成以t為變量的函數(shù)問(wèn)題.解：令，則，且，又知：，所以，所以，故所求函數(shù)的值域?yàn)椋?. 整體代換例2. 已知，求的取值范圍.分析：如果所涉及的三角問(wèn)題中，已知式或待求式的結(jié)構(gòu)類(lèi)似，則可用整體代換的方法，即把已知式或待求式視為一個(gè)整體進(jìn)行變形代換.解：設(shè)，將已知式與待求式兩邊平方，得：所以 所以 ，即 所以 ，因?yàn)?所以 ，又 ，所以 即 3. 引入?yún)?shù)例3. 銳角，滿(mǎn)足，求證：.分析：對(duì)于題中所涉及的三角式比較復(fù)雜時(shí)，可適當(dāng)引入?yún)?shù)，架起已知通向未知的橋梁，常?？梢院?jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程.證明：已知等式，設(shè)，則，兩式相加，得：所以 ，即 ，所以 因?yàn)?，為銳角，所以 即 4. 平方變換例4. a，b是不相等的正數(shù)，求：的最大值和最小值.分析：有些三角習(xí)題（如含有根式）通過(guò)平方運(yùn)算，可以避開(kāi)直接解題帶來(lái)的麻煩，使解題思路更明顯，解法更巧妙.這是解三角習(xí)題的一個(gè)常用技巧.分析：因?yàn)閥0，故使達(dá)到最大值（或最小值）的x值也使y達(dá)到最大值（或最小值）.因?yàn)閍b，所以當(dāng)，即時(shí)，y有最大值；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，y有最小值.5. 整體配對(duì)例5. 求的值.分析：將已知式視為一個(gè)整體，然后采用整體代換的方式，構(gòu)造一個(gè)對(duì)偶式，可使問(wèn)題化難為易、化繁為簡(jiǎn).解：設(shè)，則由倍角公式，得：即顯然，B0，由，得即 6. 角度變換例6. 已知，求的值.分析：有些三角問(wèn)題中，往往要進(jìn)行角之間的變換，將角進(jìn)行合理的組合，根據(jù)解題的需要“化異為同”，這是解答三角問(wèn)題的一種解題技巧，掌握這一技巧，可給一些三角問(wèn)題帶來(lái)比較簡(jiǎn)捷的解答.解：因?yàn)樗杂?，所以由，知?. 用不等證相等例7. 設(shè)銳角、滿(mǎn)足等式，求證：.分析：要證明AB，可以通過(guò)否定AB與AB而達(dá)到.證明：將已知式改寫(xiě)為因?yàn)椋瑸殇J角，所以只有以下三種情況：（1）；（2）；（3）第（1）種情況將導(dǎo)致矛盾：第（2）種情況也將導(dǎo)致矛盾：所以 ，又，得8. 構(gòu)造模型例8. 求sin220cos280sin20cos80的值.分析：根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)構(gòu)造出相應(yīng)的模型，然后將需要解決的問(wèn)題納入模型的范疇，并利用模型的知識(shí)去解決問(wèn)題，本題的結(jié)構(gòu)與余弦定理相似.解：原式sin220sin2102sin20sin10cos150，2010150180，構(gòu)造模型ABC，20、10、150看作這個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角，設(shè)這三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊依次是a、b、c，由余弦定理得：a2b22abcos150c2（），而由正弦定理知：a2sin20，b2sin10，c2sin