二次根式的運算.教師版.doc

學大教育廣東路校區(qū)教學部 XueDa Century Education Technology (BEIJING) Ltd. Co第1講二次根式運算中考要求內(nèi)容基本要求略高要求較高要求二次根式的化簡和運算理解二次根式的加、減、乘、除運算法則會進行二次根式的化簡，會進行二次根式的混合運算（不要求分母有理化）知識點睛一、二次根式概念及化簡二次根式的概念：形如（）的式子叫做二次根式二次根式的基本性質(zhì)：（）雙重非負性；（）；二、 二次根式的乘除最簡二次根式：二次根式（）中的稱為被開方數(shù)滿足下面條件的二次根式我們稱為最簡二次根式：被開放數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式（被開方數(shù)不能存在小數(shù)、分數(shù)形式）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式分母中不含二次根式二次根式的計算結(jié)果要寫成最簡根式的形式二次根式的乘法法則：（，）二次根式的除法法則：（，）利用這兩個法則時注意、的取值范圍，對于，、都非負，否則不成立，如三、二次根式的加減同類二次根式：幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，這幾個二次根式就叫做同類二次根式合并同類二次根式：同類二次根式才可加減合并四、分母有理化分母有理化：把分母中的根號化去叫做分母有理化互為有理化因式：兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，說這兩個代數(shù)式互為有理化因式與互為有理化因式；分式有理化時，一定要保證有理化因式不為0重、難點1、從二次根式的定義看出，二次根式的被開方數(shù)可以是一個數(shù)，也可以是一個式子，且被開方數(shù)必須是非負數(shù)2、二次根式的性質(zhì)具有雙重非負性，即二次根式中被開方數(shù)非負,算術平方根非負.3、利用得到成立，可以把任意一個非負數(shù)或式寫成一個數(shù)或式的平方的形式如4、注意逆用二次根式的性質(zhì)，即，利用這兩個性質(zhì)可以對二次根式進行化簡5、運用二次根式的性質(zhì)化簡時，最后結(jié)果中的二次根式要化為最簡二次根式或整式最簡二次根式必須滿足兩個條件：(1)被開方式中不含分母；(2)被開方式中不含能開得盡方的因數(shù)或因式例題精講一、二次根式概念及性質(zhì)【例1】 取何值時，下列各式有意義：【解析】 此題的關鍵有兩點：被開方數(shù)大于或等于；分母不等于；且，即；且；且；取任意數(shù)【鞏固】 設，求使有意義的的取值范圍.【解析】 ，即.【鞏固】當取何值時，式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義【解析】 利用分式的條件，把此題轉(zhuǎn)化為解兩個不等式組的問題由得或解得或當或時，原式在實數(shù)范圍內(nèi)由意義點評：記住的條件為或，的條件為或【鞏固】 當 時，有意義【解析】 通過觀察可以發(fā)現(xiàn)一定是一個正數(shù)，這樣就將原式有意義的條件且轉(zhuǎn)化為，解不等式得點評：判定是正數(shù)是關鍵，同理，是負數(shù)【例2】 若、為實數(shù)，且，求的值.【解析】 已知得，即，原式.【鞏固】 （2005年淄博中考題)若和互為相反數(shù)，求的值.【解析】 因為，,【鞏固】 (2007年成都)已知，那么的值為 .【解析】【鞏固】 (第12屆希望杯邀請賽)求代數(shù)式的最小值.【解析】 根據(jù)題意可得：，即，當時，有最小值.【鞏固】已知實數(shù)與非零實數(shù)滿足等式：.求.【解析】 根據(jù)已知條件可知：，故，【例3】 (人大附單元測試)已知為實數(shù)，且滿足，求的值.【解析】 由題意可知，所以原式可變形為，所以，即【鞏固】(人大附中初一第2學期期末考試)已知：，求的平方根. 【解析】 由根式的性質(zhì)得：，的平方根是：.【鞏固】 若，求的值.【解析】 根據(jù)題意可得：，解得，【鞏固】 在實數(shù)范圍成立，那么的值是多少？【解析】 此題運用是一個非負數(shù)解題，由，從而.這時等式變?yōu)?，【?】 (北京市初中數(shù)學競賽題)若適合關系式，試確定的值.【解析】 且，即，.，(為；為)：，【例5】 (四川省初中數(shù)學聯(lián)賽題)已知為實數(shù)，求.【解析】 由已知得：，即，由、得：，.【鞏固】 ，求，的值.【解析】 ，【鞏固】化簡：【解析】 ，又有意義，原式二、關于二次根式的化簡【例6】 已知：，求的取值范圍【解析】 ，當時，；當時，所以的取值范圍是【鞏固】 化簡：【解析】 原式當時，原式當時，原式當時，原式【例7】 數(shù)，在數(shù)軸上對應點的位置如圖所示，化簡【解析】【鞏固】 化簡：（）【解析】 ，原式【例8】 若，則化簡【解析】【鞏固】 化簡：，其中【解析】 由二次根式的性質(zhì)可知，化簡二次根式的一個有效方法是配方去掉根號，所以原式因為，所以原式【鞏固】 已知，化簡=_【解析】 ，原式【鞏固】 化簡下列各式：（）【解析】，原式【鞏固】 化簡下列各式：（）【解析】，原式，點評：解此題時，應注意這一步驟不要省略，并要對每一個絕對值符號里的部分的正負進行判斷，去掉絕對值符號【鞏固】 化簡下列各式（，）（，）【解析】 解答這一類化簡題就是利用二次根式的性質(zhì)把二次根式化成最簡形式，化簡時遇到小數(shù)要化成分數(shù)，遇到帶分數(shù)要化成假分數(shù)，遇到多項式和整數(shù)要分解因式或因數(shù)原式，原式點評：化簡時要靈活運用性質(zhì)和公式，有時也會用到分母有理化，另外要注意對化簡結(jié)果格式的要求以及在利用時要注意條件是否滿足【補充】(第14屆“希望杯”試題)設，則=_.【解析】 ， 原式.【例9】 （湖北省黃風地區(qū)初中數(shù)學競賽題）設都是實數(shù)，且，那么化簡為（ ）A B C D.【解析】 ，又，.,原式，選（D）【鞏固】 （天津市第三屆“新蕾杯”初二數(shù)學邀請賽題）如果，與都成立，尋么，的最簡結(jié)果是 【解析】 ，且，故?！眷柟獭?如果，化簡【解析】 分析可得，原式.【例10】 （江蘇省初中數(shù)學競賽題）已知實數(shù)滿足，那么，的值是（ ）A BCD.【解析】 已知條件即為，故，選（B）【例11】 已知，確定的取值范圍【解析】 此題同樣是的化簡問題，但沒有給出字母的取值，反過來給出化簡的結(jié)果讓我們判斷的取值所以需要分情況討論，找出化簡結(jié)果等于的所有情況當時，當時，當時，當時，當時，原式成立點評：注意的化簡方法注意體會本題中借助數(shù)軸的取值進行分類的方法【例12】 化簡，得（ ）ABCD【解析】 要使式子有意義，則解得，原式【鞏固】 化簡：【解析】 原式注意分析隱含條件【例13】 化簡：【解析】 根據(jù)題意可得：，即，所以，原式.【鞏固】 化簡：【解析】 要使有意義，必須，所以，原式點評：若根式中的字母給出了取值范圍，則應在這個范圍內(nèi)進行化簡；若沒有給出取值范圍，則應在字母允許取值的范圍內(nèi)進行化簡【補充】化簡：【解析】，、同號或與同號，原式【例14】 為實數(shù)，且，求的值.【解析】 由題目條件中，可知有隱含條件，即，于是可解.，所以，所以或，由于，所以.【鞏固】已知，是實數(shù)，且.化簡.【解析】 要使和有意義，則，且.所以.所以，即，原式.三、二次根式的乘除【例15】 下列二次根式中，最簡二次根式的個數(shù)是（ ）,A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【解析】 此題的關鍵是看二次根式的被開方數(shù)是否滿足最簡二次根式的兩個條件中是分式，中是小數(shù)中的是分數(shù)，它們都不滿足條件； 中有能開得盡方的因式，中有能開得盡方的因數(shù)，中含有能開得盡方的因式，它們都不滿足條件2；只有滿足最簡二次根式的兩個條件答：點評：要牢記最簡二次根式的兩個條件，判斷時只須看被開方數(shù)，注意當被開方數(shù)是多項式時要先分解因式，找一找有沒有能開得盡方得因式和因數(shù)，特別要分清中雖有和，但和不是的因式【例16】 化簡下列各式（字母均取正數(shù)）：；【解析】 【鞏固】若，且，化簡【解析】 根據(jù)和可得，或，又，所以，即，則【鞏固】 化簡：【解析】，、同號或與同號，原式【例17】 計算：；【解析】 ；，從題目易分析得，；，從題目易分析得，.【鞏固】 (第12屆希望杯試題)已知則【解析】 由已知得，.四、分母有理化【例18】 把下列各式分母有理化：.【解析】 ； 注：本題幫助學生練習最簡單的“分母有理化”及性質(zhì)當分母中有根號時，要在分子和分母上同時乘以一個式子，使相乘后的分母不再含根式、主要運用“”，進行分母有理化【鞏固】 把下列各式分母有理化：【補充】若，求的最大值.【解析】 ，當時，原式可取得最大值當，原式當時，原式有最大值【例19】 化簡：【解析】 (法1)：當時，當時，原式(法2)：【鞏固】 (2005年上海市初三數(shù)學競賽宇振杯)計算：_【解析】 根據(jù)題目，所以且如果，則，原式 當時，原式所以原式另解：【例20】 化簡：（）ABCD不同于的答案【解析】五、二次根式的加減【例21】 在，這個式子中，與是同類二次根式的共有多少個？【解析】 ，所以，與同類，共個【鞏固】 下列二次根式中，哪些是同類二次根式？（字母均為正數(shù)）；【解析】 ；與、與、與是同類二次根式，、的值有四組，即，故原方程的整數(shù)解有4組.【例22】 如果最簡根式與是同類二次根式，求的值.【解析】 根據(jù)題意可得，解得，解得【鞏固】 已知最簡根式是同類二次根式，則滿足條件的,的值（ ）A不存在B有一組C有二組D多于二組【解析】 根據(jù)同類二次根式定義可知：，解之得【鞏固】 若與最簡二次根式為同類二次根式，其中，為整數(shù)，則_，_；【解析】 由題意可知，故，又，；【鞏固】 (第十屆“五羊杯”競賽題)方程的整數(shù)解有 組.【解析】 為同類二次根式，原方程為：.設，【例23】 計算：【解析】 【鞏固】 化簡計算：()【解析】 原式；原式；【例24】 計算：【解析】 【鞏固】 計算：【解析】 【鞏固】 計算：【解析】【鞏固】 計算：_.【解析】 原式【例25】 計算：.【解析】 原式.【鞏固】 (第18屆希望杯培訓試題)計算：=_.【解析】 原式家庭作業(yè)【習題1】 計算： 【解析】 【習題2】 判斷下列各組二次根式是不是同類二次根式： 【解析】 不是同類二次根式是同類二次根式不是同類二次根式和不是同類二次根式點評：判斷兩個二次根式是不是同類二次根式，要嚴格按照定義，先化簡，然后再看被開方數(shù)是否相同即可解此題必須要把所給二次根式化成最簡形式化成最簡二次根式后只須看被開方數(shù)是否相同【習題3】 若最簡二次根式是同類根式，求的值【解析】 根據(jù)同類二次根式的定義可知，通過解方程組即可求出、，再代如求的值解：由已知得，解得點評：二次根式隱含由根指數(shù)這一條件另外注意若沒有最簡二次根式這一條件，不能得出【習題4】 (2007年江西省)在數(shù)軸上與表示的點的距離最近的整數(shù)點所表示的數(shù)是 (2007年河南省)已知為整數(shù)，且滿足，則 (2007淄博市)估計的大小應( )A.在9.19.2之間 B.在9.29.3之間 C.在9.39.4之間 D.在9.