人教B版選修21 第二章 2.3.2　雙曲線的幾何性質(zhì) 學(xué)案.doc

2.3.2雙曲線的幾何性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解雙曲線的幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、實(shí)軸長(zhǎng)和虛軸長(zhǎng)等).2.理解離心率的定義、取值范圍和漸近線方程.3.能用雙曲線的幾何性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)雙曲線的幾何性質(zhì)思考離心率對(duì)雙曲線開口大小有影響嗎？滿足什么對(duì)應(yīng)關(guān)系？答案有影響，因?yàn)閑，故當(dāng)?shù)闹翟酱髸r(shí)，漸近線yx的斜率越大，雙曲線的開口越大，e也越大，所以e反映了雙曲線開口的大小，即雙曲線的離心率越大，它的開口就越大梳理(1)漸近線：直線yx叫做雙曲線1(a0，b0)的漸近線(2)離心率：雙曲線的焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的比，叫做雙曲線的離心率，用e表示(e1)(3)雙曲線的幾何性質(zhì)見下表：標(biāo)準(zhǔn)方程1(a0，b0)1(a0，b0)圖形性質(zhì)范圍xa或xaya或ya對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)頂點(diǎn)坐標(biāo)：a1(a,0)，a2(a,0)頂點(diǎn)坐標(biāo)：a1(0，a)，a2(0，a)軸長(zhǎng)實(shí)軸長(zhǎng)：2a虛軸長(zhǎng)：2b漸近線yxyx離心率e，e(1，)，其中ca，b，c間的關(guān)系c2a2b2(ca0，cb0)1等軸雙曲線的離心率是.()2橢圓的離心率與雙曲線的離心率取值范圍相同()3雙曲線有四個(gè)頂點(diǎn)，分別是雙曲線與其實(shí)軸及虛軸的交點(diǎn)()4方程1(a0，b0)的漸近線方程為yx.()類型一已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求其幾何性質(zhì)例1求雙曲線nx2my2mn(m0，n0)的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、頂點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程解把方程nx2my2mn(m0，n0)化為標(biāo)準(zhǔn)方程為1(m0，n0)，由此可知，實(shí)半軸長(zhǎng)a，虛半軸長(zhǎng)b，c，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，(，0)，離心率e，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，(，0)，所以漸近線方程為yx，即yx.引申探究將例1改為“求雙曲線9y24x236的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、離心率和漸近線方程”，請(qǐng)給出解答解將9y24x236變形為1，即1，所以a3，b2，c，因此頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)，(3,0)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，(，0)，實(shí)軸長(zhǎng)是2a6，虛軸長(zhǎng)是2b4，離心率e，漸近線方程為yxx.反思與感悟由雙曲線的方程研究幾何性質(zhì)的解題步驟(1)把雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式是解決本題的關(guān)鍵(2)由標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦點(diǎn)位置，確定a，b的值(3)由c2a2b2求出c的值，從而寫出雙曲線的幾何性質(zhì)跟蹤訓(xùn)練1求雙曲線9y216x2144的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方程解把方程9y216x2144化為標(biāo)準(zhǔn)方程1.由此可知，實(shí)半軸長(zhǎng)a4，虛半軸長(zhǎng)b3，c5，焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0，5)，(0,5)，離心率e，漸近線方程為yx.類型二由雙曲線的幾何性質(zhì)確定標(biāo)準(zhǔn)方程例2求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)一個(gè)焦點(diǎn)為(0,13)，且離心率為；(2)漸近線方程為yx，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)a(2，3)解(1)依題意可知，雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，且c13，又，a5，b2c2a2144，故其標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)方法一雙曲線的漸近線方程為yx，若焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a0，b0)，則.a(2，3)在雙曲線上，1.由聯(lián)立，無(wú)解若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a0，b0)，則.a(2，3)在雙曲線上，1.由聯(lián)立，解得a28，b232.所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.方法二由雙曲線的漸近線方程為yx，可設(shè)雙曲線方程為y2(0)，a(2，3)在雙曲線上，(3)2，即8.所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.反思與感悟由雙曲線的幾何性質(zhì)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程常用待定系數(shù)法，當(dāng)焦點(diǎn)位置明確時(shí)直接設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可，當(dāng)焦點(diǎn)位置不明確時(shí)，應(yīng)注意分類討論，也可以不分類討論直接把雙曲線方程設(shè)成mx2ny21(mn0)，從而直接求出來(lái)當(dāng)雙曲線的漸近線方程為yx時(shí)，可以將方程設(shè)為(0)跟蹤訓(xùn)練2(1)求與雙曲線1有共同的漸近線，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)m(3，2)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知雙曲線1(a0，b0)的離心率e，過(guò)點(diǎn)a(0，b)和b(a,0)的直線與原點(diǎn)的距離為，求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程解(1)設(shè)所求雙曲線的方程為(0)點(diǎn)m(3，2)在雙曲線上，即2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)e，a23b2.又直線ab的方程為bxayab0，d，即4a2b23(a2b2)解組成的方程組，得a23，b21.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.類型三直線與雙曲線的位置關(guān)系例3(1)求直線yx1被雙曲線x21截得的弦長(zhǎng)；(2)求過(guò)定點(diǎn)(0,1)的直線被雙曲線x21截得的弦中點(diǎn)的軌跡方程解(1)由得4x2(x1)240.化簡(jiǎn)得3x22x50.設(shè)此方程的解為x1，x2，則有x1x2，x1x2.故所截得的弦長(zhǎng)d|x1x2|.(2)方法一該直線的斜率不存在時(shí)，直線與雙曲線無(wú)交點(diǎn)，故可設(shè)直線的方程為ykx1，它被雙曲線截得的弦ab對(duì)應(yīng)的中點(diǎn)為p(x，y)由得(4k2)x22kx50.設(shè)此方程的解為x1，x2，則4k20，4k220(4k2)0，16k280，即|k|，k2，且x1x2，x1x2，x(x1x2)，y(y1y2)(x1x2)1.由消去k，得4x2y2y0(y4或y1)方法二設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)分別為a(x1，y1)，b(x2，y2)，弦的中點(diǎn)為p(x，y)，則，得4(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)，當(dāng)直線ab的斜率k0時(shí)，得，即，整理得4x2y2y0(y1)當(dāng)k0時(shí)，y1y21，x1x20，x0，y1，也滿足4x2y2y0.綜上所述，弦中點(diǎn)的軌跡方程為4x2y2y0(y0.當(dāng)k22，即k時(shí)，此時(shí)與漸近線的斜率相等，即k的直線l與雙曲線不可能有兩個(gè)交點(diǎn)綜上可知，所求直線的方程為4xy70.(2)假設(shè)這樣的直線l存在，設(shè)q1(x1，y1)，q2(x2，y2)，則有1，1，x1x22，y1y22，且兩式相減，得(2x2x)(yy)0，2(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0，2(x1x2)(y1y2)0.若直線q1q2垂直于x軸，則線段q1q2中點(diǎn)不可能是點(diǎn)q(1,1)，直線q1q2斜率存在，于是k2，直線q1q2的方程為y12(x1)，即y2x1.由得2x2(2x1)22，即2x24x30，16240.直線l與雙曲線沒有公共點(diǎn)，因此這樣的直線不存在.1雙曲線1的焦點(diǎn)到漸近線的距離為()a2b2c.d1答案a解析雙曲線1的一個(gè)焦點(diǎn)為f(4,0)，其中一條漸近線方程為yx，點(diǎn)f到xy0的距離為2.2設(shè)雙曲線1的漸近線方程為3x2y0，則a的值為()a4b3c2d1答案a解析方程表示雙曲線，a0)的右焦點(diǎn)為(3,0)，則雙曲線的離心率等于()a.b.c.d.答案c解析由題意知a259, 解得a2，e.4若雙曲線1的漸近線方程為yx，則雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是_答案(，0)解析由漸近線方程為yxx，得m3，c，且焦點(diǎn)在x軸上5設(shè)雙曲線1(a0，b0)的虛軸長(zhǎng)為2，焦距為2，則雙曲線的漸近線方程為_答案yx解析由條件知2b2,2c2，b1，c，a2c2b22，即a，雙曲線方程為y21，因此其漸近線方程為yx.雙曲線的綜合問(wèn)題常涉及其離心率、漸近線、范圍等，與向量、三角函數(shù)、不等式等知識(shí)交匯考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力(1)當(dāng)與向量知識(shí)結(jié)合時(shí)，注意運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，將向量間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)問(wèn)題，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，將所求問(wèn)題與條件建立關(guān)系求解(2)當(dāng)與直線有關(guān)時(shí)，常常聯(lián)立直線與雙曲線的方程，消元后利用一元二次方程的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造相關(guān)關(guān)系求解一、選擇題1下列雙曲線中，漸近線方程為y2x的是()ax21b.y21cx21d.y21答案a解析由雙曲線的幾何性質(zhì)知，雙曲線x21的漸近線方程為y2x，故選a.2直線yx1被雙曲線2x2y23所截得的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是()a(1,2) b(2，1)c(1，2) d(2,1)答案c解析將yx1代入2x2y23，得x22x40，由此可得弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1.故選c.3過(guò)雙曲線x2y24的右焦點(diǎn)且平行于虛軸的弦長(zhǎng)是()a1b2c3d4答案d解析設(shè)弦與雙曲線的交點(diǎn)為a，b(a點(diǎn)在b點(diǎn)上方)，由abx軸且過(guò)右焦點(diǎn)，可得a，b兩點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，代入雙曲線方程得a(2，2)，b(2，2)，故|ab|4.4已知雙曲線c：1的焦距為10，點(diǎn)p(2,1)在c的漸近線上，則雙曲線c的方程為()a.1b.1c.1d.1答案a解析雙曲線c的漸近線方程為0，點(diǎn)p(2,1)在漸近線上，0，即a24b2，又a2b2c225，解得b25，a220，故選a.5已知等軸雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，與直線yx交于a，b兩點(diǎn)，若|ab|2，則該雙曲線的方程為()ax2y26bx2y29cx2y216dx2y225答案b解析設(shè)等軸雙曲線的方程為x2y2a2(a0)，與yx聯(lián)立，得x2a2，|ab|a2，a3，故選b.6已知雙曲線c：1(a0，b0)的離心率為，則c的漸近線方程為()ayxbyxcyxdyx答案c解析由e知，a2k，ck，k(0，)，由b2c2a2k2知bk.所以.即漸近線方程為yx.7若在雙曲線1 (a0，b0)的右支上到原點(diǎn)o和右焦點(diǎn)f的距離相等的點(diǎn)有兩個(gè)，則雙曲線的離心率的取值范圍是()a() b(1，) c(2，) d(1,2)答案c解析由于到原點(diǎn)o和右焦點(diǎn)f距離相等的點(diǎn)在線段of的垂直平分線上，其方程為x.依題意，在雙曲線1 (a0，b0)的右支上到原點(diǎn)和右焦點(diǎn)距離相等的點(diǎn)有兩個(gè)，所以直線x與右支有兩個(gè)交點(diǎn)，故應(yīng)滿足a，即2，得e2.8設(shè)f為雙曲線c：1(a0，b0)的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)f且斜率為1的直線l與雙曲線c的兩條漸近線分別交于a，b兩點(diǎn)，若3，則雙曲線c的離心率e等于()a.b.c.d.答案d解析設(shè)f(c,0)，則過(guò)雙曲線1(a0，b0)的右焦點(diǎn)f且斜率為1的直線l的方程為y(xc)，而漸近線方程是yx，由得b，由得a，由3，得3，則3，即ba，則ca，則e，故選d.二、填空題9過(guò)點(diǎn)a(3，1)且被a點(diǎn)平分的雙曲線y21的弦所在的直線方程是_答案3x4y50解析易知所求直線的斜率存在，設(shè)為k，則該直線的方程為y1k(x3)，代入y21，消去y得關(guān)于x的一元二次方程(14k2)x2(24k28k)x36k224k80，6，k，所求直線方程為3x4y50.10已知點(diǎn)(2,0)是雙曲線x21(b0)的一個(gè)焦點(diǎn)，則b_.答案解析由題意知c2，a1，由c2a2b2，得b2413，所以b.11已知雙曲線1(b0)的離心率為2，則它的一個(gè)焦點(diǎn)到其中一條漸近線的距離為_答案2解析由雙曲線方程知a2，又e2，所以c4，所以b2.所以雙曲線的一條漸近線方程為yxx，一個(gè)焦點(diǎn)為f(4,0)焦點(diǎn)f到漸近線yx的距離d2.三、解答題12已知雙曲線的一條漸近線為xy0，且與橢圓x24y264有相同的焦距，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程解橢圓方程為1，可知橢圓的焦距為8.當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)雙曲線方程為1 (a0，b0)，解得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)雙曲線方程為1 (a0，b0)，解得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.由可知，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1.13設(shè)雙曲線1(a0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為f1，f2，離心率為2.(1)求此雙曲線的漸近線l1，l2的方程；(2)若a，b分別為l1，l2上的點(diǎn)，且2|ab|5|f1f2|，求線段ab的中點(diǎn)m的軌跡方程解(1)e2，c24a2.c2a23，a1，c2.雙曲線方程為y21，漸近線方程為yx.l1的方程為yx，l2的方程為yx.(2)設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，ab的中點(diǎn)為m(x，y)2|ab|5|f1f2|52c20，|ab|10，10，即(x1x2)2(y1y2)2100.y1x1，y2x2，x1x22x，y1y22y，y1y2(x1x2)，y1y2(x1x2)，y(x1x2)，y1y2x，代入(x1x2)2(y1y2)2100，得3(2y)2(2x)2100，整理得1.四、探究與拓展14雙曲線1 (a0，b0)的左、右焦點(diǎn)分別是f1，f2，過(guò)f1作傾斜角為30的直線，交雙曲線右支于m點(diǎn)，若mf2垂直于x軸，則雙曲線的離心率為_答案解析如圖，在rtmf1f2中，mf1f230.又|f1f2|2c，|mf1|c，|mf2|2ctan30c.2a|mf1|mf2|c.e.15若雙曲線e：y21(a0)的離心率等于，直線ykx1與雙曲線e的右支交于a，b兩點(diǎn)(1)求k的取值范圍