六年級(jí)考點(diǎn)詳解：圖形中的計(jì)數(shù).doc

八 圖形中的計(jì)數(shù)在上節(jié)我們講了最簡(jiǎn)單的平面圖形點(diǎn)、線段的計(jì)數(shù)問(wèn)題雖然這類問(wèn)題比較簡(jiǎn)單，但解決時(shí)所用到的思想方法（如退、分類等）在解決其它許多問(wèn)題（包括一些非常復(fù)雜的問(wèn)題）中將繼續(xù)起作用下面我們就要用這些思想方法去解決由直線段構(gòu)成的平面圖形（如角、三角形、正方形、長(zhǎng)方形、梯形等）的計(jì)數(shù)問(wèn)題同時(shí)還要給同學(xué)們介紹幾種新的思想方法，它們不但會(huì)成為同學(xué)們將來(lái)解決許許多多問(wèn)題的重要武器，而且會(huì)成為你的財(cái)富，使你變得更聰明、富有問(wèn)題81 數(shù)一數(shù)在圖8-1所示的圖形中有多少個(gè)不同的三角形？我們先用分類的方法求解解法1把三角形中不含其它線段的三角形叫“單三角形”下面以含單三角形的個(gè)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)把圖8-1所含的三角形進(jìn)行分類1類：含1個(gè)單三角形的三角形有PAB、PBC、PCD 3個(gè)；2類：含2個(gè)單三角形的三角形有PAC、PBD 2個(gè)；3類：含3個(gè)單三角形的三角形有PAD1個(gè)故圖 8-1共含3+2+1個(gè)三角形解法2 按含“左邊的斜邊”分類1類：含PA的三角形有PAB、PAC、PAD3個(gè)；2類：含PB的三角形有PBC、PBD2個(gè)；3類：含PC的三角形有PCD1個(gè)故共有3+2+1個(gè)三角形做到這里，同學(xué)們有什么感覺？你是否感覺到你好像以前做過(guò)這道題？如果你再去看看問(wèn)題72也許你就明白了許多原來(lái)上面的解答不但用到的思想方法同問(wèn)題72處相同，而且結(jié)果也完全一樣也就是說(shuō)，雖然問(wèn)題72要求的是線段條數(shù)，而問(wèn)題81要求的是三角形的個(gè)數(shù)，這兩者明明是不同的對(duì)象，但對(duì)于計(jì)數(shù)這點(diǎn)來(lái)說(shuō)它們有共性，或者說(shuō)其實(shí)質(zhì)是一樣的那么用什么辦法來(lái)把這個(gè)共性或?qū)嵸|(zhì)講清楚呢？讓我們先從人們比較事物多少的方法說(shuō)起秋收季節(jié)，有一位農(nóng)民伯伯家里裝了一筐雞蛋和一筐蘋果現(xiàn)在他想知道雞蛋多還是蘋果多當(dāng)然只要數(shù)一數(shù)雞蛋，再數(shù)一數(shù)蘋果就有了答案但農(nóng)民伯伯給他的兒子們出了一道動(dòng)腦筋的題目，問(wèn)不數(shù)雞蛋和蘋果能否知道它們誰(shuí)多誰(shuí)少？他的小兒子小聰最先想了個(gè)辦法：他拿出一個(gè)大空筐子，然后拿一個(gè)蘋果又拿出一個(gè)蛋放在里面，然后又不斷地重復(fù)這一動(dòng)作，直到最后他發(fā)現(xiàn)裝蘋果和蛋的筐子同時(shí)空了于是他告訴他父親，蛋和蘋果一樣多父親又問(wèn)他：“蘋果有多少個(gè)？”他想：“要知道蘋果個(gè)數(shù)只有一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)，剛才白忙了半天”正在他懊悔時(shí)，他媽媽從街上回來(lái)了，進(jìn)門就說(shuō)：“今天收入還不錯(cuò)，家里共有300個(gè)雞蛋，我只賣了120個(gè)就賣了60元錢”話音剛落小聰就高興地笑了，忙告訴父親說(shuō)：“蘋果有180個(gè)”父親忙夸獎(jiǎng)小聰真是個(gè)有出息的孩子同學(xué)們，小聰是怎么知道蘋果數(shù)的？他剛才是白忙了嗎？以上是一個(gè)虛構(gòu)的故事，它告訴我們：人們要想知道一堆事物的多少有兩種方法：一種是逐個(gè)地去數(shù)，這叫計(jì)數(shù)法；另一種是拿一堆已經(jīng)知道個(gè)數(shù)（或更容易計(jì)算個(gè)數(shù)）的事物來(lái)，兩堆中的事物一一配對(duì)（也叫把這兩個(gè)事物對(duì)應(yīng)起來(lái)），然后由后一堆事物的個(gè)數(shù)就可以推知前一堆事物的個(gè)數(shù)，這種方法叫對(duì)應(yīng)法當(dāng)一堆事物難于計(jì)數(shù)時(shí)往往用對(duì)應(yīng)法在對(duì)應(yīng)法中，對(duì)應(yīng)的兩個(gè)事物可看成一樣的讓我們?cè)儆么朔▉?lái)解問(wèn)題81解法3分析：現(xiàn)在需要計(jì)數(shù)的是三角形，而我們最會(huì)計(jì)算的是線段，于是想到把三角形與線段對(duì)應(yīng)我們把三角形與它的底邊對(duì)應(yīng)（見圖8-2）：在上面對(duì)應(yīng)中每個(gè)三角形與它對(duì)應(yīng)的線段可不加區(qū)別，那么計(jì)算第一堆事物與計(jì)算第二堆事物是一樣的，即解問(wèn)題81與計(jì)算PAD底邊 AD上線段數(shù)是一樣的因?yàn)榫€段AD上有4個(gè)點(diǎn)，由上節(jié)的結(jié)論圖8-1中含有同學(xué)們，你現(xiàn)在知道了問(wèn)題72和問(wèn)題81的共性或?qū)嵸|(zhì)了嗎？原來(lái)在對(duì)應(yīng)的觀點(diǎn)下，它們是完全一樣的把兩堆事物能不多不少地一一配對(duì)（對(duì)應(yīng)），那么這兩堆事物個(gè)數(shù)一樣多，我們把這叫對(duì)應(yīng)原理問(wèn)題82 圖8-3的兩個(gè)圖形中各含有多少個(gè)三角形？分析 由于這兩個(gè)圖中所有的三角形都共一個(gè)頂點(diǎn)，我們把每個(gè)三角形都與它們的底邊（線段）對(duì)應(yīng)那么由對(duì)應(yīng)原理，要計(jì)算圖中三角形的個(gè)數(shù)就只需要計(jì)算線段AB和AB上含線段的條數(shù)就行了（1）由于AB上有102個(gè)點(diǎn)，AB上有n個(gè)點(diǎn)，由上節(jié)的結(jié)論易知圖（1）、（2）中所含的三角形個(gè)數(shù)分別為規(guī)律 在PAB中，若從P點(diǎn)出發(fā)向底邊引n-2條線段（即包括邊PA、問(wèn)題82這么難，但是我們解決它卻那么容易你知道其間的奧妙嗎？原來(lái)，我們利用對(duì)應(yīng)原理把計(jì)算三角形個(gè)數(shù)的困難問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了計(jì)算線段條數(shù)的熟悉問(wèn)題，對(duì)應(yīng)原理在此起到了橋梁作用另外，在計(jì)算線段條數(shù)時(shí)，我們又直接用了上節(jié)“規(guī)律2”的結(jié)論，并沒有去計(jì)算由此可見，利用已學(xué)過(guò)的結(jié)論去解題，可省去思考的中間過(guò)程，從而使運(yùn)算速度加快如果你想提高解題速度，就請(qǐng)你多記些重要的結(jié)論問(wèn)題83 圖8-4的兩個(gè)圖形中各含有多少個(gè)三角形？分析 我們希望用上面的規(guī)律求解但圖（1）比較復(fù)雜，顯然需分類計(jì)算一個(gè)很自然的想法就是把圖（1）分解成如圖8-5的三個(gè)三角形這樣就可分別直接用上面規(guī)律的結(jié)論求解了由上規(guī)律知圖8-5（1）、（2）、（3）中含三角形分別有6、6、3個(gè)，則圖8-4（1）共含15個(gè)三角形這樣計(jì)算雖然結(jié)論正確，但方法是錯(cuò)誤的事實(shí)上在圖8-5中遺漏了原圖中的CD1B1和CD2B2，而ADC與ABC又分別在圖8-5中算了兩次，故圖8-5不能當(dāng)作圖8-4（1）的一個(gè)分類數(shù)復(fù)雜圖形中簡(jiǎn)單圖形個(gè)數(shù)的問(wèn)題中正確的分類方法是：先把圖形分割成幾個(gè)不相交的獨(dú)立圖形，分別計(jì)算各獨(dú)立圖中簡(jiǎn)單圖形的個(gè)數(shù)，然后再把這幾個(gè)獨(dú)立圖形合起來(lái)，再數(shù)一數(shù)由于合并圖形帶來(lái)的新簡(jiǎn)單圖形的個(gè)數(shù)，最后再把這幾個(gè)數(shù)加起來(lái)才完成了整個(gè)求解過(guò)程如本例中圖8-4（1）可先分為ADC和DCB，它們中各含6個(gè)和3個(gè)三角形，而合為ABC時(shí)又產(chǎn)生了ABB2等6個(gè)三角形，故共有6+6+3=15個(gè)三角形圖8-4（2）留給同學(xué)們自己去完成問(wèn)題84 數(shù)一數(shù)圖8-6中含多少個(gè)銳角？解法1 由于APB中射線有n-2條，而n是一個(gè)抽象的數(shù)，故先退下來(lái)：當(dāng)n=3時(shí)，如圖8-7（1）用分類的思想可知有2+1個(gè)角；當(dāng)n=4時(shí)，如圖8-7（2）同樣可知有3+2+1個(gè)角；由此可上升到n=n時(shí)，共有（n-1）+（n-2）+2+1個(gè)角以上我們用的是退的思想方法其實(shí)本題還可用分類的思想直接求解，而問(wèn)題82也可用退的思想方法去求解那么本題能不能用對(duì)應(yīng)法求解呢？如果能，就要找一些事物來(lái)與圖8-6中的角一一配對(duì)怎么去找這些事物呢？顯然圖中難以找到這樣的事物，因?yàn)閳D中只有射線，這些射線是不能與角一一配對(duì)的（事實(shí)上，若把角與它左邊的一條邊對(duì)應(yīng)，那么射線PA就會(huì)與APC1、APCS2、都對(duì)應(yīng)，這就不是一個(gè)對(duì)一個(gè)的對(duì)應(yīng)了）另一方面，前面剛學(xué)會(huì)了數(shù)線段和數(shù)三角形，加之從解法1的結(jié)果看，剛好與前面數(shù)線段、數(shù)三角形的結(jié)果相同，因此我們自然會(huì)想到去作一些線段或三角形與這些角一一配對(duì)解法2 我們?cè)谠瓐D中作一條直線l，與各射線相交于A，C1，C2，Cn-2，B（見圖8-8）考察PAB，它里面所含的所有三角形正好與所有的銳角一一對(duì)應(yīng)，故由對(duì)應(yīng)原理三角形數(shù)與銳角個(gè)數(shù)一樣多由問(wèn)題82的結(jié)論可知三不難驗(yàn)證，解法1、解法2的結(jié)果是相同的解法2是把角與三角形作一一對(duì)應(yīng)事實(shí)上還可以把它們與線段AB上所含的線段一一配對(duì)把問(wèn)題72、問(wèn)題82、84連起來(lái)看，線段數(shù)、三角形數(shù)與銳角數(shù)全都相同用對(duì)應(yīng)原理就可以理解這種巧合的必然性另外，本題中原來(lái)并沒有三角形或線段，是我們?yōu)榱私忸}的需要人為地作出來(lái)的作一種東西出來(lái)幫助解題的思想叫構(gòu)造思想問(wèn)題85 在圖8-9的兩個(gè)圖形中，各含多少個(gè)長(zhǎng)方形？分析 數(shù)四邊形個(gè)數(shù)的問(wèn)題與數(shù)線段條數(shù)的問(wèn)題，它們關(guān)系非常密切圖（1）中所有長(zhǎng)方形的寬都等于AB，所以以AB為寬的長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)故長(zhǎng)方形有10個(gè)圖（2）中，AB有幾條線段就相當(dāng)于有幾個(gè)不同的寬，再把 BC上不同的線段當(dāng)作長(zhǎng)一個(gè)寬配一個(gè)長(zhǎng)就得到一個(gè)長(zhǎng)方形由于AB上有3條線段（3個(gè)寬），BC上有10條線段（10個(gè)長(zhǎng)），故圖（2）中共有310=30個(gè)長(zhǎng)方形注意：由長(zhǎng)方形、正方形的意義可知，正方形一定是長(zhǎng)方形，但反之不然故求長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)時(shí)，不必把正方形分開考慮問(wèn)題86 算一算圖8-10中有多少個(gè)長(zhǎng)方形？在長(zhǎng)方形內(nèi)分別作n-1和m-1條平行并等于長(zhǎng)和寬的線段形成的圖形叫mn長(zhǎng)方格網(wǎng)問(wèn)題87 圖8-11中含有多少梯形？并請(qǐng)讀者自己總結(jié)數(shù)梯形網(wǎng)中含梯形個(gè)數(shù)的規(guī)律再把這一規(guī)律同數(shù)長(zhǎng)方形的規(guī)律比較，并思考、比較結(jié)果的必然性問(wèn)題88 圖8-12中，（1）有多少長(zhǎng)方形？（2）有多少正方形？解（1）因?yàn)閳D8-12是44長(zhǎng)方格網(wǎng)故由上規(guī)律有長(zhǎng)方形：（2）分析：數(shù)正方形和數(shù)長(zhǎng)方形是不相同的，因?yàn)檎叫我箝L(zhǎng)等于寬為了方便，不妨假定圖中每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1個(gè)長(zhǎng)度單位那么AB上有幾種長(zhǎng)度不同的線段就有幾個(gè)不同的豎邊長(zhǎng)，這點(diǎn)和長(zhǎng)方形是相同的但在AB上取一條作豎邊長(zhǎng)的線段，并不是BC邊上任一條線段作橫邊長(zhǎng)都能組成正方形的，而只有BC邊上的那些與所取的那條豎線段等長(zhǎng)的線段作橫邊長(zhǎng)時(shí)才能組成正方形（如取AB邊作豎邊長(zhǎng)時(shí)，只有取BC作橫邊長(zhǎng)才能構(gòu)成正方形）分類：（按豎邊的邊長(zhǎng)分）1類：當(dāng)豎邊長(zhǎng)為4個(gè)單位時(shí)（此時(shí)橫邊長(zhǎng)也為4個(gè)單位），因?yàn)锳B和BC上長(zhǎng)為4的線段各只有1條，故圖中含44的正方形有11=12（個(gè)）2類：當(dāng)豎邊長(zhǎng)為3個(gè)單位圖（1）時(shí)（此時(shí)橫邊長(zhǎng)也為3個(gè)單位），因?yàn)锳B和BC上長(zhǎng)為3的線段各有2條，故圖中含33的正方形有22=22（個(gè)）3類：當(dāng)豎邊長(zhǎng)為2個(gè)單位圖（2）時(shí)，仿上可得正方形有33=32（個(gè)）4類：當(dāng)豎邊長(zhǎng)為1個(gè)單位圖（3）時(shí)，同樣可得正方形有44=42（個(gè)）如果把一個(gè)小方格的面積稱作一個(gè)面積單位，那么圖8-12中正方形的面積只能為1、4、9、16四個(gè)數(shù)以上分類也可以看成按面積分類的問(wèn)題8.9 數(shù)一數(shù)，圖8-13中有多少個(gè)正方形？分析 我們完全可以像解問(wèn)題88一樣去分類計(jì)數(shù)，但由于連n的大小也不知道，很抽象，故我們用以退求進(jìn)的思想求解.當(dāng)n=2時(shí)，見圖8-14(1) 有22+12個(gè)；當(dāng)n=3時(shí)，見圖8-14(2)有32+22+12個(gè)；當(dāng)n=4時(shí)，見圖8-14(3) 有42+32+22+12個(gè)；當(dāng)n取n時(shí)，共有n2+(n-1)2+12個(gè).由nn個(gè)單位正方形合并成一個(gè)大正方形叫作一個(gè)nn方格網(wǎng).規(guī)律nn方格網(wǎng)中共含有n2+(n-1)2+12個(gè)正方形.*將來(lái)可以算得：為了訓(xùn)練同學(xué)們思維的周密性，在本節(jié)結(jié)束的時(shí)候，我們?cè)俪鲆坏老葳孱}.問(wèn)題8.10 一個(gè)方桌4個(gè)角，割掉了一個(gè)角還剩幾個(gè)角.