蘇教版必修3 3.3 幾何概型 學案.doc

觀察下面兩個試驗：(1)早上乘公交車去上學，公交車到站的時間可能是7：00至7：10分之間的任何一個時刻(2)“神七”返回大陸時著陸場為方圓200 km2的區(qū)域，而主著陸場為方圓120 km2的區(qū)域，飛船在著陸場的任何一個地方著陸的可能性是均等的問題1：上述兩個試驗中的基本事件的結果有多少個？提示：無限個問題2：每個試驗結果出現(xiàn)的可能機會均等嗎？提示：是均等的問題3：上述兩試驗屬古典概型嗎？提示：不屬于古典概型，因為試驗結果是無限個問題4：能否求兩試驗發(fā)生的概率？提示：可以求出1幾何概型的定義對于一個隨機試驗，將每個基本事件理解為從某個特定的幾何區(qū)域內隨機地取一點，該區(qū)域中每一點被取到的機會都一樣；而一個隨機事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內的某個指定區(qū)域中的點這里的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形等用這種方法處理隨機試驗，稱為幾何概型2幾何概型的計算公式在幾何區(qū)域d中隨機地取一點，記事件“該點落在其內部一個區(qū)域d內”為事件a，則事件a發(fā)生的概率p(a)這里要求d的測度不為0，其中“測度”的意義依d確定，當d分別是線段、平面圖形和立體圖形時，相應的“測度”分別是長度、面積和體積等1在幾何概型中，“等可能”應理解為對應于每個試驗結果的點落入某區(qū)域內可能性大小，僅與該區(qū)域的度量成正比，而與區(qū)域的位置、形狀無關2判斷一試驗是否是幾何概型的關鍵是看是否具備兩個特征：無限性和等可能性例1在等腰直角三角形abc中，在斜邊ab上任取一點m，求am的長大于ac的長的概率思路點撥在ab上截取acac，結合圖形分析適合條件的區(qū)域可求概率精解詳析設acbca，則aba，在ab上截取acac，于是p(amac)p(amac).即am的長大于ac的長的概率為.一點通在求解與長度有關的幾何概型時，首先找到幾何區(qū)域d，這時區(qū)域d可能是一條線段或幾條線段或曲線段，然后找到事件a發(fā)生對應的區(qū)域d，在找d的過程中確認邊界是問題的關鍵1在區(qū)間1，3上任取一數(shù)，則這個數(shù)大于等于1.5的概率為_解析：p0.75.答案：0.752已知函數(shù)f(x)log2x，x，2，在區(qū)間，2上任取一點x0，則使f(x0)0的概率為_解析：欲使f(x)log2x0，則x1，而x0，2，x01，2，從而由幾何概型概率公式知所求概率p.答案：例2(湖南高考改編)如圖，efgh是以o為圓心，半徑為1的圓的內接正方形將一顆豆子隨機地扔到該圓內， 用a表示事件“豆子落在正方形efgh內”，則p(a)_思路點撥可判斷為幾何概型，利用面積比求其概率精解詳析圓的半徑是1，則正方形的邊長是，故正方形efgh(區(qū)域d)的面積為()22.又圓(區(qū)域d)的面積為， 則由幾何概型的概率公式，得p(a).答案一點通解決此類問題的關鍵是：(1)根據(jù)題意確認是否是與面積有關的幾何概型問題；(2)找出或構造出隨機事件對應的幾何圖形利用圖形的幾何特征計算相關面積3射箭比賽的箭靶是涂有彩色的五個圓環(huán)，從外向內分別為白色、黑色、藍色、紅色，靶心是金色，金色靶心叫“黃心”，奧運會的比賽靶面直徑為122 cm, 靶心直徑為12.2 cm，運動員在70 m外射箭，假設每箭都能中靶，且射中靶面內任意一點是等可能的，那么射中黃心的概率為_解析：記“射中黃心”為事件b，由于中靶點隨機地落在面積為1222 cm2的大圓內，而當中靶點落在面積為12.22 cm2的黃心內時，事件b發(fā)生，所以事件b發(fā)生的概率p(b)0.01.答案：0.014如圖，平面上一長12 cm，寬10 cm的矩形abcd內有一半徑為1 cm的圓o(圓心o在矩形對角線交點處)把一枚半徑為1 cm的硬幣任意擲在矩形內(硬幣完全落在矩形內)，求硬幣不與圓o相碰的概率解：由題意可知：只有硬幣中心投在陰影部分(區(qū)域d)時才符合要求，所以不與圓相碰的概率為1.例3(12分)用橡皮泥做成一個直徑為6 cm的小球，假設橡皮泥中混入一個很小的砂粒，試求這個砂粒距離球心不小于1 cm的概率思路點撥先判斷概型為幾何概型后利用體積比計算概率精解詳析設“砂粒距離球心不小于1 cm”為事件a，球心為o，砂粒位置為m，則事件a發(fā)生，即om1 cm.(3分)設r3，r1，則區(qū)域d的體積為vr3，(5分)區(qū)域d的體積為v1r3r3.(7分)p(a)1()31.(10分)故砂粒距離球心不小于1 cm的概率為.(12分)一點通如果試驗的結果所成的區(qū)域可用體積來度量，我們要結合問題的背景，選擇好觀察角度，準確找出基本事件所占的總的體積及事件a所分布的體積其概率的計算p(a).5一只小蜜蜂在一個棱長為30的正方體玻璃容器內隨機飛行，若蜜蜂在飛行過程中與正方體玻璃容器6個表面中至少有一個的距離不大于10，則就有可能撞到玻璃上而不安全；若始終保持與正方體玻璃容器6個表面的距離均大于10，則飛行是安全的，假設蜜蜂在正方體玻璃容器內飛行到每一位置可能性相同，那么蜜蜂飛行是安全的概率是_解析：記“蜜蜂能夠安全飛行”為事件a，則它位于與正方體玻璃容器6個表面的距離均大于10的區(qū)域飛行時是安全的，故區(qū)域d為棱長為10的正方體，p(a).答案：6在正方體abcd-a1b1c1d1中，棱長為1，在正方體內隨機取點m，則使四棱錐m- abcd的體積小于的概率為_解析：設m到平面abcd的距離為h，則vm-abcds底abcdh，s底abcd1，h.只要點m到平面abcd的距離小于.所有滿足點m到平面abcd的距離小于的點組成以abcd為底面，高為h(h)的長方體，又正方體棱長為1.使棱錐m-abcd的體積小于的概率p.答案：利用幾何概型計算事件概率分以下幾步：(1)判斷是否為幾何概型，此步關鍵是把事件看成一次試驗，然后看試驗是否是等可能試驗，并且試驗次數(shù)是否是無限的. (2)計算基本事件與事件a所含的基本事件對應的區(qū)域的測度(長度、面積或體積)(3)利用概率公式計算課下能力提升(十七)一、填空題1在區(qū)間1，2上隨機取一個數(shù)x，則x0，1的概率為 _解析：1，2的長度為3，0，1的長度為1，所以概率是.答案：2如圖，半徑為10 cm的圓形紙板內有一個相同圓心的半徑為1 cm的小圓現(xiàn)將半徑為1 cm的一枚硬幣拋到此紙板上，使硬幣整體隨機落在紙板內，則硬幣落下后與小圓無公共點的概率為_解析：由題意，硬幣的中心應落在距圓心29 cm的圓環(huán)上，圓環(huán)的面積為922277 cm2，故所求概率為.答案：3.如圖所示，邊長為2的正方形中有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)域，在正方形中隨機撒一粒豆子，它落在陰影區(qū)域內的概率為，則陰影區(qū)域的面積為_解析：由幾何概型知，故s陰22.答案：4一只螞蟻在三邊邊長分別為3，4，5的三角形的邊上爬行，某時刻該螞蟻距離三角形的三個頂點的距離均超過1的概率為_解析：邊長為3，4，5三邊構成直角三角形，p.答案：5.如圖，在平面直角坐標系中，xot60，以o為端點任作一射線，則射線落在銳角xot內的概率是_解析：以o為起點作射線，設為oa，則射線oa落在任何位置都是等可能的，落在xot內的概率只與xot的大小有關，符合幾何概型的條件記“射線oa落在銳角xot內”為事件a，其幾何度量是60，全體基本事件的度量是360，由幾何概型概率計算公式，可得p(a).答案：二、解答題6點a為周長等于3的圓周上一個定點，若在該圓周上隨機取一點b，求劣弧的長度小于1的概率解：如圖，圓周上使的長度等于1的點m有兩個，設為m1，m2，則過a的圓弧的長度為2，b點落在優(yōu)弧上就能使劣弧的長度小于1，所以劣弧的長度小于1的概率為.7有一個底面半徑為1，高為2的圓柱，點o為底面圓的圓心，在這個圓柱內隨機取一點p，求點p到點o距離大于1的概率解：區(qū)域d的體積v1222，當p到點o的距離小于1時，點p落在以o為球心，1為半徑的半球內，所以滿足p到o距離大于1的點p所在區(qū)域d的體積為v1vv半球2.所求的概率為.8兩人約定在2000到2100之間相見，并且先到者必須等遲到者40分鐘方可離去，如果兩人出發(fā)是各自獨立的，在2000至2100各時刻相見的可能性是相等的，求兩人在約定時間相見的概率解：設兩人分別于x時和y時到達約