學(xué)而思寒假八年級(jí)尖子班講義第4講四邊形綜合.doc

數(shù)學(xué)故事戰(zhàn)國(guó)七雄的博弈秦國(guó)在商鞅變法之前，實(shí)力平平，在戰(zhàn)國(guó)初期，地理位置偏僻的秦國(guó)在戰(zhàn)國(guó)諸雄之中甚至處于墊底的位置，也就是個(gè)“小丙”。在戰(zhàn)國(guó)初期，七國(guó)中實(shí)力最強(qiáng)的國(guó)家是魏國(guó)，這是因?yàn)楫?dāng)時(shí)魏國(guó)有兩個(gè)牛人，文有李悝，武有吳起，兩人對(duì)國(guó)家進(jìn)行改革，使得魏國(guó)從諸侯中脫穎而出，稱霸一時(shí)。魏國(guó)與周圍國(guó)家的戰(zhàn)爭(zhēng)中不斷取勝，稱得上是七國(guó)中的“甲老大”。不過(guò)其它國(guó)家也不甘心于魏國(guó)一天天的牛叉哄哄的樣子，東邊的齊國(guó)就是其中一個(gè)，齊擁有田忌和孫臏（賽馬的那兩位）兩位大神，有一次，魏國(guó)去攻打趙國(guó)，齊國(guó)來(lái)了個(gè)“圍魏救趙”，給魏國(guó)了一個(gè)下馬威。后來(lái)魏國(guó)的龐涓和齊國(guó)的田忌、孫臏多次交手，在襄陵之戰(zhàn)中，魏國(guó)打敗齊國(guó)，但是后來(lái)的馬陵之戰(zhàn)中孫臏?zhǔn)褂糜?jì)謀讓龐涓中了埋伏，齊國(guó)取得決定性勝利。在這段歷史時(shí)期，作為魏國(guó)鄰居的秦國(guó)商鞅變法剛剛開始，國(guó)家實(shí)力依然較弱，不僅比不上最強(qiáng)大的魏國(guó)，恐怕也不敢跟魏國(guó)的對(duì)手齊國(guó)趙國(guó)等過(guò)叫板，在魏國(guó)與其它國(guó)家進(jìn)行戰(zhàn)爭(zhēng)的時(shí)候，起初秦國(guó)也想去分一杯羹，摻和摻和。但后來(lái)商鞅向秦王進(jìn)諫說(shuō)，現(xiàn)在秦還不夠強(qiáng)大，如果去幫魏國(guó)，魏國(guó)打贏了那些國(guó)家，回頭就會(huì)解決咱們；如果幫別的國(guó)家打魏國(guó)，那些國(guó)家打敗魏國(guó)之后恐怕也要順便解決了咱們。咱們最好還是誰(shuí)也不惹，韜光養(yǎng)晦，讓那些國(guó)家之間殘殺，坐山觀虎斗，時(shí)機(jī)成熟了再出手，于是秦王為了不得罪魏國(guó)，乖乖地尊魏國(guó)為王，同時(shí)也與其它國(guó)家和好。此時(shí)秦國(guó)作為丙，讓那些強(qiáng)大的甲和乙之間互相決斗，自己不出手，等待機(jī)會(huì)，正如丙作為輪流射擊的三個(gè)火槍手中的第一個(gè)的情況。待到后來(lái)，馬陵之戰(zhàn)后，魏國(guó)實(shí)力下降，而經(jīng)過(guò)多年的發(fā)展，秦國(guó)實(shí)力逐漸上升，如果魏國(guó)還是甲的話，秦國(guó)至少已經(jīng)是乙了，此時(shí)坐在旁邊看已經(jīng)不是最佳策略，這是正趕上齊國(guó)、趙國(guó)的聯(lián)軍進(jìn)攻魏國(guó)，秦軍也加入進(jìn)去，魏國(guó)被打的滿地找牙，秦國(guó)也從魏國(guó)那里獲得了不少好處。再后來(lái)，秦國(guó)實(shí)力進(jìn)一步增強(qiáng)，已經(jīng)成了戰(zhàn)國(guó)七雄中的老大，稱得上“甲”了，可是魏國(guó)越來(lái)越衰，從當(dāng)年的霸主踏入了第三世界，淪落成了“小丙”。在甲乙丙的博弈中，乙和丙常常會(huì)同時(shí)把槍口對(duì)準(zhǔn)了甲，對(duì)于甲來(lái)說(shuō)，如果能把丙拉到自己一邊將會(huì)很有利。于是秦國(guó)對(duì)待魏國(guó)的態(tài)度再次發(fā)生了轉(zhuǎn)變，這是秦國(guó)的主要對(duì)手“乙”是齊國(guó)、楚國(guó)那些國(guó)家，魏國(guó)已經(jīng)不再舉足輕重，所以秦國(guó)主要不再攻打魏國(guó)，而是拉攏魏國(guó)作為自己的同盟，一起攻打其它國(guó)家。在戰(zhàn)國(guó)后期，其它六國(guó)聯(lián)合到一起進(jìn)攻秦國(guó)成為“合縱”，秦國(guó)把六國(guó)中較弱的國(guó)家拉攏過(guò)來(lái)，拆散聯(lián)盟成為“連橫”，最終“合縱”一直被“連橫”破壞，秦國(guó)得以逐一把六國(guó)滅掉。在戰(zhàn)國(guó)七雄稱霸中，秦國(guó)最后能夠滅六國(guó)統(tǒng)一中原除了依靠實(shí)力以外，在甲乙丙不同的實(shí)力對(duì)比階段，采取了正確的博弈策略也是制勝法寶之一。4 四邊形綜合知識(shí)目標(biāo)目標(biāo)一 掌握四種特殊四邊形的性質(zhì)之間的聯(lián)系和區(qū)別目標(biāo)二 掌握四種特殊四邊形的判定之間的聯(lián)系和區(qū)別目標(biāo)三 綜合應(yīng)用特殊四邊形的性質(zhì)和判定知識(shí)導(dǎo)航四邊形知識(shí)結(jié)構(gòu)圖四邊形平行四邊形正方形菱形矩形一個(gè)角是直角兩組對(duì)邊矩形分別平行四邊形平行四邊形一組鄰邊相等菱形一組鄰邊相等正方形一個(gè)角是直角題型一 特殊四邊形的判定綜合例1如圖，在四邊形ABCD中，E、F分別為對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，且BE=DF。（1） 若四邊形AECF是平行四邊形，求證：四邊形ABCD是平行四邊形；（2） 若四邊形AECF是菱形，則四邊形ABCD是菱形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3） 若四邊形AECF是矩形，則四邊形ABCD是矩形嗎？不必寫出理由。練如圖，ABC中，AB=AC，AD是BAC的角平分線，點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，連接DO并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使OE=OD，連接AE、BE。（1） 求證：四邊形AEBD是矩形；（2） 當(dāng)ABC滿足什么條件時(shí)，矩形AEBD是正方形，并說(shuō)明理由。題型二 折疊問(wèn)題例2一張矩形ABCD的紙片，按如圖操作：將ABE沿BE翻折，使點(diǎn)A落在對(duì)角線BD上的M點(diǎn)，將CDF沿DF翻折，使點(diǎn)C落在對(duì)角線BD上的N點(diǎn)。（1） 求證：四邊形BFDE是平行四邊形；（2） 若四邊形BFDE是菱形，AB=2，求菱形BFDE的面積。練如圖，在矩形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，將ABE沿AE折疊后得到AFE，點(diǎn)F在矩形ABCD內(nèi)部，延長(zhǎng)AF交CD于點(diǎn)G。（1） 猜想線段GF與GC有何數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；（2） 若AB=3，AD=4，求線段GC的長(zhǎng)。例3如圖，將一張矩形紙片ABCD沿直線MN折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)A處，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，直線MN交BC于點(diǎn)M，交AD于點(diǎn)N，連接CN。（1） 如圖1，求證：CM=CN；（2） 如圖1，若CMN的面積與CDN的面積比為3:1，求的值；（3） 如圖2，已知點(diǎn)P、Q、T分別是CM、CN、MN上的動(dòng)點(diǎn)，若AN=3，BM=1，試直接寫出PT+QT的最小值_。練如圖所示，現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)為4的正方形紙片ABCD，點(diǎn)P為正方形AD邊上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、點(diǎn)D重合）將正方形紙片折疊，使點(diǎn)B落在P處，點(diǎn)C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP、BH。（1） 求證：APB=BPH；（2） 當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上移動(dòng)時(shí)，PDH的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論；（3） 若AP=1，求四邊形EFGP的面積。 備用圖拓如圖所示，矩形ABCD中，AB=4，BC=，點(diǎn)E是折線段ADC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，（點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合），點(diǎn)P是點(diǎn)A關(guān)于BE的對(duì)稱點(diǎn)。使PCB為等腰三角形的點(diǎn)E的位置共有_個(gè)。題型三 四邊形綜合問(wèn)題例4已知等腰RtABC，以BC為邊作BCEH，連AE，以AE為斜邊再作等腰RtADE，連DC、HC。（1）如圖1，當(dāng)四邊形BCEH為矩形時(shí)，CH與CD之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明；（2）如圖2，當(dāng)四邊形BCEH為BCEH時(shí)，試探究CH與CD之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）如圖3，若DC與AE交于P點(diǎn)，與AB交于Q點(diǎn)，當(dāng)圖形變換過(guò)程中，AEC是否可以為等邊三角形，若可以，則 (直接寫出答案) 圖1 圖2 圖3練在ABCD中，ADC的平分線交直線BC于點(diǎn)E、交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接AC。（1）如圖1，若ADC=90，G是EF的中點(diǎn)，連接AG、CG；求證：BE=BF請(qǐng)判斷AGC的形狀，并說(shuō)明理由；（2）如圖2，若ADC=60，將線段FB繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60至FG，連接AG、CG。那么AGC又是怎樣的形狀。（直接寫出結(jié)論不必證明） 圖1 圖2例5（1）如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DF=BE，求證：CE=CF；（2）如圖2，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，G是AD上一點(diǎn)，如果GCE=45，請(qǐng)你利用（1）的結(jié)論證明：GE=BE+GD;（3）運(yùn)用（1）（2）解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，完成下題：如圖3，在直角梯形ABCD中，ADBC（BCAD），B=90，AB=BC，E是AB上一點(diǎn)，且DCE=45，AD=6，DE=10，直接寫出直角梯形ABCD的面積。 圖1 圖2 圖3練如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，M、N分別為射線CB和射線DC上的點(diǎn)。（1）如圖1，M、N分別為射線CB和射線DC上的點(diǎn)，MAN=45，延長(zhǎng)CD到E，使DE=BM，連接AE，則ABMADE(SAS)，請(qǐng)證明：NAENAM；（2）如圖2，若DN=BM+MN，求證：MAN=45；（3）在（2）的條件下，若C為DN的中點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出MN的長(zhǎng)為 。 圖1 圖2例6如圖1，已知ABCD，AB=CD, A=D.（1）求證:四邊形ABCD為矩形；（2）E是AB邊的中點(diǎn)，F(xiàn)為AD邊上一點(diǎn)，DFC=2BCE;如圖2，若F為AD的中點(diǎn)，DF=1.6，求CF的長(zhǎng)度；如圖3，若CE=4，CF=5，則AF+BC= ，AF= . 圖1 圖2 圖3練四邊形ABCD為矩形，G是BC上的任意一點(diǎn)，DEAG于點(diǎn)E.（1）如圖1，若AB=BC，BFDE，且交AG于點(diǎn)F，求證：AF-BF=EF;（2）如圖2，在（1）條件下，,求;（3）如圖3，連EC，若CG=CD，DE=2，GE=1，則CE= .（直接寫出結(jié)果） 圖1 圖2 圖3例7如圖1，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6cm,點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線AB方向以1cm/秒的速度移動(dòng)，點(diǎn)E從點(diǎn)D出發(fā)，向點(diǎn)A以1cm/秒的速度移動(dòng)（不到點(diǎn)A）.設(shè)點(diǎn)E、F同時(shí)出發(fā)移動(dòng)t秒.（1）在點(diǎn)E、F移動(dòng)過(guò)程中，連接CE、CF、EF，則CEG的形狀是 ，始終保持不變；（2）如圖2，連接EF，設(shè)EF交BD于點(diǎn)M，當(dāng)t=2時(shí)，求AM的長(zhǎng)；（3）如圖3，點(diǎn)G、H分別在邊AB、CD上，且cm,連接EF，當(dāng)EF與GH的夾角為45，求t的值.例8如圖1，點(diǎn)E為正方形ABCD的邊AB上一點(diǎn)，EFEC，且EF=EC，連接AF.（1）求EAF的度數(shù)；（2）如圖2，連接FC交BD于M，交AD于N；求證：；若，AN=12，則MD的長(zhǎng)為 . 圖1 圖2第4講 課后作業(yè)1、 如圖，ABC的中線BD、CE相交于點(diǎn)O，F(xiàn)、G分別為OB、OC的中點(diǎn)。（1） 求證：EG和FD互相平分；（2） 當(dāng)圖中的線段OA滿足什么條件時(shí)，四邊形DEFG是菱形，并說(shuō)明理由。2、 如圖，四邊形ABCD是一張矩形紙片，AB=6，AD=8，在AB上取一點(diǎn)E，將紙片沿DE翻折，使點(diǎn)A落在BD上的點(diǎn)F處，求AE的長(zhǎng)。3、 以四邊形ABCD的邊AB、AD為邊分別向外側(cè)作等邊ABF和等邊ADE，連接EB、FD，交點(diǎn)為G。（1） 當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)（如圖1），EB和FD的數(shù)量關(guān)系是_;（2） 當(dāng)四邊形ABCD為矩形時(shí)（如圖2），EB和FD具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明；（3） 四邊形ABCD由正方形到矩形到一般平四邊形變化過(guò)程中，EGD是否發(fā)生變化？如果改變，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不變，請(qǐng)?jiān)趫D3中求出EGD的度數(shù)。 圖1 圖2 圖34、 如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)P是邊BC上一點(diǎn)，PHBC交BD于點(diǎn)H，連接AP交BD于點(diǎn)E，點(diǎn)F為DH中點(diǎn)，PF交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，連接AF。（1） 求證：PHFMDF；（2） 當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PAF的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出PAF的值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由。5、 如圖，矩形ABCD中，E是AD中點(diǎn)，將