2018-2019學年天津市六校（靜海一中、寶坻一中、楊村一中等）高二下學期期末考試數(shù)學試題（解析版）

2018-2019學年天津市六校（靜海一中、寶坻一中、楊村一中等）高二下學期期末考試數(shù)學試題一、單選題1已知集合，則（ ）ABCD【答案】D【解析】先化簡集合，再由交集的概念，即可得出結果.【詳解】因為，所以.故選：D.【點睛】本題主要考查求集合的交集，熟記交集的概念即可，屬于基礎題型.2給出下列說法：（1）命題“，”的否定形式是“，”；（2）已知，則；（3）已知回歸直線的斜率的估計值是2，樣本點的中心為，則回歸直線方程為；（4）對分類變量與的隨機變量的觀測值來說，越小，判斷“與有關系”的把握越大；（5）若將一組樣本數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上同一個常數(shù)后，則樣本的方差不變.其中正確說法的個數(shù)為（ ）A2B3C4D5【答案】B【解析】根據(jù)含有一個量詞的命題的否定，直接判斷（1）錯；根據(jù)正態(tài)分布的特征，直接判斷（2）對；根據(jù)線性回歸方程的特點，判斷（3）正確；根據(jù)獨立性檢驗的基本思想，可判斷（4）錯；根據(jù)方差的特征，可判斷(5)正確.【詳解】（1）命題“，”的否定形式是“，”，故（1）錯；（2）因為，即服從正態(tài)分布，均值為，所以；故（2）正確；（3）因為回歸直線必過樣本中心，又已知回歸直線的斜率的估計值是2，樣本點的中心為，所以，即所求回歸直線方程為：；故（3）正確；（4）對分類變量與的隨機變量的觀測值來說，越小，判斷“與有關系”的把握越大；故（4）錯；（5）若將一組樣本數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上同一個常數(shù)后，方差不變.故（5）錯.故選：B.【點睛】本題主要考查命題真假的判定，熟記相關知識點即可，屬于基礎題型.3設是公比為的等比數(shù)列，則“對任意成立”是“”的（ ）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件【答案】D【解析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，由充分條件與必要條件的概念，即可判斷出結果.【詳解】因為是公比為的等比數(shù)列，若對任意成立，則對任意成立，若，則；若，則；所以由“對任意成立”不能推出“”；若，則，即；所以由“”不能推出“對任意成立”；因此，“對任意成立”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.【點睛】本題主要考查既不充分也不必要條件的判斷，熟記概念即可，屬于基礎題型.4在的二項展開式中，二項式系數(shù)的最大值為，含項的系數(shù)為，則（ ）ABCD【答案】B【解析】由題意，先寫出二項展開式的通項，由此得出二項式系數(shù)的最大值，以及含項的系數(shù)，進而可求出結果.【詳解】因為的二項展開式的通項為：，因此二項式系數(shù)的最大值為：，令得，所以，含項的系數(shù)為，因此.故選：B.【點睛】本題主要考查求二項式系數(shù)的最大值，以及求指定項的系數(shù)，熟記二項式定理即可，屬于?？碱}型.5已知定義在R上的偶函數(shù)（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），記，則a，b，c的大小關系是（ ）ABCD【答案】A【解析】先根據(jù)函數(shù)奇偶性，求出，得到，再由指數(shù)函數(shù)單調性，以及余弦函數(shù)單調性，得到在上單調遞增，進而可得出結果.【詳解】因為是定義在R上的偶函數(shù)，所以，即，即，所以，解得：，所以，當時，因為是單調遞增函數(shù)，在上單調遞減，所以在上單調遞增，又，所以，即.故選：A.【點睛】本題主要考查由函數(shù)單調比較大小，由函數(shù)奇偶性求參數(shù)，熟記函數(shù)單調性與奇偶性即可，屬于?？碱}型.6某大型聯(lián)歡會準備從含甲、乙的6個節(jié)目中選取4個進行演出，要求甲、乙2個節(jié)目中至少有一個參加，且若甲、乙同時參加，則他們演出順序不能相鄰，那么不同的演出順序的種數(shù)為（ ）A720B520C600D264【答案】D【解析】根據(jù)題意，分別討論：甲、乙兩節(jié)目只有一個參加，甲、乙兩節(jié)目都參加，兩種情況，分別計算，再求和，即可得出結果.【詳解】若甲、乙兩節(jié)目只有一個參加，則演出順序的種數(shù)為：，若甲、乙兩節(jié)目都參加，則演出順序的種數(shù)為：；因此不同的演出順序的種數(shù)為.故選：D.【點睛】本題主要考查有限制的排列問題，以及計數(shù)原理的簡單應用，熟記計數(shù)原理的概念，以及有限制的排列問題的計算方法即可，屬于?？碱}型.7函數(shù)的所有零點的積為m，則有（）ABCD【答案】B【解析】作函數(shù)y=e-x與y=|log2x|的圖象，設兩個交點的坐標為（x1，y1），（x2，y2）（不妨設x1x2），得到0x11x22，運用對數(shù)的運算性質可得m的范圍【詳解】令f（x）=0，即e-x=|log2x|，作函數(shù)y=e-x與y=|log2x|的圖象，設兩個交點的坐標為（x1，y1），（x2，y2）（不妨設x1x2），結合圖象可知，0x11x22，即有e-x1=-log2x1，e-x2=log2x2，由-x1-x2，-可得log2x2+log2x10，即有0x1x21，即m（0，1）故選：B【點睛】本題考查指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象，以及轉化思想和數(shù)形結合的思想應用，屬于中檔題8已知關于的方程，若對任意的，該方程總存在唯一的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD【答案】B【解析】 由成立，得， 設，則 則時，函數(shù)單調遞減；時，函數(shù)單調遞增； 且， 使得對于任意，對任意的，方程存在唯一的解， 則，即，即， 所以，所以實數(shù)得取值范圍是，故選B 點睛：本題主要考查了導數(shù)在函數(shù)中的綜合應用問題，其中解得中涉及到利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，利用導數(shù)研究函數(shù)的最值和函數(shù)與方程等知識點的綜合應用，試題有一定的難度，屬于難題，解答中把方程存在唯一的解轉化為函數(shù)的最值問題是解答的關鍵二、填空題9若隨機變量的分布列如表所示，則_.01Pa【答案】【解析】先由分布列，根據(jù)概率的性質求出，再求出期望，根據(jù)方差的計算公式，即可得出結果.【詳解】由分布列可得：，解得，所以，因此，所以.故答案為：.【點睛】本題主要考查求離散型隨機變量的方差，熟記計算公式即可，屬于?？碱}型.10己知冪函數(shù)在上單調遞減，則_.【答案】2【解析】先由冪函數(shù)的定義，得到，求出，再由題意，根據(jù)冪函數(shù)的單調性，即可得出結果.【詳解】因為為冪函數(shù)，所以或，又在上單調遞減，由冪函數(shù)的性質，可得：，解得：，所以.故答案為：.【點睛】本題主要考查由冪函數(shù)單調性求參數(shù)，熟記冪函數(shù)的定義，以及冪函數(shù)的單調性即可，屬于?？碱}型.11正項等差數(shù)列中的，是函數(shù)的極值點，則_.【答案】4【解析】先對函數(shù)求導，得到，根據(jù)題意，得到，根據(jù)等差數(shù)列性質，得到，進而可求出結果.【詳解】因為，所以，又，是函數(shù)的極值點，所以，是方程的兩實根，因此，因為數(shù)列是正項等差數(shù)列，所以，解得，因此.故答案為：.【點睛】本題主要考查由函數(shù)極值點求參數(shù)，以及等差數(shù)列的性質，熟記函數(shù)極值點的定義，以及等差數(shù)列的性質即可，屬于常考題型.12甲、乙兩名運動員進行乒乓球單打比賽，根據(jù)以往比賽的勝負情況知道，每一局甲勝的概率為，乙勝的概率為如果比賽采用“五局三勝”制，求甲以獲勝的概率_【答案】【解析】利用二項分布可求甲以獲勝的概率.【詳解】設“甲班以3:1”獲勝為事件.若甲班以3:1獲勝，則前3局甲班恰好勝2局，然后第4局勝所以，.故答案為:.【點睛】本題考查古典概型的概率的計算，注意利用常見的分布（如二項分布、超幾何分布等）來幫助計算概率，本題為基礎題.13若函數(shù)有最小值，則的取值范圍是_【答案】【解析】分和兩種情況討論，根據(jù)外層函數(shù)的單調性、內層函數(shù)的最值以及真數(shù)恒大于零可得出關于實數(shù)的不等式組，由此可解出實數(shù)的取值范圍.【詳解】當時，外層函數(shù)為減函數(shù)，對于內層函數(shù)，則對任意的實數(shù)恒成立，由于二次函數(shù)有最小值，此時函數(shù)沒有最小值；當時，外層函數(shù)為增函數(shù)，對于內層函數(shù)，函數(shù)有最小值，若使得函數(shù)有最小值，則，解得.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點睛】本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查對數(shù)函數(shù)的性質等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題14已知函數(shù)，若方程有四個不相等的實根，則實數(shù)的取值范圍是_.【答案】【解析】先由題意，得顯然不是方程的根；當時，原方程可化為，令，用導數(shù)的方法研究函數(shù)的單調性，極值，確定函數(shù)的大致形狀，原方程有四個根，即等價于的圖象與直線有四個不同的交點，結合圖象，即可求出結果.【詳解】當，顯然不成立；當時，由得，令，即，則，方程有四個不相等的實根等價于的圖象與有四個不同的交點，當時，則，由得，由得，所以函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，因此，函數(shù)的極小值為；當時，則，由得；由得；所以在上單調遞減，在上單調遞增，因此函數(shù)的極大值為.畫出函數(shù)的大致圖象如下：由圖象可得，只需.故答案為：.【點睛】本題主要考查由函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)的問題，熟記分段函數(shù)的性質，導數(shù)的方法判斷函數(shù)的單調性，求函數(shù)的極值等，靈活運用數(shù)形結合的方法求解即可，屬于?？碱}型.三、解答題15英語老師要求學生從星期一到星期四每天學習3個英語單詞：每周五對一周內所學單詞隨機抽取若干個進行檢測（一周所學的單詞每個被抽到的可能性相同）（1）英語老師隨機抽了個單詞進行檢測，求至少有個是后兩天學習過的單詞的概率；（2）某學生對后兩天所學過的單詞每個能默寫對的概率為，對前兩天所學過的單詞每個能默寫對的概率為，若老師從后三天所學單詞中各抽取一個進行檢測，求該學生能默寫對的單詞的個數(shù)的分布列和期望【答案】（1）；（2）.【解析】（I）根據(jù)古典概型概率公式求解，（）先確定隨機變量，再分別求對應概率，列表得分布列，最后根據(jù)數(shù)學期望公式得結果.【詳解】（）設英語老師抽到的4個單詞中，至少含有個后兩天學過的事件為，則由題意可得（）由題意可得可取0，1，2，3，則有 ， 所以的分布列為：0123故.【點睛】求解離散型隨機變量的數(shù)學期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機變量的所有可能取值，以及取每個值所表示的意義；第二步是“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式(常見的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率和公式、獨立事件的概率積公式，以及對立事件的概率公式等)，求出隨機變量取每個值時的概率；第三步是“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確；第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機變量的數(shù)學期望的定義求.16已知數(shù)列滿足（且），且，設，數(shù)列滿足.（1）求證：是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.【答案】（1）證明見解析，；（2）.【解析】（1）根據(jù)，構造，即可證明是等比數(shù)列，進而可求出通項公式；（2）根據(jù)（1）的結果，求出，得到，再由錯位相減法，即可得出結果.【詳解】（1），是等比數(shù)列，其中首項是，公比為.，即.（2）（），由（1）知，（），兩式相減得，.【點睛】本題主要考查由遞推關系證明等比數(shù)列，求數(shù)列通項公式，以及數(shù)列的求和，熟記等比數(shù)列的定義，等比數(shù)列的通項公式，以及錯位相減法求數(shù)列的和即可，屬于?？碱}型.17為發(fā)展業(yè)務，某調研組對，兩個公司的產品需求量進行調研，準備從國內個人口超過萬的超大城市和（）個人口低于萬的小城市隨機抽取若干個進行統(tǒng)計，若一次抽取個城市，全是小城市的概率為.（1）求的值；（2）若一次抽取個城市，則：假設取出小城市的個數(shù)為，求的分布列和期望；若取出的個城市是同一類城市，求全為超大城市的概率.【答案】（1）8；（2）分布列見解析，；.【解析】（1）先由題意，得到共個城市，取出2個的方法總數(shù)是，其中全是小城市的情況有，由題中數(shù)據(jù)，得到，求解，即可得出結果；（2）先由題意，得到的可能取值為，求出對應的概率，進而可求出分布列，得出數(shù)學期望；分別求出四個城市全是超大城市，以及四個城市全是小城市的情況，進而可求出對應的概率.【詳解】（1）由題意，共個城市，取出2個的方法總數(shù)是，其中全是小城市的情況有種，故全是小城市的概率是，整理得，即，解得；（2）由題意可知的可能取值為，.；.故的分布列為X01234P.若4個城市全是超大城市，共有種情況；若4個城市全是小城市，共有種情況；故全為超大城市的概率為.【點睛】本題主要考查簡單隨機抽樣的概率，離散型隨機變量的分布列與期望，以及古典概型的概率，熟記對應的概念及公式即可，屬于?？碱}型.18已知函數(shù)（）.（1）若，求曲線在點處的切線方程.（2）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間.（3）設函數(shù)若對于任意，都有成立，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）；（2）當時，增區(qū)間為，減區(qū)間為；當時，的增區(qū)間為無減區(qū)間；（3）.【解析】（1）先由題意，得到，對其求導，得到對應的切線斜率，進而可得出所求切線方程；（2）先對函數(shù)求導，得到，分別討論，和，解對應的不等式，即可得出結果；（3）先根據(jù)題意，得到在上恒成立，滿足不等式，只需在上恒成立，令，對其求導，求出的最大值，即可得出結果.【詳解】（1）若，則（），又（），所以，在處切線方程為.（2）令，即，解出或.當（即時），由得或，由得，增區(qū)間為，減區(qū)間為.當，即時，在上恒成立，的增區(qū)間為，無減區(qū)間.綜上，時，增區(qū)間為，減區(qū)間為，時，增區(qū)間為，無減區(qū)間.（3），有恒成立，則在上恒成立，當時，即滿足不等式；即在上恒成立，令，由題意，只需當時，即可，因為，當時，顯然恒成立，所以在上單調遞增，.，.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題主要考查求曲線在某點處的切線方程，求函數(shù)的單調區(qū)間，以及導數(shù)的方法研究不等式恒成立的問題，熟記導數(shù)的幾何意義，以及導數(shù)的方法研究函數(shù)的單調性，最值等，屬于?？碱}型.19已知數(shù)列的前項和為.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設為數(shù)列的前項和，其中，求；（3）若存在，使得成立，求出實數(shù)的取值范圍【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）根據(jù)與之間關系，由題中條件，即可求