2018-2019學(xué)年重慶市康德卷高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）VIP

2018-2019學(xué)年重慶市康德卷高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1直線(xiàn)的傾斜角為（ ）A30B60C120D150【答案】C【解析】由直線(xiàn)的一般式方程得到直線(xiàn)的斜率，再由求解傾斜角.【詳解】直線(xiàn)的斜率，.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了直線(xiàn)的一般式方程、直線(xiàn)的斜率和直線(xiàn)的傾斜角的關(guān)系，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化，運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.2在一個(gè)命題和它的逆命題，否命題，逆否命題這四個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)不可能是（ ）A0B2C3D4【答案】C【解析】根據(jù)四種命題間的關(guān)系，可得出答案.【詳解】在一個(gè)命題和它的逆命題，否命題，逆否命題這四個(gè)命題中，互為逆否命題的命題有2對(duì)，根據(jù)互為逆否命題的兩個(gè)命題真假性相同，這四個(gè)命題中真命個(gè)數(shù)可以為0、2或4.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查四種命題間的關(guān)系，考查學(xué)生的推理能力，屬于基礎(chǔ)題.3命題“，”的否定是（ ）A，B，C，D，【答案】C【解析】根據(jù)全稱(chēng)命題的否定為特稱(chēng)命題，寫(xiě)出答案即可.【詳解】命題“，”的否定是，.故選：C.【點(diǎn)睛】全程命題：，它的否定：，.4已知空間中的三條直線(xiàn)，滿(mǎn)足且，則直線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系是（ ）A平行B相交C異面D平行或相交或異面【答案】D【解析】畫(huà)出圖形，在直三棱柱中，列舉對(duì)應(yīng)情況，可得出結(jié)論.【詳解】如圖，直三棱柱中，側(cè)棱底面，異面，所以，空間中的三條直線(xiàn)，滿(mǎn)足且，則直線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系是平行或相交或異面.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查空間中直線(xiàn)的位置關(guān)系，考查學(xué)生的空間想象能力與推理能力，屬于基礎(chǔ)題.5若圓的半徑為，則實(shí)數(shù)（ ）AB-1C1D【答案】B【解析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求出半徑的表達(dá)式，從而可求出的值.【詳解】由題意，圓的方程可化為，所以半徑為，解得.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查圓的方程，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.6已知直線(xiàn)與平面，則下列說(shuō)法正確的是（ ）A若，則B若，則C若，則D若，則【答案】D【解析】結(jié)合空間中點(diǎn)、線(xiàn)、面的位置關(guān)系，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)分析，即可選出答案.【詳解】A、B選項(xiàng)中，直線(xiàn)都可以在平面內(nèi)，故錯(cuò)誤；C選項(xiàng)中，內(nèi)要有兩條相交直線(xiàn)均與平行，才有，故錯(cuò)誤；D選項(xiàng)中，內(nèi)有一條直線(xiàn)與垂直，則.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)、線(xiàn)、面的位置關(guān)系，考查學(xué)生的空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.7已知某幾何體的三視圖如圖所示，其正視圖與側(cè)視圖都是邊長(zhǎng)為1的正三角形，俯視圖為正方形，則該幾何體的表面積是（ ）A1B2CD3【答案】D【解析】根據(jù)三視圖畫(huà)出直觀(guān)圖，進(jìn)而求出該幾何體的表面積即可.【詳解】該幾何體的直觀(guān)圖為如圖所示的正四棱錐，且，其中于，故表面積為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖，考查幾何體表面積的求法，考查學(xué)生的空間想象能力與計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.8已知某圓柱形容器的軸截面是邊長(zhǎng)為2的正方形，容器中裝滿(mǎn)液體，現(xiàn)向此容器中放入一個(gè)實(shí)心小球，使得小球完全被液體淹沒(méi)，則此時(shí)容器中所余液體的最小容量為（ ）ABCD【答案】B【解析】小球恰好與圓柱側(cè)面和底面同時(shí)相切時(shí)，容器中所余液體最小，求出圓柱的體積及小球的體積，相減可求出答案.【詳解】圓柱的軸截面是邊長(zhǎng)為2的正方形，可知圓柱底面半徑為1，母線(xiàn)長(zhǎng)為2，故圓柱體積為，當(dāng)小球與圓柱的側(cè)面、上下底面都相切時(shí)所余液體容量最小，此時(shí)，小球的體積為，所余液體容量為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查圓柱的性質(zhì)，考查圓柱的內(nèi)切球問(wèn)題，考查學(xué)生的空間想象能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.9條件甲：關(guān)于的不等式的解集為空集，條件乙：，則甲是乙的（ ）A必要不充分條件B充分不必要條件C充要條件D既不充分也不必要條件【答案】A【解析】分別求出條件甲、乙所對(duì)應(yīng)的的關(guān)系式，比較兩個(gè)關(guān)系式所表示的圖形，可得出結(jié)論.【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為空集，當(dāng)不都為0時(shí)，.因?yàn)榈慕饧癁榭占?，所以，?如下圖，表示以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓及其內(nèi)部，表示為圓內(nèi)接正方形及其內(nèi)部，所以甲是乙的必要不充分條件.故答案為：A.【點(diǎn)睛】本題考查充分性與必要性的判斷，考查三角函數(shù)的恒等變換，考查不等式表示的平面區(qū)域，考查學(xué)生的計(jì)算能力與推理能力，屬于中檔題.10已知橢圓：的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)，為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的周長(zhǎng)的最小值為（ ）A3B4C7D10【答案】B【解析】計(jì)算可得，可知的周長(zhǎng)為，結(jié)合，可求得周長(zhǎng)的最小值.【詳解】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓內(nèi)，點(diǎn)，且，的周長(zhǎng)為，當(dāng)且僅當(dāng)位于射線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，所以周長(zhǎng)的最小值為4.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的性質(zhì)，考查三角形周長(zhǎng)，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于中檔題.11橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為，拋物線(xiàn)以為焦點(diǎn)，且橢圓與拋物線(xiàn)在第一象限交于點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為（ ）ABCD【答案】B【解析】拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與軸交點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)向直線(xiàn)作垂線(xiàn)，垂足為，設(shè)，可得，從而可表示的坐標(biāo)，分別代入拋物線(xiàn)及橢圓方程，可得到的關(guān)系式，進(jìn)而可求出離心率.【詳解】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則拋物線(xiàn)方程為，拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與軸交點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)向直線(xiàn)作垂線(xiàn)，垂足為，設(shè)，由拋物線(xiàn)的定義知，因?yàn)椋裕瑒t，代入拋物線(xiàn)方程得，整理得，即，故，又點(diǎn)在橢圓上，則，整理得，即，所以，又，解得.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查離心率的求法，考查橢圓與拋物線(xiàn)的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于中檔題.12斜棱柱中，分別為棱，的中點(diǎn)，過(guò)，三點(diǎn)的平面將三棱柱分為兩部分，則這兩部分體積之比為（ ）ABCD【答案】C【解析】在上取靠近的四等分點(diǎn)，連接，易知，則梯形為截面，設(shè)斜棱柱的體積為，分別求出截得的兩部分的體積，即可求出答案.【詳解】在上取靠近的四等分點(diǎn)，連接，易知，故梯形為截面，設(shè)斜棱柱的體積為，則，又，故，故，兩部分的體積比為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查空間幾何體的體積，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力和空間想象能力，屬于中檔題.二、填空題13過(guò)原點(diǎn)且與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)方程是_.【答案】【解析】根據(jù)平行直線(xiàn)的性質(zhì)，可設(shè)出所求直線(xiàn)方程，進(jìn)而將代入，可求出該直線(xiàn)方程.【詳解】設(shè)與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)方程為，將代入，得，即所求直線(xiàn)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)方程，考查平行直線(xiàn)的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.14已知三棱錐中，兩兩相互垂直，且，則三棱錐外接球的表面積為_(kāi).【答案】【解析】由，兩兩垂直，可將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，此長(zhǎng)方體的外接球即為三棱錐的外接球，體對(duì)角線(xiàn)即為外接球的直徑，求解即可.【詳解】由，兩兩垂直，可將三棱錐補(bǔ)成如圖所示的長(zhǎng)方體，此長(zhǎng)方體的外接球即為三棱錐的外接球，外接球直徑為：，所以三棱錐外接球的表面積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查空間幾何體的外接球，考查學(xué)生的空間想象能力與計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.15已知過(guò)原點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)與橢圓交于，兩點(diǎn)，為橢圓的上頂點(diǎn)，若直線(xiàn)，的斜率存在且分別為，則_.【答案】【解析】易知，可設(shè)，即可得到的表達(dá)式，又點(diǎn)在橢圓上，可求得的值.【詳解】由題知，可設(shè)，則，又在橢圓上，故，即，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，考查直線(xiàn)的斜率，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.16若圓上存在兩點(diǎn)，使得，圓外一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值為_(kāi).【答案】【解析】對(duì)于點(diǎn)，若圓上存在兩點(diǎn)，使得，只需由點(diǎn)引圓的兩條切線(xiàn)所夾角不小于即可，可知?jiǎng)狱c(diǎn)在以為圓心，半徑為的圓環(huán)內(nèi)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)在線(xiàn)段上時(shí)，最小，求解即可.【詳解】如圖，圓的半徑為，圓心為，對(duì)于點(diǎn)，若圓上存在兩點(diǎn)，使得，只需由點(diǎn)引圓的兩條切線(xiàn)所夾角不小于即可，從而點(diǎn)距圓心的距離要不超過(guò)，故動(dòng)點(diǎn)在以為圓心，半徑為的圓環(huán)內(nèi)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)在線(xiàn)段上時(shí)，最小，最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查圓的性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于中檔題.三、解答題17已知，命題：，命題：.（1）當(dāng)時(shí)，若命題為真，求的取值范圍；（2）若是的充分條件，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由命題為真，可知都是真命題，結(jié)合對(duì)應(yīng)的的范圍，可求出答案；（2）利用充分條件對(duì)應(yīng)的關(guān)系列出不等式，求解即可.【詳解】（1）由題意，即命題：，當(dāng)時(shí)，命題：，即：，若為真，則都是真命題，則；（2）由題意，：，：，若是的充分條件，則，即，解得.故的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合命題間的關(guān)系，考查充分性的應(yīng)用，考查不等式的解法，考查學(xué)生的計(jì)算能力與推理能力，屬于基礎(chǔ)題.18在中，邊，所在直線(xiàn)的方程分別為，.（1）求邊上的高所在的直線(xiàn)方程；（2）若圓過(guò)直線(xiàn)上一點(diǎn)及點(diǎn)，當(dāng)圓面積最小時(shí)，求其標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】（1）；（2）【解析】（1）聯(lián)立直線(xiàn)和的方程，可求出點(diǎn)坐標(biāo)，由直線(xiàn)的斜率，可求得邊上的高所在的直線(xiàn)的斜率，然后利用點(diǎn)斜式可求得所求直線(xiàn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)向直線(xiàn)作垂線(xiàn)，垂足記為，當(dāng)圓以線(xiàn)段為直徑時(shí)面積最小，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出圓心的坐標(biāo)和半徑，即可得到該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】（1）聯(lián)立，解得點(diǎn)，又直線(xiàn)的斜率為，故邊上的高所在直線(xiàn)方程為，即；（2）過(guò)點(diǎn)向直線(xiàn)作垂線(xiàn)，垂足記為，顯然，當(dāng)圓以線(xiàn)段為直徑時(shí)面積最小，易知直線(xiàn)的斜率為，則直線(xiàn)的方程為，由，解得點(diǎn)，故圓的圓心為，半徑為，所以圓面積最小時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)方程為.【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)方程與圓的方程，考查圓的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.19如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)，分別是棱，的中點(diǎn).（1）求證：直線(xiàn)平面；（2）求異面直線(xiàn)和所成角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）連接，則，又，可得，即可證明直線(xiàn)平面；（2）取棱的中點(diǎn)，連接，易知，則異面直線(xiàn)與所成的角即為，利用余弦定理求出即可.【詳解】（1）連接，則，又，又平面，平面，故直線(xiàn)平面；（2）取棱的中點(diǎn)，連接，易知，故異面直線(xiàn)與所成的角即為，由題知，.【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)面平行的證明，考查異面直線(xiàn)夾角的求法，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.20已知拋物線(xiàn)：的焦點(diǎn)為，為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，且.（1）求拋物線(xiàn)的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，求線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的橫截距的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由拋物線(xiàn)的定義知，即可求出的值，進(jìn)而求出拋物線(xiàn)的方程；（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，可求得，兩點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)方程，令，可求得橫截距的表達(dá)式，求出取值范圍即可.【詳解】（1）由拋物線(xiàn)的定義知，即，故拋物線(xiàn)的方程為；（2）由題意，直線(xiàn)的斜率不為0，設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立，得，線(xiàn)段中點(diǎn)縱坐標(biāo)為，橫坐標(biāo)為，的垂直平分線(xiàn)方程為，令得，由題知直線(xiàn)不與軸垂直，否則中垂線(xiàn)的橫截距不存在，即，.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線(xiàn)的方程，考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于中檔題.21如圖，四棱錐中，底面為菱形，直線(xiàn)平面，是上的一點(diǎn)，.（1）證明：直線(xiàn)平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）設(shè)，連接，由平面，可得，證明和相似，可得，從而可知平面；（2）由，可知為正方形，以為原點(diǎn)，所在方向分別為，軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面和的法向量，進(jìn)而可求得二面角的余弦值.【詳解】（1）設(shè)，連接，平面，又，面，在直角中，故，則，和相似，故，又，平面；（2）由，可知為正方形，又平面，故以為原點(diǎn)，所在方向分別為，軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，故，顯然平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，得，設(shè)二面角的大小為，則，故二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)面垂直的證明，考查利用空間向量求二面角，考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.22如圖，、是離心率為的橢圓：的左、右焦點(diǎn)，過(guò)作軸的垂線(xiàn)交橢圓所得弦長(zhǎng)為，設(shè)、是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線(xiàn)段的中垂線(xiàn)與橢圓交于、兩點(diǎn)，線(xiàn)段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1.（1）求橢圓的方程；（2）求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】（1）將代入橢圓方程，可得，再結(jié)合離心率為，聯(lián)立可求得，即可求出橢圓方程；（2）結(jié)合的橫坐標(biāo)為1，可表示出直線(xiàn)的方程，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，可得到的表達(dá)