2019-2020學(xué)年哈爾濱市第六中學(xué)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

2019-2020學(xué)年黑龍江省哈爾濱市第六中學(xué)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1某興趣小組有男生20人，女生10人，從中抽取一個容量為5的樣本，恰好抽到2名男生和3名女生，則該抽樣可能是系統(tǒng)抽樣；該抽樣可能是隨機(jī)抽樣：該抽樣一定不是分層抽樣；本次抽樣中每個人被抽到的概率都是其中說法正確的為（ ）ABCD【答案】A【解析】該抽樣可以是系統(tǒng)抽樣；因為總體個數(shù)不多，容易對每個個體進(jìn)行編號，因此該抽樣可能是簡單的隨機(jī)抽樣；若總體由差異明顯的幾部分組成時，經(jīng)常采用分層抽樣的方法進(jìn)行抽樣，且分層抽樣的比例相同，該抽樣不可能是分層抽樣；分別求出男生和女生的概率，故可判斷出真假.【詳解】總體容量為30，樣本容量為5，第一步對30個個體進(jìn)行編號，如男生120，女生2130；第二步確定分段間隔；第三步在第一段用簡單隨機(jī)抽樣確定第一個個體編號；第四步將編號為依次抽取，即可獲得整個樣本故該抽樣可以是系統(tǒng)抽樣因此正確因為總體個數(shù)不多，可以對每個個體進(jìn)行編號，因此該抽樣可能是簡單的隨機(jī)抽樣，故正確；若總體由差異明顯的幾部分組成時，經(jīng)常采用分層抽樣的方法進(jìn)行抽樣，且分層抽樣的比例相同，但興趣小組有男生20人，女生10人，抽取2男3女，抽的比例不同，故正確；該抽樣男生被抽到的概率；女生被抽到的概率，故前者小于后者因此不正確故選：A【點睛】本題考查了隨機(jī)抽樣及概率，正確理解它們是解決問題的關(guān)鍵2現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計某運(yùn)動員射擊4次，至少擊中3次的概率；先由計算器給出0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定0、1、2、3表示沒有擊中目標(biāo)， 4、5、6、7、8、9表示擊中目標(biāo)，以4個隨機(jī)數(shù)為一組，代表射擊4次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)，根據(jù)以下數(shù)據(jù)估計該射擊運(yùn)動員射擊4次至少擊中3次的概率為（ ）7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 46980371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281A0.4B0.45C0.5D0.55【答案】A【解析】根據(jù)組隨機(jī)數(shù)，計算出至少擊中次的次數(shù)，由此估計出該射擊運(yùn)動員射擊4次至少擊中3次的概率.【詳解】在組數(shù)據(jù)中，至少擊中次的為7527、9857、8636、6947、4698、8045、9597、7424，共次，故該射擊運(yùn)動員射擊4次至少擊中3次的概率為.故選：A【點睛】本小題主要考查隨機(jī)數(shù)法求事件的概率，屬于基礎(chǔ)題.3從7名男生和5名女生中選4人參加夏令營，規(guī)定男、女同學(xué)至少各有1人參加，則選法總數(shù)應(yīng)為（ ）ABCD【答案】C【解析】先計算出任選人的方法數(shù)，然后減去其中全部為男生或全部為女生的方法數(shù)，由此選出正確選項.【詳解】任選人的方法數(shù)為，減去其中全部為男生或全部為女生的方法數(shù)，故選法總數(shù)應(yīng)為.故選：C【點睛】本小題主要考查組合數(shù)的計算，屬于基礎(chǔ)題.4下列說法錯誤的是（ ）A若直線平面，直線平面，則直線不一定平行于直線B若平面不垂直于平面，則內(nèi)一定不存在直線垂直于平面C若平面平面，則內(nèi)一定不存在直線平行于平面D若平面平面，平面平面，則一定垂直于平面【答案】C【解析】結(jié)合空間線線、線面和面面位置關(guān)系，對四個選項逐一分析，由此得出說法錯誤的選項.【詳解】若直線平面，直線平面，則與平行、相交或異面，則直線不一定平行于直線，故A中說法正確；若內(nèi)存在直線垂直于平面，則根據(jù)面面垂直的判定定理得，這與平面不垂直于平面矛盾，故若平面不垂直于平面，則內(nèi)一定不存在直線垂直于平面，故B中說法正確；若平面平面，則當(dāng)內(nèi)的直線與兩平面的交線平行時，該直線與平面平行，故C中說法錯誤；若平面平面，平面平面，則根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得一定垂直于平面，故D中說法正確.綜上所述，本小題選C.【點睛】本小題主要考查空間線線、線面和面面位置關(guān)系的判斷，屬于基礎(chǔ)題.5已知展開式中第5項與第9項的二項式系數(shù)相等，則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為（ ）ABCD【答案】D【解析】以展開式中第5項與第9項的二項式系數(shù)，列方程，解方程求得的值，進(jìn)而求得奇數(shù)項的二項式系數(shù)和.【詳解】依題意，展開式中第5項與第9項的二項式系數(shù)相等，所以，解得，故奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為.故選：D【點睛】本小題主要考查二項式展開式的二項式系數(shù)，考查奇數(shù)項的二項式系數(shù)和，屬于基礎(chǔ)題.6已知圓錐的表面積為9，且它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的底面半徑為（ ）A1BC2D【答案】B【解析】設(shè)出圓錐的底面半徑，根據(jù)圓錐的表面積列方程，解方程求得圓錐的底面半徑.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，由于圓錐側(cè)面展開圖是一個半圓，故其母線長為，所以圓錐的表面積為，解得.故選：B【點睛】本小題主要考查圓錐表面積有關(guān)計算，屬于基礎(chǔ)題.7已知拋物線的焦點為，是上一點，若，則等于（ ）A1B2C4D8【答案】B【解析】根據(jù)拋物線的定義列方程，由此求得的值.【詳解】拋物線，焦點為，準(zhǔn)線為，由于，根據(jù)拋物線的定義有，所以.故選：B【點睛】本小題主要考查拋物線的定義和幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.8已知雙曲線一條漸近線方程為，則雙曲線方程可以是（ ）ABCD【答案】D【解析】分別求得四個選項中雙曲線的漸近線，由此得出正確選項.【詳解】對于A選項，雙曲線的漸近線方程為，不符合題意；對于B選項，雙曲線的漸近線方程為，不符合題意；對于C選項，雙曲線的漸近線方程為，不符合題意；對于D選項，雙曲線的漸近線方程為，符合題意；故選：D【點睛】本小題主要考查雙曲線漸近線，屬于基礎(chǔ)題.9設(shè)隨機(jī)變量，其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，且，那么向正方形中隨機(jī)投擲個點，則落入陰影部分的點的個數(shù)的估計值為（ ）（附：若隨機(jī)變量，則)ABCD【答案】A【解析】根據(jù)求得的值，由此求得，進(jìn)而求得落入陰影部分的點的個數(shù)的估計值【詳解】由，所以，所以，即，所以.所以落入陰影部分的點的個數(shù)的估計值為.故選：A【點睛】本小題主要考查正態(tài)分布計算，考查幾何概型，屬于基礎(chǔ)題.10的展開式中，含項的系數(shù)為（ ）ABCD【答案】A【解析】根據(jù)乘法分配律以及二項式展開式，計算出含項的系數(shù).【詳解】，所以含項的系數(shù)為.故選：A【點睛】本小題主要考查二項式展開式指定項的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.11已知四面體外接球的球心恰好在上，等腰直角三角形的斜邊為2，則這個球的表面積為（ ）ABCD【答案】D【解析】根據(jù)已知條件求得球的直徑的長，進(jìn)而求得球的半徑，從而求得球的表面積.【詳解】由于四面體外接球的球心恰好在上，所以是球的直徑，所以三角形為直角三角形，所以，所以球的半徑為，表面積為.故選：D【點睛】本小題主要考查幾何體外接球表面積的計算，屬于基礎(chǔ)題.12小趙、小錢、小孫、小李到個景點旅游，每人只去一個景點，設(shè)事件“個人去的景點彼此互不相同”，事件“小趙獨自去一個景點”，則（ ）ABCD【答案】D【解析】分析：這是求小趙獨自去一個景點的前提下，4個人去的景點不相同的概率，求出相應(yīng)基本事件的個數(shù)，即可得出結(jié)論詳解：小趙獨自去一個景點，則有3個景點可選，其余3人只能在小趙剩下的3個景點中選擇，可能性為 種 所以小趙獨自去一個景點的可能性為種因為4個人去的景點不相同的可能性為 種，所以 故選：D點睛：本題考查條件概率，考查學(xué)生的計算能力，確定基本事件的個數(shù)是關(guān)鍵二、填空題13設(shè)隨機(jī)變量服從二項分布，且期望，其中，則方差=_【答案】18【解析】根據(jù)和的值求得，由此求得，進(jìn)而求得.【詳解】由于，所以，所以.故答案為：【點睛】本小題主要考查二項分布期望和方差的有關(guān)計算，考查方差的運(yùn)算公式，屬于基礎(chǔ)題.14某幾何體的三視圖如下圖所示，此幾何體的體積為_【答案】8【解析】根據(jù)三視圖還原為原圖，根據(jù)原圖的空間結(jié)構(gòu)，計算出幾何體的體積.【詳解】根據(jù)三視圖可知，該幾何體的原圖如下圖組合體為四棱錐，故其體積為.故答案為：【點睛】本小題主要考查三視圖還原為原圖，考查錐體體積計算，屬于基礎(chǔ)題.15已知點是橢圓上的一點， F1，F(xiàn)2分別為橢圓的左.右焦點，已知F1PF2=60，且|PF1|=3|PF2|，則橢圓的離心率為_【答案】【解析】利用余弦定理和橢圓的定義列方程，化簡后求得橢圓的離心率.【詳解】由，結(jié)合橢圓的定義和余弦定理有：，化簡得.故答案為：【點睛】本小題主要考查橢圓離心率的求法，考查余弦定理，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.16如圖，三棱柱中，側(cè)棱底面，外接球的球心為，點是側(cè)棱上的一個動點有下列判斷：直線與直線是異面直線；一定不垂直于； 三棱錐的體積為定值；的最小值為其中正確的序號是_【答案】【解析】對四個判斷逐一分析，由此確定正確判斷的序號.【詳解】對于，由于平面外一條直線與平面相交于一點，則此直線與平面內(nèi)不過交點的直線互為異面直線，所以正確.對于，過作，交于.由于，所以平面，而，所以平面.所以，所以平面，所以，所以錯誤.對于，由于兩兩垂直，所以三棱柱的外接球直徑為（或），也即球心在與的交點處.由于,所以平面，所以動點到平面的距離為定值，而三角形面積為定值，所以三棱錐的體積為定值，所以正確.對于，將兩個半平面與展開成矩形（平面圖形）,則的最小值為.故正確.故答案為：【點睛】本小題主要考查空間點線面位置關(guān)系，考查錐體體積計算，考查空間距離和的最小值的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.三、解答題1740名學(xué)生某次數(shù)學(xué)考試成績（單位：分）的頻率分布直方圖如下：（1）求頻率分布直方圖中的值；（2）根據(jù)頻率分布直方圖求出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù) （保留小數(shù)點后兩位數(shù)字）和眾數(shù)；（3）從成績在的學(xué)生中任選3人，求這3人的成績都在中的概率【答案】（1）；（2）77.14，75；（3）【解析】（1）根據(jù)頻率之和為列方程，解方程求得的值.（2）根據(jù)率分布直方圖求中位數(shù)和眾數(shù)的方法，求得中位數(shù)和眾數(shù).（3）利用古典概型概率計算方法，計算出所求的概率.【詳解】（1）依題意，解得.（2）最高的小長方形的中點為，故眾數(shù)的估計值為.由于，設(shè)中位數(shù)為，則，解得，故中位數(shù)為.（3）的人數(shù)為人，與人數(shù)的比例為，即中有人，中有人，從中任選人，這3人的成績都在中的概率為.【點睛】本小題主要考查根據(jù)頻率分布直方圖計算參數(shù)的值，考查根據(jù)頻率分布直方圖計算中位數(shù)和眾數(shù)，考查古典概型的概率計算，屬于基礎(chǔ)題.18某射擊小組有甲、乙、丙三名射手，已知甲擊中目標(biāo)的概率是，甲、丙二人都沒有擊中目標(biāo)的概率是，乙、丙二人都擊中目標(biāo)的概率是甲乙丙是否擊中目標(biāo)相互獨立（1）求乙、丙二人各自擊中目標(biāo)的概率；（2）設(shè)甲、乙、丙三人中擊中目標(biāo)的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望【答案】（1） （2）分布列見解析， 【解析】（1）根據(jù)已知條件列方程組，由此求得乙、丙二人各自擊中目標(biāo)的概率.（2）根據(jù)相互獨立事件概率計算方法，計算出的分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）依題意設(shè)甲、乙、丙各自擊中目標(biāo)的概率為，所以，解得.（2）的可能取值為.；;.故的分布列為0123數(shù)學(xué)期望為.【點睛】本小題主要考查相互獨立事件的概率計算，考查隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，屬于基礎(chǔ)題.19在三棱錐中，平面，分別上的動點，且/平面，二面角為（1）求證：平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）通過證明平面，且，由此證得平面.（2）證得是直線與平面所成角，解直角三角形求得直線與平面所成角的正弦值.【詳解】（1）由于平面，所以，由于，所以平面，由于平面，平面，平面平面，所以，所以平面.（2）由（1）可知，而，所以平面，所以是直線與平面所成角.由（1）知：，由面面角的概念可知，所以在中，, 由面積法得，所以.所以，所以.，在中，.所以.【點睛】本小題主要考查線面垂直的證明，考查線面角正弦值的求法，考查線面平行的性質(zhì)定理，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.20某網(wǎng)站用“100分制”調(diào)查一社區(qū)人們的幸福度現(xiàn)從調(diào)查人群中隨機(jī)抽取10名，以下莖葉圖記錄了他們的幸福度分?jǐn)?shù)（以十位數(shù)字為莖，個位數(shù)字為葉）；若幸福度不低于95分，則稱該人的幸福度為“極幸?！保?）從這10人中隨機(jī)選取3人，記表示抽到“極幸?！钡娜藬?shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）以這10人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個社區(qū)的總體數(shù)據(jù)，若從該社區(qū)（人數(shù)很多）任選3人，記表示抽到“極幸福”的人數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望和方差【答案】（1）分布列見解析，（2）【解析】（1）利用超幾何分布計算出的分布列和數(shù)學(xué)期望.（2）利用二項分布的知識計算出的數(shù)學(xué)期望和方差.【詳解】（1）由莖葉圖可知，個人中，極幸福的人有個.的可能取值為，由超幾何分布概率計算公式得，的分布列為：0123所以.（2）由于，所以，.【點睛】本小題主要考查超幾何分布、二項分布有關(guān)的概念和運(yùn)算，屬于中檔題.21在平面四邊形中（圖1），為的中點，且，現(xiàn)將此平面四邊形沿折起，使得二面角為直二面角，得到一個多面體，為平面內(nèi)一點，且為正方形（圖2），分別為的中點（1）求證：平面/平面；（2）在線段上是否存在一點，使得平面與平面所成二面角的余弦值為？若存在，求出線段的長，若不存在，請說明理由【答案】（1）證明見解析；（2）存在，且【解析】（1）利用面面平行的判定定理，證明平面/平面.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點坐標(biāo)，利用平面與平面所成二面角的余弦值為列方程，解方程求得的坐標(biāo)，由此判斷符合題意的點存在，以及求得的長.【詳解】（1）由于分別為