數(shù)值分析第一章學(xué)習(xí)小結(jié).doc

此文檔收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除數(shù)值分析第1章 緒論 -學(xué)習(xí)小結(jié)一、 本章學(xué)習(xí)體會 通過本章的學(xué)習(xí)，讓我初窺數(shù)學(xué)的又一個(gè)新領(lǐng)域。數(shù)值分析這門課，與我之前所學(xué)聯(lián)系緊密，區(qū)別卻也很大。在本章中，我學(xué)到的是對數(shù)據(jù)誤差計(jì)算，對誤差的分析，以及關(guān)于向量和矩陣的范數(shù)的相關(guān)內(nèi)容。誤差的計(jì)算方法很多，對于不同的數(shù)據(jù)需要使用不同的方法，或直接計(jì)算，或用泰勒公式。而對于二元函數(shù)的誤差計(jì)算亦有其獨(dú)自的方法。無論是什么方法，其目的都是為了能夠通過誤差的計(jì)算，發(fā)現(xiàn)有效數(shù)字、計(jì)算方法等對誤差的影響。而對誤差的分析，則是通過對大量數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，從而選擇出相對適合的算法，盡可能減少誤差。如果能夠找到一個(gè)好的算法，不僅能夠減少計(jì)算誤差，同時(shí)也可以減少計(jì)算次數(shù)，提高計(jì)算效率。對于向量和矩陣的范數(shù)，我是第一次接觸，而且其概念略微抽象。因此學(xué)起來較為吃力，僅僅知道它是向量與矩陣“大小”的度量。故對這部分內(nèi)容的困惑也相對較多。本章的困惑主要有兩方面。一方面是如何能夠?qū)ふ乙粋€(gè)可靠而高效的算法。雖然知道算法選擇的原則，但對于很多未接觸的問題，真正尋找一個(gè)好的算法還是很困難。另一方面困惑來源于范數(shù)，不明白范數(shù)的意義和用途究竟算什么。希望通過以后的學(xué)習(xí)能夠漸漸解開自己的疑惑。二、 本章知識梳理緒論數(shù)值分析的研究對象誤差知識與算法知識向量范數(shù)與矩陣范數(shù)方法的構(gòu)造2.1 數(shù)值分析的研究對象研究對象求解過程的理論分析數(shù)值分析是計(jì)算數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，研究各種數(shù)學(xué)問題的數(shù)值解法，包括方法的構(gòu)造和求解過程的理論分析。它致力于研究如何用數(shù)值計(jì)算的方法求解各種基本數(shù)學(xué)問題以及在求解過程中出現(xiàn)的收斂性，數(shù)值穩(wěn)定性和誤差估計(jì)等內(nèi)容。2.2誤差知識與算法知識 2.2.1誤差來源誤差按來源分為模型誤差、觀測誤差、截?cái)嗾`差、舍入誤差與傳播誤差五種。其中模型誤差與觀測誤差屬于建模過程中產(chǎn)生的誤差，而截?cái)嗾`差、舍入誤差與傳播誤差屬于研究數(shù)值方法過程中產(chǎn)生的誤差。2.2.2絕對誤差、相對誤差與有效數(shù)字1.（1）絕對誤差e指的是精確值與近似值的差值。絕對誤差：e=x-a絕對誤差限：e,x=a（2）相對誤差是指絕對誤差在原數(shù)中所占的比例。相對誤差：er=x-ax或er=x-aa相對誤差限：era=r結(jié)論：凡是經(jīng)過四舍五入而得到的近似值，其絕對誤差不超過該近似值末位的半個(gè)單位。（3）有效數(shù)字的定義有效數(shù)字的第一種定義:設(shè)a是x的近似值，如果a的誤差絕對值不超過x的第k位小數(shù)的半個(gè)單位，即|x-a|1210-k則稱近似值a準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后第k位。從小數(shù)點(diǎn)后的第k位數(shù)字直到最左邊非零數(shù)字之間的所有數(shù)字都叫有效數(shù)字。有效數(shù)字第二種定義：設(shè)數(shù)x的近似值x*=0.x1x2xn10m其中m是整數(shù)，x1x2xn是0,1,2，9中的任意數(shù)，但x10,若x-x*1210m-k (1kn) 則x*具有k位有效數(shù)字。通過學(xué)習(xí)總結(jié)出下面幾個(gè)結(jié)論：（1）若a是經(jīng)過四舍五入而得到的近似值，則從它的末位數(shù)字到第一位非零數(shù)字都是有效數(shù)字。（2）將任何數(shù)乘以10p（p=0，1，2，）等于移動該數(shù)的小數(shù)點(diǎn)，并不影響其有效數(shù)字。（3）有效數(shù)字相同的兩個(gè)近似值的絕對誤差不一定相同。（4）準(zhǔn)確值被認(rèn)為具有無窮多位有效數(shù)字。從有效數(shù)字的定義可以知道，由準(zhǔn)確值經(jīng)過四舍五入得到的近似值，從它的末位數(shù)字到第一位非零數(shù)字都是有效數(shù)字。2.（1）相對誤差與有效數(shù)字的關(guān)系：若近似數(shù)x*=0.x1x2xn10m具有n位有效數(shù)字，則其相對誤差|erx*|12x1101-n。若近似數(shù)x*=0.x1x2xn10m的相對誤差|erx*|5x1+110-n 則該近似數(shù)至少具有n位有效數(shù)字。結(jié)論：有效數(shù)字位數(shù)越多，相對誤差越小。（2）絕對誤差與有效數(shù)字的關(guān)系：若a=a1a2a3ak10m 其中m是整數(shù)，aii=1,2,k 是0到9中的一個(gè)數(shù)字，a10.如果a作為數(shù)x的近似值，且a具有n位有效數(shù)字，則|ea|1210m-n若a=a1a2a3ak10m 其中m是整數(shù)，aii=1,2,k 是0到9中的一個(gè)數(shù)字，a10.如果a作為數(shù)x的近似值，如果|ea|1210m-n（nk）則a 具有n位有效數(shù)字。結(jié)論：有效數(shù)字位數(shù)越多，絕對誤差越小。2.2.3誤差估計(jì)的基本方法1.（1）對于一元函數(shù)： efafaea(f(a)|fa|(a)（2）二元函數(shù)：efa,bf(a,b)xea+f(a,b)yeb（3）n元函數(shù)：ef(x1*,x2*,x3*,xn*)inf(x1*,x2*,x3*,xn*)xie(xi*)f(x1*,x2*,x3*,xn*)inf(x1*,x2*,x3*,xn*)xi(xi*)設(shè)u=f(a)存在足夠高階的導(dǎo)數(shù)，a是自變量x的近似值，則u=f(a)是u=f(x)的近似值。如果fa=fafk-1a=0,fk(a)0,且比值fk+1afk(a)不是很大，則efafk(a)k!(e(a)(k)fafk(a)k!(a)(k)2.算數(shù)運(yùn)算誤差：(ab)=(a)+(b)(ab)a(b)+b(a)aba(b)+b(a)b2 ,b0r(a+b)=(a)+(b)a+br(a-b)=(a)+(b)a-br(ab)r(b)+r(a)rabr(b)+r(a)2.2.4算法及計(jì)算復(fù)雜性在數(shù)值計(jì)算中，要注意遵循一些原則，以保證數(shù)值穩(wěn)定性。（1）能控制舍入誤差的傳播。（2）合理安排量級相差懸殊數(shù)間的運(yùn)算次序，防止大數(shù)將小數(shù)吃掉。（3）避免兩個(gè)相近的數(shù)相減。（4）避免接近零的數(shù)做除數(shù)，防止溢出。（5）簡化計(jì)算步驟，盡量減少運(yùn)算次數(shù)。2.3向量范數(shù)與矩陣范數(shù)2.3.1 向量范數(shù)1.向量范數(shù)滿足三個(gè)條件：（1） 正定性（2） 齊次性（3） 成立三角不等式2.對于Rn中的任一向量x=x1,x2,xnT則有1- 范數(shù)（列范數(shù)） x1=inxi2- 范數(shù)（歐氏范數(shù)）x2=inxi2P-范數(shù)xp=inxip1p limpxp=x-范數(shù)x=max1inxi3.在空間Rn中可以引進(jìn)各種向量范數(shù)，且它們都滿足下述向量定理：設(shè)，是Rn上的任意兩種向量范數(shù)，則存在與向量x無關(guān)的數(shù)m和M（0mM）,使下列關(guān)系成立。mxxMx也就是說，向量x的某一范數(shù)可以任意?。ù螅r(shí)，該向量的其它任意一種范數(shù)也會任意?。ù螅?。2.3.2矩陣范數(shù)1.定義在Rnn上的實(shí)值函數(shù)稱為矩陣范數(shù)，如果對于Rnn中任意的矩陣A和B，陣范數(shù)滿足下列條件：（1） 非負(fù)性（2） 齊次性（3） 成立三角不等式（4） 相容性2.當(dāng)一個(gè)問題中需要向量范數(shù)和矩陣范數(shù)時(shí)，向量范數(shù)和矩陣范數(shù)應(yīng)該是相容的。對于給定的向量范數(shù)和矩陣范數(shù)，如果對于任一個(gè)xRn，ARnn，滿足AxAx，則所給的向量范數(shù)和矩陣范數(shù)是相容的 。設(shè)在Rn中給定了一種向量范數(shù)，對任意矩陣ARnn，令A(yù)=maxx=1Ax，由此定義的矩陣范數(shù)與給定的向量范數(shù)相容，將這種范數(shù)稱為從屬于所給定的向量范數(shù)的矩陣范數(shù)。3.設(shè)A=aijRnn,則：矩陣A的列范數(shù) A1=max1ininaij矩陣A的譜范數(shù) A2=maxATA矩陣的行范數(shù)A=max1jnjnaij弗羅貝尼烏斯范數(shù)AF=i,j=1naij24.設(shè)矩陣ARnn的某種范數(shù)A1，則IA為非奇異矩陣，并且當(dāng)這種范數(shù)為算子范數(shù)時(shí)，還有IA-111-A 成立。三、 本章思考題問題：向量和矩陣有多種范數(shù)，如1范數(shù)、2范數(shù)、范數(shù)。而作為向量和矩陣“大小”的度量，為什么要用這么多種范數(shù)來度量，而不是專門指定一種范數(shù)？個(gè)人理解：1. 對于不同向量和矩陣，從運(yùn)算等方面考慮，某一種或幾種范數(shù)