湖北省武漢市部分學(xué)校2020屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期起點(diǎn)質(zhì)量監(jiān)測試題 理（含解析）.doc

湖北省武漢市部分學(xué)校2020屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期起點(diǎn)質(zhì)量監(jiān)測試題 理（含解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】解一元二次不等式即可得出結(jié)果【詳解】由得其在上的補(bǔ)集為，故選d【點(diǎn)睛】本題考查集合的補(bǔ)集，是一道基礎(chǔ)題。2.設(shè)，則（）a. 0b. 1c. d. 3【答案】b【解析】【分析】先將分母實(shí)數(shù)化，然后直接求其模。【詳解】【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法及模的運(yùn)算，是一道基礎(chǔ)題。3.已知雙曲線的離心率為，則雙曲線的焦距為（）a. 4b. 5c. 8d. 10【答案】d【解析】【分析】通過離心率和的值可以求出，進(jìn)而 可以求出焦距。【詳解】有已知可得，又，焦距，故選：d?！军c(diǎn)睛】本題考查雙曲線特征量的計(jì)算，是一道基礎(chǔ)題。4.已知，是兩個(gè)不重合的平面，直線，則是的（）a. 充分不必要條件b. 必要不充分條件c. 充要條件d. 既不充分也不必要條件【答案】b【解析】【分析】通過面面平行的判定定理以及面面平行的性質(zhì)，可以得到不能推出，可以推出?！驹斀狻恳粋€(gè)面上有兩相交直線都和另一個(gè)面平行，則這兩個(gè)面平行，所以不能推出兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)面上的任何一條直線都和另一個(gè)平面平行，所以可以推出，所以是的必要不充分條件，故選：b?！军c(diǎn)睛】本題考查面面平行的判定定理以及面面平行的性質(zhì)，是一道基礎(chǔ)題。5.已知函數(shù)為奇函數(shù)，則（）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】通過求出，得到，即可以求出?！驹斀狻渴瞧婧瘮?shù)，故選：a【點(diǎn)睛】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以通過特殊值法，快速求出的值，是一道簡單題。6.已知曲線，則下面結(jié)論正確的是（）a. 把曲線向右平移個(gè)長度單位得到曲線b. 把曲線向左平移個(gè)長度單位得到曲線c. 把曲線向左平移個(gè)長度單位得到曲線d. 把曲線向右平移個(gè)長度單位得到曲線【答案】d【解析】【分析】將通過合一公式化為向右平移就可以得到?！驹斀狻?，把曲線向右平移個(gè)長度單位得即為，故選：d?！军c(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的平移變換，是一道基礎(chǔ)題。7.已知函數(shù).若沒有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】選擇特殊值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)很明顯沒有零點(diǎn)，排除bcd?！驹斀狻慨?dāng)時(shí)，令則恒成立，無解，即無零點(diǎn)。故選：a?！军c(diǎn)睛】此題時(shí)一道選擇題，可以代特殊值然后排除，是一道簡單題。8.已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)均在球的球面上，且，兩兩互相垂直，則球的體積為（）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】三棱錐的外接球，正好是以，這三條棱構(gòu)成的正方體的外接球，直徑，即可求出球的體積。【詳解】，故選：c?！军c(diǎn)睛】本題通過，兩兩互相垂直，可以構(gòu)造以，為相鄰的3條棱的正方體，構(gòu)造一個(gè)正方體，該正方體的外接球和三棱錐的外接球一樣，就方便求球的半徑了。9.圓周率是一個(gè)在數(shù)學(xué)及物理學(xué)中普遍存在的數(shù)學(xué)常數(shù)，它既常用又神秘，古今中外很多數(shù)學(xué)家曾研究它的計(jì)算方法.下面做一個(gè)游戲：讓大家各自隨意寫下兩個(gè)小于1的正數(shù)然后請他們各自檢查一下，所得的兩數(shù)與1是否能構(gòu)成一個(gè)銳角三角形的三邊，最后把結(jié)論告訴你，只需將每個(gè)人的結(jié)論記錄下來就能算出圓周率的近似值.假設(shè)有個(gè)人說“能”，而有個(gè)人說“不能”，那么應(yīng)用你學(xué)過的知識(shí)可算得圓周率的近似值為（）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】把每一個(gè)所寫兩數(shù)作為一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)，由題意可得與1不能構(gòu)成一個(gè)銳角三角形是指兩個(gè)數(shù)構(gòu)成點(diǎn)的坐標(biāo)在圓內(nèi)，進(jìn)一步得到，則答案可求。【詳解】總?cè)藬?shù)為，寫出的組數(shù)可以看作是個(gè)點(diǎn)，滿足與1不能構(gòu)成一個(gè)銳角三角形是指兩個(gè)數(shù)構(gòu)成的坐標(biāo)在圓內(nèi)，則，即，故選：c?！军c(diǎn)睛】本題是古典概型和幾何概型的實(shí)際應(yīng)用，是一道中等難度的題目。10.已知是橢圓上任意一點(diǎn)，是橢圓上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，且直線，的斜率分別為，若的最小值為1，則實(shí)數(shù)的值為（）a. 1b. 2c. 1或16d. 2或8【答案】a【解析】【分析】先假設(shè)出點(diǎn)，的坐標(biāo)，然后表示出兩斜率的關(guān)系，再由最小值為1運(yùn)用基本不等式的知識(shí)求最小值，進(jìn)而可以求出?！驹斀狻吭O(shè)， =1，故選：a?！军c(diǎn)睛】本題大膽設(shè)點(diǎn)，表示出斜率，運(yùn)用基本不等式求參數(shù)的值，是一道中等難度的題目。11.設(shè)同時(shí)拋擲兩個(gè)質(zhì)地均勻的四面分別標(biāo)有1，2，3，4的正四面體一次.記事件第一個(gè)四面體向下的一面出現(xiàn)偶數(shù)；事件第二個(gè)四面體向下的一面出現(xiàn)奇數(shù)；兩個(gè)四面體向下的一面或者同時(shí)出現(xiàn)奇數(shù)或者同時(shí)出現(xiàn)偶數(shù).給出下列說法：；，其中正確的有（）a. 0個(gè)b. 1個(gè)c. 2個(gè)d. 3個(gè)【答案】d【解析】【分析】由題可知，且，可求。然后事件不可能同時(shí)發(fā)生，則?！驹斀狻抗蕦Γ蕦?，事件不可能同時(shí)發(fā)生，故錯(cuò)故選：d?！军c(diǎn)睛】本題考查事件同時(shí)發(fā)生的概率問題，是一道中等難度的題目。12.已知，則，的大小關(guān)系是（）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】若對數(shù)式的底相同，直接利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷即可，若底不同，則根據(jù)結(jié)構(gòu)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性判斷大小?！驹斀狻繉τ诘拇笮。?，明顯；對于的大?。簶?gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，即對于的大小：，故選：b?！军c(diǎn)睛】將兩兩變成結(jié)構(gòu)相同的對數(shù)形式，然后利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷，對于結(jié)構(gòu)類似的，可以通過構(gòu)造函數(shù)來來比較大小，此題是一道中等難度的題目。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若的展開式中所有項(xiàng)系數(shù)和為81，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為_.【答案】8【解析】【分析】在展開式中，令可得所有項(xiàng)系數(shù)和，可解得，再由通項(xiàng)公式可得常數(shù)項(xiàng)為8【詳解】在的二項(xiàng)展開式中，令得所有項(xiàng)的系數(shù)和為，解得，所以的二項(xiàng)展開式中的通項(xiàng)為，令，得，常數(shù)項(xiàng)為，故答案為：8.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理屬中檔題。14.已知數(shù)列滿足，則_.【答案】【解析】【分析】利用遞推關(guān)系可得數(shù)列的周期性，進(jìn)而得出。【詳解】，同理可得：，故答案為：?！军c(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系、數(shù)列的周期性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題。15.已知平面向量，滿足，則的最小值為_.【答案】【解析】【分析】由題意不妨設(shè)，利用求出的解析式，再利用配方法求最值?！驹斀狻坑?，不妨設(shè)，則，又，不妨取，所以最小值為【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算與配方法的應(yīng)用問題，是道中等難度的題目。16.若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則_.【答案】1或【解析】【分析】分別設(shè)出直線與兩曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)，求出導(dǎo)數(shù)值，得到兩切線方程，由兩切線重合得斜率和截距相等，從而求得切線方程的答案?！驹斀狻吭O(shè)與和的切點(diǎn)分別為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，曲線在在點(diǎn)處的切線方程為，即，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，則，解得，或，所以或。【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處切線方程，考查計(jì)算能力，是中檔題。三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用求的通項(xiàng)公式；（2）用裂項(xiàng)求和法求的前項(xiàng)和?！驹斀狻拷猓海?）由，知.當(dāng)時(shí)，（也成立）.（2）由（1）知，【點(diǎn)睛】本題考查法求通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)求和法求前項(xiàng)和，是一道基礎(chǔ)題。18.設(shè)的內(nèi)角，的對邊分別為，已知，且.（1）求；（2）若的面積，求的周長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】利用正弦定理以及兩角和與差的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化求解。通過三角形的面積以及余弦定理轉(zhuǎn)化求解即可。【詳解】解：（1）因?yàn)?，由正弦定理?又，所以，即.，.（2）由，及余弦定理，得.因?yàn)?，所?由解得或的周長.【點(diǎn)睛】（1）利用正弦定理進(jìn)行邊化角，對于式子中同時(shí)出現(xiàn)與，我們將變?yōu)椋⒂脙山呛团c差的三角公式展開計(jì)算即可。（2）面積公式中有，余弦定理里面也有，兩者可聯(lián)立進(jìn)行計(jì)算。本題是一道中等難度的題目。19.如圖，四棱錐的底面為平行四邊形，.（1）求證：；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】取中點(diǎn)，連接、，由已知可證，可得平面，可證。由已知可得是等腰三角形，分別以、為、軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出面與面的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角的余弦值得二面角的余弦值?！驹斀狻拷猓海?）取中點(diǎn)，連接、.由，知，.又平面，又平面，.（2）法一：由題可得，故，所以.所以可以為原點(diǎn)，分別以、為、軸建立空間直角坐標(biāo)系.則，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則即令得.同理可得平面的一個(gè)法向量為.又二面角為銳二面角所以二面角的余弦為.法二：設(shè)二面角，的大小分別為，則，.即二面角的余弦為.而二面角與二面角大小互補(bǔ)、故二面角的余弦為.【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面垂直的判定，考查了利用空間向量求解空間角，考查計(jì)算能力，是中檔題。20.已知?jiǎng)狱c(diǎn)到直線的距離比到定點(diǎn)的距離多1.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程（2）若為（1）中曲線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交曲線于另外一點(diǎn)，證明直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).【答案】（1）（2）證明見解析，定點(diǎn)坐標(biāo)為【解析】【分析】利用直接法，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程。設(shè)出直線方程以及，由、三點(diǎn)共線可得，將直線方程與聯(lián)立，可得，利用韋達(dá)定理，可得，所以，得出直線過定點(diǎn)?！驹斀狻拷猓海?）設(shè)點(diǎn)，則.當(dāng)時(shí)，即，整理得.當(dāng)時(shí)，即，整理得，由知，矛盾，舍去.所求軌跡方程為.（2）設(shè)，則.由、三點(diǎn)共線知，即.所以.由得，所以由得，即，此表達(dá)式對任意恒成立，.即直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】直接法是求軌跡方程的重要方法。當(dāng)式子里面出現(xiàn)，則設(shè)出直線聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理代入計(jì)算，本題是一道中等難度的綜合體。21.武漢又稱江城，是湖北省省會(huì)城市，被譽(yù)為中部地區(qū)中心城市，它不僅有著深厚的歷史積淀與豐富的民俗文化，更有著眾多名勝古跡與旅游景點(diǎn)，每年來武漢參觀旅游的人數(shù)不勝數(shù)，其中黃鶴樓與東湖被稱為兩張名片為合理配置旅游資源，現(xiàn)對已游覽黃鶴樓景點(diǎn)的游客進(jìn)行隨機(jī)問卷調(diào)查，若不游玩東湖記1分，若繼續(xù)游玩東湖記2分，每位游客選擇是否游覽東湖景點(diǎn)的概率均為，游客之間選擇意愿相互獨(dú)立.（1）從游客中隨機(jī)抽取3人，記總得分為隨機(jī)變量，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）（i）若從游客中隨機(jī)抽取人，記總分恰為分的概率為，求數(shù)列的前10項(xiàng)和；（）在對所有游客進(jìn)行隨機(jī)問卷調(diào)查過程中，記已調(diào)查過的累計(jì)得分恰為分的概率為，探討與之間的關(guān)系，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】（1）見解析（2）（i）（），【解析】【分析】（1）判斷出可能取值為3，4，5，6，分別求出概率，進(jìn)而求出其數(shù)學(xué)期望。（2）（i）由題可得首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，并求其前10項(xiàng)和。（）根據(jù)與之間的關(guān)系，用待定系數(shù)法得，進(jìn)一步就可求出的通項(xiàng)公式。【詳解】解：（1）可能取值為3，4，5，6.，.的分布列為3456（2）（i）總分恰為分的概率為，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，前10項(xiàng)和.（）已調(diào)查過累計(jì)得分恰為分的概率為，得不到分的情況只有先得分，再得2分，概率為，.所以，即.，.【點(diǎn)睛】本題是一道數(shù)列與概率的綜合問題，對于遞推式，可通過待定系數(shù)法求的通項(xiàng)公式，是一道中等難度的題目。22.已知函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù).（1）證明：當(dāng)時(shí)，上有唯一零點(diǎn)；（2）若存在，且時(shí)，證明：.【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】（1）求出，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，利用和判斷出上有唯一零點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，的最小值大于零，則在上沒