等離子體物理基礎(chǔ)期末考試(含答案).doc

版權(quán)所有，違者必究！中文版低溫等離子體作業(yè)一. 氬等離子體密度, 電子溫度, 離子溫度, 存在恒定均勻磁場(chǎng)B = 800 Gauss, 求（1） 德拜半徑； （2） 電子等離子體頻率和離子等離子體頻率； （3） 電子回旋頻率和離子回旋頻率； （4） 電子回旋半徑和離子回旋半徑。解：1、，2、氬原子量為40， ，3、4、設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)與磁場(chǎng)垂直 二、一個(gè)長(zhǎng)度為2L的柱對(duì)稱(chēng)磁鏡約束裝置，沿軸線(xiàn)磁場(chǎng)分布為，并滿(mǎn)足空間緩變條件。求：（1）帶電粒子能被約束住需滿(mǎn)足的條件。 （2）估計(jì)逃逸粒子占全部粒子的比例。 解：1、由B(z)分布，可以求出，由磁矩守恒得 ，即 （1）當(dāng)粒子能被約束時(shí)，由粒子能量守恒有，因此帶電粒子能被約束住的條件是在磁鏡中央，粒子速度滿(mǎn)足2、逃逸粒子百分比 （2）三、 在高頻電場(chǎng)中，僅考慮電子與中性粒子的彈性碰撞，并且碰撞頻率正比于速度。求電子的速度分布函數(shù)，電子平均動(dòng)能，并說(shuō)明當(dāng)時(shí)，電子遵守麥克斯韋爾分布。解：課件6.6節(jié)。電子分布函數(shù)滿(mǎn)足 因?yàn)榈某谠r(shí)間遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于的弛豫時(shí)間，因此近似認(rèn)為不隨時(shí)間改變，具有的頻率，即 (2.2)代入(1.2)中，得 （3）對(duì)比和的系數(shù)，(3)解得 （4）(4)代入(1.1)得 （5）對(duì)(5)求時(shí)間平均得 （6）引入有效電場(chǎng)代入(6)得 （7）對(duì)(7)兩端積分，得 （8）所以電子分布函數(shù)為 （9）其中A為歸一化系數(shù)，電子動(dòng)能為 （10）當(dāng)時(shí)， （11）為麥克斯韋分布。四、設(shè)一長(zhǎng)柱形放電室，放電由軸向電場(chǎng)維持，有均勻磁場(chǎng)沿著柱軸方向，求： （1）徑向雙極性電場(chǎng)和雙極擴(kuò)散系數(shù)； （2）電子和離子擴(kuò)散系數(shù)相等時(shí)，磁場(chǎng)滿(mǎn)足的條件； （3）當(dāng)磁場(chǎng)滿(mǎn)足什么條件時(shí)，雙極性電場(chǎng)指向柱軸。解：課件8.5節(jié)。1、粒子定向速度u滿(mǎn)足 （1）其中，。雙極性擴(kuò)散中，電子密度等于離子密度，電子通量等于離子通量，根據(jù)(1)，因此徑向方向上有 （2）解方程(2)得徑向雙極性電場(chǎng) （3）代入(2)得到 （4）因此徑向雙極擴(kuò)散系數(shù)為。2、電子和離子擴(kuò)散系數(shù)分別為 （5）解方程(5)得 （6）注意到，因此磁場(chǎng)滿(mǎn)足。 3、雙極性電場(chǎng)指向柱軸等價(jià)于 （7）當(dāng)考慮時(shí)，(7)簡(jiǎn)化為 （8）(8)成立即雙極性電場(chǎng)指向柱軸的條件是。五、如果溫度梯度效應(yīng)不能忽略, 推導(dǎo)無(wú)磁場(chǎng)時(shí)雙極擴(kuò)散系數(shù)和雙極性電場(chǎng)。解：粒子運(yùn)動(dòng)方程 （1）若等離子體溫度有梯度，即，有 （2）即 （3）其中。雙極性擴(kuò)散中，電子密度等于離子密度，電子通量等于離子通量，因此有 （4）由方程（4）解得雙極性電場(chǎng)滿(mǎn)足 （5）將（5）帶入（4），得 （6）因此雙極性擴(kuò)散系數(shù)為。六、推導(dǎo)出無(wú)碰撞鞘層Child定律和玻姆鞘層判據(jù)。解：課件9.1節(jié)。在無(wú)碰撞鞘層中作如下假設(shè)：電子具有麥克斯韋分布；離子溫度為0K；等離子體-鞘層邊界處坐標(biāo)為0，電場(chǎng)電勢(shì)為0，此處電子離子密度相等，離子速度為。根據(jù)粒子能量守恒得 （1）根據(jù)粒子通量守恒得 （2）解得，。電子滿(mǎn)足玻爾茲曼分布，帶入泊松方程得 （3）上式兩端乘并對(duì)x積分，注意有，得 （4）（4）要保證右端為正，當(dāng)時(shí)顯然成立。當(dāng)較小時(shí)，對(duì)其線(xiàn)形展開(kāi)得， 化簡(jiǎn)得玻姆鞘層判據(jù)。當(dāng)陰極鞘層的負(fù)偏壓較大時(shí)，此時(shí)（4）近似等于 （5）記，（5）兩邊開(kāi)方再積分，注意邊界條件得 （6）（6）中帶入邊界條件，化簡(jiǎn)得無(wú)碰撞鞘層Child定律 七、設(shè)一無(wú)碰撞朗謬爾鞘層厚度為S，電壓為V，證明：一個(gè)初始能量為零的離子穿過(guò)鞘層到達(dá)極板所需時(shí)間為，這里。解：朗繆爾鞘層中電勢(shì)的分布為 （1）Child定律為，帶入（1）得鞘層電勢(shì)分布滿(mǎn)足 （2）由粒子能量守恒得 （3）帶入得（2），化簡(jiǎn)得 （4）對(duì)于方程(4)將含x項(xiàng)移到左邊，兩邊乘dt再積分，注意到初始條件，得 （5）當(dāng)粒子到達(dá)極板時(shí)，有，帶入（5）得 八、 一個(gè)截面為正方形（邊長(zhǎng)為a）長(zhǎng)方體放電容器內(nèi)，縱向電場(chǎng)維持了定態(tài)等離子體，設(shè)直接電離項(xiàng)為，并忽略溫度梯度效應(yīng)，求： （1）在截面內(nèi)等離子體密度分布和電離平衡條件： （2）設(shè)縱向電流密度為，給出穿過(guò)放電室截面的總電流表達(dá)式。解：1、由平衡態(tài)粒子數(shù)守恒方程得，化簡(jiǎn)得亥姆霍茲方程 （1）對(duì)（1）分離變量法求解。設(shè)，有 （2）為了保證XY方向的對(duì)稱(chēng)性，所以有，考慮到邊界條件的限制，由（2）得 （3）注意到密度n恒正，所以自然數(shù)m只能等于1，由（3）得密度分布和電離條件為 （4）2、總電流為。九、電子靜電波的色散關(guān)系為，這里。給出波的相速度和群速度；證明在大的波數(shù)k時(shí)，波的相速度和群速度相等，并給出其值。證：群速，相速，當(dāng)k很大時(shí)。十、一個(gè)碰撞陰極鞘層，忽略鞘層中電子密度和電離效應(yīng)，取離子定向速度為，推導(dǎo)鞘層中的電場(chǎng)分布、電勢(shì)分布、碰撞情形Child定律及鞘層厚度與平均自由程的關(guān)系式。解：課件9.2節(jié)。粒子連續(xù)性方程滿(mǎn)足帶入得 （1）將（1）代入高斯公式得， 在鞘層邊界近似有，解得電場(chǎng)分布為 （2）令電勢(shì)滿(mǎn)足，對(duì)（2）積分得電勢(shì)分布為 （3）注意到，所以得到Child定律形式為 （4）由（4）得鞘層厚度與平均自由程的關(guān)系式為 （5）十一、由流體運(yùn)動(dòng)方程，忽略掉粘性應(yīng)力項(xiàng)，（1）推導(dǎo)出無(wú)磁場(chǎng)時(shí)電子、離子在等離子體中的定向速度表達(dá)式；（2）忽略溫度梯度，證明定向速度為零時(shí)，帶電粒子遵守波爾茲曼分布。解：1、課件7章。無(wú)磁場(chǎng)玻爾茲曼積分微分方程 （1）在速度空間上積分。方程(1)左邊第一項(xiàng)為 （2）左邊第二項(xiàng)為 （3）左邊第三項(xiàng)為 （4）右邊碰撞項(xiàng)為 （5）由(2)-(5)得粒子連續(xù)性方程 （6） 方程(1)兩端乘上mv，在速度空間上積分。方程(1)左邊第一項(xiàng)積分得 （7）令，其中u為定向速度，w為無(wú)規(guī)則速度。注意u不顯含v，第二項(xiàng)積分得 （8）因?yàn)閣為無(wú)規(guī)則速度，(8)第二項(xiàng)等于零；(8)的第四項(xiàng)為粘性應(yīng)力項(xiàng)，這里忽略為零；(8)的第三項(xiàng)為壓強(qiáng)的微觀表達(dá)式，當(dāng)粒子分布為各向同性的麥克斯韋分布時(shí) （9）所以 （10）將粒子連續(xù)性方程(6)，等式(10)代入積分(8)，并認(rèn)為粒子密度n不隨空間改變，得 （11）第三項(xiàng)積分得 （12）右邊碰撞項(xiàng)積分得 （13）由(7)、(11)、(12)、(13)得無(wú)磁場(chǎng)時(shí)帶電粒子在等離子體中的定向速度表達(dá)式 （14）2、當(dāng)定向速度并且忽略溫度梯度時(shí)，穩(wěn)定狀態(tài)下方程(7)變?yōu)?（15）代入于方程(8)中，得 （16）這里為積分常數(shù)，所以由(16)得到玻爾茲曼分布 十二、在等離子體源離子注入中，當(dāng)負(fù)高壓脈沖（幅值V）加到金屬靶上時(shí)，靶表面附近電子立即被排斥出鞘層區(qū)域，由于離子質(zhì)量大，沒(méi)有來(lái)得及運(yùn)動(dòng)，留下一個(gè)均勻的離子鞘層，設(shè)離子密度為常數(shù)n, 并假設(shè)在鞘層邊界電場(chǎng)和電勢(shì)為零，求平板、柱形和球形靶鞘層內(nèi)電場(chǎng)和電勢(shì)分布，以及鞘層厚度表達(dá)式。解：鞘層電勢(shì)滿(mǎn)足泊松方程 （1） 1、對(duì)于直角坐標(biāo)系，（1）為 （2）（2）積分得 帶入邊界條件，解得 （3）2、對(duì)于球坐標(biāo)系，（1）為 （4）（4）積分得 帶入邊界條件，解得 （5）鞘層厚度s滿(mǎn)足 （6）3、對(duì)于柱坐標(biāo)系，（1）為 （7）（7）積分得 帶入邊界條件，解得 （8）鞘層厚度s滿(mǎn)足 （9）版權(quán)所有，違者必究！英文版低溫等離子體作業(yè)1-1、In a strictly steady state situation, both the ions and the electrons will follow the Boltzmann relation.Show that the shielding distance is then given approximately by and that is determined by the temperature of the colder species.解：英文版1.4節(jié)。泊松方程滿(mǎn)足 （1）對(duì)（1）的右端做線(xiàn)性展開(kāi)，保留電勢(shì)的一階項(xiàng)得 （2）假設(shè)電勢(shì)是球?qū)ΨQ(chēng)的，在球坐標(biāo)系下（2）變成 （3）注意邊界條件，解得電勢(shì)分布并求出表達(dá)式 （4）當(dāng)時(shí)，德拜長(zhǎng)度 （5）取決于較小的溫度值。2-1、The magnetic moment of a charged particle gyrating in a magnetic field is defined as the product of the current generated by the rotating particle times the area enclosed by the rotation. Show that this is equal to .證：粒子所受的力F滿(mǎn)足 （1）解得粒子回旋半徑和回旋頻率為 （2）粒子在垂直磁場(chǎng)方向上圓周運(yùn)動(dòng)形成一個(gè)小的電流環(huán)，其電流滿(mǎn)足 （3）所以，此電流環(huán)的磁矩為 （4）2-2、Consider a uniform magnetic field and a transverse electric field that varies slowly with time. Then the electric drift velocity also varies slowly with time. Therefore there is an inertial force. Show that the polarization drift can be deduced by the expression of the drift in the general force field. So it is also called inertial drift.證：粒子在電場(chǎng)中的漂移速度為 （1）所以粒子在時(shí)變電場(chǎng)中所受的慣性力為 （2）粒子在一般力場(chǎng)中的漂移速度為 （3）將（2）代入（3），注意，得 （4）這正是極化漂移的速度公式。2-3、Consider the magnetic mirror system with length L. The magnetic field may be approximated by ,where denotes the coordinate from the midplane along the field. z(1) which particle will be confined? (2) Calculate the probability of loss. (3) Show that particle motion is simple harmonic and give out the frequency. 解：1、1、由B(z)分布，可以求出，由磁矩守恒得 ，即 （1）當(dāng)粒子能被約束時(shí)，由粒子能量守恒有，因此帶電粒子能被約束住的條件是在磁鏡中央，粒子速度滿(mǎn)足2、逃逸粒子百分比 （2）3、在z軸方向，粒子受力F等于 （3）粒子運(yùn)動(dòng)方程為 （4）粒子運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其頻率為。5-1、Assuming that the distribution function for electrons is the Druyvesteyn distribution, calculate the average electron energy and the directed velocity.解：德留維斯坦分布為 （1）歸一化系數(shù)A滿(mǎn)足 （2）令代入(2)得 （3）所以歸一化系數(shù)。平均動(dòng)能為 定向速度為 *7-1、Consider a high-pressure steady-state discharge confined inside of a rectangular box having edges of length a meters along x, b meters along y, and c meters along z. The center of the box is located at . The plasma is created by a volume ionization and is lost to the walls by ambipolar diffusion with a constant ambipolar diffusion coefficient . Here i is the electron-neutral ionization frequency. Assume that the electron density is in the center of the box and is zero on the walls. (a) Find an expression for the density inside the box. (b) Find the relation between ,and the dimensions of the box. 解：由平衡態(tài)粒子數(shù)守恒方程得，化簡(jiǎn)得亥姆霍茲方程 （1）對(duì)（1）分離變量法求解。設(shè)，有 解方程（2.1），考慮到邊界條件和得 （3.1）同理有 ， (3.2) （3.3）注意到，由(3.1)(3.2)(3.3)得 （4）由(2.4)得電離平衡條件 （5）8-1、Calculate the electric potential and field and the ion density distributions in child law sheath.解：