立體幾何基礎(chǔ)題題庫(kù)401-450.doc

學(xué)而思教育學(xué)習(xí)改變命運(yùn) 思考成就未來(lái)！ 高考網(wǎng)立體幾何基礎(chǔ)題題庫(kù)401-450（有詳細(xì)答案）401. 如圖在ABC中，ACB90，BCa,ACb,D是斜邊AB上的點(diǎn)，以CD為棱把它折成直二面角ACDB后，D在怎樣的位置時(shí)，AB為最小，最小值是多少?解析： 設(shè)ACD，則BCD90-，作AMCD于M，BNCD于N，于是AMbsin,CNasin.MNasin-bcos，因?yàn)锳CDB是直二面角，AMCD，BNCD，AM與BN成90的角，于是AB.當(dāng)45即CD是ACB的平分線時(shí)，AB有最小值，最小值為.402.自二面角內(nèi)一點(diǎn)分別向兩個(gè)面引垂線，求證：它們所成的角與二面角的平面角互補(bǔ).已知：從二面角AB內(nèi)一點(diǎn)P，向面和分別引垂線PC和PD，它們的垂足是C和D.求證：CPD和二面角的平面角互補(bǔ).證：設(shè)過(guò)PC和PD的平面PCD與棱AB交于點(diǎn)E，PC，PDPCAB，PDABCEAB，DEAB又CE，DE，CED是二面角AB的平面角.在四邊形PCED內(nèi)：C90，D90CPD和二面角AB的平面CBD互補(bǔ).403.求證：在已知二面角，從二面角的棱出發(fā)的一個(gè)半平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，到二面角兩個(gè)面的距離的比是一個(gè)常數(shù).已知：二面角ED，平面過(guò)ED，A，AB，垂足是B.AC，垂足是C.求證：ABACk(k為常數(shù))證明：過(guò)AB、AC的平面與棱DE交于點(diǎn)F，連結(jié)AF、BF、CF.AB，AC.ABDE，ACDE.DE平面ABC.BFDE，AFDE，CFDE.BFA，AFC分別為二面角DE，DE的平面角，它們?yōu)槎ㄖ?在RtABF中，ABAFsinAFB.在RtAFC中，ACAFsinAFC，得：定值.404. 如果直線l、m與平面、滿(mǎn)足l，l,m和m.那么必有( )A.且lm B.且mC.m且lmD.且解析：m,m. .又m,l. ml.應(yīng)選A.說(shuō)明 本題考查線面垂直、面面垂直及綜合應(yīng)用推理判斷能力及空間想象能力.405. 如圖，在梯形ABCD中，ADBC，ABC，ABa,AD3a,且ADCarcsin，又PA平面ABCD，APa.求：(1)二面角PCDA的大小(用反三角函數(shù)表示)；(2)點(diǎn)A到平面PBC的距離.解析：(1)作CDAD于D，ABCD為矩形，CDABa，在RtCDD中.ADCarcsin,即DDCarcsin，sinCDDCDa DD2aAD3a,ADaBC又在RtABC中，ACa,PA平面ABCD，PAAC，PAAD，PAAB.在RtPAB中，可得PBa.在RtPAC中，可得PCa.在RtPAD中，PDa.PC2+CD2(a)2+(a)8a2(a)2cosPCD0，則PCD90作PECD于E，E在DC延長(zhǎng)線上，連AE，由三垂線定理的逆定理得AECD，AEP為二面角PCDA的平面角.在RtAED中ADEarcsin，AD3a.AEADsinADE3aa.在RtPAE中，tanPEA.AEParctan，即二面角PCDA的大小為arctan.(2)ADPA，ADAB，AD平面PAB.BCAD，BC平面PAB.平面PBC平面PAB，作AHPB于H，AH平面PBC.AH為點(diǎn)A到平面PBC的距離.在RtPAB中，AHa.即A到平面PBC的距離為a.說(shuō)明 (1)中輔助線AE的具體位置可以不確定在DC延長(zhǎng)線上，而直接作AECD于E，得PECD，從而PEA為所求，同樣可得結(jié)果，避免過(guò)多的推算.(2)中距離的計(jì)算，在學(xué)習(xí)幾何體之后可用“等體積法”求.406. 如圖，在二面角l中，A、B，C、Dl，ABCD為矩形，P，PA，且PAAD，M、N依次是AB、PC的中點(diǎn).(1)求二面角l的大??；(2)求證：MNAB；(3)求異面直線PA與MN所成角的大小.解析：(1)連PD，ABCD為矩形，ADDC，即ADl.又PAl，PDl.P、D，則PDA為二面角l的平面角.PAAD，PAAD，PAD是等腰直角三角形，PDA45，即二面角l的大小為45.(2)過(guò)M作MEAD，交CD于E，連結(jié)NE，則MECD，NECD，因此，CD平面MNE，CDMN.ABCD，MNAB(3)過(guò)N作NFCD，交PD于F，則F為PD的中點(diǎn).連結(jié)AF，則AF為PAD的角平線，F(xiàn)AD45，而AFMN，異面直線PA與MN所成的45角.407. 如圖，在三棱柱ABCABC中，四邊形AABB是菱形，四邊形BCCB是矩形，CBAB.(1)求證：平面CAB平面AAB；(2)若CB2，AB4，ABB60，求AC與平面BCCB所成角的大小.(用反三角函數(shù)表示)解析：(1)在三棱柱ABCABC中，CBCB，CBAB.CBBB，ABBBB，CB平面AAB.CB平面CAB，平面CAB平面AAB(2)由四邊形AABB是菱形，ABB60，連AB，可知ABB是正三角形.取 B B中點(diǎn)H，連結(jié)AH，則AHBB.又由CB平面AAB，得平面AABB平面 CBBC，而AH垂直于兩平面交線BB，AH平面CBBC.連結(jié)CH，則ACH為 AC與平面BCCB所成的角，AB4，AH2，于是直角三角形CBA中，AC5，在RtAHC中，sinACHACHarcsin,直線AC與平面BCCB所成的角是arcsin.408. 已知四棱錐PABCD，它的底面是邊長(zhǎng)為a的菱形，且ABC120，PC平面ABCD，又PCa，E為PA的中點(diǎn).(1)求證：平面EBD平面ABCD；(2)求點(diǎn)E到平面PBC的距離；(3)求二面角ABED的大小.(1)證明: 在四棱錐PABCD中，底面是菱形，連結(jié)AC、BD，交于F，則F為AC的中點(diǎn).又E為AD的中點(diǎn)，EFPC又PC平面ABCD，EF平面ABCD.EF平面EBD.平面EBD平面ABCD.(2)EFPC，EF平面PBCE到平面PBC的距離即是EF到平面PBC的距離過(guò)F作FHBC交BC于H，PC平面ABCD，F(xiàn)H平面ABCDPCFH.又BCFH，F(xiàn)H平面PBC，則FH是F到平面PBC的距離，也是E到平面PBC的距離.FCH30，CFa.FHCFa.(3)取BE的中點(diǎn)G，連接FG、AG由(1)的結(jié)論，平面BDE平面ABCD，AFBD，AF平面BDC.BFEF，F(xiàn)GBE，由三垂線定理得，AGBE，F(xiàn)GA為二面角DBEA的平面角.FGa,AFa.tgFGA,FAGarctg即二面角ABED的大小為arctg409. 若ABC所在的平面和A1B1C1所在平面相交，并且直線AA1、BB1、CC1相交于一點(diǎn)O，求證：(1)AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分別在同一平面內(nèi)；(2)如果AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分別相交，那么交點(diǎn)在同一直線上(如圖).(1)證明：AA1BB1O,AA1、BB1確定平面BAO，A、A1、B、B1都在平面ABO內(nèi)，AB平面ABO；A1B1平面ABO.同理可證，BC和B1C1、AC和A1C1分別在同一平面內(nèi).(2)分析：欲證兩直線的交點(diǎn)在一條直線上，可根據(jù)公理2，證明這兩條直線分別在兩個(gè)相交平面內(nèi)，那么，它們的交點(diǎn)就在這兩個(gè)平面的交線上.證明：如圖，設(shè)ABA1B1P；ACA1C1R； 面ABC面A1B1C1PR. BC面ABC；B1C1面A1B1C1，且 BCB1C1Q QPR,即 P、R、Q在同一直線上.410. 點(diǎn)P、Q、R分別在三棱錐A-BCD的三條側(cè)棱上，且PQBCX,QRCDZ,PRBDY.求證：X、Y、Z三點(diǎn)共線.解析： 證明點(diǎn)共線的基本方法是利用公理2，證明這些點(diǎn)是兩個(gè)平面的公共點(diǎn).證明 P、Q、R三點(diǎn)不共線，P、Q、R三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面. XPQ，PQ，X，又XBC，BC面BCD，X平面BCD. 點(diǎn)X是平面和平面BCD的公共點(diǎn).同理可證，點(diǎn)Y、Z都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，即點(diǎn)X、Y、Z都在平面和平面BCD的交線上.411. 直線m、n分別和平行直線a、b、c都相交，交點(diǎn)為A、B、C、D、E、F，如圖，求證：直線a、b、c、m、n共面.解析： 證明若干條直線共面的方法有兩類(lèi)：一是先確定一個(gè)平面，證明其余的直線在這個(gè)平面里；二是分別確定幾個(gè)平面，然后證明這些平面重合.證明 ab,過(guò)a、b可以確定一個(gè)平面.Aa,a，A,同理Ba.又Am，Bm,m.同理可證n.bc,過(guò)b,c可以確定平面，同理可證m.平面、都經(jīng)過(guò)相交直線b、m,平面和平面重合，即直線a、b、c、m、n共面.412. 證明兩兩相交而不共點(diǎn)的四條直線在同一平面內(nèi).已知：如圖，直線l1，l2，l3，l4兩兩相交，且不共點(diǎn).求證：直線l1，l2，l3，l4在同一平面內(nèi)解析：證明幾條直線共面的依據(jù)是公理3及推論和公理1.先證某兩線確定平面，然后證其它直線也在內(nèi).證明：圖中，l1l2P， l1,l2確定平面.又 l1l3A,l2l3C, C,A.故 l3.同理 l4. l1,l2,l3,l4共面.圖中，l1,l2,l3,l4的位置關(guān)系，同理可證l1,l2,l3,l4共面.所以結(jié)論成立.413. 證明推論3成立.（如圖）已知：ab，求證：經(jīng)過(guò)a,b的平面有且只有一個(gè).證明：(存在性)ab，由平行線的定義知：a、b共面，所以經(jīng)過(guò)a、b的平面有一個(gè).(唯一性)，在a上取兩點(diǎn)A、B，在b上取一點(diǎn)C.ab,A、B、C三點(diǎn)不共線，由公理3知過(guò)A、B、C三點(diǎn)的平面只有一個(gè)，從而過(guò)a,b兩直線的平面也是惟一的.414.一條直線過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)，它和這個(gè)平面有幾個(gè)公共點(diǎn)?為什么?解析：只有一個(gè)，假設(shè)有兩個(gè)公共點(diǎn)，由公理1知該直線上所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)，這和直線過(guò)平面外一點(diǎn)矛盾.415.過(guò)已知直線外一點(diǎn)與這條直線上的三點(diǎn)分別畫(huà)三條直線，證明：這三條直線在同一平面內(nèi).解答：已知：Aa，如圖，B、C、Da，證明：AB、AC、AD共面.證明：Aa，A，a確定平面，B、C、Da，a.B、C、D又A.AB、AC、AD.即AB、AC、AD共面.416. 空間可以確定一個(gè)平面的條件是( )A.兩條直線 B.一點(diǎn)和一直線C.一個(gè)三角形D.三個(gè)點(diǎn)解析： 由推論2和推論3知兩條相交直線或者兩條平行直線才確定一個(gè)平面，兩條直線還有位置關(guān)系異面.故排除A，由推論1知點(diǎn)必在線外才合適，排除B.由公理3知不共線三點(diǎn)可確定一個(gè)平面，D中三個(gè)點(diǎn)不一定不共線，排除D.公理3結(jié)合公理1，知選C.417. 下列命題正確的是( )A.經(jīng)過(guò)兩條直線有且只有一個(gè)平面B.經(jīng)過(guò)一條直線和一個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)平面C.如果平面與有三個(gè)公共點(diǎn)，則兩個(gè)平面一定是重合平面D.兩個(gè)平面、有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過(guò)這個(gè)點(diǎn)的公共直線解析：根據(jù)公理2、公理3知選D.418. 已知四點(diǎn)，無(wú)三點(diǎn)共線，則可以確定( )A.1個(gè)平面B.4個(gè)平面C.1個(gè)或4個(gè)平面D.無(wú)法確定解析： 因?yàn)闊o(wú)三點(diǎn)共線，所以任意三個(gè)點(diǎn)都可以確定平面，若第四個(gè)點(diǎn)也在內(nèi)，四個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面，當(dāng)?shù)谒膫€(gè)點(diǎn)在外，由公理3知可確定4個(gè)平面.故選C.419. 已知球的兩個(gè)平行截面的面積分別為5和8，它們位于球心的同一側(cè)且相距是1，那么這個(gè)球的半徑是( )A.4B.3C.2D.5解析： 如圖，設(shè)球的半徑是r，則BD25，AC28，BD25，AC28.又AB1，設(shè)OAx.x2+8r2,(x+1)2+5r2.解之，得r3故選B.420. 在桌面上有三個(gè)球兩兩相切，且半徑都為1，在桌面與三球間放置一個(gè)小球，使它與三個(gè)球相切.求此小球半徑.解析： 如圖，球O為放置在桌面上與已知三球相切的半徑為r的小球，過(guò)O作O1O2O3平面的垂線，垂足為H，它一定是O1O2O3的中心，連接O1H，O1O，在RtO1OH中，O1H，OH1-r,OO11+r,OO12O1H2+OH2，即(1+r)2()2+(1-r)2，解得r.421. 地球半徑為R，在北緯45圈上有A、B兩點(diǎn)，它們的經(jīng)度差為，求球面上A、B兩點(diǎn)間球面距離.解析：本題關(guān)鍵是求出AOB的大小，(如圖1)現(xiàn)在我們將這個(gè)球的截面問(wèn)題轉(zhuǎn)化為較為熟悉的長(zhǎng)方體問(wèn)題.如圖2，以O(shè)1O，O1A，O1B為三條相互垂直的棱，可構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)方體，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體截面ABO內(nèi)求BOA的問(wèn)題.解： 如圖2，O1OAO1OB，OAOBR，OO1O1AO1BR AB2O1A2+O1B2R， AOB為等邊， AOB，A、B間的球面距離為R.422. 一個(gè)圓在平面上的射影圖形是( )A.圓B.橢圓C.線段D.圓或橢圓或線段解析：D423. 兩面都是凸形的鏡中，它的面都是球冠形，球半徑分別為10cm和17cm，兩球心間的距離為21cm，求此鏡面的表面積和體積.解析：軸截面如圖，設(shè)O2Cx，則CO121-x,ABO1O2 AO22-O2C2AO12-CO12，即102-x2172-(21-x)2，解得x6,CO115,又設(shè)左邊球缺的高為h1,右邊的球缺高為h2，則h117-152,h210-64,S表2(172+104)148(cm)2,V22(310-2)+42(317-4)288(cm3).424. 正三棱錐的底面邊長(zhǎng)是2cm，側(cè)棱與底面成60角，求它的外接球的表面積.解析：如圖，PD是三棱錐的高，則D是ABC的中心，延長(zhǎng)PD交球于E，則PE就是外接球的直徑，ADAB，PAD60，PDADtan602,PA，而APAE，PA2PDPE，R，S球(cm)2.425. 求證：球的外切正四面體的高是球的直徑的2倍.證明： 設(shè)球的半徑為R，正四面體的高為h，側(cè)面積為S，則有VABCDVOABC+VOABD+VOBCD，如圖，即Sh4SR,h4R.426. 地球半徑為R，A、B兩地都在北緯45線上，且A、B的球面距離為，求A、B兩地經(jīng)度的差.解析：如圖，O為球心，O1為北緯45小圓的圓心，知A、B的球面距離，就可求得AOB的弧度數(shù)，進(jìn)而求得線段AB的長(zhǎng)，在AO1B中，AO1B的大小就是A、B兩地的經(jīng)度差.解： 設(shè)O1是北緯45圓的中心，A、B都在此圓上，O1AO1BR.A、B的球面距離為，AOB,AOB為等邊三角形.ABR，在AO1B中，O1A2+O1B2R2+R2R2AB2，AO1B90.A、B兩地的經(jīng)度差是90.評(píng)析：注意搞清緯度和經(jīng)度的問(wèn)題，球面距離三步驟的運(yùn)用是非常重要的問(wèn)題.427. 已知圓錐的母線長(zhǎng)為l，母線對(duì)圓錐底面的傾角為，在這個(gè)圓錐內(nèi)有一內(nèi)切球，球內(nèi)又有一個(gè)內(nèi)接的正方體，求這個(gè)內(nèi)接正方體的體積.解析：設(shè)球半徑為R，以?xún)?nèi)接正方體對(duì)角面為軸截面，如圖.連接OA，OAD，RODADtan,VAl,ADlcos,Rlcostan,又設(shè)正方體棱長(zhǎng)為x，則3x2EG24R2,xR.V正方體(lcostan)3.428. 如圖，過(guò)半徑為R的球面上一點(diǎn)P作三條兩兩垂直的弦PA、PB、PC，(1)求證：PA2+PB2+PC2為定值；(2)求三棱錐PABC的體積的最大值.解析：先選其中兩條弦PA、PB，設(shè)其確定的平面截球得O1，AB是O1的直徑，連PO1并延長(zhǎng)交O1于D，PADB是矩形，PD2AB2PA2+PB2，然后只要證得PC和PD確定是大圓就可以了.解： (1)設(shè)過(guò)PA、PB的平面截球得O1，PAPB，AB是O1的直徑，連PO1并延長(zhǎng)交O1于D，則PADB是矩形，PD2PA2+PB2.設(shè)O為球心，則OO1平面O1，PCO1平面，OO1PC，因此過(guò)PC、PD的平面經(jīng)過(guò)球心O，截球得大圓，又PCPD.CD是球的直徑.故 PA2+PB2+PC2PD2+PC2CD24R2定值.(2)設(shè)PA、PB、PC的長(zhǎng)分別為x、y、z，則三棱錐PABC的體積Vxyz，V2x2y2z2()3R6.VR3.即 V最大R3.評(píng)析：定值問(wèn)題可用特殊情況先“探求”，如本題(1)若先考慮PAB是大圓，探求得定值4R2可為(1)的證明指明方向.球面上任一點(diǎn)對(duì)球的直徑所張的角等于90，這應(yīng)記作很重要的性質(zhì).429. 求棱長(zhǎng)為a的正四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑.解析：如圖，作AH底面BCD于H，則AHa，設(shè)內(nèi)切球的球心為O，半徑為r，O點(diǎn)與A、B、C、D相連，得四個(gè)錐體，設(shè)底面為S，則每個(gè)側(cè)面積為S，有4SrSAH，rAHa,設(shè)外接球心為O，半徑R，過(guò)A點(diǎn)作球的半徑交底面BCD于H，則H為BCD的外心，求得BHa,AHa,由相交弦定理得a(2R-a)(a)2.解得Ra.430.求證：球的任意兩個(gè)大圓互相平分.證明：因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)大圓都過(guò)球心O，所以它們必交于過(guò)球心的直徑，這條直徑也是兩個(gè)大圓的公共直徑，所以任意兩個(gè)大圓互相平分.2.在球心的同一側(cè)有相距9cm的兩個(gè)平行截面，它們的面積各為49cm2和400cm2.求球的表面積.解： 如圖，設(shè)球的半徑為R，O2B249， O2B7同理 O1A20設(shè)OO1xcm，則OO2(x+9)cm.在RtOO1A中，可得R2x2+202在RtOO2B中，可得R272+(x+9)2x2+20272+(x+9)2解方程得 x15cmR2x2+202252S球4OA22500(cm2)431. 球面上有3個(gè)點(diǎn)，其中任意兩點(diǎn)的球面距離都等于大圓周長(zhǎng)的，經(jīng)過(guò)3個(gè)點(diǎn)的小圓的周長(zhǎng)為4，那么這個(gè)球的半徑為( )A.4 B.2 C.2 D. 解析： 設(shè)球半徑為R，小圓半徑為r，則2r4,r2.如圖，設(shè)三點(diǎn)A、B、C，O為球心，AOBBOCCOA，又OAOBAOB是等邊三角形同理，BOC、COA都是等邊三角形，得ABC為等邊三角形.邊長(zhǎng)等于球半徑R，r為ABC的外接圓半徑.rABR Rr2應(yīng)選B.432. 已知球面上A、B、C三點(diǎn)的截面和球心的距離都是球半徑的一半，且ABBCCA2，則球表面積是( )A.B.C.4D.解析： 如圖，過(guò)ABC三點(diǎn)的截面圓的圓心是O，球心是O，連結(jié)AO、OO，則OO AO.ABC中，ABBCCA2，故ABC為正三角形.AO2設(shè)球半徑為R，則OAR，OO在RtOAO中，OA2OO2+OA2，即R2+()2R球面面積為4R2應(yīng)選A.說(shuō)明 因?yàn)镽OAOAAB1，所以球面積S4R24.從而選A.433. 長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱分別是3、4、5，且它的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，這個(gè)球的表面積是( )A.20B.25C.50D.200解析： 正方體的對(duì)角線為l，球的半徑為R，則l2R.得：l24R232+42+5250從而 S球4R250應(yīng)選C.434. 在球面上有四個(gè)點(diǎn)P、A、B、C.如果PA、PB、PC兩兩互相垂直，且PAPBPCa,那么這個(gè)球的表面積是 .解析：由已知可得PA、PB、PC實(shí)際上就是球內(nèi)接正方體中交于一點(diǎn)的三條棱，正方體的對(duì)角線長(zhǎng)就是球的直徑，連結(jié)過(guò)點(diǎn)C的一條對(duì)角線CD，則CD過(guò)球心O，對(duì)角線CDa.S球表面積4(a)23a2.435. 圓柱形容器的內(nèi)壁底半徑為5cm，兩個(gè)直徑為5cm的玻璃小球都浸沒(méi)于容器的水中，若取出這兩個(gè)小球，則容器內(nèi)的水面將下降 cm.解析：球的體積等于它在容器中排開(kāi)水的體積.解： 設(shè)取出小球后，容器水平面將下降hcm，兩小球體積為V球252h,V1 V球即 25h hcm.應(yīng)填.436. 空間四邊形ABCD的四條邊相等，那么它的兩條對(duì)角線AC和BD的關(guān)系是（）A相交且垂直 B相交但不垂直C不相交也不垂直 D不相交但垂直解析：D取BD中點(diǎn)O，則BDAO，BDCO，故BD平面ACO，因此BDAC437. 已知a、b是異面直線，那么經(jīng)過(guò)b的所在平面中（）A只有一個(gè)平面與a平行 B有無(wú)數(shù)個(gè)平面與a平行C只有一個(gè)平面與a垂直 D有無(wú)數(shù)個(gè)平面與a垂直解析：A過(guò)b上任一點(diǎn)P作直線，由和b確定的平面a 與a平行，這個(gè)平面是過(guò)b且平行于a的唯一一個(gè)平面故排除B當(dāng)a與b不垂直時(shí)，假設(shè)存在平面b ，使bb ，且ab ，則ab，這與a、b不垂直矛盾，所以當(dāng)a、b不垂直時(shí)，不存在經(jīng)過(guò)b且與a垂直的平面，當(dāng)a、b垂直時(shí)，過(guò)b且與a垂直的平面是唯一的，設(shè)a、b的公垂線為c，則由c和b所確定的平面與a垂直，且唯一438. 若直線l與平面a 所成角為，直線a在平面a 內(nèi)，且與直線l異面，則直線l與直線a所成的角的取值范圍是（）A BC D解析：C因?yàn)橹本€l是平面的斜線，斜線與平面所成的角，是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)的直線所成的一切角中最小的角，故a與l所成的角大于或等于；又因?yàn)楫惷嬷本€所成的角不大于，故選C439. 直線a、b均在平面a 外，若a、b在平面a 上的射影是兩條相交直線，則a和b的位置關(guān)系是（）A異面直線 B相交直線 C平行直線 D相交或異面直線解析：D440. ABCD是平面a 內(nèi)的一個(gè)四邊形，P是平面a 外的一點(diǎn)，則PAB、PBC、PCD、PDA中是直角三角形的最多有（）A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)解析：D作矩形ABCD，PA平面AC，則所有的三角形都是直角三角形441. 已知直線PG平面a 于G，直線EFa ，且PFEF于F，那么線段PE、PF、PG的關(guān)系是（）APEPGPF BPGPFPECPEPFPG DPFPEPG解析：C如圖答9-17PGa ，EFa ，PFEF，則GFEF在RtPGF中，PF為斜邊，PG為直角邊，PFPG在RtPFE中，PF為直角邊，PE為斜邊，PEPF，所以有PEPFPG442. 下列命題中正確的是（）A若a是平面a 的斜線，直線b垂直于a在平面a 內(nèi)的射影為，則abB若a是平面a 的斜線，平面b 內(nèi)的直線b垂直于a在平面a 內(nèi)的射影為，則a bC若a是平面a 的斜線，直線b平行于平面a ，且b垂直于a在平面a 內(nèi)的射影，則abD若a是平面a 的斜線，b是平面a 內(nèi)的直線，且b垂直于a在另一個(gè)平面b 內(nèi)的射影，則ab解析：C如圖答9-18，直線b垂直于a在平面a 內(nèi)的射影，但不能得出ab的結(jié)論排除A令b 是直線a與其在a 內(nèi)的射影確定的平面，在b 內(nèi)取垂直于的直線為b，不能得出ab的結(jié)論排除B同理排除D如圖答9-19，在a 內(nèi)任取點(diǎn)P， ，則過(guò)b與P確定平面g ，設(shè)，因?yàn)閎a ，則 ， ， ba于是C正確443. 設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則（1）A到的距離等于_；（2）A到的距離等于_；（3）A到平面的距離等于_；（4）AB到平面的距離等于_解析：1）連接，AC，則，取的中點(diǎn)E，連結(jié)AE，則 AE為點(diǎn)A到直線的距離，在RtACE中， ， 即A到、C的距離等于（2）連結(jié) AB平面， 在Rt中，AB=1，設(shè)A到的距離為h，則即， ，即點(diǎn)A到的距離為（3）連結(jié)交于F，則 CD平面，且AF平面， CDAF CDAD=D， AF平面 AF為點(diǎn)A到平面的距離 ， （4） ABCD， AB平面， AB到平面的距離等于A點(diǎn)到平面的距離，等于444. 已知正方體則（1）與平面ABCD所成的角等于_；（2）與平面ABCD所成的角的正切值等于_；（3）與平面所成的角等于_ ；（4）與平面所成的角等于_；（5）與平面所成的角等于_.解析：（1） 平面ABCD， 為與平面ABCD所成的角，=45（2） 平面ABCD， 為與平面ABCD所成的角設(shè)，則， （3） 平面， 平面， 與平面所成的角為0（4） 平面， 與平面所成的角為90（5）連結(jié)AC，交AD于H連結(jié)， 平面ABCD，CH平面ABCD， ，又 CHBD， CH平面 為在平面內(nèi)的射影 為與平面所成的角設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則， ，即與平面所成的角為30445. 如圖9-29，PA平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)求證：MNAB圖9-29解析：連結(jié)AC，取AC中點(diǎn)O，連結(jié)OM，ON由OMBC，得OMAB又NOPA，且PAAB，故NOAB由此可得AB平面OMN因此MNAB446. 如圖9-30，直線a、b是異面直線，它們所成角為30，為a、b的公垂線段，另有B在直線a上，且BA=2cm，求點(diǎn)B到直線b的