醫(yī)學(xué)高等數(shù)學(xué)習(xí)題解答(1,2,3,6).doc

醫(yī)用高等數(shù)學(xué)習(xí)題解答（第1,2,3,6章）- 37 -第一章 函數(shù)、極限與連續(xù)習(xí)題題解(P27)一、判斷題題解1. 正確。設(shè)h(x)=f(x)+f(-x), 則h(-x)= f(-x)+f(x)= h(x)。故為偶函數(shù)。2. 錯(cuò)。y=2lnx的定義域(0,+), y=lnx2的定義域(-,0)(0,+)。定義域不同。3. 錯(cuò)。故無界。4. 錯(cuò)。在x0點(diǎn)極限存在不一定連續(xù)。5. 錯(cuò)。逐漸增大。6. 正確。設(shè)，當(dāng)x無限趨向于x0,并在x0的鄰域內(nèi)，有。7. 正確。反證法：設(shè)F(x)=f(x)+g(x)在x0處連續(xù)，則g(x) =F(x)-f(x)，在x0處F(x)，f(x)均連續(xù)，從而g(x)在x=x0處也連續(xù)，與已知條件矛盾。8. 正確。是復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理。二、選擇題題解1. 2. y=x (C)3. (A)4. (B)5. (B)6. (D)7. 畫出圖形后知：最大值是3，最小值是-10。 (A)8. 設(shè),則，連續(xù)，由介質(zhì)定理可知。 (D)三、填空題題解1. 2. 是奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。3. ,。4. ,可以寫成。5. 設(shè)，6. 有界，故極限為0。7. 8. ,而，得c=6, 從而b=6, a=-7。9. 10. 11. 設(shè)u=ex-1，12. 由處連續(xù)定義，得：a=1。四、解答題題解1. 求定義域(1) , 定義域?yàn)楹蛒=0(2) 定義域?yàn)?3) 設(shè)圓柱底半徑為r，高為h，則v=pr2h, ，則罐頭筒的全面積，其定義域?yàn)?0,+)。(4) 經(jīng)過一天細(xì)菌數(shù)為，經(jīng)過兩天細(xì)菌數(shù)為,故經(jīng)過x天的細(xì)菌數(shù)為，其定義域?yàn)?,+)。2. ，。3. ,。4. 證明：。5. 令x+1=t, 則x=t-1。，所以：。6. 求函數(shù)的極限(1) 原式=。(2) 原式=。(3) 原式=。(4) 原式=。(5) 原式=。（P289常見三角公式提示）(6) 原式=，令，則，令，則，原式=。(7) 原式= e3。(8) 原式= e2。(9) 原式=。(10) 令，則，原式=(填空題11)。7. ，, =8. 指出下列各題的無窮大量和無窮小量(1) ，為無窮小量。(2) ，為無窮小量。(3) ，為無窮小量。(4) ，為無窮大量。9. 比較下列無窮小量的階，當(dāng)x1時(shí)，1-x與1-x3是同階無窮小。1-x與是等階無窮小。10. 當(dāng)x0時(shí)，x2是無窮小量，當(dāng)x時(shí)，x2是無窮大量；當(dāng)x1時(shí)，是無窮小量，當(dāng)x0時(shí)，是無窮大量；當(dāng)x+時(shí)，e-x是無窮小量，當(dāng)x-時(shí)，e-x是無窮大量。11. 。12. ，b=1，=1，a=-113. ，14. 設(shè)，由介質(zhì)定理推論知：在(0,2)上至少存在一點(diǎn)x0使得，即。15. 設(shè)，它在0,a+b上連續(xù)，且，若，則a+b就是方程的根。若，由介質(zhì)定理推論知：至少存在一點(diǎn)x(0, a+b), 使得,即x是的根。綜上所述，方程至少且個(gè)正根，并且它不超過a+b。16. (1)(g)；(2)(g)；(3)(周)。17. 設(shè)，則F(x)在a,b上連續(xù)，由介質(zhì)定理推論知：至少存在一點(diǎn)x(a, b), 使得。即。所以與在(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)交點(diǎn)。第二章 一元函數(shù)微分學(xué)習(xí)題題解(P66)一、判斷題題解1. 正確。設(shè)y=f(x), 則。2. 正確。反證法。假設(shè)在x0點(diǎn)可導(dǎo)，則在x0點(diǎn)也可導(dǎo)，與題設(shè)矛盾。故命題成立。3. 錯(cuò)。極值點(diǎn)也可能發(fā)生一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)上。4. 錯(cuò)。如圖。5. 錯(cuò)。拐點(diǎn)也可能發(fā)生二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)上。6. 錯(cuò)。不滿足拉格朗日中值的結(jié)論。7. 錯(cuò)。設(shè), ，則：，顯然在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為1，在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)不存在，而在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0。是可導(dǎo)的。8. 錯(cuò)。設(shè)和，顯然它們?cè)?-,+)上是單調(diào)增函數(shù)，但在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0，的導(dǎo)數(shù)不存在。二、選擇題題解1. 設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線的斜率，切線方程為：過得，又有，解方程組得：，切線方程為：。(A)2. 可導(dǎo)一定連續(xù)。(C)3. 連續(xù)但不可導(dǎo)。(C)4. 因?yàn)椤?B)5. ，在x=0處導(dǎo)數(shù)不存在，但y1在x=0處切線不存在，y2在x=0處切線存在。(D)。6. 可導(dǎo)。(C)7. ，。(B)8. 。(B)三、填空題題解1. ,。2. 3. , 。4. 。5. ，當(dāng)時(shí)，單調(diào)調(diào)減小。6. 。7. ，當(dāng)時(shí)，由減變?cè)觯〉脴O小值。8. ，。四、解答題題解1. 2. (1)不存在，在不可導(dǎo)。(2) ，在可導(dǎo)，且。3. 不可導(dǎo)。4. 過與兩點(diǎn)的割線斜率為，拋物線過x點(diǎn)的切線斜率為，故，得，即為所求點(diǎn)。5. 過點(diǎn)作拋物線的切線，設(shè)切點(diǎn)為，應(yīng)滿足方程，若方程有兩個(gè)不等的實(shí)根x，則說明過點(diǎn)可作拋物線的兩條切線。整理方程得：，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不等的實(shí)根。也就是要滿足即可。6. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。(1) (2) (3) (4) (5) (6) 7. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。(1) (2) (3) (4) (5) (6) 8. ，。9. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。(1) ，(2) ， (3) ,，,(4) ，, 10. 求下列函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)。(1) ，(2) ，(3) ，11. 求下列隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。(1) ，(2) 同填空題3。, 。(3) (4) 12. 求下列函數(shù)的微分。(1) (2) (3) (4) 13. 求、近似值。(1) 設(shè)，則，取，則，故(2) 設(shè)，則，取，則，故14. 證明下列不等式。(1) 設(shè)，則，在上單調(diào)遞減。當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，即，綜上所述，當(dāng)時(shí)，。(2) 設(shè),當(dāng)時(shí),有,即；設(shè),當(dāng)時(shí),有,即；綜上所述，當(dāng)時(shí)，有。(3) 設(shè)，則，當(dāng)時(shí),，有，即；當(dāng)時(shí),，有，即；綜上所述。15. 求下列函數(shù)的極限。(1) =(2) =0(分子和分母分別求n階導(dǎo)數(shù)，使nq)(3) =(4) =(5) =(6) =16. 證明下列不等式。(1) 令,因?yàn)閒 (x)=cosx-10 (x0), 所以當(dāng)xf(0)=0 sinxx ；令g(x)=, 則：g(x)=，g(x) = - sinx+x, g(x)= - cosx+10 (x0), 有g(shù)(x)g(x) g(0)=0g(x)g(x) g(0)=0 sinxx-x3/6。綜上所述： xsinx0,有極小值，17. 確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。(1) ，定義域(-,+)，令，解得，增減性如下表：x(-,-)-(-,)(,+)y+0-0+y(2) ，定義域(-,+)，令，解得，均是孤立駐點(diǎn)，故在(-,+)單調(diào)遞增。x(-,-1)-1(-1,2)2(2,+)y+0-0+y (3) ，定義域(-,+)，=，令，解得，增減性如右表： x(-1,0)0(0,+)y-0+y極小值為018. 求下列函數(shù)的極值。(1) ，定義域(-1,+)，=，令，解得，極值見右表：x(0,)(,+)y-0+y極小值為(2) ，定義域(0,+)，=，令，解得，極值見如右表：(3) ，定義域(-,0)(0,+)，令，解得，有極大值，有極小值。19. 求下列函數(shù)在所給區(qū)間內(nèi)的最大值和最小值。(1) 是-1,1上的連續(xù)函數(shù)，減函數(shù)且無駐點(diǎn)，但有一個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)，它不在-1,1上，故，。(2) 是-10,10上的連續(xù)函數(shù)，此函數(shù)可用分段函數(shù)表示，令，得：，比較得：，。(3) 是-5,5上的連續(xù)函數(shù)，此函數(shù)可用分段函數(shù)表示，分段點(diǎn)為，無駐點(diǎn)。，比較得：，。20. ，因?yàn)?1,3)為曲線的拐點(diǎn)，所以有，解之得：，。21. ，令，解得，可驗(yàn)證是曲線的三個(gè)拐點(diǎn)。下面論證此三點(diǎn)在一條直線上。只要證明過任意兩點(diǎn)的直線的斜率相同即可。，得證。22. ，兩端對(duì)t求導(dǎo)數(shù)：23設(shè)，。24. (1)求出現(xiàn)濃度最大值的時(shí)刻：,令，解得唯一駐點(diǎn)。，=有極大值。也為最大值。(2)求出現(xiàn)濃度變化率最小值的時(shí)刻：令，解得唯一駐點(diǎn)。,=有極小值。也為最小值。25. 求何時(shí)達(dá)最大值。，令，得：。由，而w=341.5，由得無解。由，得：是唯一駐點(diǎn)。，當(dāng)時(shí)，有極大值。也為最大值。26. 討論下列函數(shù)的凹凸性和拐點(diǎn)x+0-0+y凹拐點(diǎn)3/4凸拐點(diǎn)3/4凹(1) ，定義域(-,+)，令，得，列表討論。(2) ,定義域(-,+),令,得,當(dāng)時(shí),曲線是凹的。當(dāng)時(shí),曲線是凸的。拐點(diǎn)為：。27. 討論下列函數(shù)的單調(diào)性、極值、凹凸性、拐點(diǎn)和漸進(jìn)線，并畫出它們的大致圖形。(1) ，定義域(-,+)，是偶函數(shù)，有水平漸進(jìn)線，x0+0-+0-0-0+y拐點(diǎn)極大拐點(diǎn)(2) ，定義域(-1,1)，是奇函數(shù)，有垂直漸進(jìn)線，無駐點(diǎn)，但當(dāng)時(shí)導(dǎo)數(shù)不存在。，令，得。x-1(-1,0)0(0,1)1無+-+無無-0+無y拐點(diǎn)0(3) ，定義域(-,+)，是奇函數(shù)，無漸進(jìn)線。，令，得駐點(diǎn)，令，得，列表討論。,x0+0-0+-0+y極大拐點(diǎn)極小(4) ，定義域(-,+)，是偶函數(shù)，無漸進(jìn)線。，令，得駐點(diǎn)，而，列表討論。x0-0+y極小1(5) ，定義域(-,+)，是奇函數(shù)，=，有兩條漸進(jìn)線：。無駐點(diǎn)，令，得x0+0+-y拐點(diǎn)0(6) ，定義域(-,+)，是偶函數(shù)，有一條水平漸進(jìn)線y=p,=，=，。x0-無+-無-y極小028. 已知不在同一直線上的三點(diǎn)、和；試用表示DABC的面積。解：由P55例42知：直線到的距離為：。那么，直線AB的方程為：，AB兩點(diǎn)間的距離為：，DABC的面積=29. 橢圓的切線與x軸y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，(1)求AB之間的最小距離；(2)求三角形DOAB的最小面積。解：橢圓方程：如圖。設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則，此點(diǎn)切線斜率為：，切線方程為：。令，坐標(biāo)。令，坐標(biāo)。(1) 。可設(shè)，令，將代入得：，代入得駐點(diǎn)：，。=有極小值。，故AB之間的最小距離是。(2) 可設(shè)面積，=，令，得：，代入得駐點(diǎn)：，(三角形邊長取值應(yīng)大于零)。=有極小值。，故三角形的最小面積為ab。第三章 一元函數(shù)積分學(xué)習(xí)題題解(P108)一、判斷題題解1. 錯(cuò)。是原函數(shù)的全體，記作。2. 錯(cuò)。的任意兩個(gè)原函數(shù)之差為常數(shù)。3. 錯(cuò)。是。4. 正確。5. 錯(cuò)。被積函數(shù)在x=0處無界。6. 正確。，7. 正確。被積函數(shù)是奇函數(shù)，積分區(qū)間對(duì)稱。8. 正確。二、選擇題題解1. 被積函數(shù)是奇函數(shù)，積分區(qū)間對(duì)稱，定積分為零。或= =。(A)2. =+=+=。(A)3. 正確的是C。4. =。(D)5. 令，=。(B)6. 令，則，=。(D)7. =，=。(D)或=8. =，=。(B)三、填空題題解1. =。2. = p。3. =。4. = 0。5. =。6. =。7. =。8. 這是積分上限函數(shù)，由定理3知：，。四、解答題題解1. 分別對(duì)三個(gè)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，結(jié)果皆為，所以它們是同一函數(shù)的原函數(shù)。2. (1) 錯(cuò)。是不定積分。(2) 錯(cuò)。是所有原函數(shù)。(3) 正確。設(shè)是的一個(gè)原函數(shù)，則。(4) 正確。因?yàn)榉e分變量不同，造成被積函數(shù)不同。(5) 正確。因?yàn)闀r(shí)，。3. 求下列不定積分(1) =(2) =(3) =(4) =(5) =(6) =(7) =(8) =(9) =(10) =(11) =(12) =(13) =(14) =(15) =4. 求下列不定積分(1) =(2) =(3) =(4) =(5) =(6) =(7) =(8) =(9) =(10) =(11) =(12) =(13) =(14) =(15) =(16) =(17) =(填空題5)(18) =(19) =(20) =(21) =(22) =(23) =(24) =(25) =(26) =(27) =(28) =(29) =(30) =(31) =(32) =5. 求下列不定積分(1) =(2) =(3) =(4) =(5) =(6) =(7) =(8) =(9) =(10) =(11) =(12) =(13) =(14) =6. 求下列不定積分(1) =(2) =(3) =(4) =(5) =(6) =(7) =(8) =，=(9) =(10) =(11) =(12) =(13) =(14) =7. 求下列不定積分(1) =(2) =(3) =(4) =(5) =(6) =8. 求下列不定積分(1) =(2) =(3) =(4) =(5) =(6) =9. 將區(qū)間細(xì)分為n個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn),，由于小區(qū)間的長度很小，可以近似地認(rèn)為放射性物質(zhì)在內(nèi)是以速度均勻分解。(1) 分解質(zhì)量的近似值為：(2) 分解質(zhì)量的精確值為：，10. 用定義計(jì)算。y=x2在0,1上連續(xù)，定積分存在。故可將0,1區(qū)間n等份：0=x0x1xixn=1，且取小區(qū)間的右端點(diǎn)。，11. (1)是一個(gè)底邊長為1高為2的三角形，面積為1。(2)奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上，定積分為0。(3)偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上，定積分為2倍的正的區(qū)間上的定積分。12. (1)在0,1區(qū)間上，由定積分性質(zhì)知：。(2)在1,2區(qū)間上，由定積分性質(zhì)知：。13. (1) 在1,4區(qū)間上，由定積分性質(zhì)知：。(2) 在0,1區(qū)間上是一個(gè)單調(diào)遞減函數(shù)，有，由定積分性質(zhì)知：。(3) 在區(qū)間上，由定積分性質(zhì)知：。14. 由積分上限函數(shù)的定理3知，。15. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。(1) =(2) =(3) =(4) =16. 求下列極限。(1) =(2) =17. ，令，得駐點(diǎn)：,有極小值，。18. 計(jì)算下列定積分。(1) =(2) =(3) =(4) =(5) =(6) =, (7) =(8) =(9) =(10) =(11) =(12) =(13) =(14) =(15) =(16) =19. 證明：(1) =0，奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的定積分為0。(2) =0(3) =020. =，=。21. 由萬有引力定律，火箭與地心距離為r時(shí)，地球?qū)鸺囊κ恰⒒鸺椭岭x地面高為H處所做的功為：=，在地球表面引力就是重力，即：， 。22. =5。23. =。24. 如右圖所示。=25. 如下圖所示。，兩條切線方程為：，其交點(diǎn)坐標(biāo)為：=。26. 如右圖所示。=27. 如右圖所示。=28. 如右圖所示。=。29. 求曲線在上的弧長。,=，而=30. =31. =32. 判別下列各廣義積分的收斂性，如果收斂，則計(jì)算廣義積分。(1) = (收斂)(2) = (發(fā)散)(3) = (發(fā)散)(4) = (收斂)(5) =，=(6) = (收斂)(7) = (收斂)(8) = (發(fā)散)33. 當(dāng)k為何值時(shí)，積分收斂或發(fā)散？當(dāng)k=1時(shí)，當(dāng)k1時(shí)，=，=第六章 常微分方程習(xí)題題解(P186)一、判斷題題解1. 錯(cuò)。應(yīng)該是：微分方程通解中獨(dú)立任意常數(shù)的個(gè)數(shù)由微分方程的階所確定。2. 錯(cuò)。有三個(gè)變量z, x, y。3. 錯(cuò)。不管C取何值都不為0。4. 錯(cuò)。如是的解，但它既不是通解也不是特解。5. 錯(cuò)。它只有一個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)。6. 正確。它的通解為：，當(dāng)時(shí)，7. 正確。8. 錯(cuò)。必須是兩個(gè)線性無關(guān)的解。二、選擇題題解1. 在選項(xiàng)(A)中有。2. 在選項(xiàng)(B)中有。3. 通解為：=，(B)4. (B)是一階微分方程5. 將(C)代入滿足方程6. 在選項(xiàng)(C)中，將代入后，有，而7. 在選項(xiàng)(A)中，對(duì)x求導(dǎo)數(shù)：=。三、填空題題解1. 特征方程為：，特征根為：，通解為：。2. =3. 特征方程為：，特征根為：，通解為：，。該曲線過(0,0)點(diǎn)，且切線斜率為1，有：，得：，。四、解答題題解1. ，2. 求下列一階微分方程的通解或特解。(1) ，(2) ，(3) ，(4) ，(5) ，令(6) ，令(7) ，令，(8) , 令, (9) ，