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醫(yī)用高等數(shù)學習題解答(第1,2,3,6章)- 37 -第一章 函數(shù)、極限與連續(xù)習題題解(P27)一、判斷題題解1. 正確。設h(x)=f(x)+f(-x), 則h(-x)= f(-x)+f(x)= h(x)。故為偶函數(shù)。2. 錯。y=2lnx的定義域(0,+), y=lnx2的定義域(-,0)(0,+)。定義域不同。3. 錯。故無界。4. 錯。在x0點極限存在不一定連續(xù)。5. 錯。逐漸增大。6. 正確。設,當x無限趨向于x0,并在x0的鄰域內,有。7. 正確。反證法:設F(x)=f(x)+g(x)在x0處連續(xù),則g(x) =F(x)-f(x),在x0處F(x),f(x)均連續(xù),從而g(x)在x=x0處也連續(xù),與已知條件矛盾。8. 正確。是復合函數(shù)的連續(xù)性定理。二、選擇題題解1. 2. y=x (C)3. (A)4. (B)5. (B)6. (D)7. 畫出圖形后知:最大值是3,最小值是-10。 (A)8. 設,則,連續(xù),由介質定理可知。 (D)三、填空題題解1. 2. 是奇函數(shù),關于原點對稱。3. ,。4. ,可以寫成。5. 設,6. 有界,故極限為0。7. 8. ,而,得c=6, 從而b=6, a=-7。9. 10. 11. 設u=ex-1,12. 由處連續(xù)定義,得:a=1。四、解答題題解1. 求定義域(1) , 定義域為和x=0(2) 定義域為(3) 設圓柱底半徑為r,高為h,則v=pr2h, ,則罐頭筒的全面積,其定義域為(0,+)。(4) 經過一天細菌數(shù)為,經過兩天細菌數(shù)為,故經過x天的細菌數(shù)為,其定義域為0,+)。2. ,。3. ,。4. 證明:。5. 令x+1=t, 則x=t-1。,所以:。6. 求函數(shù)的極限(1) 原式=。(2) 原式=。(3) 原式=。(4) 原式=。(5) 原式=。(P289常見三角公式提示)(6) 原式=,令,則,令,則,原式=。(7) 原式= e3。(8) 原式= e2。(9) 原式=。(10) 令,則,原式=(填空題11)。7. ,, =8. 指出下列各題的無窮大量和無窮小量(1) ,為無窮小量。(2) ,為無窮小量。(3) ,為無窮小量。(4) ,為無窮大量。9. 比較下列無窮小量的階,當x1時,1-x與1-x3是同階無窮小。1-x與是等階無窮小。10. 當x0時,x2是無窮小量,當x時,x2是無窮大量;當x1時,是無窮小量,當x0時,是無窮大量;當x+時,e-x是無窮小量,當x-時,e-x是無窮大量。11. 。12. ,b=1,=1,a=-113. ,14. 設,由介質定理推論知:在(0,2)上至少存在一點x0使得,即。15. 設,它在0,a+b上連續(xù),且,若,則a+b就是方程的根。若,由介質定理推論知:至少存在一點x(0, a+b), 使得,即x是的根。綜上所述,方程至少且個正根,并且它不超過a+b。16. (1)(g);(2)(g);(3)(周)。17. 設,則F(x)在a,b上連續(xù),由介質定理推論知:至少存在一點x(a, b), 使得。即。所以與在(a,b)內至少有一個交點。第二章 一元函數(shù)微分學習題題解(P66)一、判斷題題解1. 正確。設y=f(x), 則。2. 正確。反證法。假設在x0點可導,則在x0點也可導,與題設矛盾。故命題成立。3. 錯。極值點也可能發(fā)生一階導數(shù)不存在的點上。4. 錯。如圖。5. 錯。拐點也可能發(fā)生二階導數(shù)不存在的點上。6. 錯。不滿足拉格朗日中值的結論。7. 錯。設, ,則:,顯然在點的導數(shù)為1,在點的導數(shù)不存在,而在點的導數(shù)為0。是可導的。8. 錯。設和,顯然它們在(-,+)上是單調增函數(shù),但在點的導數(shù)為0,的導數(shù)不存在。二、選擇題題解1. 設切點坐標為,則切線的斜率,切線方程為:過得,又有,解方程組得:,切線方程為:。(A)2. 可導一定連續(xù)。(C)3. 連續(xù)但不可導。(C)4. 因為。(B)5. ,在x=0處導數(shù)不存在,但y1在x=0處切線不存在,y2在x=0處切線存在。(D)。6. 可導。(C)7. ,。(B)8. 。(B)三、填空題題解1. ,。2. 3. , 。4. 。5. ,當時,單調調減小。6. 。7. ,當時,由減變增,取得極小值。8. ,。四、解答題題解1. 2. (1)不存在,在不可導。(2) ,在可導,且。3. 不可導。4. 過與兩點的割線斜率為,拋物線過x點的切線斜率為,故,得,即為所求點。5. 過點作拋物線的切線,設切點為,應滿足方程,若方程有兩個不等的實根x,則說明過點可作拋物線的兩條切線。整理方程得:,當時,方程有兩個不等的實根。也就是要滿足即可。6. 求下列函數(shù)的導數(shù)。(1) (2) (3) (4) (5) (6) 7. 求下列函數(shù)的導數(shù)。(1) (2) (3) (4) (5) (6) 8. ,。9. 求下列函數(shù)的導數(shù)。(1) ,(2) , (3) ,,,(4) ,, 10. 求下列函數(shù)的n階導數(shù)。(1) ,(2) ,(3) ,11. 求下列隱函數(shù)的導數(shù)。(1) ,(2) 同填空題3。, 。(3) (4) 12. 求下列函數(shù)的微分。(1) (2) (3) (4) 13. 求、近似值。(1) 設,則,取,則,故(2) 設,則,取,則,故14. 證明下列不等式。(1) 設,則,在上單調遞減。當時,即,當時,即,當時,即,綜上所述,當時,。(2) 設,當時,有,即;設,當時,有,即;綜上所述,當時,有。(3) 設,則,當時,,有,即;當時,,有,即;綜上所述。15. 求下列函數(shù)的極限。(1) =(2) =0(分子和分母分別求n階導數(shù),使nq)(3) =(4) =(5) =(6) =16. 證明下列不等式。(1) 令,因為f (x)=cosx-10 (x0), 所以當xf(0)=0 sinxx ;令g(x)=, 則:g(x)=,g(x) = - sinx+x, g(x)= - cosx+10 (x0), 有g(x)g(x) g(0)=0g(x)g(x) g(0)=0 sinxx-x3/6。綜上所述: xsinx0,有極小值,17. 確定下列函數(shù)的單調區(qū)間。(1) ,定義域(-,+),令,解得,增減性如下表:x(-,-)-(-,)(,+)y+0-0+y(2) ,定義域(-,+),令,解得,均是孤立駐點,故在(-,+)單調遞增。x(-,-1)-1(-1,2)2(2,+)y+0-0+y (3) ,定義域(-,+),=,令,解得,增減性如右表: x(-1,0)0(0,+)y-0+y極小值為018. 求下列函數(shù)的極值。(1) ,定義域(-1,+),=,令,解得,極值見右表:x(0,)(,+)y-0+y極小值為(2) ,定義域(0,+),=,令,解得,極值見如右表:(3) ,定義域(-,0)(0,+),令,解得,有極大值,有極小值。19. 求下列函數(shù)在所給區(qū)間內的最大值和最小值。(1) 是-1,1上的連續(xù)函數(shù),減函數(shù)且無駐點,但有一個不可導點,它不在-1,1上,故,。(2) 是-10,10上的連續(xù)函數(shù),此函數(shù)可用分段函數(shù)表示,令,得:,比較得:,。(3) 是-5,5上的連續(xù)函數(shù),此函數(shù)可用分段函數(shù)表示,分段點為,無駐點。,比較得:,。20. ,因為(1,3)為曲線的拐點,所以有,解之得:,。21. ,令,解得,可驗證是曲線的三個拐點。下面論證此三點在一條直線上。只要證明過任意兩點的直線的斜率相同即可。,得證。22. ,兩端對t求導數(shù):23設,。24. (1)求出現(xiàn)濃度最大值的時刻:,令,解得唯一駐點。,=有極大值。也為最大值。(2)求出現(xiàn)濃度變化率最小值的時刻:令,解得唯一駐點。,=有極小值。也為最小值。25. 求何時達最大值。,令,得:。由,而w=341.5,由得無解。由,得:是唯一駐點。,當時,有極大值。也為最大值。26. 討論下列函數(shù)的凹凸性和拐點x+0-0+y凹拐點3/4凸拐點3/4凹(1) ,定義域(-,+),令,得,列表討論。(2) ,定義域(-,+),令,得,當時,曲線是凹的。當時,曲線是凸的。拐點為:。27. 討論下列函數(shù)的單調性、極值、凹凸性、拐點和漸進線,并畫出它們的大致圖形。(1) ,定義域(-,+),是偶函數(shù),有水平漸進線,x0+0-+0-0-0+y拐點極大拐點(2) ,定義域(-1,1),是奇函數(shù),有垂直漸進線,無駐點,但當時導數(shù)不存在。,令,得。x-1(-1,0)0(0,1)1無+-+無無-0+無y拐點0(3) ,定義域(-,+),是奇函數(shù),無漸進線。,令,得駐點,令,得,列表討論。,x0+0-0+-0+y極大拐點極小(4) ,定義域(-,+),是偶函數(shù),無漸進線。,令,得駐點,而,列表討論。x0-0+y極小1(5) ,定義域(-,+),是奇函數(shù),=,有兩條漸進線:。無駐點,令,得x0+0+-y拐點0(6) ,定義域(-,+),是偶函數(shù),有一條水平漸進線y=p,=,=,。x0-無+-無-y極小028. 已知不在同一直線上的三點、和;試用表示DABC的面積。解:由P55例42知:直線到的距離為:。那么,直線AB的方程為:,AB兩點間的距離為:,DABC的面積=29. 橢圓的切線與x軸y軸分別交于A、B兩點,(1)求AB之間的最小距離;(2)求三角形DOAB的最小面積。解:橢圓方程:如圖。設切點坐標為,則,此點切線斜率為:,切線方程為:。令,坐標。令,坐標。(1) ??稍O,令,將代入得:,代入得駐點:,。=有極小值。,故AB之間的最小距離是。(2) 可設面積,=,令,得:,代入得駐點:,(三角形邊長取值應大于零)。=有極小值。,故三角形的最小面積為ab。第三章 一元函數(shù)積分學習題題解(P108)一、判斷題題解1. 錯。是原函數(shù)的全體,記作。2. 錯。的任意兩個原函數(shù)之差為常數(shù)。3. 錯。是。4. 正確。5. 錯。被積函數(shù)在x=0處無界。6. 正確。,7. 正確。被積函數(shù)是奇函數(shù),積分區(qū)間對稱。8. 正確。二、選擇題題解1. 被積函數(shù)是奇函數(shù),積分區(qū)間對稱,定積分為零?;? =。(A)2. =+=+=。(A)3. 正確的是C。4. =。(D)5. 令,=。(B)6. 令,則,=。(D)7. =,=。(D)或=8. =,=。(B)三、填空題題解1. =。2. = p。3. =。4. = 0。5. =。6. =。7. =。8. 這是積分上限函數(shù),由定理3知:,。四、解答題題解1. 分別對三個函數(shù)求導數(shù),結果皆為,所以它們是同一函數(shù)的原函數(shù)。2. (1) 錯。是不定積分。(2) 錯。是所有原函數(shù)。(3) 正確。設是的一個原函數(shù),則。(4) 正確。因為積分變量不同,造成被積函數(shù)不同。(5) 正確。因為時,。3. 求下列不定積分(1) =(2) =(3) =(4) =(5) =(6) =(7) =(8) =(9) =(10) =(11) =(12) =(13) =(14) =(15) =4. 求下列不定積分(1) =(2) =(3) =(4) =(5) =(6) =(7) =(8) =(9) =(10) =(11) =(12) =(13) =(14) =(15) =(16) =(17) =(填空題5)(18) =(19) =(20) =(21) =(22) =(23) =(24) =(25) =(26) =(27) =(28) =(29) =(30) =(31) =(32) =5. 求下列不定積分(1) =(2) =(3) =(4) =(5) =(6) =(7) =(8) =(9) =(10) =(11) =(12) =(13) =(14) =6. 求下列不定積分(1) =(2) =(3) =(4) =(5) =(6) =(7) =(8) =,=(9) =(10) =(11) =(12) =(13) =(14) =7. 求下列不定積分(1) =(2) =(3) =(4) =(5) =(6) =8. 求下列不定積分(1) =(2) =(3) =(4) =(5) =(6) =9. 將區(qū)間細分為n個小區(qū)間,在每個小區(qū)間上任取一點,,由于小區(qū)間的長度很小,可以近似地認為放射性物質在內是以速度均勻分解。(1) 分解質量的近似值為:(2) 分解質量的精確值為:,10. 用定義計算。y=x2在0,1上連續(xù),定積分存在。故可將0,1區(qū)間n等份:0=x0x1xixn=1,且取小區(qū)間的右端點。,11. (1)是一個底邊長為1高為2的三角形,面積為1。(2)奇函數(shù)在對稱區(qū)間上,定積分為0。(3)偶函數(shù)在對稱區(qū)間上,定積分為2倍的正的區(qū)間上的定積分。12. (1)在0,1區(qū)間上,由定積分性質知:。(2)在1,2區(qū)間上,由定積分性質知:。13. (1) 在1,4區(qū)間上,由定積分性質知:。(2) 在0,1區(qū)間上是一個單調遞減函數(shù),有,由定積分性質知:。(3) 在區(qū)間上,由定積分性質知:。14. 由積分上限函數(shù)的定理3知,。15. 求下列函數(shù)的導數(shù)。(1) =(2) =(3) =(4) =16. 求下列極限。(1) =(2) =17. ,令,得駐點:,有極小值,。18. 計算下列定積分。(1) =(2) =(3) =(4) =(5) =(6) =, (7) =(8) =(9) =(10) =(11) =(12) =(13) =(14) =(15) =(16) =19. 證明:(1) =0,奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的定積分為0。(2) =0(3) =020. =,=。21. 由萬有引力定律,火箭與地心距離為r時,地球對火箭的引力是。將火箭送至離地面高為H處所做的功為:=,在地球表面引力就是重力,即:, 。22. =5。23. =。24. 如右圖所示。=25. 如下圖所示。,兩條切線方程為:,其交點坐標為:=。26. 如右圖所示。=27. 如右圖所示。=28. 如右圖所示。=。29. 求曲線在上的弧長。,=,而=30. =31. =32. 判別下列各廣義積分的收斂性,如果收斂,則計算廣義積分。(1) = (收斂)(2) = (發(fā)散)(3) = (發(fā)散)(4) = (收斂)(5) =,=(6) = (收斂)(7) = (收斂)(8) = (發(fā)散)33. 當k為何值時,積分收斂或發(fā)散?當k=1時,當k1時,=,=第六章 常微分方程習題題解(P186)一、判斷題題解1. 錯。應該是:微分方程通解中獨立任意常數(shù)的個數(shù)由微分方程的階所確定。2. 錯。有三個變量z, x, y。3. 錯。不管C取何值都不為0。4. 錯。如是的解,但它既不是通解也不是特解。5. 錯。它只有一個獨立的任意常數(shù)。6. 正確。它的通解為:,當時,7. 正確。8. 錯。必須是兩個線性無關的解。二、選擇題題解1. 在選項(A)中有。2. 在選項(B)中有。3. 通解為:=,(B)4. (B)是一階微分方程5. 將(C)代入滿足方程6. 在選項(C)中,將代入后,有,而7. 在選項(A)中,對x求導數(shù):=。三、填空題題解1. 特征方程為:,特征根為:,通解為:。2. =3. 特征方程為:,特征根為:,通解為:,。該曲線過(0,0)點,且切線斜率為1,有:,得:,。四、解答題題解1. ,2. 求下列一階微分方程的通解或特解。(1) ,(2) ,(3) ,(4) ,(5) ,令(6) ,令(7) ,令,(8) , 令, (9) ,

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