投籃問題建模.doc

數學建模競賽論文摘要在激烈的籃球比賽運動中，投籃得分是整個比賽中的主要得分方式，因此籃球運動員的投籃命中率的高地一定程度上直接影響了一場比賽的勝負。本文就是通過對已知數據的計算與整合，并通過建立三種投籃方式的數學模型來分析三種投籃方式的特點和各自提高命中率的關鍵因素，從而為投籃訓練和籃球競賽策略提供科學的建議。我們對不同的投籃方式根據其在比賽中的實際效果采用了不同的數學模型使得計算結構更加科學可靠。首先，在第一模型即罰籃的數學模型中，我們通過建立運動學方程的方法找到影響罰籃的兩個關鍵因素即出投角度，和出球速度。在這里我們通過對出球角度的研究確定了不同高度時投籃所需的最小速度都小于8m/s,這樣合理的假設了運動員的出球速度是在89m/sz之間。并通過罰籃中籃球命中藍框中心所允許的偏差計算出出投角度所允許的最大偏差明顯大于出球速度的最大偏差，也就是說改變出頭角度是籃球命中的可能性更大一些，故訓練中我們應該著重注意出球的角度。其次，在第二個二分球投球的模型中，由于出投位置的不確定，增加了距離參數L和出投高度h，因此，我們用入籃籃球的運行區(qū)域的面積大小來刻畫命中率。我們從改變距離和高度對入球角度區(qū)間改變量大小上來分析得到，改變出頭距離時入球的角度區(qū)間明顯大于改變出投高度時入球的角度區(qū)間。因此可以看出在投二分球時應該盡量使得出球位置靠近籃框。接著，在第三模型中，由于出投位置較遠，并且球在空中運行時間較長，運行速度偏快，導致空氣阻力的影響很大，因此不能夠忽略空氣阻力，我們在前面模型的基礎上加入水平空氣阻力，并且由于采用跳投的方式出球高度也適當懂得增加。最后建立起模型通過給定數據來研究出球高度，和出球角度對命中率的影響問題。 最后，運用我們所建立的模型分析得出2012年出臺的籃球新規(guī)則的三條改變不僅增加了籃球的觀賞性同時也很好的體現了球員個人的表現力關鍵字：出投角度、高度、速度、命中率、允許的最大偏差一問題的重述：圖1.投籃示意圖 圖2.籃球場地示意圖規(guī)則改變前的籃球場地示意圖規(guī)則改變后的籃球場地示意圖高。二問題分析（1） 在研究罰籃時，由于罰籃采用定點投籃方式故出球高度基本有球員身高決定，要研究投籃命中是出球角度和出手速度哪個起主要作用只需，分別給定一個出手速度v和出手角度根據不同的出球高度計算出籃球的角度和速度的最大偏差，取偏差較大的即是增加命中率的主要因素。（2） 研究二分球投籃問題時，可根據入球區(qū)域的最大面積來描述命中率，通過解積分曲線的方法求出入球區(qū)域A，根據入球偏差求出所需的角度的范圍。（3） 研究三分球投籃時，由于球速大，考慮加入空氣阻力的影響建立模型。 三模型假設（1） 模型I，II中忽略空氣阻力。（2） 模型中不考慮打板入球的情況。（3） 模型II中不考慮防守隊員防守影響命中率的情況。（4） 投求的運動曲線和籃框中心在同一平面內。（5） 出手后不考慮球的自身旋轉。四符號說明L：籃球出手點到籃框的水平距離，其中在模型I中L=4.6m. 模型III中L=6.75m。H: 籃框的高度，H=3.05m.D: 籃框的直徑，D=45cm.d: 籃球的直徑，d=24.6cm.h: 運動員的出手高。一般在1.82.7m之間v：運動員的出球速度，一般在89m/sg: 重力加速度，g=9.8m/s2：籃球的出手角度：籃球的入射角度五模型的建立與求解 對三種投籃方式進行,建模，1.考慮罰籃這種頭球方式，運用物理中拋射運動的知識。建立模型： 水平方向上： 豎直方向上： 消去t，得到. （1） 在罰籃中如果只考慮球心正中藍框中心這種情況：則公式中y=H-h，x=L.帶入整理得： （2） 這個公式表示了投籃命中所需要的條件。不難看出投籃命中率主要由h,v,這三點決定。對于罰籃，采用定點投籃方式，故對于每個籃球運動員h是確定的，所以命中率主要取決于出手速度v，和出手角度.，公式（2）中不難看出給定h，每一個v對應兩個，并且若要（2）式有意義，則必須滿足 （3）解得： 這樣可此得出給定一個出手高度h，必然對應一個最小速度v。并且它是h的減函數。帶入參數可算出實際罰籃時所需的最小速度。 另外球入籃框的入射角度也可由公式（1）求出： （4）與（1）式聯立得： （5） 以上討論的均是球心正中藍心得情況，在實際投籃中由于籃球直徑小于籃框直徑，故存在一定偏差使得即使球心沒有命中藍心球也能命中，以藍心為原點，設可允許的偏差最多為，則可以計算出： （6） 此時出手高度沒變，但是由于入球位置由L變?yōu)長+，x成為變量帶入（1）式得。 若v是一個確定值，那么可以用x對求導。 將d x和d用，來替換，整理得： （7） 同理若確定，上式對v求導并做合理替換可以得到： （8） 這樣我們可以通過計算角度和速度他們的最大偏差與相對偏差來確定出手角度與出手速度哪一個偏差更大，也就是說通過訓練更容易提高命中率。 2.第二種投籃方式，在投籃距離L為1.25m和6.75m之間的投籃（1.25m內為合理沖撞區(qū)，我們認定為在這里投籃命中率為100%）。 即得二分的投籃方式。此時投籃方法多樣，可采用跳投，定點投籃，拋投等。但出手后籃球運動軌跡仍符合力學規(guī)律，我們仍可用罰籃中所用的軌跡方程即，公式（1），但此時，出手距離L，與出手高度h,均為變量。因此投籃命中率我們該用籃球在運動中可允許最大偏差的兩條弧線與籃框所圍面積的大小來表示。不放射為A（q）。兩條最大偏差弧線分別為O ，O則不難驗證，O過點（L-，H-h），O過點（L+，H-h）。則由公式（1）我們可分別寫出O，O的弧線方程： （9） （10） 直線，的方程分別為： （11） （12） 所以， （13） 由公式（13）可知越大tan就越大則，就越大由公式（2）知道，由v唯一確定，而v不能無限增大，故tan只能在一定范圍內變化。設曲線過點（L，H-h）帶入公式（2）得到： （14） 其中v滿足 并且： 可見tan是的減函數，當最小時tan最大。由公式（3）的解可知tan的最大值為： （15） 實際中L的范圍是（L+，L-），為方便計算這里看成是R=，即假設那么我們就得到入射角的的范圍是：（16） 由此公式我們就可以根據不同的位置與出手高度計算出使籃球命中的入射角范圍。從而經過比較，得出哪一個因素才是主要因素。3.最后建立第三個模型： 三分球的投射中，要考慮空氣阻力的影響，在這里我們只考慮水平方向上的空氣阻力影響，因為投籃時對求運動的阻力主要體現在水平方向上。通常阻力與速度成正比，設比例系數為k。則籃球在水平方向上的運動可由微分方程表示：X(0)=0用數學分析的方法可以求解得：通過泰勒展開式并略去e二次方以上的項（這是由于投籃運動中k，與t較小）這樣得到了更為簡單的運動方程。 與模型I的運動方程相結合，投三分球時求的運動方程為：若球心正中藍心則方程過點（L,H-h）其中L固定為6.75m。方程變?yōu)椋?消去t,得： 這就是投三分球時籃球的運動軌跡不難看出，他與出高度和出手速度，和出手角度有關系。4.計算結果與MATLAB附錄： 取出手高度在1.82.1之間運用MATLAB程序結果如下：end 計算結果： h m m/s1 .8 7.6789 1.9 7.5985 2.0 7.5186 2.1 7.4392可以看出最小速度v隨著高度的增加而減小，切最大沒有超過8m/s,我們在前面去v=89m/s是合理的。我們取v=8m/s是出手高度在1.8m2.0m得到出手角度。在MATLAB中的附錄及結果為：H=3.05；g=9.8;L=4.6;v=8;for h=1.8:0.1:2.0= 180/pi*actan(v2/g*L)*(1+sqrt(1-2*g/v2*(H-h+g*L2/2v2)end計算結果填入下表： v m/s h m 8 1.8 62.4099 8 1.9 63.1174 8 2.0 63.7281最后，我們用v=8m/s時高度分別為1.8m和2.0m時所對應的的角度，利用公式（7）（8）算出最大偏差，MATLAB中的附錄為：L=4.6；V=8;g=9.8;D=0.45/2;D=0.246/2;=62.4099;=(g*L-v2*sin(*pi/180)*cos(*pi/180)*(D-d)/(L*(v2-g*l*tan()a*pi/180)=(g*L-v2*sin(*pi/180)*cos(*pi/180)*v*(D-d)/(g*L)同理算=63.7281.計算結果填入下表： h/m v/m/s 1.8 62.4099 8 -0.7562 0.0528 2.0 63.7281 8 -0.71 0.0601從結果中看到，出手角度的最大偏差明顯大于出手速度的偏差，也就是說罰籃時對出手速度的要求更為嚴格，而出手角度相對允許有較大誤差。所以才籃球訓練時，球員應著重注意在保證出手速度大于8m/s的同時，準確把握出手角度。二分球投籃時的取出手高度在1.82.7m（有跳投的情況），出手位置距藍框中心水平距離在1.756.75m。根據公式（16）在MATLAB中的附錄及計算結果為：H=3.05;R=0.225;for h=1.8:0.1:2.1 for L=1.75:1:4.75a=atan(H-h)./(L+R)+sqrt(H-h)./(L+R)2+1)*180/pib=atan(H-h)./(L-R)+sqrt(H-h)./(L-R)2+1)*180/piendend計算結果填入下表： 1.752.753.754.751.861.165164.670356.395358.168853.728354.762552.052052.72121.960.105763.509955.567157.243353.067854.034251.507852.12972.058.998662.274254.720056.289852.398453.293750.958851.53202.157.844160.960453.854955.309151.720652.541550.405450.9284從表格中我們可以看到在高度確定的時候，隨著距離L的增加入球角度的范圍逐漸縮小。而保證出球距離不變，高度的改變幾乎不影響入球所需角度的區(qū)間大小。因此我們可以得出在影響二分球投籃的距離，和高度兩個因素中，我們應該著重的注意出球距離，即在比賽中應該盡量保證在離籃框較近的地方出手投籃，這與實際情況也是相符合的。問題（3）中考慮到實際中籃球運動員的身高與臂展都差不多，因此在這里臂長我們取k=1.7m2.0m，由過小將導致入球角太小球無法進入籃框，太大將使出手速率過大，無法達到，因此這里我們的出球角度選=3060.在MATLAB中的附錄及結果為：六結果分析：通過對三個模型的建立與求解，在罰籃問題中我們得到結果為出手角度和出手速度是影響命中率的主要因素，并且出手角度相對于出手速度所需的偏差較大，即允許的誤差較大，更能夠幫助選手提高命中率，在實際籃球運動中也是選手大多比較注意自己的投籃出手角度。二分球投籃的模型中，我們得到結論投籃位置即籃球出手時與籃板的水平距離主要影響籃球的命中率，此外出手速度和角度也都會影響命中率但位置更重要，確切的說就是離籃板越近的位置出手命中率的提高會越明顯，這顯然與我們的認識相符合。對于第三個模型我們通過在罰籃模型的基礎上加上空氣阻力的影響來從新建立了籃球運行軌跡方程。得到結論是命中率受出頭高度，與角度影響較大，應主要注意這兩個方面的練習?？傊ㄟ^這次的數學建模對投籃問題的討論我們可以看出，在籃球選手基本技能和心理素質良好的前提下，我們可以根據我們在比賽中所處的實際情況合理的選擇三個模型中的任何一個來選擇合理的角度一出手高度，這樣更科學的增加我們比賽投籃的命中率七由已建模型分析新規(guī)則改動后對籃球比賽的影響： 2012年中國籃球協會修訂了籃球規(guī)則的新改變，主要是以下三方面的改變：1.限制區(qū)（3秒區(qū)）改成4.9米乘以5.8米的矩形，并在限制區(qū)內以籃圈在地面的投影點為圓心以1.25米為半徑畫一個半圓（見附圖），設為進攻合理沖撞區(qū)，進入該區(qū)域內（沖撞區(qū)的線屬于該區(qū)域）發(fā)生的身體接觸如果造成犯規(guī)，則判為防守的犯規(guī)。這一點的改變主要是增加了合理沖撞區(qū)是的進攻方在籃下小范圍內的入球變得更加簡單。是的外圍球員更多的可以選擇將球傳入給內場的球員或選擇自己帶球突破增加得分的效率。此外根據所建立的模型可以知道，當籃球出手位置越離近籃板則命中率更高。另外嚴格設置三秒區(qū)。就是為了在比賽中增加更多的扣籃，分流籃下擁擠的人群，讓比賽顯得更好看和刺激。2.三分線區(qū)域擴大，由原來的6.25米半徑擴大為6.75米。這點的改變由模型三我們可以得到三分線區(qū)域的擴大使得投三分求的命中率減低，這樣講有效的減少外圍球員三分球的命中率，使得球員跟多的選擇帶球突破或依靠更多傳接配合實現內場入球同時也可以增加更多的扣籃這一籃球比賽中最刺激的入球方式的機會。同時擴大三分線對于一些命中率高的運動員更多的展現自己投三分球水平的機會。使其更容易于與其他運動員的水平拉開距離。加強籃球比賽的明星效應，給比賽帶來更多樂趣。八模型推廣與評價：本文所用的模型是建立在三種得分方式的基礎上，通過對具體投籃問題中具體情況的詳細分析，給出了滿足不同情況下有效提高投籃命中率對出手角度和出手速度的要求。本模型用數學語言即數字、圖表以及公式符號等來表達出一實際問題，更科學具體地分析了投球過程中影響命中率的兩個條件對命中率的具體影響所在。此外，模型通過具體的公式計算得出適合投籃的最佳出手角度和速度范圍，使這三者之間的相互關系有了數據的支持和保障。同時，本模型最終結論和結果給了籃球運動員們合理訓練的科學依據，也方便研究人員在此基礎上 展開對投籃運動的深入研究。此