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黃石理工學(xué)院數(shù)理學(xué)院 畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)第二講 微分與積分中值定理及其應(yīng)用1 微積分中值定理51.1 微分中值定理51.2 積分中值定理62 微積分中值定理的應(yīng)用174.1 證明方程根(零點(diǎn))的存在性174.2 進(jìn)行估值運(yùn)算194.3 證明函數(shù)的單調(diào)性204.4 求極限214.5 證明不等式22引言Rolle定理,Lagrange中值定理,Cauchy中值定理統(tǒng)稱為微分中值定理。微分中值定理是數(shù)學(xué)分析中最為重要的內(nèi)容之一,它是利用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)在區(qū)間上整體性質(zhì)的基礎(chǔ),是聯(lián)系閉區(qū)間上實(shí)函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的橋梁與紐帶,具有重要的理論價(jià)值與使用價(jià)值。1 微積分中值定理微分中值定理羅爾(Rolle)定理: 若函數(shù)滿足如下條件()在閉區(qū)間a,b上連續(xù);()在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);(),則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得 朗格朗日(Lagrange)中值定理: 設(shè)函數(shù)滿足如下條件:()在閉區(qū)間a,b上連續(xù);()在開區(qū)間(a,b)上可導(dǎo);則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得 柯西中值定理: 設(shè)函數(shù)和滿足()在a,b上都連續(xù);()在(a,b)內(nèi)都可導(dǎo);()和不同時(shí)為零;(),則存在,使得 微分中值定理的推廣羅爾定理的推廣定理1: 設(shè)函數(shù)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且有,則存在點(diǎn),使得證明:首先對(duì)A為有限值進(jìn)行論證:令則易知函數(shù)在a,b上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)且由Rolle定理可知,在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得,而在(a,b)內(nèi)有,所以其次對(duì)A=()進(jìn)行論證:由引理1,在(a,b)內(nèi)能取得最小值(最大值)不妨設(shè):函數(shù)在處取得最小值(最大值)此時(shí)函數(shù)在處也就取得極小值(極大值)又因?yàn)樵谔幙蓪?dǎo),由Fermat引理,可得綜上所述,從而定理得證定理2: 設(shè)函數(shù)在(a,),內(nèi)可導(dǎo),且,證明:在(a,)中存在一點(diǎn),使得定理3: 設(shè)函數(shù)在(,b),內(nèi)可導(dǎo),且,證明:在(,b)中存在一點(diǎn),使得定理4: 設(shè)函數(shù)在(,),內(nèi)可導(dǎo),且,證明:在(,)中存在一點(diǎn),使得朗格朗日中值定理的推廣定理5: 如果函數(shù)滿足條件:在開區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)且存在,則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得柯西中值定理的推廣定理6: 如果函數(shù)f(x)和F(x)滿足條件:都在有限區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);則在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn),使得 證明:作輔助函數(shù)A(x),B(x),并且令則A(x),B(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù),開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且對(duì)由Cauchy中值定理可知,至少有一點(diǎn)使得 又當(dāng)時(shí), 即:1.2積分中值定理積分中值定理: 若在區(qū)間a,b上連續(xù),則在a,b上至少存在一點(diǎn)使得 .積分中值定理的推廣推廣的積分第一中值定理: 若在閉區(qū)間上連續(xù),且在上不變號(hào),則在至少存在一點(diǎn),使得 第一型曲線積分中值定理: 若函數(shù)在光滑有界閉曲線上連續(xù),則在曲線上至少存在一點(diǎn),使。其中表示曲線的長(zhǎng)。第二型曲線積分中值定理: 若函數(shù)在有向光滑閉曲線上連續(xù),則在曲線上至少存在一點(diǎn),使 其中為有向光滑曲線在軸上的投影,符號(hào)是由曲線的方向確定。第一型曲面積分中值定理: 若為平面上的有界閉區(qū)域,是光滑曲面,函數(shù)在上連續(xù),則曲面上至少存在一點(diǎn),使得 其中是曲面的面積。第二型曲面積分中值定理: 若有光滑曲面:,其中是有界閉區(qū)域,函數(shù)在上連續(xù),則在曲面上至少存在一點(diǎn),使得 其中是的投影的面積。3 微積分中值定理的應(yīng)用3.1 證明方程根(零點(diǎn))的存在性例1:設(shè)函數(shù)和在閉區(qū)間a,b上連續(xù),在(a,b)上可導(dǎo),則在(a,b)內(nèi)存在一點(diǎn),使得證明:令,則,又有,易知在閉區(qū)間a,b上連續(xù),在(a,b)上可導(dǎo),故運(yùn)用Lagrange中值定理可得,存在一點(diǎn),使得,即,所以在(a,b)內(nèi)存在一點(diǎn),使得,故定理得證例2: 設(shè)函數(shù)和在閉區(qū)間a,b上連續(xù),在(a,b)上可導(dǎo),且在閉區(qū)間a,b上,有意義,則在(a,b)內(nèi)存在一點(diǎn),使得 證明:令,易知和在區(qū)間a,b上滿足Cauchy中值定理?xiàng)l件,故有,,即,所以在(a,b)內(nèi)存在一點(diǎn),使得,故定理得證例1:設(shè)為三個(gè)實(shí)數(shù),證明:方程的根不超過(guò)三個(gè).證明:令,則,.用反證法,設(shè)原方程的根超過(guò)程3個(gè),那么F(x)至少有4個(gè)零點(diǎn),不妨設(shè)為 ,那么有羅爾定理,存在,使,再用羅爾定理,存在,使,再用羅爾定理,存在,使,因?yàn)? 所以,矛盾,所以命題得證.例2:設(shè)函數(shù)在上連續(xù),且。 證明:一個(gè),使。證明:令,顯然在上連續(xù)。 可知在上滿足零值定理。故一個(gè),使。即例3:設(shè)實(shí)數(shù)滿足關(guān)系式:。 證明:在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。證明:令 顯然在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),又, ,故羅爾定理成立。 于是,使,即:。故命題得證。例4:設(shè)在上連續(xù)。, 。證明:一個(gè),使證明:在上連續(xù),有最值定理有:, 分別為在上最小最大值,于是: , , ,由介值定理,一個(gè),使例5:若在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),證明在內(nèi)方程至少存在一根。證明:令,顯然在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),而.根據(jù)Rolle定理, 至少存在一點(diǎn),使.例6:設(shè)在,在,證明:在內(nèi)存在一點(diǎn),使成立。證明: ,則在,在,由Lagrange定理,存在一點(diǎn),使,即,即 例7:設(shè)在,在,證明:在內(nèi)存在一點(diǎn),使成立。證明:令,對(duì),在上運(yùn)用Cauchy定理,得,即,即. 例8:證明方程 在(0,1)內(nèi)至少有一個(gè)根 。(p46,209) 例9:設(shè)拋物線 與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)x=a,x=b(a0,證明存在一點(diǎn),使得證:根據(jù)定理7,令,那么,則存在一點(diǎn),使得,即,故存在一點(diǎn),使得例6:證明:若是柱準(zhǔn)面上的部分,是上的連續(xù)函數(shù),則 證明:設(shè)是在平面的上半部分,為在平面的下半部分,則。由積分區(qū)間的可加性,有: 由于函數(shù)在:上的部分上連續(xù),所以函數(shù)在上連續(xù),根據(jù)
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