應(yīng)用泛函分析習(xí)題解答.pdf

第一部分 預(yù)備知識(shí) 1 證明 有理數(shù)集Q是可數(shù)的 2 設(shè) ij Aa 是一個(gè)實(shí)的n n 矩陣 證明 11 11 min maxmax min ijij j ni n i nj n aa 何時(shí)上面的等號(hào)成立 3 求 3 1 xxR Q f x xQ 在區(qū)間 0 1 上的 Lebesgue 積分 4 求 3 22 1 sin lim 1 x n nxx dx n x 5 試從 23 1 1 01 1 xxxx x 由上式 存在自然數(shù)N使得當(dāng)kN 時(shí) 0 1 2 k ii in 時(shí) 有 0 k dxx 由 lim 0 nn n xy 存在自然數(shù)N使得當(dāng)kN 時(shí) kk xy 時(shí) kk nN mN 從而 kk nm xy 111 1 TxTyxyxyxy xyxy 假如T在S上有不動(dòng)點(diǎn) 0 xS 則由 00 Txx 可知 00 0 1 xx x 0 1x 這是不可能的 第三部分 Hilbert 空間與共軛算子 12 解 2 1212 0 Mx xx xl 13 證明 設(shè)xMyN x yX 由MM 顯然yxM 于是存在 mM 使yxm 這樣xymM 同理 xyN 對(duì)于任意的mM xmyN 取nN 使得xmyn 則 mnxyN 所以MN 同 理NM 所以MN 設(shè)MNxyM 且 對(duì)任意的mM xmyxymyN 即 有xMyN 類似可證yNxM 所以xMyN 14 類似 15 證明略 16 證明 對(duì)任意xX 由 x ux v 可知道 0 x uv 所以 令xuv 可得 2 0uvuv uv 即uv 17 證明 2 221111 4444 1 4 4 xyxyxy xyxy xy x xx yy xy yx xx yy xy y x y 因?yàn)?H 是實(shí)內(nèi)積空間 x yy x 18 證明 取xH 且xM 由投影定理 取 0 xM 為x在M中的正交投影 則 0 xxM 由假設(shè) 0 xx 19 證 明 只 需 證 明MN 中 收 斂 序 列 的 極 限 也 在MN 中 為 此 取 1 kk k mnMN 且 0 kk mnxk 這里 k mM 1 k nN k 由于MN 222 kkkkkkkk mnmnmmnn 1k k 所 以 1 k k m 1 k k n 均是 Cauchy 序列 令lim k k mmM lim k k nnN 于是 222 0 kkkk mnmnmmnn 即lim kk k mnmn 所以 0 xmnMN 20 證明 由已知 對(duì)任意的 1n m 且mn 2 1 2 2 2 22 2 2 00 1 0 2 2 2 jmjn n j n mj n m n n j n mj n m nn tmtn dteed eded nedned 所以 2 2 1 n n 21 證明 略 22 證明 由于xyM 所以 1 2 0 0 0 n xy y xy y xy y 記 1122nn yyyy 于是有 11111 12122 11 nn nn nnnnn y yyyx y y yyyx y y yyyx y 而 2 1122 nn zxy xyx xx y x xy xyxyx 由方程組 2 11111 2 12122 2 11 2 11 0 0 0 nn nn nnnnn nn y yyyzx y y yyyzx y y yyyzx y y xyxzx x 可得 n n yyyG yyyxG z 21 21 2 23 解答 這相當(dāng)于在 Hilbert 空間 2 0 1 L中 求 t e在子空間 2 span 1 Mt t中的最 佳逼近元 利用正交化原理即可 24 解答 令 k eH kN 張成的閉子空間為 0 H 則對(duì)任意的 x yH 令 01 xxx 01 yyy 000 xyH 110 x yH 由于 k eH kN 為 0 H的 一個(gè)規(guī)范正交基 所以 0001 111 nnnnnn nnn xx e ex e ex e e 0001 111 nnnnnn nnn yy e ey e ey e e 所以 000000 11 00 11 nnnn nn nnnn nn xyxyxyx e ey e e x eeyx eey 注意對(duì)任意的nN 010 nnnn x ex ex ex e 010 nnnn y ey ey ey e 25 解答 1 S完全 span S 從而 Hspan Sspan Sspan S span SH span Sspan S 2 當(dāng)S完全時(shí) S為H的一個(gè)規(guī)范正交基 所以對(duì)任意的 x yH 1 nn n xx e e 1 nn n yy e e 則 11 11 nnnnnmnmnn nnm nn x yx e ey e ex ey ee ex ey e 26 解答 對(duì)任意的xH 由正交原理 1 nn n xx e ex xS 22 1 n n xx e 顯然 22 mkk BeS xm x e 中至多含有1m 個(gè)元素 27 解答 對(duì)任意的 1 n n kk k xeR 11 111 max max nnn kkkkkkk k nk n kkk f xaaaax 所以 1 max k k n fa 令 1 max kl k n aa 1ln 取 0 0 0 1 0 0 n xR 0 1x 0 1 max lk k n f xaa 所以 1 max k k n fa 這樣就有 k nk af 1 max 28 解答 因?yàn)?11 AAA AI 所以 11 1 1 AAAAA AA AII 且 1 A 是有界線性算子 根據(jù)逆算子的定義 11 AA 29 解答 任取 2 1212 xyC 121212 121122 112212 112221 121221 Ax yjj jj j j j x A y 所以 1212 A yj 對(duì)任意的 2 12 yC 對(duì)任意 2 12 xC 1212 12121212 12 2 2 AA xAj x 同理 2A Axx 所以IAAAA2 30 解答 1 對(duì)于任意的 2 k xl 222 1 k k Axx 所以 1A 2 23 2 Ran 0 n n A 由Ax 可知x 所以 KerA 2 對(duì)任意的 2 1212 xyl 11223 1 nn n Ax yx A y 所以 23 A y 注 A AI AAI 第四部分 譜與緊算子 1 設(shè) A 是 2 l空 間 上 的 右 推 移 算 子 12 0 Ax 2 1 k k xl 試 證 明 A 0 但0 不是A的特征值 解答 由于 2 Ran Al 所以A不可逆 即有 A 0 若 2 1 k k xl 12 0 Ax 則 12 0 x 說明0不是A的特征值 2 證明 乘積算子 0 1 0 1 0 1 0 1 A CCxx tC Axtt x tt 是有界線性算子 并且 0 1 A 解答 設(shè) 0 1 C上的范數(shù)為 對(duì)任意的 0 1 x tC 0101 max max tt Axtx tx tx 所以A是有界的 對(duì)于任意的C 0 1 x tC Ax ttx t 當(dāng) 0 1 時(shí) A 是可逆的 且 1 x t Ax t t 1 1 0 1 A dist 而當(dāng) 0 1 時(shí) 取 1 1 0 1 0 n n ttn t x t t 其他 1 2 n 顯然 1 n x 而 2 0 nn Ax ttx t n 這樣 A 沒有有界的逆 所以 A 這樣就證明了 0 1 A 3 設(shè) X 是復(fù) Banach 空間 AB X 求證 A 有預(yù)解公式 ARARARAR 解答 A 11 11 11 11 RARAAA AAAAAA AARA RA 4 設(shè)l 表示有界離散信號(hào)空間 101 hhh h nn n hRh 對(duì)任意 n xxl 令 nkn k k yHxyh x 1 證明 H是ll 上的有界線性算子 卷積算子 2 討論 T 解答 1 對(duì)任意的正整數(shù)K和任意的nZ max sup KKKK kn kkn kkn kkm K k K m kKkKkKkK h xh xhxhx 令K 可得 sup kn kkmk m kkk h xhxhx 所以 nkn k k yHxyh xl 并且 1 Hh 這樣H就是ll 上 的有界線性算子 2 任 取 1 0 0 mmn xxxxl 我 們 用Fourier變 換 將 nkn k k yh x 變換到頻域 n jnjkjk nkk nk mk Yy ex eh eXH 在頻域來看 線性算子的作用相當(dāng)于一個(gè)乘法算子 H 是 0 上的連續(xù)函數(shù) 0 2 0 2 H