2019年高考—圓錐曲線知識(shí)點(diǎn)總結(jié).doc

.2019年高考專題-圓錐曲線的方程與性質(zhì)1橢圓（1）橢圓概念平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)、的距離的和等于常數(shù)2（大于）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離2c叫橢圓的焦距。若為橢圓上任意一點(diǎn)，則有。橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（）（焦點(diǎn)在x軸上）或（）（焦點(diǎn)在y軸上）。注：以上方程中的大小，其中；在和兩個(gè)方程中都有的條件，要分清焦點(diǎn)的位置，只要看和的分母的大小。例如橢圓（，）當(dāng)時(shí)表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓；當(dāng)時(shí)表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓。（2）橢圓的性質(zhì)范圍：由標(biāo)準(zhǔn)方程知，說(shuō)明橢圓位于直線，所圍成的矩形里；對(duì)稱性：在曲線方程里，若以代替方程不變，所以若點(diǎn)在曲線上時(shí)，點(diǎn)也在曲線上，所以曲線關(guān)于軸對(duì)稱，同理，以代替方程不變，則曲線關(guān)于軸對(duì)稱。若同時(shí)以代替，代替方程也不變，則曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。所以，橢圓關(guān)于軸、軸和原點(diǎn)對(duì)稱。這時(shí)，坐標(biāo)軸是橢圓的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是對(duì)稱中心，橢圓的對(duì)稱中心叫橢圓的中心；頂點(diǎn)：確定曲線在坐標(biāo)系中的位置，常需要求出曲線與軸、軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，令，得，則，是橢圓與軸的兩個(gè)交點(diǎn)。同理令得，即，是橢圓與軸的兩個(gè)交點(diǎn)。所以，橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)有四個(gè)，這四個(gè)交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)。同時(shí)，線段、分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸，它們的長(zhǎng)分別為和，和分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)。由橢圓的對(duì)稱性知：橢圓的短軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為；在中，且，即；離心率：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸的比叫橢圓的離心率。，且越接近，就越接近，從而就越小，對(duì)應(yīng)的橢圓越扁；反之，越接近于，就越接近于，從而越接近于，這時(shí)橢圓越接近于圓。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，兩焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，方程為。2雙曲線（1）雙曲線的概念平面上與兩點(diǎn)距離的差的絕對(duì)值為非零常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡是雙曲線（）。注意：式中是差的絕對(duì)值，在條件下；時(shí)為雙曲線的一支；時(shí)為雙曲線的另一支（含的一支）；當(dāng)時(shí)，表示兩條射線；當(dāng)時(shí)，不表示任何圖形；兩定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，叫做焦距。橢圓和雙曲線比較：橢 圓雙 曲 線定義方程焦點(diǎn)注意：如何用方程確定焦點(diǎn)的位置?。?）雙曲線的性質(zhì)范圍：從標(biāo)準(zhǔn)方程，看出曲線在坐標(biāo)系中的范圍：雙曲線在兩條直線的外側(cè)。即，即雙曲線在兩條直線的外側(cè)。對(duì)稱性：雙曲線關(guān)于每個(gè)坐標(biāo)軸和原點(diǎn)都是對(duì)稱的，這時(shí)，坐標(biāo)軸是雙曲線的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是雙曲線的對(duì)稱中心，雙曲線的對(duì)稱中心叫做雙曲線的中心。頂點(diǎn)：雙曲線和對(duì)稱軸的交點(diǎn)叫做雙曲線的頂點(diǎn)。在雙曲線的方程里，對(duì)稱軸是軸，所以令得，因此雙曲線和軸有兩個(gè)交點(diǎn)，他們是雙曲線的頂點(diǎn)。令，沒(méi)有實(shí)根，因此雙曲線和y軸沒(méi)有交點(diǎn)。1）注意：雙曲線的頂點(diǎn)只有兩個(gè)，這是與橢圓不同的（橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)），雙曲線的頂點(diǎn)分別是實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn)。2）實(shí)軸：線段叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)等于叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)。虛軸：線段叫做雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)等于叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)。漸近線：注意到開(kāi)課之初所畫(huà)的矩形，矩形確定了兩條對(duì)角線，這兩條直線即稱為雙曲線的漸近線。從圖上看，雙曲線的各支向外延伸時(shí)，與這兩條直線逐漸接近。等軸雙曲線：1）定義：實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫做等軸雙曲線。定義式：；2）等軸雙曲線的性質(zhì)：（1）漸近線方程為： ；（2）漸近線互相垂直。注意以上幾個(gè)性質(zhì)與定義式彼此等價(jià)。亦即若題目中出現(xiàn)上述其一，即可推知雙曲線為等軸雙曲線，同時(shí)其他幾個(gè)亦成立。3）注意到等軸雙曲線的特征，則等軸雙曲線可以設(shè)為： ，當(dāng)時(shí)交點(diǎn)在軸，當(dāng)時(shí)焦點(diǎn)在軸上。注意與的區(qū)別：三個(gè)量中不同（互換）相同，還有焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸也變了。3拋物線（1）拋物線的概念平面內(nèi)與一定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線(定點(diǎn)F不在定直線l上)。定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線。方程叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。注意：它表示的拋物線的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)是F（,0），它的準(zhǔn)線方程是 ；（2）拋物線的性質(zhì)一條拋物線，由于它在坐標(biāo)系的位置不同，方程也不同，有四種不同的情況，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程還有其他幾種形式：，.這四種拋物線的圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程如下表：標(biāo)準(zhǔn)方程圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程范圍對(duì)稱性軸軸軸軸頂點(diǎn)離心率說(shuō)明：（1）通徑：過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦稱為通徑；（2）拋物線的幾何性質(zhì)的特點(diǎn)：有一個(gè)頂點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)，一條準(zhǔn)線，一條對(duì)稱軸，無(wú)對(duì)稱中心，沒(méi)有漸近線；（3）注意強(qiáng)調(diào)的幾何意義：是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離。（一）橢圓的定義：1、橢圓的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之和等于定長(zhǎng)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。這兩個(gè)定點(diǎn) 、叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距。對(duì)橢圓定義的幾點(diǎn)說(shuō)明：（1）“在平面內(nèi)”是前提，否則得不到平面圖形（去掉這個(gè)條件，我們將得到一個(gè)橢球面）；（2）“兩個(gè)定點(diǎn)”的設(shè)定不同于圓的定義中的“一個(gè)定點(diǎn)”，學(xué)習(xí)時(shí)注意區(qū)分；（3）作為到這兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和的“常數(shù)”，必須滿足大于| F1F2|這個(gè)條件。若不然，當(dāng)這個(gè)“常數(shù)”等于| F1F2|時(shí)，我們得到的是線段F1F2；當(dāng)這個(gè)“常數(shù)”小于| F1F2|時(shí)，無(wú)軌跡。這兩種特殊情況，同學(xué)們必須注意。（4）下面我們對(duì)橢圓進(jìn)行進(jìn)一步觀察，發(fā)現(xiàn)它本身具備對(duì)稱性，有兩條對(duì)稱軸和一個(gè)對(duì)稱中心，我們把它的兩條對(duì)稱軸與橢圓的交點(diǎn)記為A1， A2， B1， B2，于是我們易得| A1A2|的值就是那個(gè)“常數(shù)”，且|B2F2|+|B2F1|、|B1F2|+|B1F1|也等于那個(gè)“常數(shù)”。同學(xué)們想一想其中的道理。（5）中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)分別在x軸上，y 軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程分別為：相同點(diǎn)是：形狀相同、大小相同；都有 a b 0 ，。不同點(diǎn)是：兩種橢圓相對(duì)于坐標(biāo)系的位置不同，它們的焦點(diǎn)坐標(biāo)也不同（第一個(gè)橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（c，0）和（c，0），第二個(gè)橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c）和（0，c）。橢圓的焦點(diǎn)在 x 軸上標(biāo)準(zhǔn)方程中x2項(xiàng)的分母較大；橢圓的焦點(diǎn)在 y 軸上標(biāo)準(zhǔn)方程中y2項(xiàng)的分母較大。（二）橢圓的幾何性質(zhì)：橢圓的幾何性質(zhì)可分為兩類：一類是與坐標(biāo)系有關(guān)的性質(zhì)，如頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、中心坐標(biāo)；一類是與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)的本身固有性質(zhì)，如長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦距、離心率對(duì)于第一類性質(zhì)，只要的有關(guān)性質(zhì)中橫坐標(biāo)x和縱坐標(biāo)y互換，就可以得出的有關(guān)性質(zhì)。總結(jié)如下：幾點(diǎn)說(shuō)明：（1）長(zhǎng)軸：線段，長(zhǎng)為；短軸：線段，長(zhǎng)為；焦點(diǎn)在長(zhǎng)軸上。（2）對(duì)于離心率e，因?yàn)閍c0，所以0e2，解之得0k0，n0，mn），把P（，4），Q（，3）代入得解得m1，n，故橢圓方程為x21。10. 解析：設(shè)弦的兩端點(diǎn)分別為A（x1，y1）、B（x2，y2），則有1，1兩式相減得即弦所在直線的斜率為，又弦過(guò)（2，1）點(diǎn)，故弦所在直線的方程是x2y40 11. 解：設(shè)頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，y），由題意得： 頂點(diǎn)A的軌跡方程為：1（y6） 12. 解：以直線MN為x軸，以線段MN的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示