華理概率論新習題3答案-2012.pdf

概率論與數(shù)理統(tǒng)計 作業(yè)簿 第三冊 學院 專業(yè) 班級 學號 姓名 任課教師 第七次作業(yè) 一 填空題 1 的分布列為 1234 P 1 10 2 5 1 5 3 10 則 E 2 7 2 的分布列為 10 1 2 12 P 1 3 1 6 1 6 1 12 1 4 則 E 1 3 1 E 2 3 2 E 35 24 二 填空題 1 若對任意的隨機變量 E 存在 則 E E E 等于 C A 0 B C E D 2 E 2 現(xiàn)有 10 張獎券 其中 8 張為 2 元 2 張為 5 元 某人從中隨機地無放回地 抽取 3 張 則此人所得獎金的數(shù)學期望為 C A 6 5 B 12 C 7 8 D 9 三 計算題 1 設(shè)隨機變量X的概率密度為 2 1 1 01 1 0 xx p x 其他 其中 1 求 EX 解解 21 11 111 00 11111 011 EXxxdxxdxx 2 設(shè)隨機變量 的概率密度函數(shù) 0 0 0 x ex p x x 求 2 23 EEEe 和 max 2 E 解解 0 1 x Exe dx 23 235EE 222 0 4 1 3 xx EeEE eee dx 0 max 2 max 2 max 2 x Exp x dxxe dx 2 2222 02 22 1 22 xx e dxxe dxeeee 3 一臺機器由三大部件組成 在運轉(zhuǎn)中各部件需要調(diào)整的概率分別為 0 1 0 2 和 0 3 假設(shè)各部件的狀態(tài)相互獨立 用 表示同時需要調(diào)整的部件數(shù) 試 求 的數(shù)學期望 解解設(shè) Ai 第 i 個部件需要調(diào)整 i 1 2 3 則 P A1 0 1 P A2 0 2 P A3 0 3 所以 123 0 0 9 0 8 0 70 504PP A A A 123123123 1 0 389 PP A A AP A A AP A A A 123123123 2 0 092 PP A A AP A A AP A A A 123 3 0 006 PP A A A 從而 0 0 504 1 0 3892 0 0933 0 0060 6E 4 設(shè)球的直徑均勻分布在區(qū)間 a b 內(nèi) 求球的體積的平均值 解解設(shè)球的直徑長為 且 U a b 球的體積為 與直徑 的關(guān)系為 3 4 32 那 么 3 322 3 4 326624 b a xab ab EEEdx ba 5 6個元件裝在 3 臺儀器上 每臺儀器裝兩個 元件的可靠性為 0 5 如果一臺儀器中 至少有一個元件正常工作 不需要更換 若兩個元件都不工作 則要更換 每臺儀器 最多更換一次 記 X 為 3 臺儀器需要更換元件的總次數(shù) 求 EX 解解隨機變量 X 的取值 k 0 1 2 3 每臺儀器需要更換元件的概率 0 5 0 50 25p 則 3 1 0 1 2 3 kkk n P XkC ppk X0123 P27 6427 649 641 64 故 2727913 0123 646464644 EX 或0 75EXnp 6 設(shè) 是非負連續(xù)隨機變量且E 存在 對任意 0 試證 1 E P 證證 設(shè) 的密度函數(shù)是 p x 由0 得 x Pp x dxp x dx 1 xp x dx 0 1 E xp x dx 所以 1 E P 7 某種產(chǎn)品上的缺陷數(shù) 服從分布律 1 1 0 1 2 2k Pkk 求此種產(chǎn)品上的平均缺陷數(shù) 高等數(shù)學 8 學分的學生可以不做 解解 1 11 011 1111 2242 k kk kkk Ekkk 令 1 2 x 則 1 2 111 11 1 1 1 kkk kkk k xxx xx 所以1E 第八次作業(yè) 一 填空題 1 設(shè)隨機變量 的分布律為 10 1 Pa 1 2 b 已知0 5D 則a 1 4 b1 4 二 選擇題 1 設(shè) X 是一隨機變量 2 E XD X 0 為常數(shù) 則對任意常數(shù) C 必有 D AE X C 2 E X2 C2B E X C 2 E X 2 C E X C 2 E X 2D E X C 2 E X 2 三 計算題 1 對第七次作業(yè)第一大題第 2 小題的 求D 和 1 3 D 解解 2 22 35197 24372 DEE 97 1 3 9 8 DD 2 對第七次作業(yè)第三大題第 3 小題中的 求D 解解 222 0 0 504 1 0 3894 0 0939 0 0060 60 46 DEE 3 設(shè)隨機變量 具有概率密度 01 212 0 xx p xxx 其它 計算 D 解解 12 33 12 2 01 01 2 1 33 xx Exp x dxx xdxxx dxx 12 434 12 2222 01 01 27 2 4346 xxx Ex p x dxxxdxxx dx 22 1 6 DEE 4 設(shè)隨機變量 僅在 a b 取值 試證 2 2 ba aEbD 證證因為ab 所以aEb 又因為 22222 ababababba ab 22 baab 2 22 abba DE 5 已知某種股票的價格是隨機變量 其平均值是 1 元 標準差是 0 1 元 求 常數(shù) a 使得股價超過 1 a 元或低于 1 a 元的概率小于 10 提示 應(yīng)用 切比雪夫不等式 解解已知1 0 1ED 由契比雪夫不等式 2 0 01 1 Pa a 令 2 0 01 0 1 a 得0 32a 6 設(shè)隨機變量 的概率分布為 1 1 1 0 1 2 x x a Pxax 其中 0 a 1 試求 D D 解解 1 0 1 10 22 aa Ea 2222 1 0 1 1 22 aa Eaa 所以 22 DEEa 又 2 2 EaEEa 故 2 2 1 DEEaa 7 設(shè)隨機變量 1 1 R 1 試求 0 6 P 2 試用切比雪夫不等式給出 0 6 P 的上界 解解 1 0 6 P 0 4 2 因為 1 0 3 ED 所以 0 6 P 2 1100 0 6 3 0 6108 PE 8 證明 事件在一次試驗中發(fā)生次數(shù) 的方差一定不超過 1 4 證證設(shè)事件 A 在一次試驗中發(fā)生的概率為p 又設(shè)隨機變量 則 2 1 1 24 pq Dpppq 第九次作業(yè) 一 填空題 1 設(shè)X服從泊松分布 若 2 6EX 則 1 P X 2 1 3e 解 222 6 XPEXDXEX 故2 1 1 1 1 0 1 P XP XP XP X 222 121 3eee 2 設(shè)隨機變量 B n p 已知2 4 1 44ED 則參數(shù)n 6 p 0 4 解 2 4 6 1 44 0 4 Enpn Dnpqp 3 某保險公司的某人壽保險險種有 1000 人投保 每個人在一年內(nèi)死亡的概率 為 0 005 且每個人在一年內(nèi)是否死亡是相互獨立的 欲求在未來一年內(nèi)這 1000 個投保人死亡人數(shù)不超過 10 人的概率 用 Excel 的 BINOMDIST 函 數(shù)計算 BINOMDIST 10 1000 0 005 TRUE 0 986531 4 運載火箭運行中進入其儀器倉的粒子數(shù)服從參數(shù)為 4 的泊松分布 用 Excel 的 POISSON 函數(shù)求進入儀器艙的粒子數(shù)大于 10 的概率 POISSON 10 4 TRUE 0 9972 所求概率 p 0 0028 5 4 P 由切比雪夫不等式有 4 6 P 8 9 二 選擇題 1 在相同條件下獨立的進行 3 次射擊 每次射擊擊中目標的概率為 2 3 則至 少擊中一次的概率為 D A 27 4 B 27 12 C 27 19 D 27 26 三 計算題 1 設(shè)隨機變量 的密度函數(shù)是 1 cos 0 22 0 x x p x 其它 對 獨立的隨機觀察 4 次 表示觀察值大于 3 的次數(shù) 求 1 的概率分布 分布律 2 ED 和 解解 4 Bp 1 設(shè) A 觀察值大于 3 則 3 11 cos 3222 x pP APdx 所以 的概率分布為 4 4 11 1 0 1 2 3 4 22 k k Pkk k 或 01234 P 1 16 4 16 6 16 4 16 1 16 2 111 42 41 222 ED 2 隨機變量 服從參數(shù)為 p 的幾何分布 即 1 1 1 2 k Pkppk 1 求 Ps 其中 s 是一個非負整數(shù) 2 試證 PstsPt 其中 s t 是非負整數(shù) 幾何分布具有 無記憶性 解解 1 1 11 1 k k sk s PsPkpp 0 1 1 1 1 1 skss k pppppp p 或者 1 1 1 1 1 s k k PsPspp 1 1 1 1 1 1 s s p pp p 2 PstsPst Psts PsPs 1 1 1 s t t s p pPt p 3 設(shè)隨機變量X服從泊松分布 且 2 4 1 XPXP 求 3 P X 解解 eXPeeXPXPXP 2 2 1 0 1 2 由 2 4 1 XPXP知 eee 2 2 即012 2 解得1 故 1 6 1 3 eXP 4 設(shè)在時間 t 單位 min 內(nèi) 通過某路口的汽車服從參數(shù)與 t 成正比的泊松 分布 已知在 1 分鐘內(nèi)沒有汽車通過的概率為 0 2 求在 2 分鐘內(nèi)至少有 2 輛車通過的概率 提示 設(shè) t t時間內(nèi)汽車數(shù) 則 t Pt 解解 設(shè) t t時間內(nèi)汽車數(shù) 則 t Pt 那么 0 1 2 kt t te Pkk k 由已知 得 0 1 0 0 2ln5 0 e P 所以 0212 222 2 2 2 1 0 1 1 0 1 ee PPP 22 242ln5 1 2 25 ee 5 在一次試驗中事件 A 發(fā)生的概率為 p 把這個試驗獨立重復(fù)做兩次 在下 列兩種情況下分別求 p 的值 1 已知事件 A 至多發(fā)生一次的概率與事件 A 至少發(fā)生一次的概