2006年高考理科數(shù)學試題及答案(湖北卷).pdf

2006 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試 湖北卷 數(shù)學數(shù)學 理工農(nóng)醫(yī)類 理工農(nóng)醫(yī)類 本試卷分第 卷 選擇題 和第 卷 非選擇題 兩部分 第 卷 1 至 2 頁 第 卷 3 至 4 頁 共 4 頁 共 150 分 考試用時 120 分鐘 祝考試順利 ?？荚図樌?第 卷第 卷 選擇題 共 50 分 注意事項 1 答卷前 考生務(wù)必將自己的姓名 準考證號填寫在試題卷和答題卡上 并將準考證號條形碼 粘貼在答題卡上的指定位置 2 每小題選出答案后 用 2B 鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑 如需改動 用橡皮擦干 凈后 再選涂其他答案標號 答在試題卷上無效 3 考試結(jié)束 監(jiān)考人員將本試題卷和答題卡一并收回 一 選擇題 本大題共 10 小題 每小題 5 分 共 50 分 在每小題給出的四個選項中 只有一項 是符合題目要求的 一 選擇題 本大題共 10 小題 每小題 5 分 共 50 分 在每小題給出的四個選項中 只有一項 是符合題目要求的 1 已知向量 1 3 a b是不平行于x軸的單位向量 且3 ba 則b A 2 1 2 3 B 2 3 2 1 C 4 33 4 1 D 0 1 2 若互不相等的實數(shù)a b c成等差數(shù)列 c a b成等比數(shù)列 且103 cba 則a A 4 B 2 C 2 D 4 3 若 ABC的內(nèi)角A滿足 3 2 2sin A 則 AAcossin A 3 15 B 3 15 C 3 5 D 3 5 4 設(shè) x x xf 2 2 lg 則 x f x f 2 2 的定義域為 A 4 00 4 B 4 11 4 C 2 11 2 D 4 22 4 5 在 24 3 1 x x的展開式中 x的冪的指數(shù)是整數(shù)的項共有 A 3 項 B 4 項 C 5 項 D 6 項 6 關(guān)于直線m n與平面 有下列四個命題 nm且 則nm nm 且 則nm nm 且 則nm nm 且 則nm 其中真命題的序號是 A B C D 7 設(shè)過點 yxP 的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A B兩點 點Q與點P關(guān) 于y軸對稱 O為坐標原點 若PABP2 且1 ABOQ 則P點的軌跡方程是 A 0 01 2 3 3 22 yxyx B 0 01 2 3 3 22 yxyx C 0 013 2 3 22 yxyx D 0 013 2 3 22 yxyx 8 有限集合S中元素個數(shù)記作 card S 設(shè)A B都為有限集合 給出下列命題 BA 的充要條件是 card BA card A card B BA 的必要條件是 card Acard B BA 的充分條件是 card Acard B BA 的充要條件是 card Acard B 其中真命題的序號是 A B C D 9 已知平面區(qū)域D由以 3 1A 2 5B 1 3C為頂點的三角形內(nèi)部和邊界組成 若在區(qū)域D 上 有無窮多個點 yx 可使目標函數(shù)myxz 取得最小值 則 m A 2 B 1 C 1 D 4 10 關(guān)于x的方程 011 2 2 2 kxx 給出下列四個命題 存在實數(shù)k 使得方程恰有 2 個不同的實根 存在實數(shù)k 使得方程恰有 4 個不同的實根 存在實數(shù)k 使得方程恰有 5 個不同的實根 存在實數(shù)k 使得方程恰有 8 個不同的實根 其中假假命題的個數(shù)是 A 0 B 1 C 2 D 3 第 卷第 卷 非選擇題 共 100 分 注意事項 注意事項 第 卷用 0 5 毫米黑色的簽字筆或黑色墨水鋼筆直接答在答題卡上 答在試題卷上無效 二 填空題 本大題共二 填空題 本大題共 5 小題 每小題小題 每小題 5 分 共分 共 25 分分 把答案填在答題卡相應(yīng)位置上把答案填在答題卡相應(yīng)位置上 11 設(shè)x y為實數(shù) 且 ii y i x 31 5 211 則x y 12 接種某疫苗后 出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為 0 80 現(xiàn)有 5 人接種該疫苗 至少有 3 人出現(xiàn)發(fā)熱反 應(yīng)的概率為 精確到 0 01 13 已知直線0125 ayx與圓02 22 yxx相切 則a的值為 14 某工程隊有 6 項工程需要先后單獨完成 其中工程乙必須在工程甲完成后才能進行 工程丙 必須在工程乙完成后進行 又工程丁必須在丙完成后立即進行 那么安排這 6 項工程的不同 的排法種數(shù)是 用數(shù)字作答 15 將楊輝三角中的每一個數(shù) r n C都換成分數(shù) r n Cn1 1 就得到一個如右圖所示的分數(shù)三角形 稱為萊布尼茨三角 形 從萊布尼茨三角形可以看出 r n x n r n nCCnCn 1 1 1 1 1 1 其中x 令 22 1 1 11 60 1 30 1 12 1 3 1 nn n CnnC a 則 n n a lim 三 解答題 本大題共 6 小題 共 75 分 解答應(yīng)寫出文字說明 證明過程或演算步驟 三 解答題 本大題共 6 小題 共 75 分 解答應(yīng)寫出文字說明 證明過程或演算步驟 16 本小題滿分 12 分 設(shè)函數(shù) cbaxf 其中向量 xxbxxacos3 sin cos sin Rxxxc sin cos 求函數(shù) xf的最大值和最小正周期 將函數(shù) xfy 的圖像按向量d平移 使平移后得到的圖像關(guān)于坐標原點成中心對稱 求長度最小的d 17 本小題滿分 13 分 已知二次函數(shù) xfy 的圖像經(jīng)過坐標原點 其導函數(shù)為 26 xxf 數(shù)列 n a的前n 項和為 n S 點 NnSn n 均在函數(shù) xfy 的圖像上 求數(shù)列 n a的通項公式 設(shè) 1 3 nn n aa b n T是數(shù)列 n b的前n項和 求使得 20 m Tn 對所有 Nn 都成立 的最小正整數(shù)m 18 本小題滿分 12 分 如圖 在棱長為 1 的正方體 1111 DCBAABCD 中 p是側(cè)棱 1 CC上的一點 mCP 試確定m 使得直線AP與平面 11B BDD所 成角的正切值為23 在線段 11C A上是否存在一個定點Q 使得對 任意的m QD1在平面 1 APD上的射影垂直于AP 并證明你的結(jié)論 19 本小題滿分 10 分 在某校舉行的數(shù)學競賽中 全體參賽學生的競賽成績近似服從正態(tài)分布 100 70N 已知成 績在 90 分以上 含 90 分 的學生有 12 名 試問此次參賽的學生總數(shù)約為多少人 若該校計劃獎勵競賽成績排在前 50 名的學生 試問設(shè)獎的分數(shù)線約為多少分 可供查閱的 部分 標準正態(tài)分布表可供查閱的 部分 標準正態(tài)分布表 00 xxPx 0 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 1 3 1 4 1 9 0 8849 0 9032 0 9192 0 9713 0 8869 0 9049 0 9207 0 9719 0 8888 0 9066 0 9222 0 9726 0 8907 0 9082 0 9236 0 9732 0 8925 0 9099 0 9251 0 9738 0 8944 0 9115 0 9265 0 9744 0 8962 0 9131 0 9278 0 9750 0 8980 0 9147 0 9292 0 9756 0 8997 0 9162 0 9306 0 9762 0 9015 0 9177 0 9319 0 9767 2 0 2 1 0 9772 0 9821 0 9778 0 9826 0 9783 0 9830 0 9788 0 9834 0 9793 0 9838 0 9798 0 9842 0 9803 0 9846 0 9808 0 9850 0 9812 0 9854 0 9817 0 9857 20 本小題滿分 14 分 設(shè)A B分別為橢圓 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的左 右頂點 橢圓長半軸的長等于焦距 且 4 x為它的右準線 求橢圓的方程 設(shè)P為右準線上不同于點 4 0 的任意一點 若直線AP BP分別與橢圓相交于 異于A B的點M N 證明點B在以MN為直徑的圓內(nèi) 此題不要求在答題卡上畫圖 21 本小題滿分 14 分 設(shè)3 x是函數(shù) Rxebaxxxf x 32 的一個極值點 求a與b的關(guān)系式 用a表示b 并求 xf的單調(diào)區(qū)間 設(shè)0 a x eaxg 4 25 2 若存在 4 0 21 使得 1 21 gf成立 求a的取值范圍 湖北省湖北省 2006 高考試題理科答案及解析高考試題理科答案及解析 一 選擇題 1 5 BDABC 6 10 DDBCB 二 填空題 11 4 12 0 94 13 8 或 18 14 20 15 r 1 1 2 部分試題解析 10 解 本題考查換元法及方程根的討論 要求考生具有較強的分析問題和解決問題的能 力 據(jù)題意可令 2 1xt 0 t 則方程化為 2 0ttk 作出函數(shù) 2 1yx 的圖象 結(jié)合函數(shù)的圖象可知 1 當 t 0 或 t 1 時方程 有 2 個不等的根 2 當 0 t 1 時方程 有 4 個根 3 當 t 1 時 方程 有 3 個根 故當 t 0 時 代入方程 解得 k 0 此時方程 有兩個不等根 t 0 或 t 1 故此時原方程有 5 個根 當方程 有兩個不等正根時 即 1 0 4 k 此時方程 有兩根且均小于 1 大于 0 故相應(yīng) 的滿足方程 2 1xt 的解有 8 個 即原方程的解有 8 個 當 1 4 k 時 方程 有兩個相等正根 t 1 2 相應(yīng)的原方程的解有 4 個 故選 B 14 解 考查有條件限制的排列問題 其中要求部分元素間的相對順序確定 據(jù)題意由于 丁必需在丙完成后立即進行 故可把兩個視為一個大元素 先不管其它限制條件使其與其他四 人進行排列共有 5 5 A種排法 在所在的這些排法中 甲 乙 丙相對順序共有 3 3 A種 故滿足條 件的排法種數(shù)共有 5 5 3 3 20 A A 15 解 本題考查考生的類比歸納及推理能力 第一問對比楊輝三角的性質(zhì)通過觀察 類 比 歸納可知萊布尼茨三角形中每一行中的任一數(shù)都等于其 腳下 兩數(shù)的和 故此時1xr 第二問實質(zhì)上是求萊布尼茨三角形中從第三行起每一行的倒數(shù)第三項的和 即 01232 2341 11111 3451 n nn nn a CCCnCnC 根據(jù)第一問所推出的結(jié)論只需在原式基礎(chǔ) 上增加一項 1 1 1 n n nC 則由每一行中的任一數(shù)都等于其 腳下 兩數(shù)的和 結(jié)合給出的數(shù)表 可逐次向上求和為 1 2 故 1 11 21 n n n a nC 從而 1 111 limlim 212 n n xx n a nC 三 解答題 三 解答題 16 點評 本小題主要考查平面向量數(shù)量積的計算方法 三角公式 三角函數(shù)的性質(zhì)及圖像的 基本知識 考查推理和運算能力 解 由題意得 f x a b c sinx cosx sinx cosx sinx 3cosx sin2x 2sinxcosx 3cos2x 2 cos2x sin2x 2 2sin 2x 4 3 所以 f x 的最大值為 2 2 最小正周期是 2 2 由 sin 2x 4 3 0 得 2x 4 3 k 即 x 8 3 2 k k Z 于是 d 8 3 2 k 2 4 8 3 2 2 k dk Z 因為 k 為整數(shù) 要使d最小 則只有 k 1 此時 d 8 2 即為所求 17 點評 本小題考查二次函數(shù) 等差數(shù)列 數(shù)列求和 不等式等基礎(chǔ)知識和基本的運算 技能 考查分析問題的能力和推理能力 解 設(shè)這二次函數(shù) f x ax2 bx a 0 則 f x 2ax b 由于 f x 6x 2 得 a 3 b 2 所以 f x 3x2 2x 又因為點 n n SnN 均在函數(shù) yf x 的圖像上 所以 n S 3n2 2n 當 n 2 時 an Sn Sn 1 3n2 2n 1 2 13 2 nn 6n 5 當 n 1 時 a1 S1 3 12 2 6 1 5 所以 an 6n 5 nN 由 得知 1 3 nn n aa b 5 1 6 56 3 nn 16 1 56 1 2 1 nn 故 Tn n i i b 1 2 1 16 1 56 1 13 1 7 1 7 1 1 nn 2 1 1 16 1 n 因此 要使 2 1 1 16 1 n 20 m nN 成立的 m 必須且僅須滿足 2 1 20 m 即 m 10 所以滿足要求的最小正整數(shù) m 為 10 18 點評 本小題主要考查線面關(guān)系 直線于平面所成的角的有關(guān)知識及空間想象能力和推 理運算能力 考查運用向量知識解決數(shù)學問題的能力 解法 1 連 AC 設(shè) AC 與 BD 相交于點 O AP 與平面 11 BDD B相交于點 連結(jié) OG 因為 PC 平面 11 BDD B 平面 11 BDD B 平面 APC OG 故 OG PC 所以 OG 2 1 PC 2 m 又 AO BD AO BB1 所以 AO 平面 11 BDD B 故 AGO 是 AP 與平面 11 BDD B所成的角 在 Rt AOG 中 tan AGO 23 2 2 2 m GO OA 即 m 3 1 所以 當 m 3 1 時 直線 AP 與平面 11 BDD B所成的角的正切值為3 2 可以推測 點 Q 應(yīng)當是 AICI的中點 O1 因為 D1O1 A1C1 且 D1O1 A1A 所以 D1O1 平面 ACC1A1 又 AP 平面 ACC1A1 故 D1O1 AP 那么根據(jù)三垂線定理知 D1O1在平面 APD1的射影與 AP 垂直 解法二 建立如圖所示的空間直角坐標系 則 A 1 0 0 B 1 1 0 P 0 1 m C 0 1 0 D 0 0 0 B1 1 1 1 D1 0 0 1 所以 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 BDBBAPmAC 又由 1 0 0AC BDAC BB 知 AC 為平面 11 BB D D的一個法向量 設(shè)AP 與 平 面 11 BB D D所 成 的 角 為 則 2 2 sincos 2 22 AP AC APACm 依題 j P O1 D1 C1 B1 A1 D C BA z y x O D1 C1 C D A B A1 B1 P G 意有 2 2 23 2 221 3 2 m 解得 1 3 m 故當 1 3 m 時 直線 AP 與平面 11 BB D D所成 的角的正切值為3 2 若在 A1C1上存在這樣的點 Q 設(shè)此點的橫坐標為x 則 Q x 1 x 1 1 1 0 DQxx 依題意 對任意的 m 要使 D1Q 在平面 APD1上的射影垂直于 AP 等價于 D1Q AP 1 1 0 1 0 2 AP DQxxx 即 Q 為 A1C1的中點時 滿足題設(shè)要求 19 點評 本小題主要考查正態(tài)分布 對獨立事件的概念和標準正態(tài)分布的查閱 考查運 用概率統(tǒng)計知識解決實際問題的能力 解 設(shè)參賽學生的分數(shù)為 因為 N 70 100 由條件知 P 90 1 P 90 1 F 90 1 10 7090 1 2 1 0 9772 0 228 這說明成績在 90 分以上 含 90 分 的學生人數(shù)約占全體參賽人數(shù)的 2 28 因此 參賽總?cè)藬?shù)約為 0228 0 12 526 人 假定設(shè)獎的分數(shù)線為 x 分 則 P x 1 P x 1 F x 1 10 70 x 526 50 0 0951 即 10 70 x 0 9049 查表得 10 70 x 1 31 解得 x 83 1 故設(shè)獎得分數(shù)線約為 83 1 分 20 點評 本小題主要考查直線 圓和橢圓等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識 考查綜合運用數(shù) 學知識進行推理運算的能力和解決問題的能力 解 依題意得 a 2c c a 2 4 解得 a 2 c 1 從 而 b 3 故橢圓的方程為 1 34 22 yx 解法 1 由 得 A 2 0 B 2 0 設(shè) M x0 y0 2 1 1 2 3 4 224 BA M N M 點在橢圓上 y0 4 3 4 x02 1 又點 M 異于頂點 A B 2 x00 BM BP 0 則 MBP 為銳角 從而 MBN 為鈍角 故點 B 在以 MN 為直徑的圓內(nèi) 解法 2 由 得 A 2 0 B 2 0 設(shè) M x1 y1 N x2 y2 則 2 x1 2 2 x2 2 又 MN 的中點 Q 的坐標為 2 21 xx 2 21 yy 依題意 計算點 B 到圓心 Q 的距離與半徑的差 2 BQ 2 4 1 MN 2 21 xx 2 2 2 21 yy 2 4 1 x1 x2 2 y1 y2 2 x1 2 x2 2 y1y1 3 又直線 AP 的方程為 y 2 2 1 1 x x y 直線 BP 的方程為 y 2 2 2 2 x x y 而點兩直線 AP 與 BP 的交點 P 在準線 x 4 上 2 6 2 6 2 2 1 1 x y x y 即 y2 2 23 1 12 x yx 4 又點 M 在橢圓上 則1 34 2 1 2 1 yx 即 4 4 3 2 1 2 1 xy 5 于是將 4 5 代入 3 化簡后可得 2 BQ 2 4 1 MN 0 2 2 4 5 21 xx 從而 點 B 在以 MN 為直徑的圓內(nèi) 21 點評 本小題主要考查函數(shù) 不等式和導數(shù)的應(yīng)用等知識 考查綜合運用數(shù)學知識 解決問題的能力 解 f x x2 a 2 x b a e3 x 由 f 3 0 得 32 a 2 3 b a e3 3 0 即得 b 3 2a 則 f x x2 a 2 x 3 2a a e3 x x2 a 2 x 3 3a e3 x x 3 x a 1 e3 x 令 f x 0 得 x1 3 或 x2 a 1 由于 x 3 是極值點 所以 x a 1 0 那么 a 4 當 a3 x1 則 在區(qū)間 3 上 f x 0 f x 為增函數(shù) 在區(qū)間 a 1 上 f x 4 時 x2 3 x1 則 在區(qū)間 a 1 上 f x 0 f x 為增函數(shù) 在區(qū)間 3 上 f x 0 時 f x 在區(qū)間 0 3 上的單調(diào)遞增 在區(qū)間 3 4 上單調(diào) 遞減 那么 f x 在區(qū)間 0 4 上的值域是 min f 0 f 4 f 3 而 f 0 2a 3 e30 f 3 a 6 那么 f x 在區(qū)間 0 4 上的值域是 2a 3 e3 a 6 又 2 25 4 x g xae 在區(qū)間 0 4 上是增函數(shù) 且它在區(qū)間 0 4 上的值域是 a2 4 25 a2 4 25 e4 由于 a2 4 25 a 6 a2 a 4 1 2 1 a 2 0 所以只須僅須 a2 4 25 a 6 0 解得 0 a 2 3 故 a 的取值范圍是 0 2 3 湖北省湖北省 2006 高考試題理科命題點評高考試題理科命題點評 試卷在對數(shù)學基礎(chǔ)知識全面考查的同時 不刻意追求知識點的全面覆蓋 突出了對支撐數(shù)學學科知識體系的 重點知識進行重點考查 選擇題和填空題的前幾題都相當容易 對于穩(wěn)定考生情緒 鼓舞答卷士氣具有強烈的 推進作用 注重考查考生的基礎(chǔ)知識 基本技能 全卷的區(qū)分度比較好 與去年相比 全卷難度有所增