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壓軸題放縮法技巧全總結(jié) 高考數(shù)學(xué)備考之 放縮技巧證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構(gòu)造性強(qiáng)，需要有較高的放縮技巧而充滿(mǎn)思考性和挑戰(zhàn)性，能全面而綜合地考查學(xué)生的潛能與后繼學(xué)習(xí)能力，因而成為高考?jí)狠S題及各級(jí)各類(lèi)競(jìng)賽試題命題的極好素材。這類(lèi)問(wèn)題的求解策略往往是：通過(guò)多角度觀察所給數(shù)列通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，深入剖析其特征，抓住其規(guī)律進(jìn)行恰當(dāng)?shù)胤趴s；其放縮技巧主要有以下幾種： 一、裂項(xiàng)放縮 例1.(1)求 的值; (2)求證: .解析:(1)因?yàn)?,所以 (2)因?yàn)?,所以 技巧積累:(1) (2) (3) 例2.(1)求證: (2)求證: (3)求證: (4) 求證： 解析:(1)因?yàn)?,所以 (2) (3)先運(yùn)用分式放縮法證明出 ,再結(jié)合 進(jìn)行裂項(xiàng),最后就可以得到答案 (4)首先 ,所以容易經(jīng)過(guò)裂項(xiàng)得到 再證 而由均值不等式知道這是顯然成立的，所以 例3.求證: 解析: 一方面: 因?yàn)?,所以 另一方面: 當(dāng) 時(shí), ,當(dāng) 時(shí), ,當(dāng) 時(shí), ,所以綜上有 例4.(2008年全國(guó)一卷)設(shè)函數(shù) .數(shù)列 滿(mǎn)足 . .設(shè) ，整數(shù) .證明: .解析: 由數(shù)學(xué)歸納法可以證明 是遞增數(shù)列, 故 若存在正整數(shù) , 使 , 則 ,若 ,則由 知 , ,因?yàn)?,于是 例5.已知 ,求證: . 解析:首先可以證明: 所以要證 只要證: 故只要證 ,即等價(jià)于 ,即等價(jià)于 而正是成立的,所以原命題成立.例6.已知 , ,求證: .解析: 所以 從而 例7.已知 , ,求證: 證明: ,因?yàn)?,所以 所以 二、函數(shù)放縮 例8.求證： . 解析:先構(gòu)造函數(shù)有 ,從而 cause 所以 例9.求證:(1) 解析:構(gòu)造函數(shù) ,得到 ,再進(jìn)行裂項(xiàng) ,求和后可以得到答案 函數(shù)構(gòu)造形式: , 例10.求證: 解析:提示: 函數(shù)構(gòu)造形式: 當(dāng)然本題的證明還可以運(yùn)用積分放縮如圖,取函數(shù) ,首先: ,從而, 取 有, ,所以有 , , , ,相加后可以得到: 另一方面 ,從而有 取 有, ,所以有 ,所以綜上有 例11.求證: 和 .解析:構(gòu)造函數(shù)后即可證明例12.求證: 解析: ,疊加之后就可以得到答案 函數(shù)構(gòu)造形式: (加強(qiáng)命題)例13.證明: 解析:構(gòu)造函數(shù) ,求導(dǎo),可以得到: ,令 有 ,令 有 , 所以 ,所以 ,令 有, 所以 ,所以 例14. 已知 證明 . 解析: ,然后兩邊取自然對(duì)數(shù),可以得到 然后運(yùn)用 和裂項(xiàng)可以得到答案)放縮思路： 。于是 ， 即 注：題目所給條件 （ ）為一有用結(jié)論，可以起到提醒思路與探索放縮方向的作用；當(dāng)然，本題還可用結(jié)論 來(lái)放縮： ，即 例16.(2008年福州市質(zhì)檢)已知函數(shù) 若 解析:設(shè)函數(shù) 函數(shù) ）上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減. 的最小值為 ，即總有 而 即 令 則 例15.(2008年廈門(mén)市質(zhì)檢) 已知函數(shù) 是在 上處處可導(dǎo)的函數(shù),若 在 上恒成立. (I)求證：函數(shù) 上是增函數(shù)； (II)當(dāng) ； (III)已知不等式 時(shí)恒成立，求證： 解析:(I) ,所以函數(shù) 上是增函數(shù) (II)因?yàn)?上是增函數(shù),所以 兩式相加后可以得到 (3) 相加后可以得到: 所以 令 ,有 所以 (方法二) 所以 又 ,所以 三、分式放縮 姐妹不等式: 和 記憶口訣”小者小,大者大” 解釋:看b,若b小,則不等號(hào)是小于號(hào),反之.例19. 姐妹不等式: 和也可以表示成為和 解析: 利用假分?jǐn)?shù)的一個(gè)性質(zhì) 可得 即 例20.證明: 解析: 運(yùn)用兩次次分式放縮: (加1) (加2) 相乘,可以得到:所以有 四、分類(lèi)放縮 例21.求證: 解析: 例22.(2004年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試改編) 在平面直角坐標(biāo)系 中, 軸正半軸上的點(diǎn)列 與曲線(xiàn) （ 0）上的點(diǎn)列 滿(mǎn)足 ，直線(xiàn) 在x軸上的截距為 .點(diǎn) 的橫坐標(biāo)為 , .(1)證明 (2)證明有 ，使得對(duì) 都有 . 解析:(1) 依題設(shè)有： ，由 得： ,又直線(xiàn) 在 軸上的截距為 滿(mǎn)足 顯然，對(duì)于 ，有 (2)證明：設(shè) ，則 設(shè) ，則當(dāng) 時(shí)，。所以，取 ，對(duì) 都有：故有 成立。例23.(2007年泉州市高三質(zhì)檢) 已知函數(shù) ，若 的定義域?yàn)?，0，值域也為1，0.若數(shù)列 滿(mǎn)足 ，記數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，問(wèn)是否存在正常數(shù)A，使得對(duì)于任意正整數(shù) 都有 ？并證明你的結(jié)論。 解析:首先求出 , , , ,故當(dāng) 時(shí), ,因此，對(duì)任何常數(shù)A，設(shè) 是不小于A的最小正整數(shù)，則當(dāng) 時(shí),必有 .故不存在常數(shù)A使 對(duì)所有 的正整數(shù)恒成立.例24.(2008年中學(xué)教學(xué)參考)設(shè)不等式組 表示的平面區(qū)域?yàn)?,設(shè) 內(nèi)整數(shù)坐標(biāo)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 .設(shè) , 當(dāng) 時(shí),求證: . 解析:容易得到 ,所以,要證 只要證 ,因?yàn)?,所以原命題得證五、迭代放縮例25. 已知 ,求證:當(dāng) 時(shí), 解析:通過(guò)迭代的方法得到 ,然后相加就可以得到結(jié)論例26. 設(shè) ,求證:對(duì)任意的正整數(shù)k,若kn恒有:|Sn+kSn| 1n 解析: 又 所以 六、借助數(shù)列遞推關(guān)系例27.求證: 解析: 設(shè) 則,從而,相加后就可以得到所以 例28. 求證: 解析: 設(shè) 則,從而,相加后就可以得到例29. 若 ,求證: 解析: 所以就有 七、分類(lèi)討論例30.已知數(shù)列 的前 項(xiàng)和 滿(mǎn)足 證明：對(duì)任意的整數(shù) ，有 解析:容易得到 , 由于通項(xiàng)中含有 ，很難直接放縮，考慮分項(xiàng)討論：當(dāng) 且 為奇數(shù)時(shí) （減項(xiàng)放縮），于是 當(dāng) 且 為偶數(shù)時(shí) 當(dāng) 且 為奇數(shù)時(shí) （添項(xiàng)放縮）由知 由得證。八、線(xiàn)性規(guī)劃型放縮 例31. 設(shè)函數(shù) .若對(duì)一切 ， ，求 的最大值。 解析:由 知 即 由此再由 的單調(diào)性可以知道 的最小值為 ，最大值為 因此對(duì)一切 ， 的充要條件是， 即 ， 滿(mǎn)足約束條件 ， 由線(xiàn)性規(guī)劃得， 的最大值為5九、均值不等式放縮 例32.設(shè) 求證 解析: 此數(shù)列的通項(xiàng)為 ， ，即 注：應(yīng)注意把握放縮的“度”：上述不等式右邊放縮用的是均值不等式 ，若放成 則得 ，就放過(guò)“度”了！ 根據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)特征來(lái)選取所需要的重要不等式，這里 其中， 等的各式及其變式公式均可供選用。例33.已知函數(shù) ，若 ，且 在0，1上的最小值為 ，求證： 解析: 例34.已知 為正數(shù)，且 ，試證：對(duì)每一個(gè) ， .解析: 由 得 ，又 ，故 ，而 ，令 ，則 = ，因?yàn)?，倒序相加得 = ，而 ，則 = ，所以 ，即對(duì)每一個(gè) ， .例35.求證 解析: 不等式左 = ，原結(jié)論成立.例36.已知 ,求證: 解析: 經(jīng)過(guò)倒序相乘,就可以得到 例37.已知 ,求證: 解析: 其中: ,因?yàn)?所以 從而 ,所以 . 例38.若 ,求證: . 解析: 因?yàn)楫?dāng) 時(shí), ,所以 ,所以 ,當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取到等號(hào). 所以 所以 所以 例39.已知 ,求證: . 解析: .例40.已知函數(shù)f(x)=x2(1)k 2lnx(kN*).k是奇數(shù), nN*時(shí),求證: f(x)n2n1 f(xn)2n(2n2). 解析: 由已知得 ，(1)當(dāng)n=1時(shí)，左式= 右式=0.不等式成立.(2) , 左式= 令 由倒序相加法得： ， 所以 所以 綜上，當(dāng)k是奇數(shù)， 時(shí)，命題成立例41. （2007年?yáng)|北三校）已知函數(shù) （1）求函數(shù) 的最小值，并求最小值小于0時(shí)的 取值范圍； （2）令 求證： 例42. (2008年江西高考試題)已知函數(shù) , .對(duì)任意正數(shù) ,證明： 解析:對(duì)任意給定的 , ,由 ,若令 ，則 ,而 （一）、先證 ；因?yàn)?， ， ，又由 ，得 所以 （二）、再證 ；由、式中關(guān)于 的對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè) 則 （）、當(dāng) ，則 ，所以 ，因?yàn)?，此時(shí) （）、當(dāng) ，由得 , ， ，因?yàn)?所以 同理得 ，于是 今證明 , 因?yàn)?，只要證 ，即 ，也即 ，據(jù)，此為顯然因此得證故由得 綜上所述，對(duì)任何正數(shù) ，皆有 例43.求證: 解析:一方面: (法二) 另一方面: 十、二項(xiàng)放縮 , , 例44. 已知 證明 解析: ，即 45.設(shè) ，求證：數(shù)列 單調(diào)遞增且 解析: 引入一個(gè)結(jié)論：若 則 （證略）整理上式得 （ ）以 代入（ ）式得 即 單調(diào)遞增。以 代入（ ）式得 此式對(duì)一切正整數(shù) 都成立，即對(duì)一切偶數(shù)有 ，又因?yàn)閿?shù)列 單調(diào)遞增，所以對(duì)一切正整數(shù) 有 。 注：上述不等式可加強(qiáng)為 簡(jiǎn)證如下： 利用二項(xiàng)展開(kāi)式進(jìn)行部分放縮： 只取前兩項(xiàng)有 對(duì)通項(xiàng)作如下放縮： 故有 上述數(shù)列 的極限存在，為無(wú)理數(shù) ；同時(shí)是下述試題的背景：已知 是正整數(shù)，且 （1）證明 ；（2）證明 （01年全國(guó)卷理科第20題） 簡(jiǎn)析 對(duì)第（2）問(wèn)：用 代替 得數(shù)列 是遞減數(shù)列；借鑒此結(jié)論可有如下簡(jiǎn)捷證法：數(shù)列 遞減，且 故 即 。 當(dāng)然，本題每小題的證明方法都有10多種,如使用上述例5所提供的假分?jǐn)?shù)性質(zhì)、貝努力不等式、甚至構(gòu)造“分房問(wèn)題”概率模型、構(gòu)造函數(shù)等都可以給出非常漂亮的解決！詳見(jiàn)文1。例46.已知a+b=1,a 0,b 0,求證： 解析: 因?yàn)閍+b=1,a 0,b 0,可認(rèn)為 成等差數(shù)列，設(shè) ，從而 例47.設(shè) ，求證 .解析: 觀察 的結(jié)構(gòu)，注意到 ，展開(kāi)得，即 ，得證.例48.求證: . 解析:參見(jiàn)上面的方法,希望讀者自己嘗試!)例42.(2008年北京海淀5月練習(xí)) 已知函數(shù) ，滿(mǎn)足：對(duì)任意 ，都有 ；對(duì)任意 都有 .（I）試證明： 為 上的單調(diào)增函數(shù)；（II）求 ；（III）令 ，試證明：. 解析:本題的亮點(diǎn)很多,是一道考查能力的好題. (1)運(yùn)用抽象函數(shù)的性質(zhì)判斷單調(diào)性: 因?yàn)?,所以可以得到 , 也就是 ,不妨設(shè) ,所以,可以得到 ,也就是說(shuō) 為 上的單調(diào)增函數(shù). (2)此問(wèn)的難度較大,要完全解決出來(lái)需要一定的能力! 首先我們發(fā)現(xiàn)條件不是很足,嘗試探索看看按(1)中的不等式可以不可以得到什么結(jié)論,一發(fā)現(xiàn)就有思路了! 由(1)可知 ,令 ,則可以得到,又 ,所以由不等式可以得到 ,又,所以可以得到 接下來(lái)要運(yùn)用迭代的思想: 因?yàn)?,所以 , , , , , 在此比較有技巧的方法就是: ,所以可以判斷 當(dāng)然,在這里可能不容易一下子發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)論,所以還可以列項(xiàng)的方法,把所有項(xiàng)數(shù)盡可能地列出來(lái),然后就可以得到結(jié)論. 所以,綜合有 = (3)在解決 的通項(xiàng)公式時(shí)也會(huì)遇到困難. ,所以數(shù)列 的方程為 ,從而 , 一方面 ,另一方面 所以 ,所以,綜上有.例49. 已知函數(shù)f x 的定義域?yàn)?,1，且滿(mǎn)足下列條件： 對(duì)于任意 0,1，總有 ，且 ； 若 則有 （）求f 0 的值；（）求證：f x 4；（）當(dāng) 時(shí)，試證明： .解析: （）解：令 ，由對(duì)于任意 0,1，總有 ， 又由得 即 （）解：任取 且設(shè) 則 因?yàn)?，所以 ，即 . 當(dāng) 0,1時(shí)， . （）證明：先用數(shù)學(xué)歸納法證明： （1）當(dāng)n=1時(shí)， ，不等式成立；（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)， 由 得 即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立由（1）、（2）可知，不等式 對(duì)一切正整數(shù)都成立.于是，當(dāng) 時(shí)， ，而 0,1， 單調(diào)遞增 所以， 例50. 已知： 求證： 解析:構(gòu)造對(duì)偶式：令 則 又 （ 十一、積分放縮利用定積分的保號(hào)性比大小保號(hào)性是指，定義在 上的可積函數(shù) ，則 .例51.求證： . 解析: ， ， 時(shí)， ， ， ， .利用定積分估計(jì)和式的上下界定積分產(chǎn)生和應(yīng)用的一個(gè)主要背景是計(jì)算曲邊梯形的面積，現(xiàn)在用它來(lái)估計(jì)小矩形的面積和.例52. 求證： ， . 解析: 考慮函數(shù) 在區(qū)間 上的定積分.如圖，顯然 -對(duì) 求和， .例53. 已知 .求證： . 解析:考慮函數(shù) 在區(qū)間 上的定積分. - .例54. （2003年全國(guó)高考江蘇卷）設(shè) ，如圖，已知直線(xiàn) 及曲線(xiàn) ： ， 上的點(diǎn) 的橫坐標(biāo)為 （ ）.從 上的點(diǎn) 作直線(xiàn)平行于 軸，交直線(xiàn) 于點(diǎn) ，再?gòu)狞c(diǎn) 作直線(xiàn)平行于 軸，交曲線(xiàn) 于點(diǎn) . 的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列 .（）試求 與 的關(guān)系，并求 的通項(xiàng)公式； （）當(dāng) 時(shí)，證明 ； （）當(dāng) 時(shí)，證明 .解析: （過(guò)程略）.證明（II）：由 知 ， ， .當(dāng) 時(shí)， ， .證明（）：由 知 . 恰表示陰影部分面積，顯然 .奇巧積累: 將定積分構(gòu)建的不等式略加改造即得“初等”證明，如： ； ； ； .十二、部分放縮(尾式放縮) 例55.求證: 解析: 例56. 設(shè) 求證： 解析: 又 （只將其中一個(gè) 變成 ，進(jìn)行部分放縮）， ，于是 例57.設(shè)數(shù)列 滿(mǎn)足 ，當(dāng) 時(shí)證明對(duì)所有 有 ； 解析: 用數(shù)學(xué)歸納法：當(dāng) 時(shí)顯然成立，假設(shè)當(dāng) 時(shí)成立即 ，則當(dāng) 時(shí)，成立。 利用上述部分放縮的結(jié)論 來(lái)放縮通項(xiàng)，可得 注：上述證明 用到部分放縮，當(dāng)然根據(jù)不等式的性質(zhì)也可以整體放縮： ；證明 就直接使用了部分放縮的結(jié)論 十三、三角不等式的放縮 例58.求證: . 解析:(i)當(dāng) 時(shí), (ii)當(dāng) 時(shí),構(gòu)造單位圓,如圖所示: 因?yàn)槿切蜛OB的面積小于扇形OAB的面積 所以可以得到 當(dāng) 時(shí) 所以當(dāng) 時(shí) 有 (iii)當(dāng) 時(shí), ,由(ii)可知: 所以綜上有 十四、使用加強(qiáng)命題法證明不等式 (i)同側(cè)加強(qiáng) 對(duì)所證不等式的同一方向(可以是左側(cè),也可以是右側(cè))進(jìn)行加強(qiáng).如要證明 ,只要證明 ,其中 通過(guò)尋找分析,歸納完成.例59.求證:對(duì)一切 ,都有 .解析: 從而 當(dāng)然本題還可以使用其他方法,如: 所以 . (ii)異側(cè)加強(qiáng)(數(shù)學(xué)歸納法) (iii)雙向加強(qiáng) 有些不等式,往往是某個(gè)一般性命題的特殊情況,這時(shí),不妨”返璞歸真”,通過(guò)雙向加強(qiáng)還原其本來(lái)面目,從而順利解決原不等式.其基本原理為: 欲證明 ,只要證明: .例60.已知數(shù)列 滿(mǎn)足: ,求證: 解析: ,從而 ,所以有 ,所以 又 ,所以 ,所以有 所以 所以綜上有 引申:已知數(shù)列 滿(mǎn)足: ,求證: .解析:由上可知 ,又 ,所以 從而 又當(dāng) 時(shí), ,所以綜上有 .同題引申: (2008年浙江高考試題)已知數(shù)列 , , , .記 , .求證:當(dāng) 時(shí).(1) ; (2) ; (3) . 解析:(1) ,猜想 ,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明: (i)當(dāng) 時(shí), ,結(jié)論成立; (ii)假設(shè)當(dāng) 時(shí), ,則 時(shí), 從而 ,所以 所以綜上有 ,故 (2)因?yàn)?則 , , ,相加后可以得到: ,所以,所以 (3)因?yàn)?,從而 ,有 ,所以有 ,從而,所以,所以 所以綜上有 .例61.(2008年陜西省高考試題)已知數(shù)列 的首項(xiàng) , , (1)證明:對(duì)任意的 , , ; (2)證明: . 解析:(1)依題,容易得到 ,要證 , , ,即證 即證 ,設(shè) 所以即證明 從而 ,即 ,這是顯然成立的.所以綜上有對(duì)任意的 , , (法二) , 原不等式成立 (2)由(1)知，對(duì)任意的 ，有取 ，則 原不等式成立十四、經(jīng)典題目方法探究 探究1.(2008年福建省高考)已知函數(shù) .若 在區(qū)間 上的最小值為 ,令 .求證: .證明:首先:可以得到 .先證明 (方法一) 所以 (方法二)因?yàn)?,相乘得: ,從而 .(方法三)設(shè)A= ,B= ,因?yàn)锳 B,所以A2 AB, 所以 , 從而 .下面介紹幾種方法證明 (方法一)因?yàn)?,所以 ,所以有 (方法二) ,因?yàn)?,所以 令 ,可以得到 ,所以有(方法三)設(shè) 所以 ,從