小學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納和總結(jié).doc

小學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納和總結(jié)二年級(jí)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)分類：一、運(yùn)算符號(hào)類二、規(guī)律填數(shù)類三、規(guī)律畫圖類四、年齡問題類五、間隔問題類（含植樹問題及智力計(jì)數(shù)）六、周期問題類七、有序思考類八、時(shí)鐘問題類九、推理及思維訓(xùn)練類（包含算式類）十、和差問題類十一、和倍問題類十二、差倍問題類十三、一筆畫類十四、移動(dòng)變換類十五、智力趣味類（包含巧切西瓜）十六、雞兔同籠類十七、盈虧問題類十八、應(yīng)用類（含數(shù)量關(guān)系、重疊問題、）三年級(jí)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)分類：一、計(jì)算類計(jì)算是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本知識(shí)，也是學(xué)好奧數(shù)的基礎(chǔ)。能否又快又準(zhǔn)的算出答案，是歷年數(shù)學(xué)競(jìng)賽考察的一個(gè)基本點(diǎn)。三年級(jí)的計(jì)算包括：速算與巧算、數(shù)列規(guī)律、數(shù)列求和、等差數(shù)列的和等。二、應(yīng)用題類從三年級(jí)起，大量的奧數(shù)專題知識(shí)都是所有年級(jí)所有競(jìng)賽考試中必考的重點(diǎn)知識(shí)。學(xué)生們一定要在各個(gè)應(yīng)用題專題學(xué)習(xí)的初期打下良好的基礎(chǔ)。(1)和倍、差倍問題：用線段標(biāo)識(shí)等方法揭示這兩類問題中各種數(shù)量關(guān)系，和倍問題：小數(shù)=和(倍數(shù)+1)。三、差倍問題：小數(shù)=差(倍數(shù)-1)(2)年齡問題：教授解決年齡問題的主要方法：和倍、差倍方法;畫圖線段標(biāo)示法。(3)盈虧問題：介紹盈虧問題的主要形式(雙盈、雙虧、一盈一虧)分配總?cè)藬?shù)=盈虧總額兩次分配數(shù)之差。(4)植樹問題：總長(zhǎng)、株距、棵樹三要素之間的數(shù)量關(guān)系：總長(zhǎng)=株距段數(shù)，封閉圖形：棵數(shù)=段數(shù)不封閉圖形：兩頭都栽：棵數(shù)=段數(shù)+1兩頭都不栽：棵數(shù)=段數(shù)-1一頭栽一頭不栽：棵數(shù)=段數(shù)(5)雞兔同籠問題：介紹雞兔同籠問題的由來和主要形式，揭示雞兔同籠問題中的數(shù)量關(guān)系，假設(shè)法(6)行程問題：相遇問題、追及問題等，相遇時(shí)間=總路程速度和，追及時(shí)間=距離速度差。(7)周期問題(8)還原問題(9)歸一問題(10)體育比賽中的數(shù)學(xué)、趣題巧解幾何類三年級(jí)學(xué)校的學(xué)習(xí)中就會(huì)涉及到一些簡(jiǎn)單的圖形求周長(zhǎng)和面積了，那么在奧數(shù)中圖形問題涉及到的是巧求周長(zhǎng)、巧求矩形面積數(shù)論類現(xiàn)在三年級(jí)也開始涉及到了數(shù)論了，是比較簡(jiǎn)單的能被2、3、5整除的性質(zhì)、奇數(shù)和偶數(shù)、余數(shù)與周期問題。四年級(jí)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)分類：1.圓周率常取數(shù)據(jù)3.1413.143.1426.283.1439.423.14412.563.14515.73.15618.843.14721.983.14825.123.14928.262.常用特殊數(shù)的乘積1258100025410012533756251610000711131001258200 1254500373=111 3.100內(nèi)質(zhì)數(shù)：2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 974.單位換算：1米=3尺=3.2808英尺=1.0926碼1公里=1000米=2里1碼=3英尺=36英 寸1海里=1852米=3.704里=1.15英里1平方公里=1000000平方米=100公頃 =4平方里=0.3861平方英里1平方米=100平方分米=10000平方厘米1公頃=100公畝=15畝=2.4711英畝1立方 米=1000立方分米=1000000立方厘米1立方米=27立方尺=1.308立方碼=35.3147立方英尺1噸=1000公斤=1000千 克1公斤=1000克=2斤（市制）=2.2046磅5.加減法運(yùn)算性質(zhì)：同級(jí)運(yùn)算時(shí)，如果交換數(shù)的位置，應(yīng)注意符號(hào)搬家。加、去括號(hào)時(shí)要 注意以下幾點(diǎn)：括號(hào)前面是加號(hào)，去掉括號(hào)不變號(hào)；加號(hào)后面添括號(hào)，括號(hào)里面不變號(hào)；括號(hào)前面是減號(hào)，去掉括號(hào)要變號(hào)；減號(hào)后面添括號(hào)，括號(hào)里面要變號(hào)。6.乘除法運(yùn)算性質(zhì)乘法中性質(zhì)：（1）乘法交換律（2）乘法結(jié)合律 （3）乘法分配律 （4）乘法性質(zhì)（5）積的變化規(guī)律：一擴(kuò)一縮法。除法中性質(zhì)：當(dāng)被除數(shù)為幾個(gè)數(shù)字之和或者差時(shí)才可以用除法分配律 積的變化規(guī)律：同擴(kuò)同縮法。同級(jí)運(yùn)算時(shí)，如果有交換數(shù)的位置，應(yīng)該注意符號(hào)搬家。加、去括號(hào)時(shí)注意以下幾點(diǎn)：括號(hào)前面是乘號(hào)，去掉或加上括號(hào)不變號(hào)；括號(hào) 前面是除號(hào)，去掉或加上括號(hào)要變號(hào)；7.等差數(shù)列數(shù)列是指按一定規(guī)律順序排列成一列數(shù)。如果一個(gè)數(shù)列中從第二個(gè)數(shù) 開始，相鄰兩個(gè)數(shù)的差都相等，我們就把這樣的一列數(shù)叫做等差數(shù)列，等差數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做項(xiàng)，第一個(gè)數(shù)叫第一項(xiàng)，通常也叫“首項(xiàng)”，第二個(gè)數(shù)叫第二 項(xiàng)，第三個(gè)數(shù)叫第三項(xiàng)最后一項(xiàng)叫做“末項(xiàng)”。等差數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)的差叫做“公差”，等差數(shù)列中項(xiàng)的個(gè)數(shù)叫做“項(xiàng)數(shù)”。公式： 和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）項(xiàng)數(shù)2 項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）公差+1 第n項(xiàng)=首項(xiàng)+（n-1）公差8.和倍問題己知幾個(gè)數(shù)的和及這幾個(gè)數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系，求這幾個(gè)數(shù)的應(yīng)用題叫 和倍問題。解答和倍問題，一般是先確定較小的數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)數(shù)（或稱一倍數(shù)），再根據(jù)其他幾個(gè)數(shù)與較小數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，確定總和相當(dāng)于標(biāo)準(zhǔn)數(shù)的多少倍，然后用除法 求出標(biāo)準(zhǔn)數(shù)，再求出其他各數(shù)，最好采用畫線段圖的方法。和倍公式：和（倍數(shù)1）=小數(shù)9.差倍問題己知兩個(gè)數(shù)的差及它們之間的倍數(shù)關(guān)系，求這兩個(gè)數(shù)的應(yīng)用題叫差倍 問題。解答差倍問題，一般以較小數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)數(shù)（一倍數(shù)），再根據(jù)大小兩數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系，確定差是標(biāo)準(zhǔn)數(shù)的多少倍，然后用除法先求出較小數(shù)，再求出較大 數(shù)。解答這類問題，先畫線段圖，幫助分析數(shù)量關(guān)系。差倍公式：差（倍數(shù)1）=小數(shù)10.和差問題和差問題是根據(jù)大小兩個(gè)數(shù)的和與兩個(gè)數(shù)的差求大小兩個(gè)數(shù)各是多少 的應(yīng)用題。解答和差問題的基本公式是：（和差）2=較小數(shù)（和差）2=較大數(shù)九、11.年齡問題己知兩個(gè)人或幾個(gè)人的年齡，求他們年齡之間的某種數(shù)量關(guān)系；或己 知某些人年齡之間的數(shù)量關(guān)系，求他們的年齡等，這種題稱為年齡問題。年齡問題的特點(diǎn)是：一般用和差或者和倍問題的方法解答。（1）兩人的年齡之差是不變 的，稱為定差。（2）兩個(gè)人的年齡同時(shí)都增加同樣的數(shù)量。（3）兩個(gè)年齡之間的倍數(shù)關(guān)系，隨著年齡的增長(zhǎng)，也在發(fā)生變化。年齡問題的解題方法是：幾年后= 大小年齡之差倍數(shù)差小年齡幾年前=小年齡大小年齡差倍數(shù)差12.平均數(shù)求平均數(shù)必須知道總數(shù)和份數(shù)，常用公式：平均數(shù)=總數(shù)份數(shù) 總數(shù)=平均數(shù)份數(shù) 份數(shù)=總數(shù)平均數(shù)相遇問題行程問題又分為相遇問題、13.相遇與追及問題路程=速度時(shí)間時(shí)間=路程速度速度=路程時(shí)間。相遇問題它的特點(diǎn)是兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體或人，同時(shí)或不同時(shí)從兩地相向而 行，或同時(shí)同地相背而行，要解答相遇問題，掌握以下數(shù)量關(guān)系：速度和相遇時(shí)間=路程路程速度和=相遇時(shí)間速度相遇時(shí)間=速度和追及問題運(yùn)動(dòng)的物體或人同向而不同時(shí)出發(fā)，后出發(fā)的速度快，經(jīng)過 一段時(shí)間追上先出發(fā)的，這樣的問題叫做追及問題，解答追及問題的基本條件是“追及路程”和“速度差”。追及問題的基本數(shù)量關(guān)系是：追及時(shí)間=追及路程速 度差追及路程=速度差追及時(shí)間速度差=追及路程追及時(shí)間14.行船問題船在江河里航行，前進(jìn)的速度與水流動(dòng)的速度有關(guān)系。船在流水中行程問題，叫做行船問題（也叫流水問題），船順流而下的速度和逆流而上的速度與船速、水速的關(guān)系是：順?biāo)俣?船速水速逆水速度=船速水速由于順?biāo)俣仁谴倥c水速的和，逆水速度是船速與水速的差，因此行船問題就是和差問題，所以解答行船問題有時(shí)需要駝?dòng)煤筒顔栴}的數(shù)量關(guān)系。船速=（順?biāo)俣饶嫠俣龋?水速=（順?biāo)俣饶嫠俣龋?因?yàn)樾写瑔栴}也是行程問題，所以在行船問題中也反映了行程問題的路程、速度與時(shí)間的關(guān)系。順?biāo)烦?順?biāo)俣葧r(shí)間逆水路程=逆水速度時(shí)間15.過橋問題過橋問題的一般數(shù)量關(guān)系是：路程=橋長(zhǎng)車長(zhǎng) 車速=（橋長(zhǎng)車長(zhǎng)）通過時(shí)間 通過時(shí)間=（橋長(zhǎng)車長(zhǎng)）車速車長(zhǎng)=車速通過時(shí)間橋長(zhǎng) 橋長(zhǎng)=車速通過時(shí)間車長(zhǎng)16.植樹問題在首尾不相接的路線上植樹，段數(shù)與棵數(shù)關(guān)系可分為三類：（1）兩端都種樹 段數(shù)=棵數(shù)1（2）一端種一端不種 段數(shù)=棵數(shù)（3）兩端都不種段數(shù)=棵數(shù)1 （4）在首尾相接的路線上種樹（如圓、正方形、閉合曲線等） 段數(shù)=棵數(shù)17.還原問題還原問題又叫逆推問題。己知一個(gè)數(shù)的結(jié)果，再經(jīng)過逆運(yùn)算反求原數(shù)，叫做還原問題。解決這類題要從結(jié)果出發(fā)，逐步向前一步一步推理，每一步運(yùn)算都是原來運(yùn)算的逆運(yùn)算（即變加為減，變減為加，變乘為除，變除為乘）。18.方陣問題很多的人或物按一定條件排成正方形（簡(jiǎn)稱方陣），再根據(jù)己知條件求總?cè)藬?shù)，這類題叫方陣問題。在解決方陣問題時(shí)，要搞清方陣中一些量（如層數(shù)，最外層人數(shù)，最里層人數(shù)，總?cè)藬?shù)）之間的關(guān)系。方陣問題的基本特點(diǎn)是：（1）方陣不管在哪一層，每邊的人數(shù)都相同，每向里面一層，每邊上的人數(shù)減少2，每一層就少8。（2）每層人數(shù)=（每邊人數(shù)1）4（3）每邊人數(shù)=每層人數(shù)41（4）實(shí)心方陣人數(shù)=每邊人數(shù)每邊人數(shù)19.幻方與數(shù)陣幻方的特點(diǎn)：一個(gè)幻方每行、每列、每條對(duì)角線上的幾個(gè)數(shù)的和都相等。這相相等的和叫“幻和”。兩種方法：奇階：1、九子排列法2、羅伯法，3、巴舍法。偶階：1、對(duì)稱交換法2、圓心方陣法。數(shù)陣有三種基本類型：（1）封閉型，（2）輻射型（3）綜合型解數(shù)陣問題一般思路是從和相等入手，確定重處長(zhǎng)使用的中心數(shù)，是解答解數(shù)陣類型題的解題關(guān)鍵。一般答案不唯一。20.奇數(shù)與偶數(shù)加法：偶數(shù)偶數(shù)=偶數(shù) 奇數(shù)奇數(shù)=偶數(shù) 偶數(shù)奇數(shù)=奇數(shù)減法： 偶數(shù)偶數(shù)=偶數(shù) 奇數(shù)奇數(shù)=偶數(shù) 偶數(shù)奇數(shù)=奇數(shù)乘法：偶數(shù)偶數(shù)=偶數(shù)奇數(shù)奇數(shù)=奇數(shù)偶數(shù)奇數(shù)=偶數(shù)盈虧問題解21.盈虧問題通常是比較法和對(duì)應(yīng)法結(jié)合使用。公式是：（同盈同虧用減法，一虧一盈用加法）即：兩次分配結(jié)果差兩次分配數(shù)差=人數(shù)22.牛吃草問題牛吃草問題涉及三種數(shù)量： A.原有的草。 B.新長(zhǎng)出的草。 C.牛吃掉的草。牛吃草問題解法一般分為三步：一、求每天新生的草量；二、求原有草量；三、求出最終的問題。（類似于行程問題中的追及問題）23.還原問題解題關(guān)鍵：在從后往前推算的過程中，每一步都是做同原來相反的運(yùn)算，原來加的，運(yùn)算時(shí)用減；原來減的，運(yùn)算時(shí)用加；原來乘的，運(yùn)算時(shí)用除；原來除的，運(yùn)算時(shí)用乘。24.假設(shè)問題假設(shè)法是解答應(yīng)用題時(shí)經(jīng)常用到的一種方法。所謂“假設(shè)法”就是依據(jù)題目中的己知條件或結(jié)論作出某種設(shè)想，然后按照己知條件進(jìn)行推算，根據(jù)數(shù)量上出現(xiàn)的矛盾，再適當(dāng)調(diào)整，從而找到正確答案。25.余數(shù)問題一個(gè)帶余數(shù)除法算式包含4個(gè)數(shù)：被除數(shù)除數(shù)=商余數(shù)。它們的關(guān)系也可表示為：被除數(shù)=除數(shù)商余數(shù)，或（被除數(shù)余數(shù)）除數(shù)=商。26.一筆畫和多筆畫（1）凡是由偶點(diǎn)組成的連通圖，一定可以一筆畫成；畫時(shí)可以任一偶點(diǎn)為起點(diǎn)，最后能以這個(gè)點(diǎn)為終點(diǎn)畫完此圖。（2）凡是只有兩個(gè)奇點(diǎn)（其余均為偶點(diǎn)）的連通圖，一定可以一筆畫完；畫時(shí)必須以一個(gè)奇點(diǎn)為起點(diǎn)，另一個(gè)奇點(diǎn)為終點(diǎn)。（3）多筆畫定理有2n（n1）個(gè)奇點(diǎn)的連通圖形，可以用n筆畫完（彼此無公共線），而且至少要n次畫完.27.抽屜原理抽屜原則一：把n+1（或更多）個(gè)蘋果放到n個(gè)抽屜里，那么至少有一個(gè)抽屜里有兩個(gè)或兩個(gè)以上的蘋果。抽屜原則二：把（mn+1）個(gè)（或更多個(gè)）蘋果放進(jìn)n個(gè)抽屜里，必須一個(gè)抽屜里有（m+1）個(gè)（或更多的）蘋果。說明：應(yīng)用抽屜原則解題，要從最壞的情況去思考28.分解因式把一個(gè)合數(shù)寫成幾個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的形式，叫做分解質(zhì)因數(shù)。一個(gè)自然數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)，恰為各個(gè)質(zhì)因數(shù)的指數(shù)加1后的乘積。一個(gè)數(shù)的完全平方數(shù)，各個(gè)質(zhì)因數(shù)的個(gè)數(shù)，恰好是平方前這個(gè)數(shù)各個(gè)質(zhì)因數(shù)個(gè)數(shù)的2倍。一個(gè)完全平方數(shù)各個(gè)質(zhì)因數(shù)的個(gè)數(shù)都是偶數(shù)。29.最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)一般有三種方法：（1）分解質(zhì)因數(shù)法（2）短除法（3）輾轉(zhuǎn)相除法30.分?jǐn)?shù)的比較分母相同的分?jǐn)?shù)比較大小，分子大的分?jǐn)?shù)比較大。分子相同的分?jǐn)?shù)比較大小，分母大的分?jǐn)?shù)反而小。分子和分母都不相同的分?jǐn)?shù)比較大小，可以把它們轉(zhuǎn)化成分母相同的分?jǐn)?shù)比較大?。灰部梢园阉鼈冝D(zhuǎn)化成分子相同的分?jǐn)?shù)比較大小。性質(zhì)：1.一個(gè)真分?jǐn)?shù)的分子和分母都加上同一個(gè)自然數(shù)，所得的新分?jǐn)?shù)比原分?jǐn)?shù)大。2.一個(gè)真分?jǐn)?shù)的分子、分母都減去同一個(gè)自然數(shù)（這個(gè)自然數(shù)小于真分?jǐn)?shù)的分子），所得的新分?jǐn)?shù)比原分?jǐn)?shù)小。3.一個(gè)假分?jǐn)?shù)的分子、分母都減去同一個(gè)自然數(shù)（這個(gè)自然數(shù)小于假分?jǐn)?shù)分母），所得的新分?jǐn)?shù)比原分?jǐn)?shù)大。4.一個(gè)假分?jǐn)?shù)的分子、分母都加上同一個(gè)自然數(shù)，所得的新分?jǐn)?shù)比原分?jǐn)?shù)小。31.剪紙問題公式：2對(duì)折后剪的次數(shù)+1=段數(shù)。32.最大最小1、解答最大最小的問題，可以進(jìn)行枚舉比較。在有限的情況下，通過計(jì)算，將所有情況的結(jié)果列舉出來，然后比較出最大值或最小值。2、運(yùn)用規(guī)律。（1）兩個(gè)數(shù)的和一定，則它們的差越接近，乘積越大；當(dāng)它們相等（差為0）時(shí)，乘積最大。3、考慮極端情況。如“連接兩點(diǎn)間的線段最短”、“作對(duì)稱點(diǎn)”、“聯(lián)系實(shí)際考慮問題”等。33.比較大小估算最常用的技巧是“放大縮小”，即先對(duì)某個(gè)數(shù)或算式進(jìn)行適當(dāng)?shù)摹胺糯蟆被颉翱s小”，確定它的取值范圍，再根據(jù)其他條件得出結(jié)果，調(diào)整放縮幅度的方法有兩條：一是分組（分段），并盡可能使每組所對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)相同；另一種方法是按近似數(shù)乘除法計(jì)算法則，比要求的精確度多保留一位，進(jìn)行計(jì)算。34.鐘表問題解答鐘表問題，我們首先想辦法把有些能轉(zhuǎn)化成相遇或追及問題的轉(zhuǎn)化為相遇或追及問題來解答。需記住以下常用數(shù)據(jù)：鐘表上有12大格，60小格，每大格30度，每小格6度。，分針每分鐘走：6度；時(shí)針每分鐘走：0.5度；速度差：5.5度2解答鐘表上的時(shí)間快慢問題，關(guān)鍵是抓住單位時(shí)間內(nèi)的誤差，然后根據(jù)某一時(shí)間段內(nèi)含多少個(gè)單位時(shí)間，就可以求出這一時(shí)間段內(nèi)的誤差。35.分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的計(jì)算解答較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，一定要找準(zhǔn)單位“1”，如果單位“1”的量是變化的，就要從題目中找出不變的量，把不變的量看作單位“1”，將己知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，找出所求數(shù)量相當(dāng)于單位“1”的幾分之幾，再列式解答。2還可以借助線段圖來幫助理解題意，列式解答。3對(duì)較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，還可以列方程來解答。36.利潤(rùn)問題解答利潤(rùn)問題你必須理解以下的關(guān)系式。（1）利潤(rùn)=賣價(jià)成本（2）利潤(rùn)的百分?jǐn)?shù)=（賣價(jià)成本）成本100（3）賣價(jià)=成本（1利潤(rùn)率）（4）成本=賣價(jià)（1利潤(rùn)率）（5）折扣實(shí)際售價(jià)原售價(jià)100%(折扣1)（6）利息本金利率時(shí)間（7）稅后利息本金利率時(shí)間(120%)37.濃度問題溶質(zhì)的重量溶劑的重量溶液的重量 溶質(zhì)的重量溶液的重量100%濃度溶液的重量濃度溶質(zhì)的重量五年級(jí)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)分類：1.和差倍問題和差問題 和倍問題 差倍問題已知條件：幾個(gè)數(shù)的和與差 幾個(gè)數(shù)的和與倍數(shù) 幾個(gè)數(shù)的差與倍數(shù)公式適用范圍 ：已知兩個(gè)數(shù)的和，差，倍數(shù)關(guān)系公式：（和-差）2=較小數(shù) 較小數(shù)+差=較大數(shù) 和-較小數(shù)=較大數(shù)（和+差）2=較大數(shù) 較大數(shù)-差=較小數(shù) 和-較大數(shù)=較小數(shù)和（倍數(shù)+1）=小數(shù) 小數(shù)倍數(shù)=大數(shù) 和-小數(shù)=大數(shù)差（倍數(shù)-1）=小數(shù) 小數(shù)倍數(shù)=大數(shù) 小數(shù)+差=大數(shù)關(guān)鍵問題：求出同一條件下的和與差 和與倍數(shù) 差與倍數(shù)2.年齡問題的三個(gè)基本特征：兩個(gè)人的年齡差是不變的;兩個(gè)人的年齡是同時(shí)增加或者同時(shí)減少的;兩個(gè)人的年齡的倍數(shù)是發(fā)生變化的;3.歸一問題的基本特點(diǎn)：?jiǎn)栴}中有一個(gè)不變的量，一般是那個(gè)“單一量”，題目一般用“照這樣的速度”等詞語來表示。關(guān)鍵問題：根據(jù)題目中的條件確定并求出單一量;4.植樹問題基本類型：在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都植樹 在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都不植樹 在直線或者不封閉的曲線上植樹，只有一端植樹 封閉曲線上植樹基本公式：棵數(shù)=段數(shù)+1棵距段數(shù)=總長(zhǎng) 棵數(shù)=段數(shù)-1棵距段數(shù)=總長(zhǎng) 棵數(shù)=段數(shù)棵距段數(shù)=總長(zhǎng)關(guān)鍵問題：確定所屬類型，從而確定棵數(shù)與段數(shù)的關(guān)系5.雞兔同籠問題基本概念：雞兔同籠問題又稱為置換問題、假設(shè)問題，就是把假設(shè)錯(cuò)的那部分置換出來;基本思路：假設(shè)，即假設(shè)某種現(xiàn)象存在（甲和乙一樣或者乙和甲一樣）：假設(shè)后，發(fā)生了和題目條件不同的差，找出這個(gè)差是多少;每個(gè)事物造成的差是固定的，從而找出出現(xiàn)這個(gè)差的原因;再根據(jù)這兩個(gè)差作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，消去出現(xiàn)的差。基本公式：把所有雞假設(shè)成兔子：雞數(shù)=（兔腳數(shù)總頭數(shù)-總腳數(shù)）（兔腳數(shù)-雞腳數(shù)）把所有兔子假設(shè)成雞：兔數(shù)=（總腳數(shù)一雞腳數(shù)總頭數(shù)）（兔腳數(shù)一雞腳數(shù)）關(guān)鍵問題：找出總量的差與單位量的差。6.盈虧問題基本概念：一定量的對(duì)象，按照某種標(biāo)準(zhǔn)分組，產(chǎn)生一種結(jié)果：按照另一種標(biāo)準(zhǔn)分組，又產(chǎn)生一種結(jié)果，由于分組的標(biāo)準(zhǔn)不同，造成結(jié)果的差異，由它們的關(guān)系求對(duì)象分組的組數(shù)或?qū)ο蟮目偭俊；舅悸罚合葘煞N分配方案進(jìn)行比較，分析由于標(biāo)準(zhǔn)的差異造成結(jié)果的變化，根據(jù)這個(gè)關(guān)系求出參加分配的總份數(shù)，然后根據(jù)題意求出對(duì)象的總量?；绢}型：一次有余數(shù)，另一次不足;基本公式：總份數(shù)=（余數(shù)+不足數(shù)）兩次每份數(shù)的差當(dāng)兩次都有余數(shù);基本公式：總份數(shù)=（較大余數(shù)一較小余數(shù)）兩次每份數(shù)的差當(dāng)兩次都不足;基本公式：總份數(shù)=（較大不足數(shù)一較小不足數(shù)）兩次每份數(shù)的差基本特點(diǎn)：對(duì)象總量和總的組數(shù)是不變的。關(guān)鍵問題：確定對(duì)象總量和總的組數(shù)。7.牛吃草問題基本思路：假設(shè)每頭牛吃草的速度為“1”份，根據(jù)兩次不同的吃法，求出其中的總草量的差;再找出造成這種差異的原因，即可確定草的生長(zhǎng)速度和總草量。基本特點(diǎn)：原草量和新草生長(zhǎng)速度是不變的;關(guān)鍵問題：確定兩個(gè)不變的量?；竟剑荷L(zhǎng)量=（較長(zhǎng)時(shí)間長(zhǎng)時(shí)間牛頭數(shù)-較短時(shí)間短時(shí)間牛頭數(shù)）（長(zhǎng)時(shí)間-短時(shí)間）;總草量=較長(zhǎng)時(shí)間長(zhǎng)時(shí)間牛頭數(shù)-較長(zhǎng)時(shí)間生長(zhǎng)量;8.周期循環(huán)與數(shù)表規(guī)律周期現(xiàn)象：事物在運(yùn)動(dòng)變化的過程中，某些特征有規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)。周期：我們把連續(xù)兩次出現(xiàn)所經(jīng)過的時(shí)間叫周期。關(guān)鍵問題：確定循環(huán)周期。閏 年：一年有366天;年份能被4整除;如果年份能被100整除，則年份必須能被400整除;平 年：一年有365天。年份不能被4整除;如果年份能被100整除，但不能被400整除;基本公式：平均數(shù)=總數(shù)量總份數(shù)總數(shù)量=平均數(shù)總份數(shù)總份數(shù)=總數(shù)量平均數(shù)平均數(shù)=基準(zhǔn)數(shù)+每一個(gè)數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)差的和總份數(shù)基本算法：求出總數(shù)量以及總份數(shù)，利用基本公式進(jìn)行計(jì)算。基準(zhǔn)數(shù)法：根據(jù)給出的數(shù)之間的關(guān)系，確定一個(gè)基準(zhǔn)數(shù);一般選與所有數(shù)比較接近的數(shù)或者中間數(shù)為基準(zhǔn)數(shù);以基準(zhǔn)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，求所有給出數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)的差;再求出所有差的和;再求出這些差的平均數(shù);最后求這個(gè)差的平均數(shù)和基準(zhǔn)數(shù)的和，就是所求的平均數(shù)，具體關(guān)系見基本公式。10.抽屜原理抽屜原則一：如果把（n+1）個(gè)物體放在n個(gè)抽屜里，那么必有一個(gè)抽屜中至少放有2個(gè)物體。例：把4個(gè)物體放在3個(gè)抽屜里，也就是把4分解成三個(gè)整數(shù)的和，那么就有以下四種情況： 4=4+0+0 4=3+1+0 4=2+2+0 4=2+1+1觀察上面四種放物體的方式，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)共同特點(diǎn)：總有那么一個(gè)抽屜里有2個(gè)或多于2個(gè)物體，也就是說必有一個(gè)抽屜中至少放有2個(gè)物體。抽屜原則二：如果把n個(gè)物體放在m個(gè)抽屜里，其中nm，那么必有一個(gè)抽屜至少有：k=n/m +1個(gè)物體：當(dāng)n不能被m整除時(shí)。k=n/m個(gè)物體：當(dāng)n能被m整除時(shí)。理解知識(shí)點(diǎn)：X表示不超過X的最大整數(shù)。例4.351=4;0.321=0;2.9999=2;關(guān)鍵問題：構(gòu)造物體和抽屜。也就是找到代表物體和抽屜的量，而后依據(jù)抽屜原則進(jìn)行運(yùn)算11.定義新運(yùn)算基本概念：定義一種新的運(yùn)算符號(hào)，這個(gè)新的運(yùn)算符號(hào)包含有多種基本（混合）運(yùn)算。基本思路：嚴(yán)格按照新定義的運(yùn)算規(guī)則，把已知的數(shù)代入，轉(zhuǎn)化為加減乘除的運(yùn)算，然后按照基本運(yùn)算過程、規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算。關(guān)鍵問題：正確理解定義的運(yùn)算符號(hào)的意義。注意事項(xiàng)：新的運(yùn)算不一定符合運(yùn)算規(guī)律，特別注意運(yùn)算順序。 個(gè)新定義的運(yùn)算符號(hào)只能在本題中使用。12.等差數(shù)列：在一列數(shù)中，任意相鄰兩個(gè)數(shù)的差是一定的，這樣的一列數(shù)，就叫做等差數(shù)列。基本概念：首項(xiàng)：等差數(shù)列的第一個(gè)數(shù)，一般用a1表示;項(xiàng)數(shù)：等差數(shù)列的所有數(shù)的個(gè)數(shù)，一般用n表示;公差：數(shù)列中任意相鄰兩個(gè)數(shù)的差，一般用d表示;通項(xiàng)：表示數(shù)列中每一個(gè)數(shù)的公式，一般用an表示;數(shù)列的和：這一數(shù)列全部數(shù)字的和，一般用Sn表示?；舅悸罚旱炔顢?shù)列中涉及五個(gè)量：a1 ，an， d， n，sn，通項(xiàng)公式中涉及四個(gè)量，如果己知其中三個(gè)，就可求出第四個(gè);求和公式中涉及四個(gè)量，如果己知其中三個(gè)，就可以求這第四個(gè)?；竟剑和?xiàng)公式：an = a1+（n-1）d;通項(xiàng)=首項(xiàng)+（項(xiàng)數(shù)一1） 公差;數(shù)列和公式：sn，= （a1+ an）n2;數(shù)列和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）項(xiàng)數(shù)2;項(xiàng)數(shù)公式：n= （an+ a1）d+1; 項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）公差+1;公差公式：d =（an-a1）（n-1）;公差=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）（項(xiàng)數(shù)-1）; 關(guān)鍵問題：確定已知量和未知量，確定使用的公式;13.二進(jìn)制及其應(yīng)用十進(jìn)制：用09十個(gè)數(shù)字表示，逢10進(jìn)1;不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義，十位上的2表示20，百位上的2表示200。所以234=200+30+4=2102+310+4。=An10n-1+An-110n-2+An-210n-3+An-310n-4+An-410n-5+An-610n-7+A3102+A2101+A1100注意：N0=1;N1=N（其中N是任意自然數(shù)）二進(jìn)制：用01兩個(gè)數(shù)字表示，逢2進(jìn)1;不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義。（2）= An2n-1+An-12n-2+An-22n-3+An-32n-4+An-42n-5+An-62n-7+A322+A221+A120注意：An不是0就是1。十進(jìn)制化成二進(jìn)制：根據(jù)二進(jìn)制滿2進(jìn)1的特點(diǎn)，用2連續(xù)去除這個(gè)數(shù)，直到商為0，然后把每次所得的余數(shù)按自下而上依次寫出即可。先找出不大于該數(shù)的2的n次方，再求它們的差，再找不大于這個(gè)差的2的n次方，依此方法一直找到差為0，按照二進(jìn)制展開式特點(diǎn)即可寫出。14.加法乘法原理和幾何計(jì)數(shù)加法原理：如果完成一件任務(wù)有n類方法，在第一類方法中有m1種不同方法，在第二類方法中有m2種不同方法，在第n類方法中有mn種不同方法，那么完成這件任務(wù)共有：m1+ m2.。.。. +mn種不同的方法。關(guān)鍵問題：確定工作的分類方法?；咎卣鳎好恳环N方法都可完成任務(wù)。乘法原理：如果完成一件任務(wù)需要分成n個(gè)步驟進(jìn)行，做第1步有m1種方法，不管第1步用哪一種方法，第2步總有m2種方法不管前面n-1步用哪種方法，第n步總有mn種方法，那么完成這件任務(wù)共有：m1m2.。.。. mn種不同的方法。關(guān)鍵問題：確定工作的完成步驟。基本特征：每一步只能完成任務(wù)的一部分。直線：一點(diǎn)在直線或空間沿一定方向或相反方向運(yùn)動(dòng)，形成的軌跡。直線特點(diǎn)：沒有端點(diǎn)，沒有長(zhǎng)度。線段：直線上任意兩點(diǎn)間的距離。這兩點(diǎn)叫端點(diǎn)。線段特點(diǎn)：有兩個(gè)端點(diǎn)，有長(zhǎng)度。射線：把直線的一端無限延長(zhǎng)。射線特點(diǎn)：只有一個(gè)端點(diǎn);沒有長(zhǎng)度。數(shù)線段規(guī)律：總數(shù)=1+2+3+（點(diǎn)數(shù)一1）;數(shù)角規(guī)律=1+2+3+（射線數(shù)一1）;數(shù)長(zhǎng)方形規(guī)律：個(gè)數(shù)=長(zhǎng)的線段數(shù)寬的線段數(shù)：數(shù)長(zhǎng)方形規(guī)律：個(gè)數(shù)=11+22+33+行數(shù)列數(shù)15.質(zhì)數(shù)與合數(shù)質(zhì)數(shù)：一個(gè)數(shù)除了1和它本身之外，沒有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做質(zhì)數(shù)，也叫做素?cái)?shù)。合數(shù)：一個(gè)數(shù)除了1和它本身之外，還有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做合數(shù)。質(zhì)因數(shù)：如果某個(gè)質(zhì)數(shù)是某個(gè)數(shù)的約數(shù)，那么這個(gè)質(zhì)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)。分解質(zhì)因數(shù)：把一個(gè)數(shù)用質(zhì)數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。通常用短除法分解質(zhì)因數(shù)。任何一個(gè)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)的結(jié)果是唯一的。分解質(zhì)因數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)表示形式：N=，其中a1、a2、a3an都是合數(shù)N的質(zhì)因數(shù)，且a1 p求約數(shù)個(gè)數(shù)的公式：P=（r1+1）（r2+1）（r3+1）（rn+1）互質(zhì)數(shù)：如果兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是1，這兩個(gè)數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。16.約數(shù)與倍數(shù)約數(shù)和倍數(shù)：若整數(shù)a能夠被b整除，a叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)。公約數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù);其中最大的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。最大公約數(shù)的性質(zhì)：1、 幾個(gè)數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個(gè)商是互質(zhì)數(shù)。2、 幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)都是這幾個(gè)數(shù)的約數(shù)。3、 幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)。4、 幾個(gè)數(shù)都乘以一個(gè)自然數(shù)m，所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)乘以m。例如：12的約數(shù)有1、2、3、4、6、12;18的約數(shù)有：1、2、3、6、9、18;那么12和18的公約數(shù)有：1、2、3、6;那么12和18最大的公約數(shù)是：6，記作（12，18）=6;求最大公約數(shù)基本方法：1、分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來。2、短除法：先找公有的約數(shù)，然后相乘。3、輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個(gè)余數(shù)，就是所求的最大公約數(shù)。公倍數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù);其中最小的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。12的倍數(shù)有：12、24、36、48;18的倍數(shù)有：18、36、54、72;那么12和18的公倍數(shù)有：36、72、108;那么12和18最小的公倍數(shù)是36，記作12，18=36;最小公倍數(shù)的性質(zhì)：1、兩個(gè)數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)。2、兩個(gè)數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積。求最小公倍數(shù)基本方法：1、短除法求最小公倍數(shù);2、分解質(zhì)因數(shù)的方法17.數(shù)的整除一、基本概念和符號(hào)：1、整除：如果一個(gè)整數(shù)a，除以一個(gè)自然數(shù)b，得到一個(gè)整數(shù)商c，而且沒有余數(shù)，那么叫做a能被b整除或b能整除a，記作b|a。2、常用符號(hào)：整除符號(hào)“|”，不能整除符號(hào)“”;因?yàn)榉?hào)“”，所以的符號(hào)“”;二、整除判斷方法：1. 能被2、5整除：末位上的數(shù)字能被2、5整除。2. 能被4、25整除：末兩位的數(shù)字所組成的數(shù)能被4、25整除。3. 能被8、125整除：末三位的數(shù)字所組成的數(shù)能被8、125整除。4. 能被3、9整除：各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和能被3、9整除。5. 能被7整除：末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成數(shù)之差能被7整除。逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的2倍后能被7整除。6. 能被11整除：末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被11整除。奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)的數(shù)字和的差能被11整除。逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字后能被11整除。7. 能被13整除：末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被13整除。逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的9倍后能被13整除。三、整除的性質(zhì)：1. 如果a、b能被c整除，那么（a+b）與（a-b）也能被c整除。2. 如果a能被b整除，c是整數(shù)，那么a乘以c也能被b整除。3. 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。4. 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍數(shù)整除。18.余數(shù)及其應(yīng)用基本概念：對(duì)任意自然數(shù)a、b、q、r，如果使得ab=qr，且0 p余數(shù)的性質(zhì)：余數(shù)小于除數(shù)。若a、b除以c的余數(shù)相同，則c|a-b或c|b-a。a與b的和除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)加上b除以c的余數(shù)的和除以c的余數(shù)。a與b的積除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)與b除以c的余數(shù)的積除以c的余數(shù)。19.余數(shù)、同余與周期一、同余的定義：若兩個(gè)整數(shù)a、b除以m的余數(shù)相同，則稱a、b對(duì)于模m同余。已知三個(gè)整數(shù)a、b、m，如果m|a-b，就稱a、b對(duì)于模m同余，記作ab（mod m），讀作a同余于b模m。二、同余的性質(zhì)：自身性：aa（mod m）;對(duì)稱性：若ab（mod m），則ba（mod m）;傳遞性：若ab（mod m），bc（mod m），則a c（mod m）;和差性：若ab（mod m），cd（mod m），則a+cb+d（mod m），a-cb-d（mod m）;相乘性：若a b（mod m），cd（mod m），則ac bd（mod m）;乘方性：若ab（mod m），則anbn（mod m）;同倍性：若a b（mod m），整數(shù)c，則ac bc（mod mc）;三、關(guān)于乘方的預(yù)備知識(shí)：若A=ab，則MA=Mab=（Ma）b若B=c+d則MB=Mc+d=McMd四、被3、9、11除后的余數(shù)特征：一個(gè)自然數(shù)M，n表示M的各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和，則Mn（mod 9）或（mod 3）;一個(gè)自然數(shù)M，X表示M的各個(gè)奇數(shù)位上數(shù)字的和，Y表示M的各個(gè)偶數(shù)數(shù)位上數(shù)字的和，則MY-X或M11-（X-Y）（mod 11）;五、費(fèi)爾馬小定理：如果p是質(zhì)數(shù)（素?cái)?shù)），a是自然數(shù)，且a不能被p整除，則ap-11（mod p）。20.分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用基本概念與性質(zhì)：分?jǐn)?shù)：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)。分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘以或除以相同的數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)的大小不變。分?jǐn)?shù)單位：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣一份的數(shù)。百分?jǐn)?shù)：表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)百分之幾的數(shù)。常用方法：逆向思維方法：從題目提供條件的反方向（或結(jié)果）進(jìn)行思考。對(duì)應(yīng)思維方法：找出題目中具體的量與它所占的率的直接對(duì)應(yīng)關(guān)系。轉(zhuǎn)化思維方法：把一類應(yīng)用題轉(zhuǎn)化成另一類應(yīng)用題進(jìn)行解答。最常見的是轉(zhuǎn)換成比例和轉(zhuǎn)換成倍數(shù)關(guān)系;把不同的標(biāo)準(zhǔn)（在分?jǐn)?shù)中一般指的是一倍量）下的分率轉(zhuǎn)化成同一條件下的分率。常見的處理方法是確定不同的標(biāo)準(zhǔn)為一倍量。假設(shè)思維方法：為了解題的方便，可以把題目中不相等的量假設(shè)成相等或者假設(shè)某種情況成立，計(jì)算出相應(yīng)的結(jié)果，然后再進(jìn)行調(diào)整，求出最后結(jié)果。量不變思維方法：在變化的各個(gè)量當(dāng)中，總有一個(gè)量是不變的，不論其他量如何變化，而這個(gè)量是始終固定不變的。有以下三種情況：A、分量發(fā)生變化，總量不變。B、總量發(fā)生變化，但其中有的分量不變。C、總量和分量都發(fā)生變化，但分量之間的差量不變化。替換思維方法：用一種量代替另一種量，從而使數(shù)量關(guān)系單一化、量率關(guān)系明朗化。同倍率法：總量和分量之間按照同分率變化的規(guī)律進(jìn)行處理。濃度配比法：一般應(yīng)用于總量和分量都發(fā)生變化的狀況。21.分?jǐn)?shù)大小的比較基本方法：通分分子法：使所有分?jǐn)?shù)的分子相同，根據(jù)同分子分?jǐn)?shù)大小和分母的關(guān)系比較。通分分母法：使所有分?jǐn)?shù)的分母相同，根據(jù)同分母分?jǐn)?shù)大小和分子的關(guān)系比較?；鶞?zhǔn)數(shù)法：確定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，使所有的分?jǐn)?shù)都和它進(jìn)行比較。分子和分母大小比較法：當(dāng)分子和分母的差一定時(shí)，分子或分母越大的分?jǐn)?shù)值越大。倍率比較法：當(dāng)比較兩個(gè)分子或分母同時(shí)變化時(shí)分?jǐn)?shù)的大小，除了運(yùn)用以上方法外，可以用同倍率的變化關(guān)系比較分?jǐn)?shù)的大小。（具體運(yùn)用見同倍率變化規(guī)律）轉(zhuǎn)化比較方法：把所有分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)（求出分?jǐn)?shù)的值）后進(jìn)行比較。倍數(shù)比較法：用一個(gè)數(shù)除以另一個(gè)數(shù)，結(jié)果得數(shù)和1進(jìn)行比較。大小比較法：用一個(gè)分?jǐn)?shù)減去另一個(gè)分?jǐn)?shù)，得出的數(shù)和0比較。倒數(shù)比較法：利用倒數(shù)比較大小，然后確定原數(shù)的大小?；鶞?zhǔn)數(shù)比較法：確定一個(gè)基準(zhǔn)數(shù)，每一個(gè)數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)比較。22.分?jǐn)?shù)拆分一、 將一個(gè)分?jǐn)?shù)單位分解成兩個(gè)分?jǐn)?shù)之和的公式： =+;=+（d為自然數(shù)）;23.完全平方數(shù)完全平方數(shù)特征：1. 末位數(shù)字只能是：0、1、4、5、6、9;反之不成立。2. 除以3余0或余1;反之不成立。3. 除以4余0或余1;反之不成立。4. 約數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù);反之成立。5. 奇數(shù)的平方的十位數(shù)字為偶數(shù);反之不成立。6. 奇數(shù)平方個(gè)位數(shù)字是奇數(shù);偶數(shù)平方個(gè)位數(shù)字是偶數(shù)。7. 兩個(gè)相臨整數(shù)的平方之間不可能再有平方數(shù)。平方差公式：X2-Y2=（X-Y）（X+Y）完全平方和公式：（X+Y）2=X2+2XY+Y2完全平方差公式：（X-Y）2=X2-2XY+Y224.比和比例比：兩個(gè)數(shù)相除又叫兩個(gè)數(shù)的比。比號(hào)前面的數(shù)叫比的前項(xiàng)，比號(hào)后面的數(shù)叫比的后項(xiàng)。比值：比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)的商，叫做比值。比的性質(zhì)：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘以或除以相同的數(shù)（零除外），比值不變。比例：表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或比例的性質(zhì)：兩個(gè)外項(xiàng)積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)積（交叉相乘），ad=bc。正比例：若A擴(kuò)大或縮小幾倍，B也擴(kuò)大或縮小幾倍（AB的商不變時(shí)），則A與B成正比。反比例：若A擴(kuò)大或縮小幾倍，B也縮小或擴(kuò)大幾倍（AB的積不變時(shí)），則A與B成反比。比例尺：圖上距離與實(shí)際距離的比叫做比例尺。按比例分配：把幾個(gè)數(shù)按一定比例分成幾份，叫按比例分配。25.綜合行程基本概念：行程問題是研究物體運(yùn)動(dòng)的，它研究的是物體速度、時(shí)間、路程三者之間的關(guān)系。基本公式：路程=速度時(shí)間;路程時(shí)間=速度;路程速度=時(shí)間關(guān)鍵問題：確定運(yùn)動(dòng)過程中的位置和方向。相遇問題：速度和相遇時(shí)間=相遇路程（請(qǐng)寫出其他公式）追及問題：追及時(shí)間=路程差速度差（寫出其他公式）流水問題：順?biāo)谐?（船速+水速）順?biāo)畷r(shí)間逆水行程=（船速-水速）逆水時(shí)間順?biāo)俣?船速+水速逆水速度=船速-水速靜水速度=（順?biāo)俣?逆水速度）2水 速=（順?biāo)俣?逆水速度）2流水問題：關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動(dòng)的速度，參照以上公式。過橋問題：關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動(dòng)的路程，參照以上公式。主要方法：畫線段圖法基本題型：已知路程（相遇路程、追及路程）、時(shí)間（相遇時(shí)間、追及時(shí)間）、速度（速度和、速度差）中任意兩個(gè)量，求第三個(gè)量。26.工程問題基本公式：工作總量=工作效率工作時(shí)間工作效率=工作總量工作時(shí)間工作時(shí)間=工作總量工作效率基本思路：假設(shè)工作總量為“1”（和總工作量無關(guān)）;假設(shè)一個(gè)方便的數(shù)為工作總量（一般是它們完成工作總量所用時(shí)間的最小公倍數(shù)），利用上述三個(gè)基本關(guān)系，可以簡(jiǎn)單地表示出工作效率及工作時(shí)間。關(guān)鍵問題：確定工作量、工作時(shí)間、工作效率間的兩兩對(duì)應(yīng)關(guān)系。經(jīng)驗(yàn)簡(jiǎn)評(píng)：合久必分，分久必合。27.邏輯推理基本方法簡(jiǎn)介：條件分析假設(shè)法：假設(shè)可能情況中的一種成立，然后按照這個(gè)假設(shè)去判斷，如果有與題設(shè)條件矛盾的情況，說明該假設(shè)情況是不成立的，那么與他的相反情況是成立的。例如，假設(shè)a是偶數(shù)成立，在判斷過程中出現(xiàn)了矛盾，那么a一定是奇數(shù)。條件分析列表法：當(dāng)題設(shè)條件比較多，需要多次假設(shè)才能完成時(shí)，就需要進(jìn)行列表來輔助分析。列表法就是把題設(shè)的條件全部表示在一個(gè)長(zhǎng)方形表格中，表格的行、列分別表示不同的對(duì)象與情況，觀察表格內(nèi)的題設(shè)情況，運(yùn)用邏輯規(guī)律進(jìn)行判斷。條件分析圖表法：當(dāng)兩個(gè)對(duì)象之間只有兩種關(guān)系時(shí)，就可用連線表示兩個(gè)對(duì)象之間的關(guān)系，有連線則表示“是，有”等肯定的狀態(tài)，沒有連線則表示否定的狀態(tài)。例如A和B兩人之間有認(rèn)識(shí)或不認(rèn)識(shí)兩種狀態(tài)，有連線表示認(rèn)識(shí)，沒有表示不認(rèn)識(shí)。邏輯計(jì)算：在推理的過程中除了要進(jìn)行條件分析的推理之外，還要進(jìn)行相應(yīng)的計(jì)算，根據(jù)計(jì)算的結(jié)果為推理提供一個(gè)新的判斷篩選條件。簡(jiǎn)單歸納與推理：根據(jù)題目提供的特征和數(shù)據(jù)，分析其中存在的規(guī)律和方法，并從特殊情況推廣到一般情況，并遞推出相關(guān)的關(guān)系式，從而得到問題的解決。28.幾何面積基本思路：在一些面積的計(jì)算上，不能直接運(yùn)用公式的情況下，一般需要對(duì)圖形進(jìn)行割補(bǔ)，平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、分解、變形、重疊等，使不規(guī)則的圖形變?yōu)橐?guī)則的圖形進(jìn)行計(jì)算;另外需要掌握和記憶一些常規(guī)的面積規(guī)律。常用方法：1. 連輔助線方法2. 利用等底等高的兩個(gè)三角形面積相等。3. 大膽假設(shè)（有些點(diǎn)的設(shè)置題目中說的是任意點(diǎn)，解題時(shí)可把任意點(diǎn)設(shè)置在特殊位置上）。4. 利用特殊規(guī)律等腰直角三角形，已知任意一條邊都可求出面積。（斜邊的平方除以4等于等腰直角三角形的面積）梯形對(duì)角線連線后，兩腰部分面積相等。圓的面積占外接正方形面積的78.5%。29.立體圖形名稱 圖形 特征 表面積 體積長(zhǎng)方體 8個(gè)頂點(diǎn);6個(gè)面;相對(duì)的面相等;12條棱;相對(duì)的棱相等; S=2（ab+ah+bh） V=abh=Sh正方體 8個(gè)頂點(diǎn);6個(gè)面;所有面相等;12條棱;所有棱相等; S=6a2 V=a3圓柱體 上下兩底是平行且相等的圓;側(cè)面展開后是長(zhǎng)方形; S=S側(cè)+2S底S側(cè)=Ch V=Sh圓錐體 下底是圓;只有一個(gè)頂點(diǎn);l：母線，頂點(diǎn)到底圓周上任意一點(diǎn)的距離; S=S側(cè)+S底S側(cè)=rl V=Sh球體 圓心到圓周上任意一點(diǎn)的距離是球的半徑。 S=4r2 V=r330.時(shí)鐘問題快慢表問題基本思路：1、 按照行程問題中的思維方法解題;2、 不同的表當(dāng)成速度不同的運(yùn)動(dòng)物體;3、 路程的單位是分格（表一周為60分格）;4、 時(shí)間是標(biāo)準(zhǔn)表所經(jīng)過的時(shí)間;合理利用行程問題中的比例關(guān)系;六年級(jí)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)分類：1.不定方程一次不定方程：含有兩個(gè)未知數(shù)的一個(gè)方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程；常規(guī)方法：觀察法、試驗(yàn)法、枚舉法；多元不定方程：含有三個(gè)未知數(shù)的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一；多元不定方程解法：根據(jù)已知條件確定一個(gè)未知數(shù)的值，或者消去一個(gè)未知數(shù)，這樣就把三元一次方程變成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可；涉及知識(shí)點(diǎn)：列方程、數(shù)的整除、大小比較；解不定方程的步驟：1、列方程；2、消元；3、寫出表達(dá)式；4、確定范圍；5、確定特征；6