2001年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試卷及答案[1].doc

二一年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽題（10月4日上午8：009：40）題號(hào)一二三合計(jì)加試總成績(jī)131415得分評(píng)卷人復(fù)核人學(xué)生注意：1、本試卷共有三大題（15個(gè)小題），全卷滿分150分。 2、用圓珠筆或鋼筆作答。 3、解題書寫不要超過(guò)裝訂線。 4、不能使用計(jì)算器。一、 選擇題（本題滿分36分，每小題6分）本題共有6個(gè)小是題，每題均給出（A）（B）（C）（D）四個(gè)結(jié)論，其中有且僅有一個(gè)是正確的。請(qǐng)將正確答案的代表字母填在題后的括號(hào)內(nèi)，每小題選對(duì)得6分；不選、選錯(cuò)或選的代表字母超過(guò)一個(gè)（不論是否寫在括號(hào)內(nèi)），一律得0分。1、已知a為給定的實(shí)數(shù)，那么集合M=x|x2-3x-a2+2=0,xR的子集的個(gè)數(shù)為 （A）1 （B）2 （C）4 （D）不確定2、命題1：長(zhǎng)方體中，必存在到各頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)； 命題2：長(zhǎng)方體中，必存在到各棱距離相等的點(diǎn)； 命題3：長(zhǎng)方體中，必存在到各面距離相等的點(diǎn)； 以上三個(gè)命題中正確的有 （A）0個(gè) （B）1個(gè) （C）2個(gè) （D）3個(gè)3、在四個(gè)函數(shù)y=sin|x|, y=cos|x|, y=|ctgx|, y=lg|sinx|中以p為周期、在（0，）上單調(diào)遞增的偶函數(shù)是 （A）y=sin|x| （B）y=cos|x| （C）y=|ctgx| （D）y=lg|sinx|4、如果滿足ABC=60，AC=12，BC=k的ABC恰有一個(gè)，那么k的取值范圍是 （A）k=8 （B）0k12 （C）2 （D）012或5若（12）1000的展開(kāi)式為20002000，則3691998的值為（） （A）3333 （B）3666 （C）3999 （D）320016已知6枝玫瑰與3枝康乃馨的價(jià)格之和大于24，而4枝攻瑰與5枝康乃馨的價(jià)格之和小于22元，則2枝玫瑰的價(jià)格和3枝康乃馨的價(jià)格比較，結(jié)果是（） （A）2枝玫瑰價(jià)格高 （B）3枝康乃馨價(jià)格高 （C）價(jià)格相同 （D）不確定二、填空題（本題滿分54分，每小題9分）7橢圓1（2）的短軸長(zhǎng)等于_8、若復(fù)數(shù)z1,z2滿足|z1|=2,|z2|=3,3z1-2z2=-I,則z1z2= 。9、正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1 ，則直線A1C1與BD1的距離是 。10、不等式的解集為 。FABCDE11、函數(shù)的值域?yàn)?。12、在一個(gè)正六邊形的六個(gè)區(qū)域栽種觀賞植物（如圖），要求同一場(chǎng)塊中種同一種植物，相鄰的兩塊種不同的植物?，F(xiàn)有4種不同的植物可供選擇，則有 種栽種方案。二、 解答題（本題滿分60分，每小題20分）13、設(shè)an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列，且，（a1a2）,又，試求an的首項(xiàng)與公差。14、設(shè)曲線C1:(a為正常數(shù))與C2:y2=2(x+m)在x軸上方公有一個(gè)公共點(diǎn)P。（1） 求實(shí)數(shù)m的取值范圍（用a表示）；（2） O為原點(diǎn)，若C1與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A，當(dāng)0aa2a3a4a5a6）的電阻組裝成一個(gè)如圖的組件，在組裝中應(yīng)如何選取電阻，才能使該組件總電阻值最??？證明你的結(jié)論。二一年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽加試試題（10月4日上午10：0012：00）學(xué)生注意：1、本試卷共有三大題，全卷滿分150分。 2、用圓珠筆或鋼筆作答。 3、解題書寫不要超過(guò)裝訂線。 4、不能使用計(jì)算器。一、（本題滿分50分）如圖：ABC中，O為外心，三條高AD、BE、CF交于點(diǎn)H，直線ED和AB交于點(diǎn)M，F(xiàn)D和AC交于點(diǎn)N。求證：（1）OBDF，OCDE；（2）OHMN。二、（本題滿分50分）設(shè)xi0(I=1,2,3,n)且，求的最大值與最小值。三、（本題滿分50分）將邊長(zhǎng)為正整數(shù)m,n的矩形劃分成若干邊長(zhǎng)均為正整數(shù)的正方形，每個(gè)正方形的邊均平行于矩形的相應(yīng)邊，試求這些正方形邊長(zhǎng)之和的最小值。2001年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一選擇題：CBDDCA1.已知a為給定的實(shí)數(shù)，那么集合320，的子集的個(gè)數(shù)為（）124不確定講解：M表示方程320在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的解集由于140，所以含有2個(gè)元素故集合有24個(gè)子集，選2命題1：長(zhǎng)方體中，必存在到各頂點(diǎn)距高相等的點(diǎn)命題2：長(zhǎng)方體中，必存在到各條棱距離相等的點(diǎn)；命題3：長(zhǎng)方體中，必存在到各個(gè)面距離相等的點(diǎn)以上三個(gè)命題中正確的有（）0個(gè)1個(gè)2個(gè)3個(gè)講解：由于長(zhǎng)方體的中心到各頂點(diǎn)的距離相等，所以命題1正確對(duì)于命題2和命題3，一般的長(zhǎng)方體（除正方體外）中不存在到各條棱距離相等的點(diǎn)，也不存在到各個(gè)面距離相等的點(diǎn)因此，本題只有命題1正確，選3在四個(gè)函數(shù)、中，以為周期、在（0，2）上單調(diào)遞增的偶函數(shù)是（）講解：可考慮用排除法不是周期函數(shù)（可通過(guò)作圖判斷），排除；的最小正周期為2，且在（0，2）上是減函數(shù)，排除；在（0，2）上是減函數(shù)，排除故應(yīng)選4如果滿足60，12，的恰有一個(gè)，那么的取值范圍是（） 01212 012或講解：這是“已知三角形的兩邊及其一邊的對(duì)角，解三角形”這類問(wèn)題的一個(gè)逆向問(wèn)題，由課本結(jié)論知，應(yīng)選結(jié)論說(shuō)明：本題也可以通過(guò)畫圖直觀地判斷，還可以用特殊值法排除、5若（12）1000的展開(kāi)式為20002000，則3691998的值為（）33333666399932001講解：由于要求的是展開(kāi)式中每間降兩項(xiàng)系數(shù)的和，所以聯(lián)想到1的單位根，用特殊值法取（12）（2），則1，10令1，得310002000；令，得01220002000；令，得020004000三個(gè)式子相加得310003（1998）19983999，選6已知6枝玫瑰與3枝康乃馨的價(jià)格之和大于24，而4枝攻瑰與5枝康乃馨的價(jià)格之和小于22元，則2枝玫瑰的價(jià)格和3枝康乃馨的價(jià)格比較，結(jié)果是（）2枝玫瑰價(jià)格高3枝康乃馨價(jià)格高 價(jià)格相同 不確定講解：這是一個(gè)大小比較問(wèn)題可先設(shè)玫瑰與康乃馨的單價(jià)分別為元、元，則由題設(shè)得，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在條件、的約束下，比較2與3的大小有以下兩種解法：解法1：為了整體地使用條件、，令63，45，聯(lián)立解得（53）18，（32）923（1112）924，22，111211241222023，選圖1解法2：由不等式、及0、0組成的平面區(qū)域如圖1中的陰影部分（不含邊界）令232，則表示直線：232在軸上的截距顯然，當(dāng)過(guò)點(diǎn)（3，2）時(shí)，2有最小值為0故230，即23，選說(shuō)明：（1）本題類似于下面的1983年一道全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題：已知函數(shù)（）滿足：4（1）1，1（2）5，那么（3）應(yīng)滿足（）7（3）264（3）151（3）20283（3）353（2）如果由條件、先分別求出、的范圍，再由2的范圍得結(jié)論，容易出錯(cuò)上面的解法1運(yùn)用了整體的思想，解法2則直觀可靠，詳見(jiàn)文1二填空題7 8 9 10 11 12 732 7橢圓1（2）的短軸長(zhǎng)等于_講解：若注意到極點(diǎn)在橢圓的左焦點(diǎn)，可利用特殊值法；若注意到離心率和焦參數(shù)（焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離）的幾何意義，本題也可以直接求短半軸的長(zhǎng)解法1：由得23，從而，故2解法2：由12，21及222，得從而2說(shuō)明：這是一道符合教學(xué)大綱而超出高考范圍的試題8若復(fù)數(shù)、滿足2，3，32（32），則_講解：參考答案給出的解法技巧性較強(qiáng)，根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)，用復(fù)數(shù)的三角形式似乎更符合學(xué)生的思維特點(diǎn)，而且也不繁令2（），3（），則由32（32）及復(fù)數(shù)相等的充要條件，得即二式相除，得（）2）32由萬(wàn)能公式，得（）1213，（）513故6（）（） （3013）（7213）說(shuō)明：本題也可以利用復(fù)數(shù)的幾何意義解9正方體1的棱長(zhǎng)為1，則直線與的距離是_講解：這是一道求兩條異面直線距離的問(wèn)題，解法較多，下面給出一種基本的解法圖2為了保證所作出的表示距離的線段與和都垂直，不妨先將其中一條直線置于另一條直線的垂面內(nèi)為此，作正方體的對(duì)角面，則面，且面設(shè)0，在面內(nèi)作，垂足為，則線段的長(zhǎng)為異面直線與的距離在中，等于斜邊上高的一半，即610不等式（112）232的解集為_(kāi)講解：從外形上看，這是一個(gè)絕對(duì)值不等式，先求得122，或27120，或120從而4，或1227，或0111函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)講解：先平方去掉根號(hào)由題設(shè)得（）32，則（2）（23）由，得（2）（23）解得132，或2由于能達(dá)到下界0，所以函數(shù)的值域?yàn)?，32）2，）說(shuō)明：（1）參考答案在求得132或2后，還用了較長(zhǎng)的篇幅進(jìn)行了一番驗(yàn)證，確無(wú)必要（2）本題還可以用三角代換法和圖象法來(lái)解，不過(guò)較繁，讀者不妨一試圖312在一個(gè)正六邊形的六個(gè)區(qū)域栽種觀賞植物（如圖3），要求同一塊中種同一種植物，相鄰的兩塊種不同的植物現(xiàn)有4種不同的植物可供選擇，則有_種栽種方案講解：為了敘述方便起見(jiàn)，我們給六塊區(qū)域依次標(biāo)上字母、按間隔三塊、種植植物的種數(shù)，分以下三類（1）若、種同一種植物，有4種種法當(dāng)、種植后，、可從剩余的三種植物中各選一種植物（允許重復(fù)），各有3種方法此時(shí)共有4333108種方法（2）若、種二種植物，有2種種法當(dāng)、種好后，若、種同一種，則有3種方法，、各有2種方法；若、或、種同一種，相同（只是次序不同）此時(shí)共有3（322）432種方法（3）若、種三種植物，有種種法這時(shí)、各有2種種方法此時(shí)共有222192種方法根據(jù)加法原理，總共有108432192732種栽種方案說(shuō)明：本題是一個(gè)環(huán)形排列問(wèn)題三解答題13設(shè)所求公差為d，a1a2，d0由此得 化簡(jiǎn)得： 解得： 5分而，故a10 若，則 若，則 10分 但存在，故| q |1，于是不可能 從而 所以 20分14解：(1)由 消去y得： 設(shè)，問(wèn)題(1)化為方程在x(a，a)上有唯一解或等根 只需討論以下三種情況： 10得：，此時(shí)xpa2，當(dāng)且僅當(dāng)aa2a，即0a1時(shí)適合； 2f (a)f (a)0，當(dāng)且僅當(dāng)ama； 3f (a)0得ma，此時(shí)xpa2a2，當(dāng)且僅當(dāng)aa2a2a，即0a1時(shí)適合 f (a)0得ma，此時(shí)xpa2a2，由于a2a2a，從而ma 綜上可知，當(dāng)0a1時(shí)，或ama； 當(dāng)a1時(shí)，ama 10分(2)OAP的面積 0a，故ama時(shí)，0a， 由唯一性得 顯然當(dāng)ma時(shí)，xp取值最小由于xp0，從而yp取值最大，此時(shí)， 當(dāng)時(shí)，xpa2，yp，此時(shí) 下面比較與的大小： 令，得 故當(dāng)0a時(shí)，此時(shí) 當(dāng)時(shí)，此時(shí) 20分15解：設(shè)6個(gè)電阻的組件(如圖3)的總電阻為RFG，當(dāng)R ia i，i3，4，5，6，R1、R2是a1、a2的任意排列時(shí)，RFG最小 5分證明如下： 1設(shè)當(dāng)兩個(gè)電阻R1、R2并聯(lián)時(shí)，所得組件阻值為R，則故交換二電阻的位置，不改變R值，且當(dāng)R1或R2變小時(shí)，R也減小，因此不妨取R1R22設(shè)3個(gè)電阻的組件(如圖1)的總電阻為RAB 顯然R1R2越大，RAB越小，所以為使RAB最小必須取R3為所取三個(gè)電阻中阻值最小的個(gè)3設(shè)4個(gè)電阻的組件(如圖2)的總電阻為RCD 若記 ，則S1、S2為定值，于是 只有當(dāng)R3R4最小，R1R2R3最大時(shí)，RCD最小，故應(yīng)取R4R3，R3R2，R3Rl，即得總電阻的阻值最小 15分4對(duì)于圖3把由R1、R2、R3組成的組件用等效電阻RAB代替要使RFG最小，由3必需使R6R5；且由1應(yīng)使RCE最小由2知要使RCE最小，必需使R5R4，且應(yīng)使RCD最小 而由3，要使RCD最小，應(yīng)使R4R3R2且R4R3R1， 這就說(shuō)明，要證結(jié)論成立20分2001年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽加試參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一證明：(1)A、C、D、F四點(diǎn)共圓 BDFBAC 又OBC(180BOC)90BAC OBDF(2)CFMA MC 2MH 2AC 2AH 2 BENA NB 2NH 2AB 2AH 2 DABC BD 2CD 2BA 2AC 2 OBDF BN 2BD 2ON 2OD 2 OCDE CM 2CD 2OM 2OD 2 30分 ，得 NH 2MH 2ON 2OM 2 MO 2MH 2NO 2NH 2 OHMN 50分另證：以BC所在直線為x軸，D為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系， 設(shè)A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，則 直線AC的方程為，直線BE的方程為 由 得E點(diǎn)坐標(biāo)為E() 同理可得F() 直線AC的垂直平分線方程為 直線BC的垂直平分線方程為 由 得O() OBDF 同理可證OCDE在直線BE的方程中令x0得H(0，) 直線DF的方程為 由 得N () 同理可得M () kOH kMN 1，OHMN二解：先求最小值，因?yàn)?等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)存在i使得xi1，xj0，ji 最小值為1 10分再求最大值，令 設(shè)， 令 則 30分 令0，則 由柯西不等式得： 等號(hào)成立 (k=1，2，n) 由于a1a2an，從而，即xk0 所求最大值為 50分三解：記所求最小值為f (m，n)，可義證明f (m，n)rnn(m，n) (*) 其中(m，n) 表示m和n的最大公約數(shù) 10分 事實(shí)上，不妨沒(méi)mn (1)關(guān)于m歸納，可以證明存在一種合乎題意的分法，使所得正方形邊長(zhǎng)之和恰為rnn(m，n) 當(dāng)用m1時(shí)，命題顯然成立AA1BCD1Dmn 假設(shè)當(dāng)，mk時(shí)，結(jié)論成立(k1)當(dāng)mk1時(shí)，若nk1，則命題顯然成立若nk1，從矩形ABCD中切去正方形AA1D1D(如圖)，由歸納假設(shè)矩形A1BCD1有一種分法使得所得正方形邊長(zhǎng)之和恰為mnn(mn，n)m(m，n)，于是原矩形ABCD有一種分法使得所得正方形邊長(zhǎng)之和為rnn(m，n) 20分 (2)關(guān)于m歸納可以證明(*)成立 當(dāng)m1時(shí)，由于n1，顯然f (m，n)rnn(m，n) 假設(shè)當(dāng)mk時(shí)，對(duì)任意1nm有f (m，n)rnn(m，n) 若mk1，當(dāng)nk1時(shí)顯然f (m，n)k1rnn(m，n) 當(dāng)