2006年全國中考數(shù)學(xué)壓軸題集錦.doc

2006年全國中考數(shù)學(xué)壓軸題集錦1、（2006浙江金華）如圖,平面直角坐標(biāo)系中,直線AB與軸,軸分別交于A(3,0),B(0,)兩點(diǎn), ,點(diǎn)C為線段AB上的一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)C作CD軸于點(diǎn)D.(1)求直線AB的解析式;(2)若S梯形OBCD,求點(diǎn)C的坐標(biāo);(3)在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)P,使得以P,O,B為頂點(diǎn)的三角形與OBA相似.若存在,請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.解 （1）直線AB解析式為：y=x+ （2）方法一：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x+），那么ODx，CDx+由題意： ，解得（舍去）（，）方法二：,，由OA=OB，得BAO30，AD=CDCDAD可得CD AD=，ODC（，）（）當(dāng)OBPRt時(shí)，如圖 若BOPOBA，則BOPBAO=30，BP=OB=3，（3，） 若BPOOBA，則BPOBAO=30,OP=OB=1（1，）當(dāng)OPBRt時(shí) 過點(diǎn)P作OPBC于點(diǎn)P(如圖)，此時(shí)PBOOBA，BOPBAO30過點(diǎn)P作PMOA于點(diǎn)M方法一： 在RtPBO中，BPOB，OPBP 在RtPO中，OPM30， OMOP；PMOM（，）方法二：設(shè)（x ，x+），得OMx ，PMx+由BOPBAO,得POMABOtanPOM= ，tanABOC=x+x，解得x此時(shí)，（，） 若POBOBA(如圖)，則OBP=BAO30，POM30 PMOM（，）（由對(duì)稱性也可得到點(diǎn)的坐標(biāo)）當(dāng)OPBRt時(shí)，點(diǎn)P在軸上,不符合要求.綜合得，符合條件的點(diǎn)有四個(gè)，分別是：（3，），（1，），（，），（，）2、（2006重慶）如圖1所示，一張三角形紙片ABC，ACB=90,AC=8,BC=6.沿斜邊AB的中線CD把這張紙片剪成和兩個(gè)三角形（如圖2所示）.將紙片沿直線（AB）方向平移（點(diǎn)始終在同一直線上），當(dāng)點(diǎn)于點(diǎn)B重合時(shí)，停止平移.在平移過程中，與交于點(diǎn)E,與分別交于點(diǎn)F、P.(1) 當(dāng)平移到如圖3所示的位置時(shí)，猜想圖中的與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(2) 設(shè)平移距離為，與重疊部分面積為，請(qǐng)寫出與的函數(shù)關(guān)系式，以及自變量的取值范圍；（3）對(duì)于（2）中的結(jié)論是否存在這樣的的值，使重疊部分的面積等于原面積的.若存在，求x的值；若不存在，請(qǐng)說明理由. 圖1圖3圖2解 （1）.因?yàn)?，所?又因?yàn)椋珻D是斜邊上的中線，所以，即所以，所以所以，.同理：.又因?yàn)椋?所以（2）因?yàn)樵谥?，所以由勾股定理，得即又因?yàn)?，所?所以在中，到的距離就是的邊上的高，為.設(shè)的邊上的高為，由探究，得，所以.所以.又因?yàn)?，所?又因?yàn)椋?所以 ，而所以(3) 存在. 當(dāng)時(shí)，即整理，得解得，.即當(dāng)或時(shí)，重疊部分的面積等于原面積的.3、（2006山東濟(jì)南）如圖1，已知中，過點(diǎn)作，且，連接交于點(diǎn)（1）求的長；（2）以點(diǎn)為圓心，為半徑作A，試判斷與A是否相切，并說明理由；（3）如圖2，過點(diǎn)作，垂足為以點(diǎn)為圓心，為半徑作A；以點(diǎn)為圓心，為半徑作C若和的大小是可變化的，并且在變化過程中保持A和C相切，且使點(diǎn)在A的內(nèi)部，點(diǎn)在A的外部，求和的變化范圍ABCPEEABCP圖1圖2解（1）在中， ， （2）與A相切在中， 又，與A相切 （3）因?yàn)?，所以的變化范圍?當(dāng)A與C外切時(shí)，所以的變化范圍為；當(dāng)A與C內(nèi)切時(shí)，所以的變化范圍為4、（2006浙江嘉興）某旅游勝地欲開發(fā)一座景觀山從山的側(cè)面進(jìn)行堪測(cè)，迎面山坡線ABC由同一平面內(nèi)的兩段拋物線組成，其中AB所在的拋物線以A為頂點(diǎn)、開口向下，BC所在的拋物線以C為頂點(diǎn)、開口向上以過山腳（點(diǎn)C）的水平線為x軸、過山頂（點(diǎn)A）的鉛垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系如圖（單位：百米）已知AB所在拋物線的解析式為，BC所在拋物線的解析式為，且已知（1）設(shè)是山坡線AB上任意一點(diǎn)，用y表示x，并求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）從山頂開始、沿迎面山坡往山下鋪設(shè)觀景臺(tái)階這種臺(tái)階每級(jí)的高度為20厘米，長度因坡度的大小而定，但不得小于20厘米，每級(jí)臺(tái)階的兩端點(diǎn)在坡面上（見圖）分別求出前三級(jí)臺(tái)階的長度（精確到厘米）；這種臺(tái)階不能一直鋪到山腳，為什么？（3）在山坡上的700米高度（點(diǎn)D）處恰好有一小塊平地，可以用來建造索道站索道的起點(diǎn)選擇在山腳水平線上的點(diǎn)E處，（米）假設(shè)索道DE可近似地看成一段以E為頂點(diǎn)、開口向上的拋物線，解析式為試求索道的最大懸空高度上山方向長度高度解 （1）是山坡線AB上任意一點(diǎn)，4，（2）在山坡線AB上，令，得 ；令，得第一級(jí)臺(tái)階的長度為（百米）（厘米）同理，令、，可得、第二級(jí)臺(tái)階的長度為（百米）（厘米）第三級(jí)臺(tái)階的長度為（百米）（厘米）取點(diǎn)，又取，則這種臺(tái)階不能從山頂一直鋪到點(diǎn)B，從而就不能一直鋪到山腳（注：事實(shí)上這種臺(tái)階從山頂開始最多只能鋪到700米高度，共500級(jí)從100米高度到700米高度都不能鋪設(shè)這種臺(tái)階解題時(shí)取點(diǎn)具有開放性）另解：連接任意一段臺(tái)階的兩端點(diǎn)P、Q，如圖這種臺(tái)階的長度不小于它的高度當(dāng)其中有一級(jí)臺(tái)階的長大于它的高時(shí)，在題設(shè)圖中，作于H則，又第一級(jí)臺(tái)階的長大于它的高這種臺(tái)階不能從山頂一直鋪到點(diǎn)B，從而就不能一直鋪到山腳上山方向（3）、由圖可知，只有當(dāng)索道在BC上方時(shí)，索道的懸空高度才有可能取最大值索道在BC上方時(shí)，懸空高度當(dāng)時(shí)，索道的最大懸空高度為米 5、（2006山東煙臺(tái)）如圖，已知拋物線L1: y=x2-4的圖像與x有交于A、C兩點(diǎn)，（1）若拋物線l2與l1關(guān)于x軸對(duì)稱，求l2的解析式；（2）若點(diǎn)B是拋物線l1上的一動(dòng)點(diǎn)（B不與A、C重合），以AC為對(duì)角線，A、B、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)定為D，求證：點(diǎn)D在l2上；（3）探索：當(dāng)點(diǎn)B分別位于l1在x軸上、下兩部分的圖像上時(shí)，平行四邊形ABCD的面積是否存在最大值和最小值？若存在，判斷它是何種特殊平行四邊形，并求出它的面積；若不存在，請(qǐng)說明理由。解（1）設(shè)l2的解析式為y=a(x-h)2+kl2與x軸的交點(diǎn)A(-2,0),C(2,0),頂點(diǎn)坐標(biāo)是(0，-4),l1與l2關(guān)于x軸對(duì)稱， l2過A(-2,0),C(2,0),頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，4） y=ax2+4 0=4a+4 得 a=-1 l2的解析式為y=-x2+4 (2)設(shè)B(x1 ,y1) 點(diǎn)B在l1上 B(x1 ,x12-4) 四邊形ABCD是平行四邊形，A、C關(guān)于O對(duì)稱 B、D關(guān)于O對(duì)稱 D(-x1 ,-x12+4). 將D(-x1 ,-x12+4)的坐標(biāo)代入l2：y=-x2+4 左邊=右邊 點(diǎn)D在l2上. (3)設(shè)平行四邊形ABCD的面積為S,則 S=2*SABC =AC*|y1|=4|y1| a.當(dāng)點(diǎn)B在x軸上方時(shí)，y10 S=4y1 ,它是關(guān)于y1的正比例函數(shù)且S隨y1的增大而增大， S既無最大值也無最小值 b.當(dāng)點(diǎn)B在x軸下方時(shí)，-4y10 S=-4y1 ,它是關(guān)于y1的正比例函數(shù)且S隨y1的增大而減小， 當(dāng)y1 =-4時(shí)，S由最大值16，但他沒有最小值 此時(shí)B(0,-4)在y軸上，它的對(duì)稱點(diǎn)D也在y軸上. ACBD 平行四邊形ABCD是菱形 此時(shí)S最大=16. 6、（2006山東濰坊）已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn)（在的左側(cè)），且點(diǎn)坐標(biāo)為平行于軸的直線過點(diǎn)（1）求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式；（2）判斷以線段為直徑的圓與直線的位置關(guān)系，并給出證明；（3）把二次函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，再向下平移個(gè)單位，二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)，一次函數(shù)圖象交軸于點(diǎn)當(dāng)為何值時(shí)，過三點(diǎn)的圓的面積最?。孔钚∶娣e是多少？解（1）把代入得，一次函數(shù)的解析式為； 二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸，設(shè)二次函數(shù)解析式為，把代入得，二次函數(shù)解析式為 （2）由解得或，過點(diǎn)分別作直線的垂線，垂足為，則，直角梯形的中位線長為，過作垂直于直線于點(diǎn)，則， 的長等于中點(diǎn)到直線的距離的2倍，以為直徑的圓與直線相切（3）平移后二次函數(shù)解析式為，令，得，過三點(diǎn)的圓的圓心一定在直線上，點(diǎn)為定點(diǎn)，要使圓面積最小，圓半徑應(yīng)等于點(diǎn)到直線的距離，此時(shí)，半徑為2，面積為，設(shè)圓心為中點(diǎn)為，連，則，在三角形中，而，當(dāng)時(shí)，過三點(diǎn)的圓面積最小，最小面積為 7、（2006江西）問題背景某課外學(xué)習(xí)小組在一次學(xué)習(xí)研討中，得到了如下兩個(gè)命題：如圖1，在正三角形ABC中，M、N分別是AC、AB上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，若BON60，則BMCN；如圖2，在正方形ABCD中，M、N分別是CD、AD上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，若BON90，則BMCN；然后運(yùn)用類比的思想提出了如下命題：如圖3，在正五邊形ABCDE中，M、N分別是CD、DE上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，若BON108，則BMCN。任務(wù)要求：（1）請(qǐng)你從、三個(gè)命題中選擇一個(gè)進(jìn)行證明；（說明：選做對(duì)得4分，選做對(duì)得3分，選做對(duì)得5分）(2)請(qǐng)你繼續(xù)完成下列探索：請(qǐng)?jiān)趫D3中畫出一條與CN相等的線段DH，使點(diǎn)H在正五邊形的邊上，且與CN相交所成的一個(gè)角是108，這樣的線段有幾條？（不必寫出畫法，不要求證明）如圖4，在正五邊形ABCDE中，M、N分別是DE、EA上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，若BON108，請(qǐng)問結(jié)論BMCN是否還成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說明理由。BOCMNA圖1ABCMNOD圖2圖4NMOEDCBA解 （1）以下答案供參考： （1） 如選命題 證明：在圖1中，BON=601+2=603+2=60，1=3 又BC=CA，BCM=CAN=60BCMCAN BM=CN （2）如選命題證明：在圖2中，BON=901+2=903+2=90，1=3 又BC=CD，BCM=CDN=90BCMCDN BM=CN （3）如選命題證明；在圖3中，BON=1081+2=1082+3=1081=3 又BC=CD，BCM=CDN=108BCMCDN BM=CN (2)答：當(dāng)BON=時(shí)結(jié)論BM=CN成立 答當(dāng)BON=108時(shí)。BM=CN還成立 證明；如圖5連結(jié)BD、CE. 在BCI)和CDE中BC=CD, BCD=CDE=108,CD=DEBCD CDEBD=CE , BDC=CED, DBC=CEN CDE=DEC=108, BDM=CEN OBC+ECD=108, OCB+OCD=108MBC=NCD又DBC=ECD=36, DBM=ECN BDM CNE BM=CN 8、（2006吉林長春）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，兩個(gè)函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A。動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O開始沿OA方向以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，作PQx軸交直線BC于點(diǎn)Q，以PQ為一邊向下作正方形PQMN，設(shè)它與OAB重疊部分的面積為S。（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)。（2）試求出點(diǎn)P在線段OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（秒）的關(guān)系式。（3）在（2）的條件下，S是否有最大值？若有，求出t為何值時(shí)，S有最大值，并求出最大值；若沒有，請(qǐng)說明理由。（4）若點(diǎn)P經(jīng)過點(diǎn)A后繼續(xù)按原方向、原速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)正方形PQMN與OAB重疊部分面積最大時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t滿足的條件是_。解（1）由 可得 A（4，4）。（2）點(diǎn)P在y = x上，OP = t，則點(diǎn)P坐標(biāo)為點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為，并且點(diǎn)Q在上。，即點(diǎn)Q坐標(biāo)為。當(dāng)時(shí)，。當(dāng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，當(dāng)時(shí)， 。（3）有最大值，最大值應(yīng)在中，當(dāng)時(shí)，S的最大值為12。（4）。9、（2006湖南常德）把兩塊全等的直角三角形和疊放在一起，使三角板的銳角頂點(diǎn)與三角板的斜邊中點(diǎn)重合，其中，把三角板固定不動(dòng)，讓三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線與射線相交于點(diǎn)，射線與線段相交于點(diǎn)（1）如圖9，當(dāng)射線經(jīng)過點(diǎn)，即點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，易證此時(shí)，（2）將三角板由圖1所示的位置繞點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為其中，問的值是否改變？說明你的理由()()()B(Q)CFEAP圖1圖3圖3（3）在（2）的條件下，設(shè)，兩塊三角板重疊面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式解 （1）8 （）（2）的值不會(huì)改變 理由如下：在與中，即 （）（3）情形1：當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)兩三角板重疊部分為四邊形，過作于，于，由（2）知：得于是 情形2：當(dāng)時(shí)，時(shí)，即，此時(shí)兩三角板重疊部分為，由于，易證：，即解得于是綜上所述，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， 法二：連結(jié)，并過作于點(diǎn)，在與中，即法三：過作于點(diǎn)，在中，于是在與中即10、（2006湖北宜昌）如圖，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（n，0）是x軸上一動(dòng)點(diǎn)(n0）以AO為一邊作矩形AOBC，點(diǎn)C在第二象限，且OB2OA矩形AOBC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90o得矩形AGDE過點(diǎn)A的直線ykxm 交y軸于點(diǎn)F，F(xiàn)BFA拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)E、F、G且和直線AF交于點(diǎn)H，過點(diǎn)H作HMx軸，垂足為點(diǎn)M(1)求k的值；(2)點(diǎn)A位置改變時(shí)，AMH的面積和矩形AOBC 的面積的比值是否改變？說明你的理由解 （1）根據(jù)題意得到：E（3n，0）， G（n，n）當(dāng)x0時(shí)，ykxmm，點(diǎn)F坐標(biāo)為（0，m）RtAOF中，AF2m2n2，F(xiàn)BAF，m2n2(-2nm)2，化簡得：m0.75n， 對(duì)于ykxm，當(dāng)xn時(shí)，y0，0kn0.75n，k0.75 （2）拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)E、F、G， 解得：a，b，c0.75n 拋物線為y=x2x0.75n 解方程組： 得：x15n，y13n；x20，y20.75n H坐標(biāo)是：（5n，3n），HM3n，AMn5n4n，AMH的面積0.5HMAM6n2； 而矩形AOBC 的面積2n2，AMH的面積矩形AOBC 的面積3:1，不隨著點(diǎn)A的位置的改變而改變 11、（2006湖南長沙）如圖1，已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)（1）求兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求線段的垂直平分線的解析式；（3）如圖2，取與線段等長的一根橡皮筋，端點(diǎn)分別固定在兩處用鉛筆拉著這根橡皮筋使筆尖在直線上方的拋物線上移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)將與構(gòu)成無數(shù)個(gè)三角形，這些三角形中是否存在一個(gè)面積最大的三角形？如果存在，求出最大面積，并指出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)簡要說明理由PA圖2圖1解（1）解：依題意得解之得 （2）作的垂直平分線交軸，軸于兩點(diǎn)，交于（如圖1）圖1DMACB 由（1）可知： 過作軸，為垂足 由，得：， 同理： 設(shè)的解析式為 的垂直平分線的解析式為：（3）若存在點(diǎn)使的面積最大，則點(diǎn)在與直線平行且和拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線上，并設(shè)該直線與軸，軸交于兩點(diǎn)（如圖2） 拋物線與直線只有一個(gè)交點(diǎn)， ，PA圖2HGB 在直線中， 設(shè)到的距離為， 到的距離等于到的距離 12、（2006北京海淀）如圖，已知O的直徑AB垂直于弦CD于E，連結(jié)AD、BD、OC、OD，且OD5。（1）若，求CD的長；（2）若 ADO：EDO4：1，求扇形OAC（陰影部分）的面積（結(jié)果保留）。解（1）因?yàn)锳B是O的直徑，OD5所以ADB90，AB10在RtABD中，又，所以，所以因?yàn)锳DB90，ABCD所以所以所以所以（2）因?yàn)锳B是O的直徑，ABCD所以所以BADCDB，AOCAOD因?yàn)锳ODO，所以BADADO所以CDBADO 設(shè)ADO4x，則CDB4x由ADO：EDO4：1，則EDOx因?yàn)锳DOEDOEDB90所以所以x10所以AOD180（OADADO）100所以AOCAOD100 13、（2006山東德州）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，四邊形為矩形，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，動(dòng)點(diǎn)分別從同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)其中，點(diǎn)沿向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)沿向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)作，交于，連結(jié)，已知?jiǎng)狱c(diǎn)運(yùn)動(dòng)了秒（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）（用含的代數(shù)式表示）；（2）試求面積的表達(dá)式，并求出面積的最大值及相應(yīng)的值；BAMPCO（3）當(dāng)為何值時(shí)，是一個(gè)等腰三角形？簡要說明理由解 （1）由題意可知，點(diǎn)坐標(biāo)為 （2）設(shè)的面積為，在中，邊上的高為，其中 的最大值為，此時(shí) （3）延長交于，則有BAMPCO若， 若，則， 若，則，在中， 綜上所述，或，或14、（2006江蘇常州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，2為半徑畫O，P是O上一動(dòng)點(diǎn)，且P在第一象限內(nèi)，過點(diǎn)P作O的切線與軸相交于點(diǎn)A，與軸相交于點(diǎn)B。（1）點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段AB的長度在發(fā)生變化，請(qǐng)寫出線段AB長度的最小值，并說明理由；（2）在O上是否存在一點(diǎn)Q，使得以Q、O、A、P為頂點(diǎn)的四邊形時(shí)平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。解 （1）線段AB長度的最小值為4 理由如下： 連接OP 因?yàn)锳B切O于P，所以O(shè)PAB 取AB的中點(diǎn)C，則 當(dāng)時(shí)，OC最短， 即AB最短，此時(shí) （2）設(shè)存在符合條件的點(diǎn)Q， 如圖，設(shè)四邊形APOQ為平行四邊形，因?yàn)樗倪呅蜛POQ為矩形又因?yàn)樗运倪呅蜛POQ為正方形所以，在RtOQA中，根據(jù)，得Q點(diǎn)坐標(biāo)為（）。 如圖，設(shè)四邊形APQO為平行四邊形因?yàn)镺QPA，所以，又因?yàn)樗?，因?yàn)?PQOA，所以 軸。設(shè)軸于點(diǎn)H，在RtOHQ中，根據(jù)，得Q點(diǎn)坐標(biāo)為（）所以符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（）或（）。15、（2006福建泉州）如圖，在直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，A（4，12）為雙曲線（x0）上的一點(diǎn).求k的值；過雙曲線上的點(diǎn)P作PBx軸于B，連接OP，若RtOPB兩直角邊的比值為，試求點(diǎn)P的坐標(biāo).yAOx分別過雙曲線上的兩點(diǎn)P1、P2，作P1B1x軸于B1，P2B2x軸于B2，連結(jié)OP1、OP2.設(shè)RtOP1B1、RtOP2B2的周長分別為l1、l2，內(nèi)切圓的半徑分別為r1、r2,若，試求的值.解 （1）依題意得 12=，k = 48 （2）由（1）得雙曲線解析式為 設(shè)P（m，n） 即 yPOxB當(dāng)時(shí)，即 可設(shè)，.4= 48，解得 ，P（，）當(dāng)時(shí)，同理可求得P（，）（3）在RtOP1B1中，設(shè)OB1=，P1B1=，OP1=，則P1（，），由（2）得=48；在RtOP2B2中，設(shè)OB2=，P2B2=，OP2=，則P2（，），由（2）得=48. 即=故 又22 即得 16、(2006廣東廣州)已知拋物線y=x2+mx-2m2(m0) (1)求證：該拋物線與X軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)； (2)過點(diǎn)P(0，n)作y軸的垂線交該拋物線于點(diǎn)A和點(diǎn)B(點(diǎn)A在點(diǎn)P的左邊)，是 否存在實(shí)數(shù)m、n，使得AP=2PB?若存在，則求出m、n滿足的條件；若不存在，請(qǐng)說明理由解（1） 該拋物線與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。 （2）由題意易知點(diǎn)、的坐標(biāo)滿足方程：，即由于方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，因此，即.由求根公式可知兩根為：， 分兩種情況討論：第一種：點(diǎn)在點(diǎn)左邊，點(diǎn)在點(diǎn)的右邊.由式可解得 .第二種：點(diǎn)、都在點(diǎn)左邊.由式可解得.綜合可知，滿足條件的點(diǎn)存在，此時(shí)、應(yīng)滿足條件：，或。17、（2006湖北十堰）已知拋物線：（，為常數(shù)，且，）的頂點(diǎn)為，與軸交于點(diǎn)；拋物線與拋物線關(guān)于軸對(duì)稱，其頂點(diǎn)為，連接，注：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1）請(qǐng)?jiān)跈M線上直接寫出拋物線的解析式：_；（2）當(dāng)時(shí)，判定的形狀，并說明理由；（3）拋物線上是否存在點(diǎn)，使得四邊形為菱形？如果存在，請(qǐng)求出的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由解 （1）（2）當(dāng)時(shí)，為等腰直角三角形 理由如下：xO如圖：點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，點(diǎn)又在軸上，過點(diǎn)作拋物線的對(duì)稱軸交軸于，過點(diǎn)作于當(dāng)時(shí)，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，又點(diǎn)的坐標(biāo)為，從而，由對(duì)稱性知，為等腰直角三角形（3）假設(shè)拋物線上存在點(diǎn)，使得四邊形為菱形，則由（2）知，從而為等邊三角形四邊形為菱形，且點(diǎn)在上，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱與的交點(diǎn)也為點(diǎn)，因此點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，在中，故拋物線上存在點(diǎn)，使得四邊形為菱形，此時(shí)18、（2006廣東）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)中，四邊形OABC是等腰梯形，BCOA，OA=7，AB=4， COA=60，點(diǎn)P為x軸上的個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P不與點(diǎn)0、點(diǎn)A重合連結(jié)CP，過點(diǎn)P作PD交AB于點(diǎn)D (1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)； (2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)什么位置時(shí)，OCP為等腰三角形，求這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)什么位置時(shí)，使得CPD=OAB，且=，求這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)。解 (1)作BQx軸于Q. 四邊形ABCD是等腰梯形,BAQCOA60在RtBQA中,BA=4,BQ=ABsinBAO=4sin60=AQ=ABcosBAO=4cos60=2,OQ=OA-AQ=7-2=5點(diǎn)B在第一象限內(nèi),點(diǎn)B的的坐標(biāo)為(5, )(2)若OCP為等腰三角形,COP=60,此時(shí)OCP為等邊三角形或是頂角為120的等腰三角形若OCP為等邊三角形,OP=OC=PC=4,且點(diǎn)P在x軸的正半軸上,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,0)若OCP是頂角為120的等腰三角形,則點(diǎn)P在x軸的負(fù)半軸上,且OP=OC=4點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-4,0)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,0)或(-4,0)(3)若CPD=OABCPA=OCP+COP而OAB=COP=60,OCP=DPA此時(shí)OCPADP,AD=AB-BD=4-=AP=OA-OP=7-OP得OP=1或6點(diǎn)P坐標(biāo)為(1,0)或(6,0).19、（2006四川攀枝花）已知拋物線與y軸的交點(diǎn)為C，頂點(diǎn)為M，直線CM的解析式并且線段CM的長為（1） 求拋物線的解析式。（2） 設(shè)拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)A（X1 ，0）、B（X2 ，0），且點(diǎn)A在B的左側(cè)，求線段AB的長。（3） 若以AB為直徑作N，請(qǐng)你判斷直線CM與N的位置關(guān)系，并說明理由。解 NMyOA BD（G）CM（1）解法一：由已知，直線CM：y=x2與y軸交于點(diǎn)C（0,2）拋物線過點(diǎn)C（0,2），所以c=2，拋物線的頂點(diǎn)M在直線CM上，所以若b0，點(diǎn)C、M重合，不合題意，舍去，所以b2。即M過M點(diǎn)作y軸的垂線，垂足為Q，在所以，解得，。所求拋物線為： 或 （1）解法二：由題意得C(0 , 2),設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（x ，y）點(diǎn)M在直線上，由勾股定理得，=，即解方程組 得 M（-2，4） 或 M （2，0）當(dāng)M（-2，4）時(shí)，設(shè)拋物線解析式為，拋物線過（0，2）點(diǎn)，當(dāng)M（2，0）時(shí)，設(shè)拋物線解析式為拋物線過（0，2）點(diǎn)，所求拋物線為： 或 （2）拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，不合題意，舍去。拋物線應(yīng)為： 拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)且點(diǎn)A在B的左側(cè)，得 （3）AB是N的直徑，r = ， N（2，0），又M（2，4），MN = 4設(shè)直線與x軸交于點(diǎn)D，則D（2，0），DN = 4，可得MN = DN，作NGCM于G，在= r 即圓心到直線CM的距離等于N的半徑直線CM與N相切 20、（2006山東青島）如圖，有兩個(gè)形狀完全相同的直角三角形ABC和EFG疊放在一起（點(diǎn)A與點(diǎn)E重合），已知AC8cm，BC6cm，C90，EG4cm，EGF90，O 是EFG斜邊上的中點(diǎn)如圖，若整個(gè)EFG從圖的位置出發(fā)，以1cm/s 的速度沿射線AB方向平移，在EFG 平移的同時(shí)，點(diǎn)P從EFG的頂點(diǎn)G出發(fā)，以1cm/s 的速度在直角邊GF上向點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)F時(shí)，點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)，EFG也隨之停止平移設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s），F(xiàn)G的延長線交 AC于H，四邊形OAHP的面積為y（cm2)（不考慮點(diǎn)P與G、F重合的情況）（1）當(dāng)x為何值時(shí)，OPAC ?（2）求y與x 之間的函數(shù)關(guān)系式，并確定自變量x的取值范圍（3）是否存在某一時(shí)刻，使四邊形OAHP面積與ABC面積的比為1324？若存在，求出x的值；若不存在，說明理由（參考數(shù)據(jù)：1142 12996，1152 13225，1162 13456或4.42 19.36，4.52 20.25，4.62 21.16）解 （1）RtEFGRtABC ，F(xiàn)G3cm 當(dāng)P為FG的中點(diǎn)時(shí)，OPEG ，EGAC ，OPAC x 31.5（s）當(dāng)x為1.5s時(shí)，OPAC （2）在RtEFG 中，由勾股定理得：EF 5cmEGAH ，EFGAFH AH（ x 5），F(xiàn)H（x5）過點(diǎn)O作ODFP ，垂足為 D 點(diǎn)O為EF中點(diǎn)，ODEG2cmFP3x ，S四邊形OAHP SAFH SOFPAHFHODFP（x5）（x5）2（3x ）x2x3 （0x3（3）假設(shè)存在某一時(shí)刻x，使得四邊形OAHP面積與ABC面積的比為1324則S四邊形OAHPSABCx2x3686x285x2500解得 x1， x2 （舍去）0x3，當(dāng)x（s）時(shí)，四邊形OAHP面積與ABC面積的比為132421、（2006河北）如圖，在RtABC中，C90，AC12，BC16，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AC邊向點(diǎn)C以每秒3個(gè)單位長的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CB邊向點(diǎn)B以每秒4個(gè)單位長的速度運(yùn)動(dòng)P，Q分別從點(diǎn)A，C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)在運(yùn)動(dòng)過程中，PCQ關(guān)于直線PQ對(duì)稱的圖形是PDQ設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）（1）設(shè)四邊形PCQD的面積為y，求y與t的函數(shù)關(guān)系式；（2）t為何值時(shí)，四邊形PQBA是梯形？（3）是否存在時(shí)刻t，使得PDAB？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；（4）通過觀察、畫圖或折紙等方法，猜想是否存在時(shí)刻t，使得PDAB？若存在，請(qǐng)估計(jì)t的值在括號(hào)中的哪個(gè)時(shí)間段內(nèi)（0t1；1t2；2t3；3t4）；若不存在，請(qǐng)簡要說明理由 APCQBD解 （1）由題意知 CQ4t，PC123t，SPCQ =PCQ與PDQ關(guān)于直線PQ對(duì)稱，y=2SPCQ （2）當(dāng)時(shí)，有PQAB，而AP與BQ不平行，這時(shí)四邊形PQBA是梯形，CA=12，CB=16，CQ4t， CP123t， ，解得t2當(dāng)t2秒時(shí)，四邊形PQBA是梯形 （3）設(shè)存在時(shí)刻t，使得PDAB，延長PD交BC于點(diǎn)M，如下圖，若PDAB，則QMD=B，又QDM=C=90，APCQBDMRtQMDRtABC，從而，QD=CQ=4t，AC12，AB=20，QM= 若PDAB，則，得，解得t當(dāng)t秒時(shí)，PDAB （4）存在時(shí)刻t，使得PDAB 時(shí)間段為：2t3 22、（2006河北課改）圖141至圖147的正方形霓虹燈廣告牌ABCD都是2020的等距網(wǎng)格（每個(gè)小方格的邊長均為1個(gè)單位長），其對(duì)稱中心為點(diǎn)O如圖141，有一個(gè)邊長為6個(gè)單位長的正方形EFGH的對(duì)稱中心也是點(diǎn)O，它以每秒1個(gè)單位長的速度由起始位置向外擴(kuò)大（即點(diǎn)O不動(dòng)，正方形EFGH經(jīng)過一秒由66擴(kuò)大為88；再經(jīng)過一秒，由88擴(kuò)大為1010；），直到充滿正方形ABCD，再以同樣的速度逐步縮小到起始時(shí)的大小，然后一直不斷地以同樣速度再擴(kuò)大、再縮小另有一個(gè)邊長為6個(gè)單位長的正方形MNPQ從如圖141所示的位置開始，以每秒1個(gè)單位長的速度，沿正方形ABCD的內(nèi)側(cè)邊緣按ABCDA移動(dòng)（即正方形MNPQ從點(diǎn)P與點(diǎn)A重合位置開始，先向左平移，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)，再向上平移，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)C重合時(shí)，再向右平移，當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)D重合時(shí)，再向下平移，到達(dá)起始位置后仍繼續(xù)按上述方式移動(dòng)）正方形EFGH和正方形MNPQ從如圖141的位置同時(shí)開始運(yùn)