人教A版選修11：3.2.1幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 課件（48張）.ppt

3 2導(dǎo)數(shù)的計算第1課時幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 主題基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1 函數(shù)y f x c y f x x y f x x2 y f x 的導(dǎo)數(shù)分別是什么 提示 y f x c的導(dǎo)數(shù)是y 0 y f x x的導(dǎo)數(shù)是y 1 y f x x2的導(dǎo)數(shù)是y 2x y f x 的導(dǎo)數(shù)是y 2 結(jié)合1中探究你能總結(jié)出函數(shù)f x x 的導(dǎo)數(shù)嗎 提示 由于0 0 x0 1 1 1 x1 1 2x 2 x2 1 1 x 1 1 由此可猜想 y f x x 的導(dǎo)數(shù)是y x 1 3 怎樣理解常見函數(shù)f x c f x x f x x2的導(dǎo)數(shù)的物理意義 提示 對于f x c 由于f x 0 其物理意義為某物體的瞬時速度始終為0 即一直處于靜止狀態(tài) 對于f x x 由于f x 1 其物理意義為某物體的瞬時速度為1的勻速運動 對于f x x2 由于f x 2x 其物理意義為物體的變速運動 結(jié)論 對于有些基本初等函數(shù) 由于不方便用定義法求導(dǎo)數(shù) 可直接使用下面的求導(dǎo)數(shù)公式 f x c f x f x x f x x 1 q f x sinx f x f x cosx f x 0 cosx sinx f x ax f x a 0 f x ex f x f x logax a 0 且a 1 f x lnx f x axlna ex 微思考 1 在同一平面直角坐標系中 畫出函數(shù)y 2x y 3x y 4x的圖象 并根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義 求它們的導(dǎo)數(shù) 1 從圖象上看 它們的導(dǎo)數(shù)分別表示什么 2 這三個函數(shù)中 哪一個增加得最快 哪一個增加得最慢 3 函數(shù)y kx k 0 增 減 的快慢與什么有關(guān) 提示 1 函數(shù)y 2x y 3x y 4x的圖象如圖所示 導(dǎo)數(shù)分別為y 2 y 3 y 4 從圖象上看 函數(shù)y 2x y 3x y 4x的導(dǎo)數(shù)分別表示這三條直線的斜率 2 在這三個函數(shù)中y 4x增加得最快 y 2x增加得最慢 3 函數(shù)y kx k 0 增加的快慢與k有關(guān)系 即與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有關(guān)系 k越大 函數(shù)增加得越快 k越小 函數(shù)增加得越慢 函數(shù)y kx k 0 減少的快慢與 k 有關(guān)系 即與函數(shù)導(dǎo)數(shù)的絕對值有關(guān)系 k 越大 函數(shù)減少得越快 k 越小 函數(shù)減少得越慢 2 如何區(qū)分f x sinx與f x cosx的導(dǎo)數(shù)特征 提示 從導(dǎo)數(shù)公式 sinx cosx cosx sinx看出 一要注意函數(shù)名稱的變化 二要注意符號的變化 特別注意 cosx sinx 而不是 cosx sinx 3 函數(shù)f x lnx與f x logax的導(dǎo)數(shù)公式之間有哪些差異與聯(lián)系 提示 函數(shù)f x logax的導(dǎo)數(shù)公式為f x logax 當a e時 上述公式就變?yōu)?lnx 即f x lnx的導(dǎo)數(shù)公式是f x logax的導(dǎo)數(shù)公式的特例 預(yù)習(xí)自測 1 函數(shù)f x 0的導(dǎo)數(shù)是 a 0b 1c 不存在d 不確定 解析 選a 常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0 2 已知函數(shù)f x 則f 2 a 4b c 4d 解析 選d 因為f x 所以f 2 3 曲線y x3 3x2在點 1 2 處的切線方程為 a y 3x 1b y 3x 5c y 3x 5d y 2x 解析 選a 因為y 3x2 6x y x 1 3 12 6 1 3 即所求切線的斜率等于3 故所求直線的方程是y 2 3 x 1 即y 3x 1 4 曲線y xn在x 2處的導(dǎo)數(shù)為12 則n等于 解析 y nxn 1 所以y x 2 n2n 1 12 所以n 3 答案 3 5 一木塊沿某一斜面自由下滑 測得下滑的水平距離scm與時間ts之間的函數(shù)關(guān)系為 s t2 試求t 2 s 時 此木塊的瞬時速度 仿照教材p83例1的解析過程 解析 由冪函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式得s t 2t 故s 2 4 因此當t 2 s 時 木塊的瞬時速度為4cm s 類型一常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 典例1 1 下列結(jié)論中正確的個數(shù)為 y ln2 則y y 則y x 3 y 2x 則y 2xln2 y log2x 則y a 0b 1c 2d 3 2 函數(shù)y 在點處的導(dǎo)數(shù)值是 a 4b 4c d 解題指南 1 直接利用常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即可 2 可先求出函數(shù)y 的導(dǎo)數(shù) 再代入求值 解析 1 選d 若y ln2 則y 0 故 錯 若y 則y 所以y x 3 對 若y 2x 則y 2xln2 對 也對 2 選b 因為y 所以當x 時 y 4 延伸探究 1 若把本例 2 中的點 改為 則結(jié)果如何 解析 因為y 所以當x 2時 y 2 若把本例 2 中的條件改為 函數(shù)y 在點 m n 處的導(dǎo)數(shù)值為 1 則m n的值是多少 解析 因為y 又在點 m n 處的導(dǎo)數(shù)值為 1 所以 1 故m2 1 所以m 1 當m 1時 n 1 當m 1時 n 1 故m n 2或m n 2 方法總結(jié) 定義法求導(dǎo)與公式法求導(dǎo)的對比 1 定義法求導(dǎo) 導(dǎo)函數(shù)定義本身就是函數(shù)求導(dǎo)的最基本方法 但導(dǎo)函數(shù)是用極限定義的 所以該方法求導(dǎo)最終歸結(jié)為求極限 在運算上很麻煩 運算會很困難 2 公式法求導(dǎo) 用導(dǎo)數(shù)定義推導(dǎo)出常見函數(shù)與基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式后 就可以用公式直接求導(dǎo) 該方法簡捷迅速 補償訓(xùn)練 如果函數(shù)f x x2 則的值等于 解析 因為f x x2 所以f x 2x f 4 8 答案 8 類型二利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)數(shù) 典例2 1 已知函數(shù)f x lnx f x 是f x 的導(dǎo)數(shù) f x 的大致圖象是 2 f x 則f 1 解題指南 1 先求出函數(shù)f x lnx的導(dǎo)數(shù) 再觀察其圖象 注意定義域 2 注意先對式子f x 轉(zhuǎn)化 再利用冪函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo) 解析 1 選c 因為函數(shù)f x lnx的定義域為 0 所以f x 的定義域也為 0 所以其圖象為反比例函數(shù)在第一象限的部分 2 選d 因為原函數(shù)可轉(zhuǎn)化為 f x 所以f x 所以f 1 方法總結(jié) 求簡單函數(shù)導(dǎo)數(shù)的策略 1 看形式 首先觀察函數(shù)的形式 看是否符合基本初等函數(shù)的形式 如對于形如的函數(shù)一般先轉(zhuǎn)化為冪函數(shù)的形式 再用冪函數(shù)的求導(dǎo)公式求導(dǎo) 2 化簡 對于不具備基本初等函數(shù)特征的函數(shù)可進行適當變形 將其化成基本初等函數(shù)或與之相接近的函數(shù)形式 如將根式 分式化為指數(shù)式 利用冪函數(shù)求導(dǎo) 3 選公式 選擇恰當?shù)墓角蠼夂瘮?shù)的導(dǎo)數(shù) 提醒 區(qū)分指數(shù)函數(shù) 對數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式 以免在運用時混淆 鞏固訓(xùn)練 2017 鄭州高二檢測 已知f x 且f 1 求n 解析 f x 所以f 1 由f 1 得 得n 3 補償訓(xùn)練 已知曲線y 3lnx的一條切線的斜率為 則切點的橫坐標為 a 3b 2c 1d 解析 選a 因為y 所以解得x 3 x 2不合題意 舍去 類型三利用導(dǎo)數(shù)公式求切線方程 典例3 已知函數(shù)f x 在r上滿足f x 2f 2 x x2 8x 8 則曲線y f x 在點 1 f 1 處的切線方程是 a y 2x 1b y xc y 3x 2d y 2x 3 解題指南 先根據(jù)f x 2f 2 x x2 8x 8求出函數(shù)f x 的解析式 然后對函數(shù)f x 進行求導(dǎo) 進而可得到y(tǒng) f x 在點 1 f 1 處的切線方程的斜率 最后根據(jù)點斜式可求切線方程 解析 選a 因為f x 2f 2 x x2 8x 8 所以f 2 x 2f x 2 x 2 8 2 x 8 所以f 2 x 2f x x2 4x 4 16 8x 8 將f 2 x 代入f x 2f 2 x x2 8x 8得f x 4f x 2x2 8x 8 x2 8x 8 所以f x x2 f x 2x 所以y f x 在 1 f 1 處的切線斜率y 2 所以y f x 在 1 f 1 處的切線方程為y 1 2 x 1 即y 2x 1 方法總結(jié) 求切線方程的步驟 1 利用導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)數(shù) 2 求斜率 3 寫出切線方程 求解時注意導(dǎo)數(shù)為0和導(dǎo)數(shù)不存在的情形 鞏固訓(xùn)練 1 2017 廣州高二檢測 曲線y ex在點 0 1 處的切線斜率為 a 1b 2c ed 0 解析 選a 因為y ex 所以y ex 所以曲線y ex在點 0 1 處的切線斜率k e0 1 2 求函數(shù)y 6x在x 1處的切線方程 解析 因為y 6x 6xln6 所以當x 1時 y 6ln6 又x 1時 y 6 所以切線方程為y 6 6ln6 x 1 即6xln6 y 6ln6 6 0 補償訓(xùn)練 曲線y 5ex 3在點 0 2 處的切線方程為 解析 由y 5ex 3 得y 5e