二項(xiàng)式定理在數(shù)列求和中的應(yīng)用.doc

二項(xiàng)式定理在數(shù)列求和中應(yīng)用 班級：數(shù)學(xué)1403姓名： 王琪 學(xué)號(hào):14404337 二項(xiàng)式定理在數(shù)列求和中的應(yīng)用 【摘要】 本文利用二項(xiàng)式定理和楊輝三角的內(nèi)在聯(lián)系，結(jié)合組合不等式，推導(dǎo)出形如的前n項(xiàng)和的公式,并給出求更高次求和公式的一般方法?！娟P(guān)鍵詞】 二項(xiàng)式定理 組合數(shù) 方程的根 系數(shù)一、項(xiàng)式定理和楊輝三角介紹：1,二項(xiàng)式定理： 其中叫做二項(xiàng)式系數(shù)。2,楊輝三角： 二項(xiàng)式定理的應(yīng)用非常廣泛, 也很重要, 主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面: 一是它所揭示的方法富有啟發(fā)性; 二是它與高等數(shù)學(xué)聯(lián)系緊密.學(xué)習(xí)與掌握它, 既有利于培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)想和抽象思維的能力, 也有利于其今后進(jìn)一步的學(xué)習(xí).二項(xiàng)式定理在中國被稱為“賈憲三角”或“楊輝三角”，一般認(rèn)為是北宋數(shù)學(xué)家賈憲所首創(chuàng).它記載于楊輝的詳解九章算法（1261）之中.在阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家卡西的著作算數(shù)之鑰（1427）中也給出了一個(gè)二項(xiàng)式定理系數(shù)表，他所用的計(jì)算方法與賈憲的完全相同.在歐洲，德國數(shù)學(xué)家阿皮安努斯在他1527年出版的算數(shù)書的封面上刻有此圖，但一般稱之為“帕斯卡三角形”.因?yàn)榕了箍ㄔ?654年也發(fā)現(xiàn)了這個(gè)結(jié)果. 而在1664年和1665年間，也就是由于瘟疫流行而迫使牛頓從劍橋躲開的前夕，牛頓就開始了二項(xiàng)式定理的研究，值得注意的是，牛頓只處理了二項(xiàng)式的自乘冪是分?jǐn)?shù)或負(fù)數(shù)的情況.牛頓第一次提到二項(xiàng)式定理是在1676年6月13日他寫給奧爾登堡轉(zhuǎn)給萊布尼茲的一封信中，此后牛頓對于該定理進(jìn)行不斷的推理、猜想和證明，最終建立了二項(xiàng)式定理.牛頓在建立了二項(xiàng)式定理以后，馬上就拋棄了他以前用于求積的插值法，而把這個(gè)定理當(dāng)做確定曲線下方面積的一個(gè)最簡單最直接的方法來使用.隨著時(shí)間的推移，二項(xiàng)式定理被越來越多的人運(yùn)用，直到今天，二項(xiàng)式定理已經(jīng)是中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的重要部分，也是當(dāng)今高考的難點(diǎn)之一.二項(xiàng)式定理是在處理有關(guān)兩個(gè)元素和的方冪的問題時(shí)常?？紤]到的一個(gè)重要公式，是組合數(shù)學(xué)中一個(gè)基礎(chǔ)而重要的定理，在微積分、概率論、初等數(shù)論等許多數(shù)學(xué)分支中都可見其蹤影. 二、二項(xiàng)式的性質(zhì)二項(xiàng)式定理：.理解二項(xiàng)式定理應(yīng)注意：（1）二項(xiàng)式中，是第一項(xiàng)，是第二項(xiàng)，順序不能變；（2）展開式中有項(xiàng)(比指數(shù)多1)；（3）是二項(xiàng)式系數(shù)；（4）的指數(shù)降冪，的指數(shù)是升冪，兩者的指數(shù)的和等于；（5）二項(xiàng)式展開時(shí)要注意各項(xiàng)的符號(hào)規(guī)律；（6）注意二項(xiàng)式定理的可逆性.二項(xiàng)式定理除了要注意以上幾點(diǎn)外還具有一些性質(zhì)：性質(zhì)一 的二項(xiàng)展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，即.性質(zhì)二 二項(xiàng)式系數(shù)表中，除兩端以外其余位置的數(shù)都等于它肩上兩個(gè)數(shù)之和，.性質(zhì)三 的二項(xiàng)展開式中，所有二項(xiàng)式系數(shù)的和等于，即 （令即得，或用集合的子集個(gè)數(shù)的兩種計(jì)算方法結(jié)果相等來解釋）.性質(zhì)四 的二項(xiàng)展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和，即（令即得）.三、重要組合恒等式:（1）,證明： =（證 畢） （2），證明（數(shù)學(xué)歸納法）： 當(dāng)時(shí) 上式 左邊=1 右邊是，所以是正確的。 假設(shè)上式對正確 即 那么就有 再有組合不等式（1）可得 故綜上所述 對于所有大于r的正整數(shù)n（2）式都是成立的。四、 一元n次多項(xiàng)式根與系數(shù)的關(guān)系 對于多項(xiàng)式 若是它的n個(gè)根則有一下等式成立： （所有i個(gè)不同的根的乘積的和） 五、應(yīng)用舉例為了方便應(yīng)用，（2）式也可以寫成當(dāng)r=1，2，3，4的時(shí)候上式也就是： 六、歸納總結(jié)命題一：證明：兩式相減有：命題二：由乘法的定義可知：n個(gè)1相加的結(jié)果為n。命題三：證明：由二項(xiàng)式定理知：，從而：即：由此可得：即：命題四：證明：由二項(xiàng)式定理可知：，從而即：由此可得：即：命題五： 證明：由二項(xiàng)式定理可知：，從而即：由此可得：即： 命題六：證明：由二項(xiàng)式定理可知：，從而即：由此可得：下面我們討論一般情況下數(shù)列的和，即：由二項(xiàng)式定理可知：，從而有可得：即：至此，我們求出了連續(xù)自然數(shù)任意次方的和。推論 若多項(xiàng)式他的根分別是，則他的展開式中的系數(shù)是同理展開式中的系數(shù)是：二項(xiàng)式定理有著廣泛的應(yīng)用，如果不能夠準(zhǔn)確把握其本質(zhì)，則可能導(dǎo)致無法預(yù)測的結(jié)果.二項(xiàng)式定理多出現(xiàn)在高考題中，其中比較突出的就是利用二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式解決特定項(xiàng)問題，除此之外，二項(xiàng)式定理