【志鴻全優(yōu)設(shè)計(jì)】2013-2014學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章§2.2分層抽樣與系統(tǒng)抽樣導(dǎo)學(xué)案 北師大版必修3

1 2 22 2 分層抽樣與系統(tǒng)抽樣分層抽樣與系統(tǒng)抽樣 1 理解分層抽樣與系統(tǒng)抽樣的概念 2 通過(guò)對(duì)實(shí)例的分析 了解分層抽樣與系統(tǒng)抽樣的方法 1 分層抽樣 1 定義 將總體按其 分成若干類型 有時(shí)稱作層 然后在每個(gè)類型中按照 隨機(jī)抽取一定的樣本 這種抽樣方法通常叫作分層抽樣 有時(shí)也稱為類型抽樣 2 分層抽樣的步驟 分層 按某種 將總體分成若干部分 層 按 確定每層抽取個(gè)體的個(gè)數(shù) 各層分別按簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或其他的抽樣方法抽取樣本 綜合每層抽樣 組成樣本 應(yīng)用分層抽樣應(yīng)遵循以下要求 1 分層 將相似的個(gè)體歸入一類 即為一層 分層要求每層的各個(gè)個(gè)體互不交叉 即 遵循不重復(fù) 不遺漏的原則 即保證樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)的一致性 2 分層抽樣為保證每個(gè)個(gè)體等可能入樣 需遵循在各層中進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 每層樣 本數(shù)量與該層個(gè)體數(shù)量的比與樣本容量與總體容量的比相等 3 當(dāng)總體個(gè)體差異明顯時(shí) 采用分層抽樣 做一做 1 1 某社區(qū)有 500 戶家庭 其中高收入家庭 125 戶 中等收入家庭 280 戶 低收入家庭 95 戶 為了調(diào)查社會(huì)購(gòu)買力的某項(xiàng)指標(biāo) 要從中抽取一個(gè)容量為 100 的樣本 應(yīng)采用的抽樣方法是 A 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 B 分層抽樣 C 系統(tǒng)抽樣 D 分類抽樣 做一做 1 2 當(dāng)前 國(guó)家正分批修建經(jīng)濟(jì)適用房以解決低收入家庭住房緊張的問(wèn) 題 已知甲 乙 丙三個(gè)社區(qū)現(xiàn)分別有低收入家庭 360 戶 270 戶 180 戶 若第一批經(jīng)濟(jì) 適用房中有 90 套住房用于解決這三個(gè)社區(qū)中 90 戶低收入家庭的住房問(wèn)題 則應(yīng)從甲社區(qū) 中抽取低收入家庭的戶數(shù)為 A 40 B 30 C 20 D 36 2 系統(tǒng)抽樣 1 定義 將總體中的個(gè)體進(jìn)行編號(hào) 等距分組 在第一組中 按照 抽取第 一個(gè)樣本 然后按 稱為抽樣距 抽取其他樣本 這種抽樣方法稱為系統(tǒng)抽樣 有 時(shí)也叫等距抽樣或機(jī)械抽樣 2 注意 編號(hào)時(shí)要隨機(jī)編號(hào) 否則抽取的樣本代表性差 3 系統(tǒng)抽樣的步驟 采用隨機(jī)抽樣的方法將總體中的N個(gè)個(gè)體 確定分段間隔k k N N 將整體按編號(hào)進(jìn)行分段 組 在第 段用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣確定起始個(gè)體的編號(hào)l l N N 0 l k 按照一定的規(guī)則抽取樣本 通常是將起始編號(hào)l 上間隔k得到第 2 個(gè)個(gè)體編 號(hào)l k 再加上k得到第 3 個(gè)個(gè)體編號(hào)l 2k 這樣繼續(xù)下去 直到獲取整個(gè)樣本 系統(tǒng)抽樣的特征 1 當(dāng)總體中個(gè)體無(wú)差異且個(gè)體數(shù)目較大時(shí) 采用系統(tǒng)抽樣 2 將總體分成均衡的若干部分指的是 將總體分段 分段的間隔要求相等 因此 系 2 統(tǒng)抽樣又稱等距抽樣 間隔一般為k Error 表示不超過(guò)Error N n 3 預(yù)先制定的規(guī)則指的是 在第一段內(nèi)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣確定一個(gè)起始編號(hào) 在此編 號(hào)的基礎(chǔ)上加上分段間隔的整倍數(shù)即為抽樣編號(hào) 做一做 2 1 下列抽樣試驗(yàn)中 最適宜用系統(tǒng)抽樣法的是 A 某市的 4 個(gè)區(qū)共有 2 000 名學(xué)生 且 4 個(gè)區(qū)的學(xué)生人數(shù)之比為 3 2 8 2 從中 抽取 200 人入樣 B 從某廠生產(chǎn)的 2 000 個(gè)電子元件中隨機(jī)抽取 5 個(gè)入樣 C 從某廠生產(chǎn)的 2 000 個(gè)電子元件中隨機(jī)抽取 200 個(gè)入樣 D 從某廠生產(chǎn)的 20 個(gè)電子元件中隨機(jī)抽取 5 個(gè)入樣 做一做 2 2 一個(gè)總體中有 1 000 個(gè)個(gè)體 現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣抽取一個(gè)容量為 100 的樣 本 則編號(hào)后 按從小到大的編號(hào)順序平均分成 組 每組有 個(gè)個(gè) 體 1 系統(tǒng)抽樣中如何對(duì)總體中的每個(gè)個(gè)體進(jìn)行合理分段 剖析 系統(tǒng)抽樣操作的要領(lǐng)是先將個(gè)體數(shù)較多的總體分成均衡的若干部分 然后 按照 預(yù)先制定的規(guī)則 從每一部分中抽取 1 個(gè)個(gè)體 得到所需樣本 由于抽樣的間隔相等 因 此系統(tǒng)抽樣又稱為等距抽樣 或叫機(jī)械抽樣 所以系統(tǒng)抽樣中必須對(duì)總體中的每個(gè)個(gè)體進(jìn) 行合理 即等距 分段 若從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本 用系統(tǒng)抽樣時(shí) 應(yīng)先將總體中的各個(gè)個(gè) 體編號(hào) 再確定分段間隔k 以便對(duì)總體進(jìn)行分段 當(dāng) 是整數(shù)時(shí) 取k 為分段間隔即可 如N 100 n 20 則分段間隔k 5 N n N n 100 20 也就是將 100 個(gè)個(gè)體平均每 5 個(gè)分為一段 組 當(dāng) 不是整數(shù)時(shí) 應(yīng)先從總體中隨機(jī)剔除一些個(gè)體 使剩余個(gè)體數(shù)N 能被n整除 這 N n 時(shí)分段間隔k 如N 101 n 20 則應(yīng)先用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從總體中剔除 1 個(gè)個(gè)體 N n 使剩余的總體容量 即 100 能被 20 整除 從而得出分段間隔k 5 也就是說(shuō) 只需 100 20 將 100 個(gè)個(gè)體平均分為 20 段 組 一般地 用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從總體中剔除部分個(gè)體 其個(gè)數(shù)為總體中的 個(gè)體數(shù)除 以樣本容量所得的余數(shù) 上述過(guò)程中 總體中的每個(gè)個(gè)體被取出 或被剔除 的可能性相等 也就是每個(gè)個(gè)體不 被選取 或不被剔除 的可能性也相等 所以在整個(gè)抽樣過(guò)程中每個(gè)個(gè)體被抽取的機(jī)會(huì)仍然 都相等 這說(shuō)明使用系統(tǒng)抽樣法抽取樣本的過(guò)程是公平的 2 分層抽樣中各層入樣的個(gè)體數(shù)應(yīng)如何確定 剖析 當(dāng)總體由差異明顯的幾部分組成時(shí) 應(yīng)將總體分成互不交叉的幾部分 其中所 分成的每一部分叫層 然后按照各部分所占的比例 從各部分中獨(dú)立抽取一定數(shù)量的個(gè)體 再將各部分抽出的個(gè)體合在一起作為樣本 這就是分層抽樣 由于層與層之間有明顯的區(qū)別 而層內(nèi)個(gè)體間差異不明顯 為了使樣本更能充分地反 映總體的情況 抽取樣本時(shí) 必須照顧到各個(gè)層的個(gè)體 所以每層中所抽取的個(gè)體數(shù)應(yīng)按 各層個(gè)體數(shù)在總體中所占的比例抽取 也就是各層抽取的比例都等于樣本容量在總體中的 比例 即抽樣比 這樣抽取能使所得到的樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)相同 可以提高樣 樣本容量 總體容量 本對(duì)總體的代表性 在實(shí)際操作時(shí) 應(yīng)先計(jì)算出抽樣比k 再按抽樣比確定每層需要抽取的個(gè) 樣本容量 總體容量 3 體數(shù) 抽樣比 該層個(gè)體數(shù)目 該層個(gè)體數(shù)目 樣本容量 總體容量 題型一 分層抽樣中的計(jì)算問(wèn)題 例題 1 某校共有師生 1 600 人 其中教師有 100 人 現(xiàn)用分層抽樣的方法 從所 有師生中抽取一個(gè)容量為 80 的樣本 則抽取的學(xué)生數(shù)為 反思 一個(gè)總體中有m個(gè)個(gè)體 用分層抽樣方法從中抽取一個(gè)容量為n n m 的樣本 某層中含有x x m 個(gè)個(gè)體 在該層中抽取的個(gè)體數(shù)目為y 則有 y 該等式中含有四 nx m 個(gè)量 已知其中任意三個(gè)量 就能求出第四個(gè)量 題型二 分層抽樣的應(yīng)用 例題 2 某電視臺(tái)在因特網(wǎng)上就觀眾對(duì)某一節(jié)目的喜愛(ài)程度進(jìn)行調(diào)查 參加調(diào)查的 總?cè)藬?shù)為 12 000 人 其中持各種態(tài)度的人數(shù)如下表所示 很喜愛(ài)喜愛(ài)一般不喜愛(ài) 2 4354 5673 9261 072 電視臺(tái)為了進(jìn)一步了解觀眾的具體想法和意見(jiàn) 打算從中再抽取 60 人進(jìn)行更為詳細(xì)的 調(diào)查 應(yīng)怎樣進(jìn)行抽樣 分析 人數(shù)多 差異大分層抽樣確定每層抽取比例在各層中分別抽取 合在一起得樣本 反思 在分層抽樣的過(guò)程中 為了保證每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性是相同的 這就要求 各層所抽取的個(gè)體數(shù)與該層所包含的個(gè)體數(shù)之比等于樣本容量與總體的個(gè)體數(shù)之比 題型三 為整數(shù)的系統(tǒng)抽樣問(wèn)題 N n 例題 3 為了了解某地區(qū)今年高一學(xué)生期末考試的數(shù) 學(xué)成績(jī) 打算從參加考試的 15 000 名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)中用系統(tǒng)抽樣的方法抽取容量為 150 的樣本 請(qǐng)寫出抽取過(guò)程 分析 按照系統(tǒng)抽樣的步驟進(jìn)行 反思 當(dāng)總體容量n能被樣本容量N整除時(shí) 分段間隔k 當(dāng)用系統(tǒng)抽樣抽取樣本 N n 時(shí) 通常是將起始數(shù)s加上間隔k得到第 2 個(gè)個(gè)體編號(hào)s k 再加k得到第 3 個(gè)個(gè)體編號(hào) s 2k 依次進(jìn)行下去 直到獲取整個(gè)樣本 題型四 不是整數(shù)的系統(tǒng)抽樣問(wèn)題 N n 例題 4 從某廠生產(chǎn)的 802 輛轎車中抽取 80 輛測(cè)試某項(xiàng)性能 請(qǐng)合理選擇抽樣方法 進(jìn)行抽樣 并寫出抽樣過(guò)程 分析 總體特點(diǎn) 采用系統(tǒng)抽樣 間隔不為整數(shù) 剔除2個(gè)個(gè)體 系統(tǒng)抽樣樣本 反思 當(dāng)總體容量不能被樣本容量整除時(shí) 可以先從總體中隨機(jī)剔除幾個(gè)個(gè)體 但要 注意的是剔除過(guò)程必須是隨機(jī)的 也就是總體中的每個(gè)個(gè)體被剔除的機(jī)會(huì)均等 剔除幾個(gè) 個(gè)體后使總體中剩余的個(gè)體能被樣本容量整除 然后再按系統(tǒng)抽樣方法抽取樣本 題型五 易錯(cuò)辨析 例題 5 要從某學(xué)校的10 013 名學(xué)生中抽取 100 名進(jìn)行健康檢查 采用何種抽樣方 法較好 并寫出過(guò)程 錯(cuò)解 由于總體個(gè)數(shù)為 10 013 數(shù)量較大 而且都是學(xué)生 差別不大 因而應(yīng)該采用 系統(tǒng)抽樣 具體過(guò)程如下 由系統(tǒng)抽樣的步驟先分為 100 段 其中前 87 段每段 100 人 后 13 段每段 101 人 再在第一段中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣確定起始個(gè)體編號(hào)l 最后將 l 100 l 200 l 9 913 分別抽出得第 2 3 100 組中的編號(hào) 從而獲得整個(gè) 樣本 錯(cuò)因分析 上面的解法違背了系統(tǒng)抽樣的等距均分原理 抽出的個(gè)體不都是處在每段 的同一位置上 前 87 段與后 13 段各自處的位置不一樣 導(dǎo)致抽樣的不公平性 所以解法 4 是錯(cuò)誤的 必須先要隨機(jī)地剔除 13 人 1 下列問(wèn)題中 最適合用分層抽樣抽取樣本的是 A 從 10 名同學(xué)中抽取 3 人參加座談會(huì) B 某社區(qū)有 300 戶家庭 其中高收入的家庭 75 戶 中等收入的家庭 180 戶 低收入 的家庭 45 戶 為了了解生活購(gòu)買力的某項(xiàng)指標(biāo) 要從中抽取一個(gè)容量為 50 戶的樣本 C 從 1 000 名工人中 抽取 100 人調(diào)查上班途中所用的時(shí)間 D 從生產(chǎn)流水線上 抽取樣本檢查產(chǎn)品質(zhì)量 2 2011 西安市一中月考 1 我校在檢查學(xué)生作業(yè)時(shí) 抽出每班學(xué)號(hào)尾數(shù)為 5 的學(xué)生作 業(yè)進(jìn)行檢查 這里運(yùn)用的是 A 分層抽樣 B 抽簽抽樣 C 隨機(jī)抽樣 D 系統(tǒng)抽樣 3 2012 江蘇高考 2 某學(xué)校高一 高二 高三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)之比為 3 3 4 現(xiàn)用 分層抽樣的方法從該校高中三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中抽取容量為 50 的樣本 則應(yīng)從高二年級(jí)抽取 名學(xué)生 4 若總體中含有 1 645 個(gè)個(gè)體 采用系統(tǒng)抽樣的方法從中抽取容量為 35 的樣本 則編 號(hào)后確定編號(hào)分為 段 分段間隔k 每段有 個(gè)個(gè)體 5 某學(xué)校有在編人員 200 人 其中行政人員 20 人 教師 140 人 后勤人員 40 人 教 育部門為了解學(xué)校機(jī)構(gòu)改革意見(jiàn) 要從中抽取一個(gè)容量為 20 的樣本 試確定用何種方法抽 樣 并寫出抽樣過(guò)程 答案 答案 基礎(chǔ)知識(shí) 梳理 1 1 屬性特征 所占比例 2 特征 所占比例 做一做 1 1 B 做一做 1 2 A 抽樣比是 則應(yīng)從甲社區(qū)中抽取低收入家庭的 90 360 270 180 1 9 戶數(shù)為 360 40 1 9 2 1 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 分組的間隔 3 編號(hào) 一 加 做一做 2 1 C 做一做 2 2 100 10 典型例題 領(lǐng)悟 例題 1 75 抽樣比為 該校有學(xué)生 1 600 100 1 500 人 則抽取的學(xué) 80 1 600 1 20 5 生數(shù)為 1 500 75 1 20 例題 2 解 解 采用分層抽樣的方法 抽樣比為 60 12 000 很喜愛(ài) 的有 2 435 人 應(yīng)抽取 2 435 12 人 60 12 000 喜愛(ài) 的有 4 567 人 應(yīng)抽取 4 567 23 人 60 12 000 一般 的有 3 926 人 應(yīng)抽取 3 926 20 人 60 12 000 不喜愛(ài) 的有 1 072 人 應(yīng)抽取 1 072 5 人 60 12 000 因此 采用分層抽樣的方法在 很喜愛(ài) 喜愛(ài) 一般 不喜愛(ài) 的人中分別抽 取 12 人 23 人 20 人和 5 人 例題 3 解 解 1 對(duì)全體學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行編號(hào) 1 2 3 15 000 2 分段 由于樣本容量與總體容量的比是 1 100 所以我們將總體平均分為 150 個(gè) 部分 其中每一部分包括 100 個(gè)個(gè)體 3 在第一部分即 1 號(hào)到 100 號(hào)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣抽取一個(gè)號(hào)碼 比如是 56 4 以 56 作為起始數(shù) 再順次抽取 156 256 356 14 956 這樣就得到一個(gè)容量 為 150 的樣本 例題 4 解 解 由于總體及樣本中的個(gè)體數(shù)較多 且無(wú)明顯差異 因此采用系統(tǒng)抽樣 的方法 步驟如下 第一步 先從 802 輛轎車中剔除 2 輛轎車 剔除方法可用隨機(jī)數(shù)法 第二步 將余下的 800 輛轎車編號(hào)為 1 2 800 并均勻分成 80 段 每段含k 10 個(gè)個(gè)體 800 80 第三步 從第 1 段即 1 2 10 這 10 個(gè)編號(hào)中 用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取一個(gè)號(hào) 如 5 作為起始號(hào) 第四步 從 5 開(kāi)始 再將編號(hào)為 15 25 795 的個(gè)體抽出 得到一個(gè)容量為 80 的 樣本 例題 5 正解 正解 由于總體個(gè)數(shù)為 10 013 數(shù)量較大 而且都是學(xué)生 差別不大 因 而應(yīng)采用系統(tǒng)抽樣法 具體過(guò)程如下 由系統(tǒng)抽樣的步驟可知編號(hào)分段時(shí) 10 013 100 不為整數(shù) 先從總體中隨機(jī)剔除 13 人 再按如下步驟操作 采用隨機(jī)的方式將總體中的個(gè)體編號(hào)為 1 2 3 10 000 把總體分成 100 段 每段 100 人 10 000 100 在第一段中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣確定起始個(gè)體的編號(hào)l 將l 100 l 200 l 9 900 分別抽出得到第 2 3 100 組中的各個(gè)編號(hào) 從而獲得整個(gè)樣本 隨堂練習(xí) 鞏固 1 B 2 D 3 15 根據(jù)分層抽樣的特點(diǎn) 可得高二年級(jí)學(xué)生人數(shù)占學(xué)生總?cè)藬?shù)的 因此在樣本 3 10 中 高二年級(jí)的學(xué)生所占比例也應(yīng)該為 故應(yīng)從高二年級(jí)抽取 50 15 名 學(xué)生 3 10 3 10 4 35 47