排列組合歸納總結(jié).doc

排列、組合及二項(xiàng)式定理一、計(jì)數(shù) 分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理 1.分類加法計(jì)數(shù)原理定義完成一件事，可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種方法，在第二類辦法中有m2種方法，在第n類辦法中有種不同的方法，那么，完成這件事情共有Nm1+ m2+種不同的方法2分步乘法計(jì)數(shù)原理定義完成一件事情需要經(jīng)過(guò)n個(gè)步驟，缺一不可，做第一步有m1種方法,做第二步有m2種方法，做第n步有種方法,那么完成這件事共有Nm1 m2種不同的方法3分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理區(qū)別與聯(lián)系聯(lián)系；都涉及完成一件事情的不同方法的種數(shù)區(qū)別：分類加法計(jì)數(shù)原理與分類有關(guān)，各種方法相互獨(dú)立，用其中的任一種方法都可以完成這件事；分步乘法計(jì)數(shù)原理與分步有關(guān)，各個(gè)步驟相互依存，只有各個(gè)步驟都完成了，這件事才算完成4. 分類分步標(biāo)準(zhǔn) 分類就是一步到位，(1)類與類之間要互斥；（2）總數(shù)完整。 分步是局部到位，（1）按事件發(fā)生的連貫過(guò)程進(jìn)行分步；（2）步與步之間相互獨(dú)立，互不干擾；（3）保證連續(xù)性。 排列與組合1排列（1）排列定義：從n個(gè)不同元素中，任取m(mn)個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列（2）排列數(shù)公式：(n1)(n2)(nm1)或?qū)懗?特殊: (1)!（3）特征：有序且不重復(fù)2.組合（1）組合定義：從n個(gè)不同元素中，任取m(mn)個(gè)元素組成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合（2）組合數(shù)公式：或?qū)懗?(3)組合數(shù)的性質(zhì)；.（4）特征：有序且不重復(fù)3.排列與組合的區(qū)別與聯(lián)系： 區(qū)別：排列有序，組合無(wú)序聯(lián)系：排列可視為先組合后全排4.基本原則：（1）先特殊后一般；（2）先選后排；（3）先分類后分步。排列組合的應(yīng)用（常用方法：直接法，間接法）1.抽取問(wèn)題：（1）關(guān)鍵：特殊優(yōu)先；（2）題型： 把n個(gè)相同的小球，一次性的放入到m個(gè)不同的盒子中（nm），每個(gè)盒子至少1個(gè)，有多少種不同的方法？ 把n個(gè)相同的小球，依次性的放入到m個(gè)不同的盒子中（nm），每個(gè)盒子至少1個(gè)，有多少種不同的方法？ 把n個(gè)相同的小球，放入到m個(gè)不同的盒子中（nm），每個(gè)盒子放球數(shù)目不限，有多少種不同的方法？ 把n個(gè)不同的小球，放入到m個(gè)不同的盒子中（nm），每個(gè)盒子至少1個(gè)，有多少種不同的方法？ 把n個(gè)相同的小球，依次性的放入到m個(gè)不同的盒子中（nm），每個(gè)盒子至多1個(gè)，有多少種不同的方法？-1m1 隔板法2.排序問(wèn)題：特殊優(yōu)先（1）排隊(duì)問(wèn)題： 對(duì)n個(gè)元素做不重復(fù)排序; 對(duì)n個(gè)元素進(jìn)行（其中有m個(gè)元素的位置固定）排列;如果對(duì)n個(gè)元素進(jìn)行（其中有m個(gè)元素的位置固定個(gè)元素的位置固定）排列; 相鄰問(wèn)題捆綁法(注意松綁);不相鄰問(wèn)題:(a)一方不相鄰先排沒(méi)要求的元素,再把不相鄰的元素插入空位; (b)互不相鄰先排少的在插入多的;(2)數(shù)字問(wèn)題;各位相加為奇數(shù)的奇數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù);各位相加為偶數(shù)的奇數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù);組成n為偶數(shù)(奇數(shù))的數(shù)特殊優(yōu)先法;能被n整除的數(shù)特殊優(yōu)先法;比某數(shù)大的數(shù),比某數(shù)小的數(shù)或某數(shù)的位置從大于(小于)開始排,再排等于;(3)著色問(wèn)題:區(qū)域優(yōu)先顏色就是分類點(diǎn);顏色優(yōu)先區(qū)域就是分類點(diǎn).(4)幾何問(wèn)題:點(diǎn)、 線、 面的關(guān)系一般均為組合問(wèn)題；BA 圖中有多少個(gè)矩形 C62 C42;從A到B的最短距離 C83(5)分組、分配問(wèn)題：非均分不編號(hào)個(gè)不同元素分成m組，每組元素?cái)?shù)目均不相等，且不考慮各組間的順序，不考慮是否分盡非均分編號(hào)個(gè)不同元素分成m組，每組組元素?cái)?shù)目均不相等，且考慮各組間的順序，不考慮是否分盡均分不編號(hào)個(gè)不同元素分成m組，其中有k組元素?cái)?shù)目均相等，且不考慮各組間的順序，不考慮是否分盡均分編號(hào)個(gè)不同元素分成m組，其中有k組元素?cái)?shù)目均相等，且考慮各組間的順序，不考慮是否分盡二、二項(xiàng)式定理1.定理：(ab)n01b2b2a0(r0,1,2，n)2.二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)1，r0,1,2，n，其中叫做二項(xiàng)式系數(shù)3.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)對(duì)稱性：與首末兩端“等距離”兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等， 即，.最大值：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)取得最大值；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù) ， 相等，且同時(shí)取得最大值各二項(xiàng)式系數(shù)的和a2n；b2n2n1.二項(xiàng)式定理的應(yīng)用： 1.求通項(xiàng); 2.含的項(xiàng)： 項(xiàng)的系數(shù)；二項(xiàng)式系數(shù)。3.常數(shù)項(xiàng)（含的項(xiàng)中0）整數(shù)項(xiàng)（含的項(xiàng)中rN）有理項(xiàng)（含的項(xiàng)中rZ）無(wú)理項(xiàng)（含的項(xiàng)中）4.項(xiàng)的系數(shù)和：（1）已知多項(xiàng)式f(x)=()n(0)0 12x2+: a0 （0） a0 12+ = f(1)= ()n; 0 1 2 f(1)= ()n;a0 24+=a1 35+=(a0 24+)2-( a1 35+)2(1)f（-1）。（2）已知多項(xiàng)式f(x)=()n(0)0 12x2+: a0 （0） a0 12+ = f(1)= ()n; 0 1 2 f(-1)= ()n;a0 24+=a1 35+=(a0 24+)2-( a1 35+)2(1)f（-1）。(3) 已知多項(xiàng)式f(x)=()n(0)0 12x2+:令g(x)=（-1）n()n a0 （0） a0 12+ = f(1)= ()n; 0 1 2 (-1)(-1)a0 24+=a1 35+=(a0 24+)2-( a1 35+)2(1)f（-1）。(4) 已知多項(xiàng)式f(x)=()n(0)0 12x2+:令g(x)=（-1）n()n a0 （0） a0 12+ = f(1)= ()n; 0 1 2 (-1)(1)a0 24+=a1 35+=(a0 24+)2-( a1 3