三角形五心定律58183.doc

垂 心 三角形的三條高的交點(diǎn)叫做三角形的垂心。 銳角三角形垂心在三角形內(nèi)部。 直角三角形垂心在三角形直角頂點(diǎn)。 鈍角三角形垂心在三角形外部。 垂心是高線的交點(diǎn) 垂心是從三角形的各頂點(diǎn)向其對(duì)邊所作的三條垂線的交點(diǎn)。 三角形三個(gè)頂點(diǎn)，三個(gè)垂足，垂心這7個(gè)點(diǎn)可以得到6個(gè)四點(diǎn)圓。 三角形上作三高，三高必于垂心交。 高線分割三角形，出現(xiàn)直角三對(duì)整， 直角三角有十二，構(gòu)成六對(duì)相似形， 四點(diǎn)共圓圖中有，細(xì)心分析可找清， 重心 重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)，三線交一可用燕尾定理證明，十分簡(jiǎn)單。證明過程又是塞瓦定理的特例。 重心的幾條性質(zhì)： 1、重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1。 2、重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等。 3、重心到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離的平方和最小。 4、在平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點(diǎn)坐標(biāo)的算術(shù)平均，即其坐標(biāo)為(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空間直角坐標(biāo)系橫坐標(biāo)：(X1+X2+X3)/3 縱坐標(biāo)：(Y1+Y2+Y3)/3 豎坐標(biāo)：（z1+z2+z3）/3 5、三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點(diǎn) 內(nèi)心 內(nèi)心是三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，即內(nèi)切圓的圓心。 內(nèi)心是三角形角平分線交點(diǎn)的原理：經(jīng)圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，這一點(diǎn)與圓心的連線平分兩條切線的夾角（原理：角平分線上點(diǎn)到角兩邊距離相等）。 內(nèi)心定理：三角形的三個(gè)內(nèi)角的角平分線交于一點(diǎn)。該點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心。 注意到內(nèi)心到三邊距離相等（為內(nèi)切圓半徑），內(nèi)心定理其實(shí)極易證。 若三邊分別為l1，l2，l3，周長(zhǎng)為p，則內(nèi)心的重心坐標(biāo)為(l1/p,l2/p,l3/p)。 直角三角形的內(nèi)心到邊的距離等于兩直角邊的和減去斜邊的差的二分之一。 雙曲線上任一支上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)組成的三角形的內(nèi)心在實(shí)軸的射影為對(duì)應(yīng)支的頂點(diǎn)。希望對(duì)你有幫助！三角形五心定律 三角形的重心，外心，垂心，內(nèi)心和旁心稱之為三角形的五心。三角形五心定律指是三角形重心定律，外心定律，垂心定律，內(nèi)心定律，旁心定律的總稱。 一、三角形重心定律 三角形的三條邊的中線交于一點(diǎn)。該點(diǎn)叫做作三角形的重心。三中線交于一點(diǎn)可用燕尾定理證明，十分簡(jiǎn)單。（重心原是一個(gè)物理概念，對(duì)于等厚度的質(zhì)量均勻的三角形薄片，其重心恰為此三角形三條中線的交點(diǎn)，重心因而得名） 重心的性質(zhì)： 1、重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為21。 2、重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等。即重心到三條邊的距離與三條邊的長(zhǎng)成反比。 3、重心到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離的平方和最小。 4、在平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點(diǎn)坐標(biāo)的算術(shù)平均，即其重心坐標(biāo)為（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3）/3)。 二、三角形外心定律 三角形的三條邊的垂直平分線交于一點(diǎn)。此點(diǎn)為該三角形外接圓的圓心，叫做三角形的外心。注意到外心到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)距離相等。結(jié)合垂直平分線定義，此結(jié)論其實(shí)極好證。 外心的性質(zhì)： 1、若O是ABC的外心，則BOC=2A（A為銳角或直角）或BOC=360-2A（A為鈍角）。 3、當(dāng)三角形為銳角三角形時(shí)，外心在三角形內(nèi)部；當(dāng)三角形為鈍角三角形時(shí)，外心在三角形外部；當(dāng)三角形為直角三角形時(shí)，外心與斜邊中點(diǎn)重合。 4、計(jì)算外心的重心坐標(biāo)應(yīng)先計(jì)算下列臨時(shí)變量：d1，d2，d3分別是三角形三個(gè)頂點(diǎn)連向另外兩個(gè)頂點(diǎn)向量的點(diǎn)乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。重心坐標(biāo)：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。 三、三角形垂心定律 三角形的三條高（所在直線）交于一點(diǎn)。該點(diǎn)叫做三角形的垂心。 垂心的性質(zhì)： 1、三角形三個(gè)頂點(diǎn)，三個(gè)垂足，垂心這7個(gè)點(diǎn)可以得到6個(gè)四點(diǎn)圓。 2、三角形外心O、重心G和垂心H三點(diǎn)共線，且OGGH=12。（此直線稱為三角形的歐拉線（Euler line） 3、垂心到三角形一頂點(diǎn)距離為此三角形外心到此頂點(diǎn)對(duì)邊距離的2倍。 4、垂心分每條高線的兩部分乘積相等。 定律證明 已知：ABC中，AD、BE是兩條高，AD、BE交于點(diǎn)O，連接CO并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)F ，求證：CFAB 證明： 連接DE ADB=AEB=90度 A、B、D、E四點(diǎn)共圓 ADE=ABE EAO=DAC AEO=ADC AEOADC AE/AO=AD/AC EADOAC ACF=ADE=ABE 又ABE+BAC=90度 ACF+BAC=90度 CFAB 因此，垂心定律成立！ 四、三角形內(nèi)心定律 三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)。該點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心，即三角形內(nèi)切圓的圓心。注意到內(nèi)心到三邊距離相等（為內(nèi)切圓半徑），內(nèi)心定律其實(shí)極易證。 性質(zhì)： 若三邊分別為l1，l2，l3，周長(zhǎng)為p，則內(nèi)心的重心坐標(biāo)為(l1/p,l2/p,l3/p)。 直角三角形的內(nèi)心到邊的距離等于兩直角邊的和減去斜邊的差的二分之一。 雙曲線上任一支上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)組成的三角形的內(nèi)心在實(shí)軸的射影為對(duì)應(yīng)支的頂點(diǎn)。 五、三角形旁心定律 三角形一內(nèi)角平分線和另外兩頂點(diǎn)處的外角平分線交于一點(diǎn)。三角形的旁切圓（與三角形的一邊和其他兩邊的延長(zhǎng)線相切的圓）的圓心，叫做旁心。 性質(zhì)： 每個(gè)三角形都有三個(gè)旁心。 它到三邊的距離相等。 如圖，點(diǎn)M就是ABC的一個(gè)旁心。三角形任意兩角的外角平分線和第三個(gè)角的內(nèi)角平分線的交點(diǎn)。一個(gè)三角形有三個(gè)旁心，而且一定在三角形外。 附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，這時(shí)重心，內(nèi)心，外心，垂心，四心合一。 有關(guān)三角形五心的詩(shī)歌 三角形五心歌（重外垂內(nèi)旁） 三角形有五顆心，重外垂內(nèi)和旁心， 五心性質(zhì)很重要，認(rèn)真掌握莫記混 重 心 三條中線定相交，交點(diǎn)位置真奇巧， 交點(diǎn)命名為“重心”，重心性質(zhì)要明了， 重心分割中線段，數(shù)段之比聽分曉； 長(zhǎng)短之比二比一，靈活運(yùn)用掌握好 外 心 三角形有六元素，三個(gè)內(nèi)角有三邊 作三邊的中垂線，三線相交共一點(diǎn) 此點(diǎn)定義為外心，用它可作外接圓 內(nèi)心外心莫記混，內(nèi)切外接是關(guān)鍵 垂 心 三角形上作三高，三高必于垂心交 高線分割三角形，出現(xiàn)直角三對(duì)整， 直角三角形有十二，構(gòu)成六對(duì)相似形， 四點(diǎn)共圓圖中有，細(xì)心分析可找清. 內(nèi) 心 三角對(duì)應(yīng)三頂點(diǎn)，角角都有平分線， 三線相交定共點(diǎn)，叫做“內(nèi)心”有根源； 點(diǎn)至三邊均等距，可作三角形內(nèi)切圓， 此圓圓心稱“內(nèi)心”如此定義理當(dāng)然三角形的五心有許多重要性質(zhì)，它們之間也有很密切的聯(lián)系，如： （1）三角形的重心與三頂點(diǎn)的連線所構(gòu)成的三個(gè)三角形面積相等； （2）三角形的外心到三頂點(diǎn)的距離相等； （3）三角形的垂心與三頂點(diǎn)這四點(diǎn)中，任一點(diǎn)是其余三點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的垂心； （4）三角形的內(nèi)心、旁心到三邊距離相等； （5）三角形的垂心是它垂足三角形的內(nèi)心；或者說，三角形的內(nèi)心是它旁心三角形的垂心； （6）三角形的外心是它的中點(diǎn)三角形的垂心； （7）三角形的重心也是它的中點(diǎn)三角形的重心； （8）三角形的中點(diǎn)三角形的外心也是其垂足三角形的外心 (9)三角形的任一頂點(diǎn)到垂心的距離，等于外心到對(duì)邊的距離的二倍. 下面是更為詳細(xì)的性質(zhì): 1:垂心 三角形三邊上的高的交點(diǎn)稱為三角形的垂心。三角形垂心有下列有趣的性質(zhì)：設(shè)ABC的三條高為AD、BE、CF，其中D、E、F為垂足,垂心為H。 性質(zhì)1 垂心H關(guān)于三邊的對(duì)稱點(diǎn)，均在ABC的外接圓上。 性質(zhì)2 ABC中,有六組四點(diǎn)共圓，有三組(每組四個(gè))相似的直角三角形，且AHHD=BHHE=CHHF。 性質(zhì)3 H、A、B、C四點(diǎn)中任一點(diǎn)是其余三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的垂心(并稱這樣的四點(diǎn)為一垂心組)。 性質(zhì)4 ABC,ABH,BCH,ACH的外接圓是等圓。 性質(zhì)5 在非直角三角形中,過H的直線交AB、AC所在直線分別于P、Q，則 AB/APtanB+ AC/AQtanC=tanA+tanB+tanC。 性質(zhì)6 三角形任一頂點(diǎn)到垂心的距離，等于外心到對(duì)邊的距離的2倍。 性質(zhì)7 設(shè)O，H分別為ABC的外心和垂心，則BAO=HAC，ABH=OBC，BCO=HCA。 性質(zhì)8 銳角三角形的垂心到三頂點(diǎn)的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之和的2倍。 性質(zhì)9 銳角三角形的垂心是垂足三角形的內(nèi)心；銳角三角形的內(nèi)接三角形(頂點(diǎn)在原三角形的邊上)中，以垂足三角形的周長(zhǎng)最短。 2:內(nèi)心 三角形的內(nèi)切圓的圓心簡(jiǎn)稱為三角形的內(nèi)心，內(nèi)心有下列優(yōu)美的性質(zhì)： 性質(zhì)1 設(shè)I為ABC的內(nèi)心,則I為其內(nèi)心的充要條件是：到ABC三邊的距離相等。 性質(zhì)2 設(shè)I為ABC的內(nèi)心，則BIC=90+12A，類似地還有兩式；反之亦然。 性質(zhì)3 設(shè)I為ABC內(nèi)一點(diǎn)，AI所在直線交ABC的外接圓于D。I為ABC內(nèi)心的充要條件是ID=DB=DC。 性質(zhì)4 設(shè)I為ABC的內(nèi)心，BC=a，AC=b，AB=c，I在BC、AC、AB上的射影分別為D、E、F；內(nèi)切圓半徑為r，令p= (1/2)(a+b+c)，則(1)SABC=pr；(2)r=2SABC/a+b+c ；(3)AE=AF=p-a,BD=BF=p-b,CE=CD=p-c；(4)abcr=pAIBICI。 性質(zhì)5 三角形一內(nèi)角平分線與其外接圓的交點(diǎn)到另兩頂點(diǎn)的距離與到內(nèi)心的距離相等；反之，若I為ABC的A平分線AD(D在ABC的外接圓上)上的點(diǎn)，且DI=DB，則I為ABC的內(nèi)心。 性質(zhì)6 設(shè)I為ABC的內(nèi)心，BC=a，AC=b，AB=c，A的平分線交BC于K,交ABC的外接圓于D，則 AI/KI =AD/DI =DI/DK = (b+c)/a。 3:外心 三角形的外接圓的圓心簡(jiǎn)稱三角形的外心.外心有如下一系列優(yōu)美性質(zhì)： 性質(zhì)1 三角形的外心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)；三角形的外心到三頂點(diǎn)的距離相等，反之亦然。 性質(zhì)2 設(shè)O為ABC的外心，則BOC=2A，或BOC=360-2A(還有兩式)。 性質(zhì)3 設(shè)三角形的三條邊長(zhǎng)，外接圓的半徑、面積分別為a、b、c,R、S，則R=abc/4S。 性質(zhì)4 過ABC的外心O任作一直線與邊AB、AC(或延長(zhǎng)線)分別相交于P、Q兩點(diǎn)，則AB/AP sin2B+ AC/AQsin2C=sin2A+sin2B+sin2C。