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專題三 向量法求距離 平行線間的距離 a b 異面直線間的距離 a b是異面直線 d是a與b的距離 直線和平面的距離 a a d是a與a的距離 平行平面間的距離 a d是a與 的距離 1 空間兩點(diǎn)間距離 已知A x1 y1 z1 B x2 y2 z2 其中dA B表示A與B兩點(diǎn)間的距離 這就是空間兩點(diǎn)間的距離公式 2 點(diǎn)到平面的距離 已知AB為平面a的一條斜線段 求證 A到平面a的距離 B 證明 設(shè)C點(diǎn)為A在平面 內(nèi)的射影 BAC 或 BAC cos BAC A到平面a的距離 AC AB cos BAC 3 直線和它平行平面的距離 已知直線a 平面 求a到平面 的距離 解 因a上的任意一點(diǎn)到平面 的距離都相等 所以直線和它平行平面的距離轉(zhuǎn)化點(diǎn)到面的距離 在a和平面 上分別任取一點(diǎn)A和B 直線a和它平行平面 的距離為 例1如圖 在棱長為1的正方體ABCD A1B1C1D1中 E F分別是A1B1 CD的中點(diǎn) 求點(diǎn)B到截面AEC1F的距離 解 以D為原點(diǎn) 如圖所示建立直角坐標(biāo)系 則A 1 0 0 設(shè)面AEC1F的法向量為 1 1 2 1 0 1 0 所以B點(diǎn)到截面AEC1F的距離為 3 異面直線間的距離 已知異面直線a b 求a b之間的距離 解 過b上任一點(diǎn)P 作a a 不妨令a b確定的平面為 a 異面直線a b之間的距離 轉(zhuǎn)化直線a和它平行的平面 之間的距離 可在a上任一點(diǎn)A b上任一點(diǎn)B a b之間的距離 a a a b 所以在求兩條異面直線的距離時 只需在兩條異面直線a b上 分別任取一點(diǎn)A B 設(shè)與a b的方向向量都垂直的 異面直線間的距離 a b之間的距離 例1 在棱長為1的正方體ABCD A1B1C1D1中 求異面直線A1C1與B1C的距離 C 1 D B A 解 如圖所示建立直角坐標(biāo)系 則 A1 1 0 1 C1 0 1 1 B1 1 1 1 C 0 1 0 1 1 0 1 0 1 取x 1得 又 0 1 0 A1C1與B1C的距離 C1 D 4 兩個平行平面間的距離 A B分別是a 上的任意點(diǎn) 例2 如圖 在棱長為a的正方體ABCD A1B1C1D1中 1 求證 平面A1BD 平面CB1D1 2 求平面A1BD和平面CB1D1的距離 1 證明 矩形A1BCD1 A1B D1C 矩形DBB1D1 D1B1 BD A1B BD 平面A1BD A1B BD B D1C D1B1 平面CB1D1 平面A1BD 平面CB1D1 2 求平面A1BD和平面CB1D1的距離 解 如圖所示建立直角坐標(biāo)系 令平面A1BD的法向量為 D 0 0 0 A1
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