課標(biāo)通用高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第四章與4.8解三角形應(yīng)用舉例學(xué)案理.docx

4.8解三角形應(yīng)用舉例考綱展示能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題.考點(diǎn)1距離的測(cè)量 測(cè)量距離的基本類(lèi)型及方案類(lèi)型A，B兩點(diǎn)間不可通或不可視A，B兩點(diǎn)間可視，但有一點(diǎn)不可達(dá)A，B兩點(diǎn)都不可達(dá)圖形方法先測(cè)角C，ACb，BCa，再用余弦定理求AB以點(diǎn)A不可達(dá)為例，先測(cè)角B，C，BCa，再用正弦定理求AB測(cè)得CDa，BCD，BDC，ACD，ADC，ACB，在ACD中用正弦定理求AC；在BCD中用正弦定理求BC；在ABC中用余弦定理求AB續(xù)表類(lèi)型A，B兩點(diǎn)間不可通或不可視A，B兩點(diǎn)間可視，但有一點(diǎn)不可達(dá)A，B兩點(diǎn)都不可達(dá)結(jié)論ABABAC；BC；AB(1)教材習(xí)題改編海上有A，B，C三個(gè)小島，A，B相距5海里，從A島望C和B成45視角，從B島望C和A成75視角，則B，C兩島間的距離是_海里答案：5解析：易知ACB60，由，得，得BC5.(2)教材習(xí)題改編已知A，B兩地間的距離為10 m，B，C兩地間的距離為20 m，現(xiàn)測(cè)得ABC120，則A，C兩地間的距離是_答案：10 m解析：AC2AB2BC22ABBCcos ABC10220221020cos 120700，所以AC10(m)考情聚焦研究測(cè)量距離問(wèn)題是高考中的?？純?nèi)容，題型既有客觀題，也有解答題，難度一般適中，屬中檔題解題時(shí)要選取合適的輔助測(cè)量點(diǎn)，構(gòu)造三角形，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求某個(gè)三角形的邊長(zhǎng)問(wèn)題，從而利用正余弦定理求解主要有以下幾個(gè)命題角度：角度一兩點(diǎn)可視但有一點(diǎn)不可到達(dá)典題1某同學(xué)騎電動(dòng)車(chē)以24 km/h的速度沿正北方向的公路行駛，在點(diǎn)A處測(cè)得電視塔S在電動(dòng)車(chē)的北偏東30方向上，15 min后到點(diǎn)B處，測(cè)得電視塔S在電動(dòng)車(chē)的北偏東75方向上，則點(diǎn)B與電視塔的距離是_km.答案3解析由題意知AB246，在ABS中，BAS30，AB6，ABS18075105，ASB45，由正弦定理知，BS3.角度二兩點(diǎn)不可到達(dá)的距離典題22017遼寧沈陽(yáng)一模如圖，A，B，C，D都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi)，B，D為兩島上的兩座燈塔的塔頂測(cè)量船于水面A處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)仰角分別為75，30，于水面C處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角均為60，AC0.1 km.試探究圖中B，D間距離與另外哪兩點(diǎn)間距離相等，然后求B，D的距離(計(jì)算結(jié)果精確到0.01 km，1.414，2.449)解在ACD中，DAC30，ADC60DAC30，所以CDAC0.1，又BCD180606060，故CB是CAD底邊AD的中垂線，所以BDBA.在ABC中，即AB，又sin 15sin(6045)sin 60cos 45cos 60sin 45，所以AB，因此，BD0.33(km)故B，D的距離約為0.33 km.角度三兩點(diǎn)不相通的距離典題3如圖所示，要測(cè)量一水塘兩側(cè)A，B兩點(diǎn)間的距離，其方法先選定適當(dāng)?shù)奈恢肅，用經(jīng)緯儀測(cè)出角，再分別測(cè)出AC，BC的長(zhǎng)b，a，則可求出A，B兩點(diǎn)間的距離即AB.若測(cè)得CA400 m，CB600 m，ACB60，試計(jì)算AB的長(zhǎng)為_(kāi)答案200 m解析在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos ACB，AB2400260022400600cos 60280 000.AB200 m，即A，B兩點(diǎn)間的距離為200 m.點(diǎn)石成金求距離問(wèn)題的注意事項(xiàng)(1)選定或確定要求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知?jiǎng)t直接解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解(2)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理(3)解法：選擇合適的輔助測(cè)量點(diǎn)，構(gòu)造三角形，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求某個(gè)三角形的邊長(zhǎng)問(wèn)題，從而利用正余弦定理求解考點(diǎn)2測(cè)量高度問(wèn)題 測(cè)量高度的基本類(lèi)型及方案類(lèi)型點(diǎn)B與點(diǎn)C，D共線點(diǎn)B與點(diǎn)C，D不共線圖形方法先測(cè)得CDa，ACB和ADB，再用正弦定理求出AC或AD，最后解直角三角形求出AB先測(cè)得BCD，BDC，CDa，在BCD中先用正弦定理求出BC，在ABC中ACB可測(cè)，CAB90BCDACB，再用正弦定理求AB結(jié)論ABAB1.實(shí)際問(wèn)題中角的概念理解錯(cuò)誤為測(cè)量某塔AB的高度，在一幢與塔AB相距20 m的建筑物的頂部測(cè)得塔頂A的仰角為30，測(cè)得塔基B的俯角為45，那么塔AB的高度是_答案：20m解析：由題意畫(huà)出示意圖，如圖所示，易知AD m，BDCD20 m，故AB2020(m)2實(shí)際問(wèn)題中把求解目標(biāo)納入三角形某路邊一棵樹(shù)的樹(shù)干被臺(tái)風(fēng)吹斷后，折斷部分與地面成45角，樹(shù)干傾斜并與地面成75角，樹(shù)干底部與樹(shù)尖著地處相距20 m，則折斷點(diǎn)與樹(shù)干底部的距離是_m.答案：解析：由題意畫(huà)出示意圖，如圖所示，設(shè)樹(shù)干底部為O，樹(shù)尖著地處為B，折斷點(diǎn)為A，則ABO45，AOB75，OAB60.由正弦定理，知，AO(m)典題4某人在塔的正東沿著南偏西60的方向前進(jìn)40 m后，望見(jiàn)塔在東北方向，若沿途測(cè)得塔頂?shù)淖畲笱鼋菫?0，求塔高解如圖所示，某人在C處，AB為塔高，他沿CD前進(jìn)，CD40，此時(shí)DBF45，過(guò)點(diǎn)B作BECD于E，則AEB30，在BCD中，CD40，BCD30，DBC135，由正弦定理，得，所以BD20(m)因?yàn)锽DE1801353015，所以在RtBED中，BEDBsin 152010(1)(m)在RtABE中，AEB30，所以ABBEtan 30(3)(m)故所求的塔高為(3)m.點(diǎn)石成金求解高度問(wèn)題的三個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)在處理有關(guān)高度問(wèn)題時(shí)，理解仰角、俯角(它是在鉛垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是關(guān)鍵(2)在實(shí)際問(wèn)題中，可能會(huì)遇到空間與平面(地面)同時(shí)研究的問(wèn)題，這時(shí)最好畫(huà)兩個(gè)圖形，一個(gè)空間圖形，一個(gè)平面圖形，這樣處理起來(lái)既清楚又不容易搞錯(cuò)(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題.要測(cè)量電視塔AB的高度，在C點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角是45，在D點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角是30，并測(cè)得水平面上的BCD120，CD40 m，則電視塔的高度為_(kāi)m.答案：40解析：設(shè)電視塔AB高為x m，則在RtABC中，由ACB45，得BCx.在RtADB中，由ADB30，得BDx.在BDC中，由余弦定理，得BD2BC2CD22BCCDcos 120，即(x)2x24022x40cos 120，解得x40，所以電視塔高為40 m.考點(diǎn)3測(cè)量角度問(wèn)題 1.仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線_的角叫仰角，在水平線_的角叫俯角(如圖)答案：上方下方2方位角從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為(如圖)3方向角相對(duì)于某一正方向的水平角(1)北偏東，即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到達(dá)目標(biāo)方向(如圖)；(2)北偏西，即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到達(dá)目標(biāo)方向；(3)南偏西等其他方向角類(lèi)似4坡角與坡度(1)坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖，角為坡角)；(2)坡度：坡面的鉛直高度與水平長(zhǎng)度之比(如圖，i為坡度)坡度又稱為坡比 典題52017浙江適應(yīng)性考試如圖所示，為了解某海域海底構(gòu)造，在海平面內(nèi)一條直線上的A，B，C三點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，已知AB50 m，BC120 m，于A處測(cè)得水深A(yù)D80 m，于B處測(cè)得水深BE200 m，于C處測(cè)得水深CF110 m，求DEF的余弦值解作DMAC交BE于N，交CF于M.DF10，DE130，EF150.在DEF中，由余弦定理，得cosDEF.點(diǎn)石成金測(cè)量角度問(wèn)題的基本思路測(cè)量角度問(wèn)題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫(huà)出表示實(shí)際問(wèn)題的圖形，并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際問(wèn)題的解提醒方向角是相對(duì)于某點(diǎn)而言的，因此在確定方向角時(shí)，必須先弄清楚是哪一個(gè)點(diǎn)的方向角.在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習(xí)中，紅方一艘偵察艇發(fā)現(xiàn)在北偏東45方向，相距12 n mile的水面上，有藍(lán)方一艘小艇正以每小時(shí)10 n mile的速度沿南偏東75方向前進(jìn)，若紅方偵察艇以每小時(shí)14 n mile的速度，沿北偏東45方向攔截藍(lán)方的小艇若要在最短的時(shí)間內(nèi)攔截住，求紅方偵察艇所需的時(shí)間和角的正弦值解：如圖，設(shè)紅方偵察艇經(jīng)過(guò)x小時(shí)后在C處追上藍(lán)方的小艇，則AC14x，BC10x，ABC120.根據(jù)余弦定理得(14x)2122(10x)2240xcos 120，解得x2.故AC28，BC20.根據(jù)正弦定理得，解得sin .所以紅方偵察艇所需要的時(shí)間為2小時(shí)，角的正弦值為. 真題演練集訓(xùn) 12014浙江卷如圖，某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點(diǎn)A處進(jìn)行射擊訓(xùn)練已知點(diǎn)A到墻面的距離為AB，某目標(biāo)點(diǎn)P沿墻面上的射線CM移動(dòng)，此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn)P，需計(jì)算由點(diǎn)A觀察點(diǎn)P的仰角的大小(仰角為直線AP與平面ABC所成角)若AB15 m，AC25 m，BCM30，則tan 的最大值是()A. B. C. D.答案：D解析：如圖，過(guò)點(diǎn)P作POBC于點(diǎn)O，連接AO，則PAO.設(shè)COx m，則OPx m.在RtABC中，AB15 m，AC25 m，所以BC20 m所以cos BCA.所以AO(m)所以tan .當(dāng)，即x時(shí)，tan 取得最大值為.22015湖北卷如圖，一輛汽車(chē)在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30的方向上，行駛600 m后到達(dá)B處，測(cè)得此山頂在西偏北75的方向上，仰角為30，則此山的高度CD_m. 答案：100解析：由題意，在ABC中，BAC30，ABC18075105，故ACB45.又AB600 m，故由正弦定理得，解得BC300 m.在RtBCD中，CDBCtan 30300100(m)32014新課標(biāo)全國(guó)卷如圖，為測(cè)量山高M(jìn)N，選擇A和另一座山的山頂C為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)從A點(diǎn)測(cè)得M點(diǎn)的仰角MAN60，C點(diǎn)的仰角CAB45以及MAC75；從C點(diǎn)測(cè)得MCA60，已知山高BC100 m，則山高M(jìn)N_m.答案：150解析：在三角形ABC中，AC100，在三角形MAC中，解得MA100，在三角形MNA中，sin 60，故MN150，即山高M(jìn)N為150 m.42014四川卷如圖，從氣球A上測(cè)得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為67，30，此時(shí)氣球的高是46 m，則河流的寬度BC約等于_ m(用四舍五入法將結(jié)果精確到個(gè)位參考數(shù)據(jù)：sin 670.92，cos 670.39，sin 370.60，cos 370.80，1.73)答案：60解析：根據(jù)圖中給出的數(shù)據(jù)構(gòu)造適當(dāng)?shù)娜切吻蠼飧鶕?jù)已知的圖形可得AB.在ABC中，BCA30，BAC37，由正弦定理，得，所以BC20.6060 (m) 課外拓展閱讀 有關(guān)解三角形的應(yīng)用題的解題方法1解決關(guān)于解三角形的應(yīng)用問(wèn)題的步驟2解三角形的應(yīng)用題的兩種情形及解題方法 (1)實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解； (2)實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及兩個(gè)或兩個(gè)以上三角形，這時(shí)需作出(或找出)這些三角形，先解能直接解的三角形，然后逐步求出其他三角形的解，有時(shí)需設(shè)出未知量，利用幾個(gè)三角形中邊角所滿足的關(guān)系列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解3解決關(guān)于解三角形的應(yīng)用問(wèn)題應(yīng)注意的事項(xiàng) (1)要注意仰角、俯角、方位角以及方向角等名詞，并能準(zhǔn)確地找出這些角； (2)要注意將平面幾何中的性質(zhì)、定理與正弦、余弦定理結(jié)合起來(lái)使用，這樣可以優(yōu)化解題過(guò)程； (3)注意題目中的隱含條件以及解的實(shí)際意義典例如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車(chē)到B，然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50 m/min.在甲出發(fā)2 min后，乙從A乘纜車(chē)到B，在B處停留1 min后，再?gòu)腂勻速步行到C.假設(shè)纜車(chē)勻速直線運(yùn)行的速度為130 m/min，山路AC長(zhǎng)為1260 m，經(jīng)測(cè)量，cos A，cos C.(1)求索道AB的長(zhǎng)；(2)問(wèn)乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車(chē)上與甲的距離最短？(3)為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過(guò)3分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？解(1)在ABC中，因?yàn)閏os A，cos C，所以sin A，sin C.從而sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C.由，得ABsin C1 040(m)所以索道AB的長(zhǎng)為1 040 m.(2)設(shè)乙出發(fā)t分鐘后，甲、乙