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2.4函數(shù)的奇偶性與周期性1奇、偶函數(shù)的概念一般地,設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)锳.如果對(duì)于任意的xA,都有_,那么稱函數(shù)yf(x)是偶函數(shù)如果對(duì)于任意的xA,都有_,那么稱函數(shù)yf(x)是奇函數(shù)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱2奇、偶函數(shù)的性質(zhì)(1)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性_,偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性_(2)在公共定義域內(nèi),兩個(gè)奇函數(shù)的和是_,兩個(gè)奇函數(shù)的積是偶函數(shù);兩個(gè)偶函數(shù)的和、積都是_;一個(gè)奇函數(shù),一個(gè)偶函數(shù)的積是_3周期性(1)周期函數(shù):對(duì)于函數(shù)yf(x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí),都有f(xT)f(x),那么就稱函數(shù)yf(x)為周期函數(shù),稱T為這個(gè)函數(shù)的周期(2)最小正周期:如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù),那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期4對(duì)稱性若函數(shù)f(x)滿足f(ax)f(ax)或f(x)f(2ax),則函數(shù)f(x)關(guān)于直線xa對(duì)稱難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源1函數(shù)奇偶性的判斷判斷函數(shù)的奇偶性主要根據(jù)定義:一般地,如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x,都有f(x)f(x)(或f(x)f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)(或奇函數(shù))其中包含兩個(gè)必備條件:定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件,所以首先考慮定義域有利于準(zhǔn)確簡(jiǎn)捷地解決問題;判斷f(x)與f(x)是否具有等量關(guān)系在判斷奇偶性的運(yùn)算中,可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價(jià)關(guān)系式(f(x)f(x)0(奇函數(shù))或f(x)f(x)0(偶函數(shù))是否成立2函數(shù)奇偶性的性質(zhì)(1)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上若有單調(diào)性,則其單調(diào)性完全相同;偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上若有單調(diào)性,則其單調(diào)性恰恰相反(2)若f(x)為偶函數(shù),則f(x)f(x)f(|x|)(3)若奇函數(shù)f(x)定義域中含有0,則必有f(0)0.f(0)0是f(x)為奇函數(shù)的既不充分也不必要條件(4)定義在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱區(qū)間上的任意一個(gè)函數(shù),都可表示成“一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的和(或差)”(5)復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點(diǎn)是:“內(nèi)偶則偶,內(nèi)奇同外”(6)既奇又偶的函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)(如f(x)0,定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的任意一個(gè)數(shù)集)1已知f(x)ax2bx是定義在a1,2a上的偶函數(shù),那么ab的值是_2下列函數(shù)中,所有奇函數(shù)的序號(hào)是_f(x)2x43x2;f(x)x32x;f(x);f(x)x31.3(2011廣東)設(shè)函數(shù)f(x)x3cos x1.若f(a)11,則f(a)_.4設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),若當(dāng)x(0,)時(shí),f(x)lg x,則滿足f(x)0的x的取值范圍是_5定義在R上的函數(shù)yf(x)是奇函數(shù),且滿足f(1x)f(1x)當(dāng)x1,1時(shí),f(x)x3,則f(2 013)的值是_.題型一函數(shù)奇偶性的判斷例1判斷下列函數(shù)的奇偶性(1)f(x);(2)f(x)(x1) ;(3)f(x).探究提高判斷函數(shù)的奇偶性,其中包括兩個(gè)必備條件:(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件,所以首先考慮定義域?qū)鉀Q問題是有利的;(2)判斷f(x)與f(x)是否具有等量關(guān)系在判斷奇偶性的運(yùn)算中,可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價(jià)等量關(guān)系式(f(x)f(x)0(奇函數(shù))或f(x)f(x)0(偶函數(shù))是否成立分段函數(shù)指在定義域的不同子集有不同對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù),分段函數(shù)奇偶性的判斷,要分別從x0或x0,回答下列問題(1)判斷f(x)在(1,1)上的奇偶性,并說明理由;(2)判斷函數(shù)f(x)在(0,1)上的單調(diào)性,并說明理由;(3)若f,試求fff的值探究提高對(duì)于抽象函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的判斷一般要緊扣定義通過賦值要出現(xiàn):f(x1)f(x2)與0的大小關(guān)系,f(x)與f(x)的關(guān)系就本題來講要注意運(yùn)用x0的條件 函數(shù)yf(x)(x0)是奇函數(shù),且當(dāng)x(0,)時(shí)是增函數(shù),若f(1)0,求不等式fx(x)0的解集題型三函數(shù)的奇偶性與周期性例3設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且對(duì)任意實(shí)數(shù)x,恒有f(x2)f(x)當(dāng)x0,2時(shí),f(x)2xx2.(1)求證:f(x)是周期函數(shù);(2)當(dāng)x2,4時(shí),求f(x)的解析式;(3)計(jì)算f(0)f(1)f(2)f(2 011)探究提高判斷函數(shù)的周期只需證明f(xT)f(x) (T0)便可證明函數(shù)是周期函數(shù),且周期為T,函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題,是高考考查的重點(diǎn)問題 已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),并且f(x2),當(dāng)2x3時(shí),f(x)x,則f(105.5)_.2.等價(jià)轉(zhuǎn)換要規(guī)范試題:(16分)函數(shù)f(x)的定義域Dx|x0,且滿足對(duì)于任意x1,x2D.有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求f(1)的值;(2)判斷f(x)的奇偶性并證明;(3)如果f(4)1,f(3x1)f(2x6)3,且f(x)在(0,)上是增函數(shù),求x的取值范圍學(xué)生解答展示審題視角(1)從f(1)聯(lián)想自變量的值為1,進(jìn)而想到賦值x1x21.(2)判斷f(x)的奇偶性,就是研究f(x)、f(x)的關(guān)系從而想到賦值x11,x2x.即f(x)f(1)f(x)(3)就是要出現(xiàn)f(M)f(N)的形式,再結(jié)合單調(diào)性轉(zhuǎn)化為MN的形式求解規(guī)范解答解(1)令x1x21,有f(11)f(1)f(1),解得f(1)0.2分(2)f(x)為偶函數(shù),證明如下:令x1x21,有f(1)(1)f(1)f(1),解得f(1)0.令x11,x2x,有f(x)f(1)f(x),f(x)f(x)f(x)為偶函數(shù)8分(3)f(44)f(4)f(4)2,f(164)f(16)f(4)3.10分由f(3x1)f(2x6)3,變形為f(3x1)(2x6)f(64)(*)f(x)為偶函數(shù),f(x)f(x)f(|x|)不等式(*)等價(jià)于f|(3x1)(2x6)|f(64)12分又f(x)在(0,)上是增函數(shù),|(3x1)(2x6)|64,且(3x1)(2x6)0.解得x或x3或3x5.x的取值范圍是x|x或x3或30)在區(qū)間8,8上有四個(gè)不同的根x1,x2,x3,x4,則x1x2x3x4_.4已知定義在R上的函數(shù)yf(x)滿足條件ff(x),且函數(shù)yf為奇函數(shù),給出以下四個(gè)命題:函數(shù)f(x)是周期函數(shù);函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱;函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù);函數(shù)f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)其中真命題的序號(hào)為_5(2011浙江)若函數(shù)f(x)x2|xa|為偶函數(shù),則實(shí)數(shù)a_.6對(duì)于函數(shù)f(x)(其中a為實(shí)數(shù),x1),給出下列命題:當(dāng)a1時(shí),f(x)在定義域上為單調(diào)函數(shù);f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,a)對(duì)稱;對(duì)任意aR,f(x)都不是奇函數(shù);當(dāng)a1時(shí),f(x)為偶函數(shù);當(dāng)a2時(shí),對(duì)于滿足條件2x1x2的所有x1、x2總有f(x1)f(x2)3(x2x1)其中正確命題的序號(hào)為_二、解答題7已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且它的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱(1)求證:f(x)是周期為4的周期函數(shù);(2)若f(x) (0x1),求x5,4時(shí),函數(shù)f(x)的解析式8函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈x|x0,且滿足對(duì)于任意x1,x2D,有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求f(1)的值;(2)判斷f(x)的奇偶性并證明你的結(jié)論;(3)如果f(4)1,f(x1)2,且f(x)在(0,)上是增函數(shù),求x的取值范圍答案要點(diǎn)梳理1f(x)f(x)f(x)f(x)2(1)相同相反(2)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)基礎(chǔ)自測(cè)1.2.3.94.(1,0)(1,) 51題型分類深度剖析例1解(1)由,得x3.f(x)的定義域?yàn)?,3又f(3)f(3)0,f(3)f(3)0.即f(x)f(x)f(x)既是奇函數(shù),又是偶函數(shù)(2)由,得101x1,定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱又f(x)lglg1lgf(x),故原函數(shù)是奇函數(shù)(2)由0且2x02x0時(shí),f(x)x2x,則當(dāng)x0,故f(x)x2xf(x);當(dāng)x0時(shí),x0,故f(x)x2xf(x),故原函數(shù)是偶函數(shù)(4)由得定義域?yàn)?1,0)(0,1),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,f(x).f(x)f(x),f(x)為偶函數(shù)例2解(1)令xy0f(0)0,令yx,則f(x)f(x)0f(x)f(x)f(x)在(1,1)上是奇函數(shù)(2)設(shè)0x1x21,則f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f,而x1x20,0x1x210,即當(dāng)0x1x2f(x2),f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減(3)由于ffffff,同理,fff,fff,fff2f21.變式訓(xùn)練2解yf(x)為奇函數(shù),且在(0,)上為增函數(shù),yf(x)在(,0)上也是增函數(shù),且由f(1)0得f(1)0.若fx(x)0f(1),則即0x(x)1,解得x或x0.若fx(x)0f(1),則由x(x)1,解得x.原不等式的解集是x|x或x0例3(1)證明f(x2)f(x),f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期為4的周期函數(shù)(2)解x2,4,x4,2,4x0,2,f(4x)2(4x)(4x)2x26x8,又f(4x)f(x)f(x),f(x)x26x8,即f(x)x26x8,x2,4(3)解f(0)0,f(2)0,f(1)1,f(3)1.又f(x)是周期為4的周期函數(shù),f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(2 008)f(2 009)f(2 010)f(2 011)0.f(0)f(1)f(2)f(2 011)0.變式訓(xùn)練32.5課時(shí)規(guī)范訓(xùn)練A組132.3.14.25.1 617.38解(1)當(dāng)a0時(shí),f(x)x2,f(x)f(x) ,函數(shù)是偶函數(shù)當(dāng)a0時(shí),f(x)x2 (x0,常數(shù)aR),取x1,得f(1)f(1)20;f(1)f(1)2a0,f(1)f(1),f(1)f(1)函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)(2)若f(1)2,即1a2,解得a1,這時(shí)f(x)x2.任取x1,x22,),且x1x2,則f(x1)f(x2)(x)(x1x2)(x1x2)(x1x2).由于x12,x22,且x1x2,x1x2,所以f(x1)f(x2),故f(x)在2,)上是單調(diào)遞增函數(shù)B組132. 38 45.06.7(1)證明由函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱,有f(x1)f(1x),即有f(x)f(x2)又函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),故有f(x)f(x)故f(x2)f(x)從而f(x4)f(x2)f(x),即f(x)是周期為4的周期函數(shù)(2)解由函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),有f(0)0.x1,0)時(shí),x(0,1,f(x)f(x).故x1,0時(shí),f(x).x5,4時(shí),x41,0,f(x)f(x4).從而,x5,4時(shí),函數(shù)f(x).8解(1)對(duì)于

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