高考數(shù)學一輪復習 5.3 平面向量數(shù)量積與綜合應用課件 文 新人教A版.ppt

5 3平面向量數(shù)量積與綜合應用 一 兩個向量的夾角 1 定義 已知兩個非零向量a和b 作 a b 則 aob 叫做向量a與b的夾角 2 范圍 向量夾角的范圍是0 180 a與b同向時 夾角 0 a與b反向時 夾角 3 向量垂直 如果向量a與b的夾角是90 則a與b垂直 記作 a b 1 a b是兩個非零向量 它們的夾角為 則數(shù)量 a b cos 叫做a與b的數(shù)量積 記作a b 即a b a b cos 規(guī)定0 a 0 當a b時 90 這時a b 0 2 a b的幾何意義 a b等于a的長度 a 與b在a的方向上的投影 b cos 的乘積 二 平面向量數(shù)量積的意義 2 若a b是非零向量 則a b a b 0且a b 0 a b 3 a a a 4 若a b是非零向量 則cos 5 a b a b 三 向量數(shù)量積的性質 1 如果e是單位向量 則a e e a a cos 2 分配律 a b c a c b c 3 r a b a b a b 四 數(shù)量積的運算律 1 交換律 a b b a 3 a 4 若a b是非零向量 則cos 五 數(shù)量積的坐標表示 設a a1 a2 b b1 b2 則 1 a b a1b1 a2b2 2 a b a1b1 a2b2 0 1 已知平面向量a 1 3 b 4 2 a b與a垂直 則 解析 a b 4 3 2 a b與a垂直 則 4 1 3 2 3 0 10 10 1 答案 1 2 平面向量a與b的夾角為120 a 2 0 b 1 則 a b 等于 a 3 b c 7 d 解析 由題意得 a 2 a b 答案 b 3 若平面向量b與向量a 1 2 的夾角是180 且 b 3 則b 解析 向量b與向量a 1 2 的夾角是180 向量b與向量a共線 向量b可以設為 2 3 3 反向 3 b 3 6 答案 3 6 題型1求兩向量的夾角 例1已知 a 1 a b a b a b 求 1 a與b的夾角 2 a b與a b的夾角的余弦值 分析 1 由a b與a b的數(shù)量積可得出 a b 的關系 2 計算a b與a b的模 又 a 1 b 設a與b的夾角為 則cos 又 0 2 a b 2 a2 2a b b2 1 2 a b 解析 1 a b a b a 2 b 2 a b 2 a2 2a b b2 1 2 a b 設a b與a b的夾角為 則cos 點評 本題重在對基礎知識及基本運算的考查 變式訓練1已知向量a b滿足 a 4 b 3 且 2a 3b 2a b 61 1 求a b的值 2 求向量a與b的夾角 2 設向量a與b的夾角為 則cos 又 0 可知向量a與b的夾角為60 解析 1 由 2a 3b 2a b 61 得4a2 4a b 3b2 61 又 a 4 b 3 可得a b 6 題型2兩平面向量的平行垂直問題 例2設x y r 向量a x 1 b 1 y c 2 4 且a c b c 則 a b 等于 a b c 2 d 10 分析 先由向量垂直的充要條件求出x 向量平行的充要條件求出y 再由模的公式求模 解得y 2 所以a 2 1 b 1 2 所以a b 3 1 所以 a b 答案 b 解析 因為a c 所以a c 0 即2x 4 0 解得x 2 由b c 得 4 2y 點評 本題考查平面向量垂直與平行的充要條件 向量的坐標運算 向量的模等 變式訓練2已知向量a 1 2 b 2 3 若向量c滿足 c a b c a b 則c等于 a b c d 答案 d 解析 不妨設c m n 則a c 1 m 2 n a b 3 1 對于 c a b 則有3 1 m 2 2 n 又c a b 則有3m n 0 則有m n 故答案d 題型3向量與三角函數(shù) 例3已知向量a cos sin b cos sin 且x 1 求a b及 a b 2 若f x a b a b 求f x 的最大值和最小值 分析 利用數(shù)量積的坐標運算及性質即可求解 在求 a b 時注意x的范圍 解析 1 a b coscos sinsin cos2x a b 2 cosx x cosx 0 a b 2cosx cosx 1 當cosx 時 f x 取得最小值 當cosx 1時取得最大值 1 點評 本題是向量知識結合三角函數(shù)知識及函數(shù)知識的一個綜合題 考查學生的綜合能力 2 f x cos2x 2cosx 2cos2x 2cosx 1 2 cosx 2 x 變式訓練3已知a sin x 1 b cos x 0 0 又函數(shù)f x b a kb 是以為最小正周期的周期函數(shù) 1 求函數(shù)f x 的值域 2 若函數(shù)f x 的最大值為 則是否存在實數(shù)t 使得函數(shù)f x 的圖像能由函數(shù)g x ta b的圖像經(jīng)過平移得到 若能 求出實數(shù)t 并說明如何平移 若不能 說明理由 f x b a kb sin x kcos x cos x sin xcos x kcos2 x sin2 x 1 cos2 x sin 2 x 其中tan f x 的最小正周期為 且 0 2 解析 1 a kb sin x kcos x 1 f x sin 4x 由 1 sin 4x 1 知f x 的值域為 2 由 得k 1 f x sin4x cos4x sin 4x 又a b sin2xcos2x sin4x 當t 時 g x sin4x 將g x 的圖像向右平移個單位 再向下平移個單位 得到f x 的圖像 故存在t 使g x 的圖像向右平移個單位 再向下平移個單位后得到f x 的圖像 1 在求夾角的過程中 當a b是非坐標形式時 求a與b的夾角 需求得a b及 a b 得出它們的關系 若已知a與b的坐標 則可直接利用公式cos 2 在求模的過程中 利用數(shù)量積求解長度問題是數(shù)量積的重要應用 要掌握此類問題的處理辦法 1 a 2 a2 a a 2 a b 2 a2 2a b b2 3 若a x y 則 a x1y2 x2y1 0 b 0 在證明垂直問題 常用向量垂直的充要條件 a b a b 0 x1x2 y1y2 0 4 要注意向量應用的綜合性 即向量和其他數(shù)學內容的結合 如和函數(shù) 數(shù)列 三角 解析幾何等結合 這類題目往往綜合度要求比較高 3 在證明平行問題 常用向量平行的充要條件 a b a b 例 12分 設向量a 4cos sin b sin 4cos c cos 4sin 1 若a與b 2c垂直 求tan 的值 2 求 b c 的最大值 3 若tan tan 16 求證 a b 得a b 2c a b 2a c 0 即4sin 8cos 0 tan 2 4分 2 b c 2 b c 2 b2 c2 2b c sin2 16cos2 cos2 16sin2 2 sin cos 16sin cos 17 30sin cos 17 15sin2 最大值為32 所以 b c 的最大值為4 8分 解析 1 由a與b 2c垂直 即4cos 4cos sin sin 0 故a b 12分 答題流程 第一步 將向量間的關系轉化為三角函數(shù)式 第二步 化簡三角函數(shù)式 第三步 求三角函數(shù)式的值或分析三角函數(shù)式的性質 第四步 明確結論 3 由tan tan 16 得sin sin 16cos cos 第五步 反思回顧 查看關鍵點 易錯點和規(guī)范解答 點評 1 本題是典型的向量與三角函數(shù)的綜合題 題目難度中檔 屬高考的重點題型 2 本題體現(xiàn)了轉化與化歸的思想方法 根據(jù)向量關系 轉化為三角函數(shù)的問題 利用三角函數(shù)解決 3 易錯分析 在將向量關系轉化為三角函數(shù)式時易出錯 在第 3 問中 學生不知道要推出怎樣的三角關系式才能說明a b 事實上是忽略了a b的條件 一 選擇題 本大題共5小題 每小題6分 1 基礎再現(xiàn) 已知向量a cos75 sin75 b cos15 sin15 那么 a b 的值是 a b c d 1 1 答案 d 解析 a b cos75 cos15 sin75 sin15 a b 2 基礎再現(xiàn) 若兩個非零向量a b滿足 a b a b 2 a 則向量a b與a b的夾角是 a b c d 答案 c 解析 a b 2 a 可得a2 b2 2a b 4a2 a b 2 a 也可得a2 b2 2a b 4a2 于是有a b 0 b2 3a2 所以cos 所以向量a b與a b的夾角是 3 高度提升 已知向量a 2 3 b 5 1 若ma nb m 0 與a垂直 則等于 a 1 b 0 c 1 d 2 解析 ma nb 2m 5n 3m n 因為ma nb與a垂直 所以 2m 5n 2 3m n 3 0 解得 1 答案 c 4 高度提升 已知向量a 2 1 b 3 0 則a在b方向上的投影為 a 2 b c 2 d 解析 a在b方向上的投影為 a cos 2 答案 c 5 能力綜合 設向量a b c滿足a b c 0 a b c a b 若 a 1 則 a 2 b 2 c 2的值為 a 1 b 2 c 3 d 4 解析 a b c 0 c a b a b c a b a b 0 即 a 2 b 2 0 a b 1 a b a b 0 c 2 a b 2 a 2 2a b b 2 1 0 1 2 a 2 b 2 c 2 4 答案 d 6 基礎再現(xiàn) 與a 3 4 垂直的單位向量為 解析 設與a 3 4 垂直的單位向量為b x y 則有解得y 當y 時 x 當y 時 x 所以與a 3 4 垂直的單位向量為 或 答案 或 二 填空題 本大題共4小題 每小題7分 7 基礎再現(xiàn) abc的三邊長分別為ab 7 bc 5 ca 6 則 的值為 解析 由余弦定理得 36 49 25 2 5 7 cosb 解得 cosb 有cos b 于是 7 5 19 答案 19 8 視角拓展 若向量e1與e2滿足 e1 2 e2 2 e1 2e2 2 4 則e1與e2所夾的角為 解析 由 e1 2e2 2 4 可得 4 4e1 e2 4 有4 4 4 2 1 cos 4 得cos 則e1與e2所夾的角為 答案 9 高度提升 在 abc中 角a b c的對邊分別為a b c 且向量m sin a b a2 b2 與向量n sin a b a2 b2 共線 若角c 120 則角a 解析 由已知得 利用余弦定理得 整理得 a2 b2 a2 b2 c2 0 則a b或a2 b2 c2 舍 則a b 30 答案 30 10 視角拓展 已知向量m cosa sina n 2 1 且m n 0 1 求tana的值 2 求函數(shù)f x cos2x tanasinx x r 的值域 三 解答題 本大題共3小題 每小題14分 因為x r 所以sinx 1 1 當sinx 時 f x 有最大值 當sinx 1時 f x 有最小值 3 故所求函數(shù)f x 的值域是 3 解析 1 由題意得m n 2cosa sina 0 因為cosa 0 所以tana 2 2 由 1 知tana 2得f x cos2x 2sinx 1 2sin2x 2sinx 2 sinx 2 11 高度提升 已知a 2 sinx 1 b 2 2 c sinx 3 1 d 1 k x r k r 1 若x 且a b c 求x的值 2 若x r 是否存在實數(shù)k 使 a d b c 若存在 求出k的取值范圍 若不存在 請說明理由 解析 1 b c sinx 1 1 a b c 2 sinx sinx 1 sinx x x 2 a d 3 sinx 1 k b c sinx 1 1 若 a d b c 則 a d b c 0 即 3 sinx sinx 1 1 k 0 k sin2x 2sinx 4 sinx 1 2 5 x r sinx 1 1 k 5 1 故存在k 5 1 使 a d b c 12 能力綜合 已知在平面直角坐標系xoy中 向量j 0 1 ofp的面積為2 且 t j 1 設4 t 4 求向量與的夾角為 的取值范圍 2 設以原點o為中心 對稱軸