第五章 剛體力學(xué).docVIP

第五章 剛體力學(xué)在前面的機(jī)械運(yùn)動(dòng)研究中，主要考慮的是不計(jì)體積和形狀的物體質(zhì)點(diǎn)。然而在更多的情況下，我們所遇到的物體體積和形狀不可忽略，例如地球的自轉(zhuǎn)、車輪在地面上的滾動(dòng)、雷達(dá)的掃動(dòng)、運(yùn)動(dòng)員的騰挪翻轉(zhuǎn)、機(jī)械的運(yùn)轉(zhuǎn)等。很顯然這些物體的運(yùn)動(dòng)比質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律要復(fù)雜地多，因此必須找到一種方法研究這類物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)。這種方法要滿足兩個(gè)條件：第一簡(jiǎn)單。第二要能夠沿用前面所學(xué)過(guò)的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的一整套方法。這個(gè)方法就是剛體力學(xué)研究方法，在這個(gè)方法中建立了這類物體對(duì)象的理想模型剛體。雖然是理想模型，卻可以與實(shí)際物體聯(lián)系起來(lái)，上述運(yùn)動(dòng)中的物體可看成剛體，實(shí)際物體在形變不大的情況下都可看成剛體。剛體的定義是：它一種特殊的質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)，無(wú)論在多大外力作用下，系統(tǒng)內(nèi)任意兩質(zhì)點(diǎn)間的距離始終保持不變。即物體的形狀、大小都不變的固體稱為剛體。由于剛體是質(zhì)點(diǎn)系，所以研究方法將會(huì)充分利用質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的研究成果，這符合知識(shí)學(xué)習(xí)的連貫性、繼承性、體系性。另外剛體中任意兩質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中距離始終保持不變，如果研究出剛體中任一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，再研究出其它質(zhì)點(diǎn)相對(duì)該質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，則整個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng)就掌握了，因此這種方法是簡(jiǎn)單的。不能當(dāng)作剛體的更復(fù)雜物體對(duì)象將會(huì)用流體力學(xué)一類的方法進(jìn)行研究。第一節(jié) 剛體的運(yùn)動(dòng)在確定研究對(duì)象為剛體之后，接下來(lái)就要分析剛體運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，掌握這些特點(diǎn)后，就可以針對(duì)剛體每一類運(yùn)動(dòng)分別展開(kāi)研究。通過(guò)分析剛體運(yùn)動(dòng)可分為如下的幾種：一、平動(dòng) （a） （b）圖51 剛體的平動(dòng)1.定義：剛體上任一給定直線（或任意二質(zhì)點(diǎn)間的連線）在運(yùn)動(dòng)中空間方向始終不變而保持平行，叫做剛體的平動(dòng)（圖51）。2.性質(zhì)：平動(dòng)時(shí)剛體內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)的位移矢量、瞬時(shí)速度矢量、瞬時(shí)加速度矢量都相同，即運(yùn)動(dòng)規(guī)律一樣。知道一個(gè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律，就可知?jiǎng)傮w整體和剛體內(nèi)其它質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。我們可以選取剛體上一個(gè)特定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)來(lái)代表剛體的運(yùn)動(dòng)，該點(diǎn)的位置和運(yùn)動(dòng)規(guī)律與整個(gè)剛體的質(zhì)量和所受合外力有關(guān)，即滿足：剛體的質(zhì)量與剛體質(zhì)心的加速度的乘積等于剛體所受的合外力。 用式子表示為。在前面質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的章節(jié)中出現(xiàn)的大物體都是在做剛體平動(dòng)一類的運(yùn)動(dòng)，所以都被當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)來(lái)對(duì)待的。3.自由度：確定剛體平動(dòng)的自由度為三個(gè)。自由度：決定物體的空間位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)個(gè)數(shù)。是描述物體運(yùn)動(dòng)自由程度的物理量。獨(dú)立坐標(biāo)：描寫(xiě)物體位置所需的最少的坐標(biāo)數(shù)。例如描述一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，在直角坐標(biāo)下，需要x、y、z三個(gè)獨(dú)立的坐標(biāo)，即3個(gè)自由度。剛體的整體運(yùn)動(dòng)與剛體中一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)相同，所以該剛體內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的自由度就是剛體的自由度。二、剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 圖52 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)1.定義：若剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，所有質(zhì)點(diǎn)都在與某一直線垂直的諸平面上作圓周運(yùn)動(dòng)且圓心在該直線上，該直線相對(duì)剛體的位置和取向始終不變，則稱剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，該直線稱作固定轉(zhuǎn)軸。例如門的轉(zhuǎn)動(dòng)、電風(fēng)扇的轉(zhuǎn)動(dòng)等運(yùn)動(dòng)（圖52）。 2.性質(zhì)：剛體中始終保持不動(dòng)的直線就是轉(zhuǎn)軸。剛體上軸以外的質(zhì)點(diǎn)繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)平面與軸垂直且為圓周，圓心在軸上。轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，軸外各點(diǎn)在同一時(shí)間間隔內(nèi)，走過(guò)的弧長(zhǎng)雖不同，但角位移都一樣。和轉(zhuǎn)軸相平行的線上各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況完全一樣。 圖53 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)分析 3.自由度：1個(gè)。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的自由度就是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角位置坐標(biāo)。如圖所示（圖53）：建立O-xyz系，z軸與轉(zhuǎn)軸重合，轉(zhuǎn)軸上一點(diǎn)確定為坐標(biāo)原點(diǎn)O，如果剛體不轉(zhuǎn)動(dòng)，則在此坐標(biāo)系中剛體各質(zhì)點(diǎn)的位置就確定了。當(dāng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，截取剛體一個(gè)剖面O-xy平面（其余平面都與該平面平行），除O點(diǎn)外，再選剛體上任一點(diǎn)A，A的位置變化可用OA與x軸的夾角的增量來(lái)確定，剛體中任一質(zhì)點(diǎn)的位置變化都可用來(lái)確定。確定了剛體中任一質(zhì)點(diǎn)的位置，確定了剛體在轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的整體位置，此角稱為繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角位置坐標(biāo)。角的正負(fù)規(guī)定：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的方向和z 軸成右手螺旋時(shí)，角為正，否則角為負(fù)。4轉(zhuǎn)動(dòng)平面：垂直于轉(zhuǎn)軸的平面。例如上面提到的O-xy平面（及其平行面）。在剛體轉(zhuǎn)動(dòng)分析中，要用到轉(zhuǎn)動(dòng)平面。研究剛體的整體轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律，往往是對(duì)剛體中每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)分析綜合得到的。而剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)都有在轉(zhuǎn)動(dòng)平面上做圓周運(yùn)動(dòng)。5剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)描述的兩套物理量：角量和線量。（1）角量描述：適用于對(duì)剛體整體轉(zhuǎn)動(dòng)描述的需要。1）角位移：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體在時(shí)間內(nèi)角坐標(biāo)的增量 。任意質(zhì)點(diǎn)的角位移是相同的是一整體運(yùn)動(dòng)的量。面對(duì)z 軸觀察：逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，；反之，。2）角速度： （51）面對(duì)z 軸觀察：逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，；反之，。3）角加速度： （52）加速轉(zhuǎn)動(dòng)，與同號(hào)；，反之，。 圖54 加速轉(zhuǎn)動(dòng) 圖55 減速轉(zhuǎn)動(dòng)（2）線量描述：適用于對(duì)剛體中某質(zhì)點(diǎn)mi運(yùn)動(dòng)描述的需要，常用的線量為：1）位置矢量，2）瞬時(shí)速度，3）瞬時(shí)加速度。（3）角量和線量的關(guān)系：剛體中質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)線量與整個(gè)剛體角量之間是可以互相轉(zhuǎn)換，這種轉(zhuǎn)換在推導(dǎo)剛體整體運(yùn)動(dòng)規(guī)律特別重要。現(xiàn)考察剛體轉(zhuǎn)動(dòng)平面上任一質(zhì)點(diǎn)（圖56），其質(zhì)量為mi，轉(zhuǎn)動(dòng)半徑為，則有如下變換關(guān)系：1）質(zhì)點(diǎn)mi線速率與剛體角速度的關(guān)系： （53）2）質(zhì)點(diǎn)mi法向加速度與剛體角速度的關(guān)系： （54）3）質(zhì)點(diǎn)mi切向加速度與剛體角加速度的關(guān)系： （55）圖56 角量與線量的關(guān)系三、剛體的平面運(yùn)動(dòng)1.定義：剛體上各點(diǎn)均在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且這些平面與一固定平面平行，剛體的轉(zhuǎn)軸始終與這些平面垂直。例如手榴彈在空中翻轉(zhuǎn)飛行、車輪在地面向前滾動(dòng)、黑板擦擦黑板的運(yùn)動(dòng)等。2.性質(zhì)：剛體上垂直于固定平面的任意直線上各點(diǎn)具有完全相同的運(yùn)動(dòng)狀況。剛體的平面運(yùn)動(dòng)可看成是剛體的平動(dòng)與剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的疊加。3.自由度：3個(gè)。因?yàn)椋河善矫孢\(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，可用與固定平面平行的剛體的任一剖面（截面）來(lái)研究，此截面位置一經(jīng)確定，剛體的位置便確定了。通常選擇此平面內(nèi)剛體上某點(diǎn)的位置坐標(biāo)（x，y）和繞過(guò)該點(diǎn)軸旋轉(zhuǎn)的角度來(lái)描述剛體的位置。 四、剛體的一般運(yùn)動(dòng)剛體的一般運(yùn)動(dòng)可以看成是剛體的平動(dòng)與剛體的非定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的疊加。例如陀螺在地面上的轉(zhuǎn)動(dòng)（圖57），一方面陀螺繞自轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)，一方面陀螺的自轉(zhuǎn)軸在空間的位置和取向也在不斷變化。剛體的一般運(yùn)動(dòng)（圖58）的自由度為6個(gè)：確定剛體質(zhì)心位置的3個(gè)坐標(biāo)（x，y，z），確定通過(guò)質(zhì)心轉(zhuǎn)軸的空間取向2個(gè)坐標(biāo)（，），確定剛體相對(duì)轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度1個(gè)坐標(biāo)（）。 圖57 陀螺的運(yùn)動(dòng) 圖58 剛體的一般運(yùn)動(dòng)本章只研究剛體的平動(dòng)、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)、平面運(yùn)動(dòng)。第二節(jié) 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)一、力矩剛體是怎樣由靜止的狀態(tài)變?yōu)槔@固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的？換句話說(shuō)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變與什么物理量有關(guān)？通過(guò)實(shí)踐可以發(fā)現(xiàn)，這個(gè)物理量不僅與力有關(guān)，還和力的作用點(diǎn)以及力的方向有關(guān)。這個(gè)物理量就是外界施加在剛體上的相對(duì)于固定軸的力矩，正是在力矩的作用下剛體繞定軸可以越轉(zhuǎn)越快或越轉(zhuǎn)越慢。 圖59 剛體受到的外力矩作用如圖59考察繞固定Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體中的一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)平面，設(shè)有一個(gè)外力F作用在P點(diǎn)，F(xiàn)不一定落在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，這個(gè)力相對(duì)于Z軸的力矩等于什么呢？按照力矩的定義： （56）為轉(zhuǎn)軸到力點(diǎn)的位置矢量，也是力點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑矢量。這個(gè)力矩是不是都會(huì)改變剛體相對(duì)Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)呢？下面進(jìn)一步分析：將力F分解為平行于軸的分力F1和垂直于軸的分力F2 ，F(xiàn)1產(chǎn)生的力矩不會(huì)影響剛體繞Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，只有F2產(chǎn)生的力矩才會(huì)改變剛體繞Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。也就是外力矩與定軸方向相同或相反就會(huì)使靜止剛體繞軸逆（順）時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，外力矩與定軸方向垂直靜止剛體不動(dòng)?？衫@定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的力矩分量： （57） 大小為： （58）在剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)計(jì)算力矩時(shí)，只需考慮外力平行于轉(zhuǎn)動(dòng)平面的分量，外力垂直于轉(zhuǎn)動(dòng)平面的分量不用考慮。在下面的轉(zhuǎn)動(dòng)定律推導(dǎo)中就是這樣處理的。二、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律 圖510 力矩與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的關(guān)系相對(duì)于轉(zhuǎn)軸的外力矩會(huì)改變剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)，剛體可以從靜止到轉(zhuǎn)動(dòng)或從轉(zhuǎn)動(dòng)到靜止。究竟在外力矩的作用下剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的規(guī)律是怎樣的呢？下面開(kāi)始進(jìn)行研究，研究的出發(fā)點(diǎn)是剛體中的一個(gè)任意的質(zhì)點(diǎn)。如圖510，剛體轉(zhuǎn)動(dòng)平面中任意一點(diǎn)P點(diǎn)，P點(diǎn)是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，設(shè)其質(zhì)量為，所受外力和內(nèi)力分別為、，其加速度為。如前所述、是外力和內(nèi)力落在轉(zhuǎn)動(dòng)平面上的分量，由于剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)只能在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，其所受外力和內(nèi)力垂直于轉(zhuǎn)動(dòng)平面分量的總和一定為零。據(jù)此質(zhì)點(diǎn)滿足的動(dòng)力學(xué)方程： （59）動(dòng)力學(xué)法向分量方程： （510） 其中有線量和角量轉(zhuǎn)換關(guān)系：動(dòng)力學(xué)切向分量方程： （511）其中有線量和角量轉(zhuǎn)換關(guān)系：切向分量方程兩端乘，得到力矩方程： （512）對(duì)剛體中所有質(zhì)點(diǎn)都列出相應(yīng)力矩方程然后求和得： （513）因?yàn)閮?nèi)力總是成對(duì)出現(xiàn)，大小相等方向相反，其相對(duì)定軸的合力矩為零： （514）得： （515） （516）令，稱為剛體繞該定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律： （517）剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律表述：剛體所受的對(duì)于某定軸的合外力矩等于剛體對(duì)此定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體在此合外力矩作用下所獲得的角加速度的乘積?，F(xiàn)在我們找出了合外力矩對(duì)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)作用的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。注意：（1）轉(zhuǎn)動(dòng)定律是瞬時(shí)關(guān)系，式中各量都是狀態(tài)量，代表了該時(shí)刻剛體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。（2）式中各量都是相對(duì)量，相對(duì)某轉(zhuǎn)軸的。在式中必須將所有各量統(tǒng)一到相對(duì)同一轉(zhuǎn)軸。（3）式中M為外力矩的矢量和。（4）式中為剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，代表在轉(zhuǎn)動(dòng)中剛體的慣性大小。三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及計(jì)算1. 定義剛體繞給定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J等于剛體中每個(gè)質(zhì)元的質(zhì)量與該質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸距離的平方的乘積之總和。 （518）它與剛體的形狀、質(zhì)量分布以及轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)，也就是說(shuō)，它只與繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體本身的性質(zhì)和轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。注意：（1）轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與轉(zhuǎn)軸有關(guān)。同樣一個(gè)剛體，對(duì)不同的轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不同。（2）轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體質(zhì)量的分布有關(guān)。在相同質(zhì)量情況下，質(zhì)量分布離轉(zhuǎn)軸越近轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越小，越遠(yuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越大。（3）轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也與質(zhì)量有關(guān)。在剛體的形狀和質(zhì)量分布形式一樣，并且相對(duì)同一轉(zhuǎn)軸，剛體質(zhì)量越大剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越大。2. 物理意義轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是描述剛體在轉(zhuǎn)動(dòng)中的慣性大小的物理量。3. 單位：4. 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算 如果剛體上的質(zhì)點(diǎn)是離散或連續(xù)分布的，則其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可以用求和和積分進(jìn)行計(jì)算，如果剛體的幾何形狀是不規(guī)則的，則其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可由實(shí)驗(yàn)測(cè)定得到。（1）離散分布計(jì)算：剛體的質(zhì)量是離散分布的，質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑為，則整個(gè)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量： （519）（2）連續(xù)分布計(jì)算： 剛體的質(zhì)量是連續(xù)分布的，將剛體分割為一個(gè)個(gè)質(zhì)量微元，每個(gè)質(zhì)量微元可看成質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量為，其到轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑為，則整個(gè)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量就是每個(gè)質(zhì)量微元的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的積分： （520）1)當(dāng)剛體的質(zhì)量是線分布，質(zhì)量微元分布在線段微元上，為質(zhì)量線密度，即為單位長(zhǎng)度上的質(zhì)量。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為： （521）2) 當(dāng)剛體的質(zhì)量是面分布，質(zhì)量微元分布在面積微元上，為質(zhì)量面密度，即為單位面積上的質(zhì)量。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為： （522）3) 當(dāng)剛體的質(zhì)量是體分布，質(zhì)量微元分布在體積微元上，為質(zhì)量體密度，即為單位體積上的質(zhì)量。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為： （523）5.回轉(zhuǎn)半徑 圖511 回轉(zhuǎn)半徑一個(gè)實(shí)際剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，可用一個(gè)等效剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量來(lái)表示。這個(gè)剛體可看成是所有的質(zhì)量集中在距轉(zhuǎn)軸為的地方，稱為該剛體的回轉(zhuǎn)半徑（圖511）?；剞D(zhuǎn)半徑可用來(lái)形象了解一個(gè)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義，回轉(zhuǎn)半徑為： （524）式中為剛體的總質(zhì)量。6.平行軸定理 圖512 平行軸定理 除了可用上述的方法計(jì)算剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，還可以利用已知的繞某軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量來(lái)計(jì)算同一剛體繞其它軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。如圖512，設(shè)質(zhì)量為m的剛體繞過(guò)質(zhì)心C的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，將轉(zhuǎn)軸朝任一方向平移一個(gè)距離d，則繞此軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為： （525）由此可知：剛體對(duì)各平行軸的不同轉(zhuǎn)動(dòng)慣量中，對(duì)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量最小。7.垂直軸定理 圖513 垂直軸定理無(wú)窮小厚度的薄板對(duì)一與它垂直的坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于薄板對(duì)板面內(nèi)另兩互相垂直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和（圖513）。 （526）垂直軸定理適用條件：x、y、z軸過(guò)同一點(diǎn)，且互相垂直，z軸垂直于板面x、y軸在板面內(nèi)。 8.幾種常見(jiàn)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（1）圓環(huán) （2）圓盤（3）細(xì)棒 （4）細(xì)棒（5）球體例5-1 如圖（例51圖）半圓形勻質(zhì)細(xì)桿，半徑為，質(zhì)量為，過(guò)圓心和圓弧中點(diǎn)，試求細(xì)桿對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 例51圖解 在細(xì)桿上選一質(zhì)量微元： 質(zhì)量微元到轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑：整個(gè)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：例52 有一質(zhì)量為長(zhǎng)為的勻質(zhì)細(xì)桿，求：對(duì)過(guò)質(zhì)心與桿垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。對(duì)過(guò)一端且平行的軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 例52（a）圖解：建立如圖（例52圖）坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)建立在細(xì)桿的中心，選長(zhǎng)度為質(zhì)量為的質(zhì)量微元，質(zhì)量微元到轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑為x，則剛體繞該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量： 例52（b）圖建立如圖（例52（b）圖）坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)建立在細(xì)桿的左端點(diǎn)，選長(zhǎng)度為質(zhì)量為的質(zhì)量微元，質(zhì)量微元到轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑為x，則剛體繞該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：另解：運(yùn)用平行軸定理，。例53 一定滑輪質(zhì)量為M 、半徑為 R，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，軸的摩擦可忽略（例53圖）。求用輕繩繞在定滑輪上質(zhì)量為m的物體由靜止開(kāi)始下落過(guò)程中，下落速度與時(shí)間的關(guān)系。繩與定滑輪邊沿沒(méi)有相對(duì)滑動(dòng)。例53圖解 對(duì)物體m采用隔離物體受力分析，設(shè)物體受繩子向上的拉力T和自身的重力作用，加速度為a，其動(dòng)力學(xué)方程為： 對(duì)定滑輪M進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析，M在外力矩TR的作用下，產(chǎn)生角加速度，其所滿足的轉(zhuǎn)動(dòng)定律為： 又因?yàn)槎ɑ嗊呇乩K子的線加速度與定滑輪角加速度的關(guān)系： 已知的定滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量： 解得物體m的線加速度：由物體初速度，得物體下落速度與時(shí)間的關(guān)系：例54 如圖（例54圖（a）物體放在光滑桌面上，用輕繩繞過(guò)質(zhì)量為的定滑輪與質(zhì)量為的物體連接。定滑輪半徑為R，繩與滑輪無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，不計(jì)軸處摩擦。初始時(shí)刻所有物體和定滑輪靜止，然后物體開(kāi)始下落。求下落過(guò)程中的加速度，AC、BC間繩的張力。例54（a）圖 例54（b）圖解 隔離物體受力分析(例54（b）圖)，對(duì)有： 為所受繩子的張力，為的加速度。對(duì)有： 為所受繩子的張力，為的加速度，與的加速度相同。定滑輪滿足轉(zhuǎn)動(dòng)定律： 式中為定滑輪的角加速度。AC段繩子作用在定滑輪上的作用力為： BC段繩子作用在定滑輪上的作用力為： 由于繩與滑輪無(wú)相對(duì)滑動(dòng)有： 聯(lián)立上面各式，解得下落的加速度： AC間繩子的張力為：BC間繩子的張力為：例55 如圖所示（例55圖）為測(cè)量不規(guī)則剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的實(shí)驗(yàn)裝置，裝置軸體半徑為，重物質(zhì)量為，置于軸體頂部的托盤上。軸體及托盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，一質(zhì)量為的重物通過(guò)輕質(zhì)繩子繞在軸體上并經(jīng)過(guò)定滑輪下垂。初始物體靜止，然后在重力作用下下落，并帶動(dòng)軸體和不規(guī)則剛體一起轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間，重物下落高度，求不規(guī)則剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。不規(guī)則剛體與托盤間沒(méi)有相對(duì)滑動(dòng)，繩與軸體間沒(méi)有相對(duì)滑動(dòng)，不計(jì)軸承摩擦，不計(jì)定滑輪和輕繩的質(zhì)量。 例55圖解 軸體托盤及不規(guī)則剛體，在轉(zhuǎn)動(dòng)中可看成是一個(gè)等效剛體。根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律有：式中為繩子作用在軸體邊沿的力，也就是等效剛體所受的合外力矩，為等效剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度。對(duì)于重物m：式中為重物所受繩子向上的張力，為重物的加速度。根據(jù)定滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)定律，同時(shí)忽略定滑輪的質(zhì)量，因此有： 因?yàn)槔K與軸體間沒(méi)有相對(duì)滑動(dòng)，線量與角量的關(guān)系為：聯(lián)立上面四式解得： 由解可知重物加速度為常數(shù)，因此重物在做勻加速運(yùn)動(dòng)，并滿足題目所給條件： 解得： 將結(jié)果代入得不規(guī)則剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為： 實(shí)驗(yàn)裝置就是通過(guò)測(cè)量重物下落高度和時(shí)間計(jì)算出不規(guī)則剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的。例56 如圖（例56圖）一質(zhì)量為M、半徑為r的圓盤，通過(guò)在盤心并垂直于盤的光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)，質(zhì)量為m，長(zhǎng)為的勻質(zhì)柔軟繩索掛在盤上，繩與圓盤間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，由于圓盤兩邊垂掛的繩長(zhǎng)度不一樣，所受重力不一樣，會(huì)帶動(dòng)盤的轉(zhuǎn)動(dòng)。試求當(dāng)兩側(cè)繩長(zhǎng)之差為s時(shí)，繩的加速度的大小。 例56圖解 建立如圖（例56圖）坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)在盤心。設(shè)任一時(shí)刻繩長(zhǎng)分別為、，單位長(zhǎng)度質(zhì)量為。對(duì)段繩子，列動(dòng)力學(xué)方程，各量向上為正：式中為盤作用于這段繩子的力，為這段繩子的線加速率。對(duì)段繩子，列動(dòng)力學(xué)方程，各量向下為正： 式中為盤作用于這段繩子的力，為這段繩子的線加速率。對(duì)圓盤，列轉(zhuǎn)動(dòng)定律： 式中是圓盤和某時(shí)刻附著在圓盤上的繩子組成的剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，為圓盤的角加速度。根據(jù)角量和線量的關(guān)系： 繩長(zhǎng)為： 圓盤外兩邊垂掛繩長(zhǎng)之差：聯(lián)立上面各式得：第三節(jié) 力矩的功 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 上一節(jié)研究了剛體在某個(gè)瞬間受到外力矩的作用，轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生改變的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，這一節(jié)將用另一視角研究剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。運(yùn)用這個(gè)視角就是要考察剛體在某個(gè)過(guò)程中，受外力矩對(duì)剛體的持續(xù)空間作用，剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)究竟發(fā)生了什么樣的變化。一、力矩的功 圖514 外力矩對(duì)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)做功首先考察外力矩對(duì)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的持續(xù)作用，這個(gè)作用就是外力矩在對(duì)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)做功。設(shè)剛體某轉(zhuǎn)動(dòng)平面，有一外力F（實(shí)際是外力落在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)的分量，對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)合外力垂直分量一定為零）作用在P點(diǎn)，在外力F的作用下剛體發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，經(jīng)歷了dt時(shí)間，力點(diǎn)產(chǎn)生了位移ds，則F所做的功為： （527）式中r為轉(zhuǎn)軸到力點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑。 （528）由該式得到：當(dāng)剛體在外力矩作用下繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)而發(fā)生角位移時(shí)，外力對(duì)位移的積累作用等效于外力矩對(duì)角位移的積累作用。即在剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題中，外力做功等于力矩做功，力矩做功就是力矩對(duì)角位移的積累。注意式中應(yīng)是合外力矩，在上面推導(dǎo)中，是只有一個(gè)外力的情況。一般情況下可能是有多個(gè)外力，這時(shí)應(yīng)先求出每一個(gè)力的力矩，再求出合外力矩。如果剛體在力矩M的作用下繞固定軸從位置q1轉(zhuǎn)到q2 , 在此過(guò)程中力矩所作的功為： （529）注意：（1）若上式中力矩為恒量，力矩做的功為：；即恒力矩做的功等于力矩與角位移的乘積。 （2）剛體內(nèi)部的內(nèi)力由于總是成對(duì)出現(xiàn)，大小相等方向相反，作用在一條直線上，因此內(nèi)力矩做功之和為零。 （3）力矩的功有正、負(fù)。當(dāng)力矩與角速度同向時(shí)，力矩的功為正；反之為負(fù)。二、力矩的功率力矩的平均功率可以表示為： （530）力矩的瞬時(shí)功率可以表示為： （531）式中w是剛體繞轉(zhuǎn)軸的角速度。 三、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能應(yīng)該是組成剛體的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能之和。設(shè)剛體中第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為，速度為，則該質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能為：。剛體做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，各質(zhì)點(diǎn)的角速度w相同。設(shè)質(zhì)點(diǎn)離軸的垂直距離為，則它的線速度，因此整個(gè)剛體的動(dòng)能為： （532） 式中為剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。注意：（1）剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能是狀態(tài)量。（2）剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能是相對(duì)量，與剛體所繞的定軸有關(guān)。（3）剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能代表剛體在該狀態(tài)下做功的能力。（4）剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能是剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)剛體內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能之和。四、剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中合外力矩所做的功對(duì)剛體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)會(huì)產(chǎn)生什么樣的影響呢？合外力矩所做的功為： （533）根據(jù)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律，（533）式變?yōu)椋?（534）即： （535）這就是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理。其表述為：合外力矩對(duì)剛體所做的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。注意：（1）轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理式是過(guò)程方程。（2）由此方程式可方便的運(yùn)用轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能狀態(tài)量的增量去求解過(guò)程量功。例57 一飛輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，現(xiàn)有一制動(dòng)力矩M=-k作用在其上，使得飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度由0減小到0/2（例57圖），問(wèn)在此過(guò)程中所需的時(shí)間和制動(dòng)力矩所做功各是多少？例57圖解 根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理，制動(dòng)力矩所做的功等于飛輪轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。計(jì)算可得制動(dòng)力矩所做功為：運(yùn)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律： 兩邊分別積分：得此過(guò)程所用時(shí)間為：第四節(jié) 質(zhì)心與質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律 剛體雖然是一個(gè)剛性的整體，但可看成是許多質(zhì)點(diǎn)的集合。為了研究剛體的勢(shì)能，以及剛體的平動(dòng)等問(wèn)題，我們需要找到一個(gè)能代表剛體整體運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律與剛體所受外界對(duì)它的作用（如合外力）和整個(gè)剛體質(zhì)量有關(guān)。這個(gè)點(diǎn)就是剛體的質(zhì)心，有了質(zhì)心之后，求解剛體的問(wèn)題就可以變得簡(jiǎn)單。我們可以將剛體的運(yùn)動(dòng)分解為整個(gè)跟隨質(zhì)心所做的平動(dòng)相對(duì)于通過(guò)質(zhì)心轉(zhuǎn)軸的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)。剛體的機(jī)械能也可以分解為平動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能與質(zhì)心有關(guān)的勢(shì)能。當(dāng)然本節(jié)所計(jì)算出的質(zhì)心和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)規(guī)律不僅適用于一、質(zhì)心如果考察剛體或質(zhì)點(diǎn)系中每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)會(huì)很復(fù)雜，為了簡(jiǎn)化運(yùn)動(dòng)的分析研究，我們定義剛體或質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心滿足運(yùn)動(dòng)定律： （536）式中為剛體或質(zhì)點(diǎn)系所受合外力，為剛體或質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量，為質(zhì)心的瞬時(shí)加速度。注意：（1）質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)可以代表剛體的平動(dòng)，因?yàn)閯傮w平動(dòng)時(shí)剛體上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律相同。（2）用合外力和整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量來(lái)得到質(zhì)心的加速度是比較方便的，因?yàn)樵谇懊娴臋C(jī)械運(yùn)動(dòng)研究中我們一直用的是這種方法。（3）質(zhì)心的概念是把整個(gè)剛體或質(zhì)點(diǎn)系看成為一個(gè)等效的質(zhì)點(diǎn)，整個(gè)剛體或質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量集中在這個(gè)質(zhì)點(diǎn)上，所有的合外力也作用在這個(gè)質(zhì)點(diǎn)上。（4）由定義和后面的研究可以得到質(zhì)心實(shí)際上就是剛體或質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量中心。在質(zhì)量均勻分布的剛體或質(zhì)點(diǎn)系中，質(zhì)心就是幾何對(duì)稱中心。二、質(zhì)心坐標(biāo)1兩小球剛體的質(zhì)心 圖515 兩小球剛體質(zhì)心的測(cè)定 由上面的質(zhì)心要求，即所有質(zhì)量、所有外力集中在該點(diǎn)，剛體產(chǎn)生平動(dòng)。那么我們可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)研究剛體質(zhì)量分布與坐標(biāo)的關(guān)系，從而得到剛體的質(zhì)心位置坐標(biāo)。如圖515所示實(shí)驗(yàn)裝置，兩小球可看成兩質(zhì)點(diǎn)，用剛性輕質(zhì)細(xì)桿連接，細(xì)桿質(zhì)量可忽略。將此剛體放在光滑的水平面上，建立oxy坐標(biāo)系，質(zhì)量為的小球坐標(biāo)為（，），質(zhì)量為的小球坐標(biāo)為（，）。實(shí)驗(yàn)中用棒擊打剛體的輕質(zhì)細(xì)棒部分，可以發(fā)現(xiàn)打在任意位置剛體都有平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，只有打在C點(diǎn)（坐標(biāo)為，），剛體只有平動(dòng)沒(méi)有轉(zhuǎn)動(dòng)，根據(jù)質(zhì)心的要求，該點(diǎn)就是質(zhì)心。下面通過(guò)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到質(zhì)心的坐標(biāo)與剛體質(zhì)量分布和坐標(biāo)的關(guān)系。由實(shí)驗(yàn)測(cè)量，可得質(zhì)心到小球的距離與質(zhì)心到小球的距離的比值為： （537）即距離與質(zhì)量成反比的關(guān)系，質(zhì)心的坐標(biāo)靠近質(zhì)量大的小球。由剛體的幾何形狀，構(gòu)造出質(zhì)心和兩小球組成的的兩個(gè)相似三角形，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的關(guān)系，將式子中的距離之比變?yōu)樾∏蚝唾|(zhì)心坐標(biāo)之比： （538）由上兩式得質(zhì)心坐標(biāo)為： （539） （540） 由計(jì)算結(jié)果可以看出兩小球的質(zhì)量起到了坐標(biāo)權(quán)重的作用，即質(zhì)量越大的小球坐標(biāo)對(duì)質(zhì)心的坐標(biāo)影響越大，質(zhì)心靠近質(zhì)量大的小球，遠(yuǎn)離質(zhì)量小的小球。2離散質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心 圖516 質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心將兩小球的計(jì)算方法推廣到n個(gè)離散質(zhì)點(diǎn)組成的剛體或質(zhì)點(diǎn)系中，設(shè)質(zhì)點(diǎn)系各質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量m1、 m2、 mi、 mn，它們的位矢r1、 r2、 ri、 rn （圖516）。則質(zhì)心位置矢量為： （541）式中。質(zhì)心位置坐標(biāo)為： （542） （543） （544）3連續(xù)分布物體的質(zhì)心 圖517 連續(xù)分布物體的質(zhì)心將質(zhì)量連續(xù)分布的物體（包括剛體）分割為一個(gè)個(gè)質(zhì)量微元，其中任一質(zhì)量微元的質(zhì)量為，位置矢量為（圖517），則其質(zhì)心位置矢量為： （545）式中為物體或剛體的總質(zhì)量。質(zhì)心坐標(biāo)為： （546） （547） （548）注意：（1）質(zhì)量均勻?qū)ΨQ分布剛體的質(zhì)心就是它的幾何對(duì)稱中心。（2）質(zhì)心、重心是兩個(gè)不同的概念，但物體不太大時(shí)，質(zhì)心和重心位置重合。（3）當(dāng)以質(zhì)心為參照系時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系總動(dòng)量為零。（4）一個(gè)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)系或剛體，其質(zhì)心坐標(biāo)是隨時(shí)間發(fā)生改變的。對(duì)于剛體來(lái)說(shuō)，質(zhì)心相對(duì)于剛體中各質(zhì)點(diǎn)的位置是確定的，該位置不因坐標(biāo)系的不同選擇而不同。對(duì)于任意質(zhì)點(diǎn)系來(lái)說(shuō)，在某一時(shí)刻質(zhì)心相對(duì)各質(zhì)點(diǎn)的位置是確定的，不因坐標(biāo)系的選擇而改變。（5）在前面質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒定律例子中，質(zhì)點(diǎn)系各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位置在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中發(fā)生改變，但系統(tǒng)的質(zhì)心位置不變。例58 如圖（例58圖），在光滑水平面上，有一質(zhì)量為長(zhǎng)為的小車，質(zhì)量為的人站在車上，起初人和車均靜止，當(dāng)人從車一端走到另一端時(shí)，求人和車相對(duì)地面走過(guò)的距離是多少？例58圖解 人車所受合外力為零，系統(tǒng)質(zhì)心靜止，現(xiàn)在仍靜止。設(shè)質(zhì)心為坐標(biāo)原點(diǎn)，將人和車看成兩質(zhì)點(diǎn)，為人在該過(guò)程中相對(duì)地面走過(guò)的長(zhǎng)度，為車在該過(guò)程中相對(duì)地面走過(guò)的長(zhǎng)度。則人走動(dòng)后系統(tǒng)的質(zhì)心坐標(biāo)仍為0：再由幾何關(guān)系可得：計(jì)算結(jié)果與動(dòng)量守恒定律計(jì)算方法一樣。對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)建立在質(zhì)心處，有，利用該式可證明剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理。例59 求腰長(zhǎng)為a的等腰直角三角形均勻薄板質(zhì)心的位置坐標(biāo)（例59圖）。 例59圖解 如圖（例59圖）建立坐標(biāo)系，y軸將直角等分。由對(duì)稱性可知，下面只要求。上面腰的直線方程為：。在薄板上任意選擇一個(gè)面積微元，微元上每一點(diǎn)的水平坐標(biāo)值都為x，微元的面積為： 設(shè)薄板質(zhì)量面密度為，則微元質(zhì)量為： 整個(gè)薄板的水平質(zhì)心坐標(biāo)為：例510 求半徑為a的均質(zhì)半圓球的質(zhì)心（例510圖）。 例510圖解 常用的方法是對(duì)稱法，質(zhì)點(diǎn)在對(duì)稱面，對(duì)稱軸，對(duì)稱中心等上。如圖建立坐標(biāo)系o-xyz，則C在z軸上，取質(zhì)量元為如圖所示（例510圖）的薄圓板，厚度為dz，由于，則例511 求兩圓和之間均勻薄片質(zhì)心（例511圖）。 例511圖解 由對(duì)稱性xc0 三、質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律按照實(shí)驗(yàn)方法得到的剛體質(zhì)心坐標(biāo)，是否符合剛體或質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心應(yīng)滿足的條件呢？下面就要進(jìn)行證明：對(duì)由實(shí)驗(yàn)得到的質(zhì)心坐標(biāo)求導(dǎo)數(shù)得： 得質(zhì)心的速度： （549）兩邊再求導(dǎo)數(shù)，得質(zhì)心的加速度： （550） 得質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律： （551） 實(shí)驗(yàn)得到的質(zhì)心坐標(biāo)與質(zhì)心應(yīng)滿足的條件完全符合。 剛體平動(dòng)時(shí)，剛體上任意一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀況都是相同的，故可以選擇質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)來(lái)描述剛體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，所以，剛體平動(dòng)時(shí)的動(dòng)力學(xué)方程就是質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律。質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)與這樣一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)具有相同的規(guī)律，該質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量等于質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量，作用于該質(zhì)點(diǎn)的力等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力的矢量和。這個(gè)結(jié)論稱為質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律。第五節(jié) 剛體的功和能 圖518 剛體的重力勢(shì)能 有了剛體質(zhì)心的概念之后，我們就可以得到剛體的重力勢(shì)能、平動(dòng)動(dòng)能等，就可以運(yùn)用功和能的關(guān)系研究剛體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)過(guò)程。1.剛體的重力勢(shì)能剛體的重力勢(shì)能是組成剛體的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)重力勢(shì)能之和，即 （552）即剛體的重力勢(shì)能相當(dāng)于質(zhì)量集中在剛體質(zhì)心的重力勢(shì)能（圖518）。2.剛體系統(tǒng)機(jī)械能在機(jī)械運(yùn)動(dòng)過(guò)程中剛體系統(tǒng)所具有的機(jī)械能包括各剛體的平動(dòng)動(dòng)能、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能、重力勢(shì)能、其它的勢(shì)能。具體形式為： （553）3.剛體系統(tǒng)功能原理 剛體系統(tǒng)是質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)中的一種，所以根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系功能原理，剛體系統(tǒng)的功能原理： （554） 為剛體系統(tǒng)所受合外力做的功，為剛體系統(tǒng)非保守內(nèi)力所做的功，為剛體系統(tǒng)的機(jī)械能增量。4.剛體系統(tǒng)機(jī)械能守恒定律當(dāng)剛體系統(tǒng)所受合外力做功和非保守內(nèi)力做功為零時(shí)，即 ，剛體系統(tǒng)機(jī)械能守恒： （555） 我們可以運(yùn)用剛體系統(tǒng)功和能的計(jì)算，研究剛體系統(tǒng)的有關(guān)機(jī)械運(yùn)動(dòng)過(guò)程。例512 如圖（例512圖）一長(zhǎng)為質(zhì)量為的均勻細(xì)棒，可繞水平光滑軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，離棒的端點(diǎn)的距離為，棒從水平靜止的狀態(tài)開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，求棒轉(zhuǎn)到豎直位置時(shí)點(diǎn)的速度。例512圖解 OC的長(zhǎng)度為： 選擇棒和地球組成剛體系統(tǒng)，在棒轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中，外力做功為零，非保守內(nèi)力做功也為零，因此剛體系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，棒水平位置時(shí)的機(jī)械能等于棒豎直位置的機(jī)械能。重力勢(shì)能零點(diǎn)選在棒豎直位置時(shí)的C點(diǎn)，J是剛體繞O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。有：根據(jù)平行軸定理： 剛體轉(zhuǎn)到豎直位置時(shí)的角速度為。 A的速度為：例513 A、B兩盤無(wú)摩擦轉(zhuǎn)動(dòng)（例513圖）。繩與圓盤間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)。已知 A、B半徑分別為R1，R2，A、B、C質(zhì)量分別為m1，m2，m，求：重物C由靜止下降h時(shí)的速度v。 例513圖解 選擇A、B、C和地球組成剛體系統(tǒng)，在重物C下落的過(guò)程中，外力做功為零非保守內(nèi)力做功為零，系統(tǒng)機(jī)械能守恒： 即重物下落前系統(tǒng)的機(jī)械能等于重物下落h后系統(tǒng)的機(jī)械能。重物下落的速度就是A、B圓盤邊沿繩的速度。繩的速度與A、B圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)角速度和滿足線量和角量的轉(zhuǎn)換關(guān)系： A、B圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)分別為： 重物下落的速度為：例514 如圖（例514圖）一輕質(zhì)彈簧的彈性系數(shù)為，連接了一勻質(zhì)細(xì)桿，桿長(zhǎng)為，質(zhì)量為。桿可繞C點(diǎn)在豎直平面內(nèi)無(wú)摩擦轉(zhuǎn)動(dòng)。若當(dāng)時(shí)彈簧為原長(zhǎng)，此時(shí)細(xì)桿至少具有多大的角速度才能轉(zhuǎn)到水平位置？ 例514圖解 取彈簧、細(xì)桿、地球?yàn)橄到y(tǒng)，外力做功為零，非保守內(nèi)力做功為零，系統(tǒng)機(jī)械能守恒： 即細(xì)桿豎直時(shí)的重力勢(shì)能轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能細(xì)桿水平時(shí)的彈性勢(shì)能。將，。，代入得細(xì)桿轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為：第六節(jié) 剛體的平面運(yùn)動(dòng)在剛體的一般運(yùn)動(dòng)中有一種比較簡(jiǎn)單常見(jiàn)的運(yùn)動(dòng)，就是剛體的平面運(yùn)動(dòng)。剛體的平面運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)是：剛體質(zhì)心被限制在一個(gè)平面內(nèi)，剛體繞通過(guò)質(zhì)心并與平面垂直的轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)。如車輪在地面上的滾動(dòng)、手榴彈在空中翻滾飛行等都是剛體的平面運(yùn)動(dòng)。運(yùn)用剛體運(yùn)動(dòng)的合成與分解方法，剛體平面運(yùn)動(dòng)可表示為：剛體平面運(yùn)動(dòng)跟隨質(zhì)心的平動(dòng)繞通過(guò)質(zhì)心垂直平面軸的轉(zhuǎn)動(dòng)基于剛體平面運(yùn)動(dòng)的構(gòu)成，我們可以采用“動(dòng)力學(xué)輔助條件”的方法研究其運(yùn)動(dòng)問(wèn)題。當(dāng)然也可以用功和能等其它方法來(lái)研究。1.平動(dòng)在剛體平面運(yùn)動(dòng)中，剛體的平動(dòng)就是剛體跟隨質(zhì)心所做的運(yùn)動(dòng)。因此剛體的平動(dòng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律就是剛體的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律： （556） 式中為剛體所受合外力，為整個(gè)剛體質(zhì)量，為剛體質(zhì)心加速度。在直角坐標(biāo)系中： （557） （558） 、為剛體在x、y方向所受合外力，、為剛體質(zhì)心在x、y方向的瞬時(shí)加速度。2.轉(zhuǎn)動(dòng) 剛體平面運(yùn)動(dòng)中的轉(zhuǎn)動(dòng)就是剛體繞通過(guò)質(zhì)心垂直于質(zhì)心運(yùn)動(dòng)平面的轉(zhuǎn)軸所做的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，因此該運(yùn)動(dòng)滿足剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律。 （559） 式中為剛體所受相對(duì)與通過(guò)質(zhì)心轉(zhuǎn)軸的合外力矩，為剛體繞通過(guò)質(zhì)心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，為剛體繞通過(guò)質(zhì)心轉(zhuǎn)軸的角加速度。3.純滾動(dòng)條件（無(wú)滑滾動(dòng)）在剛體平面運(yùn)動(dòng)中，除了剛體滿足上面平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程外，常常還會(huì)滿足剛體純滾動(dòng)的條件。在滿足純滾動(dòng)條件下，剛體做平面運(yùn)動(dòng)時(shí)又平動(dòng)又滾動(dòng)，剛體平動(dòng)質(zhì)心的加速度與剛體繞通過(guò)質(zhì)心轉(zhuǎn)軸的角加速度以及圓盤、圓柱、圓球一類剛體的半徑之間滿足角量和線量的轉(zhuǎn)換關(guān)系： （560） 圖519 車輪的純滾動(dòng)例如半徑為R的車輪在地面上做純滾動(dòng)，在滾動(dòng)的過(guò)程中車輪與地面間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，車輪質(zhì)心的加速度為，車輪繞通過(guò)輪心C的轉(zhuǎn)動(dòng)角加速度為（圖519）。通過(guò)運(yùn)動(dòng)分析可以得到：由于車輪純滾動(dòng)，車輪質(zhì)心單位時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)的長(zhǎng)度等于車輪邊沿一點(diǎn)繞軸做圓周運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)過(guò)的弧長(zhǎng)，所以質(zhì)心切向運(yùn)動(dòng)規(guī)律與繞軸做圓周運(yùn)動(dòng)車輪邊沿一點(diǎn)切向運(yùn)動(dòng)規(guī)律相同，兩者的切向線加速度相同，。根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)角量和線量的轉(zhuǎn)換關(guān)系： （561） 從而有： （562）這就是純滾動(dòng)條件。在該問(wèn)題中我們是將車輪的運(yùn)動(dòng)分解為質(zhì)心的平動(dòng)和繞通過(guò)質(zhì)心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)兩部分運(yùn)動(dòng)。其實(shí)該問(wèn)題可以有另外一種運(yùn)動(dòng)分析：這個(gè)車輪的運(yùn)動(dòng)可看成繞通過(guò)車輪與地面的接觸點(diǎn)S垂直于輪面的轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)，該轉(zhuǎn)軸相對(duì)地面是靜止的，稱為瞬時(shí)軸。在此分析下剛體只有繞該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，沒(méi)有其它的運(yùn)動(dòng)?？赡苓@種運(yùn)動(dòng)分解，求解起來(lái)會(huì)比較困難?？傊畡傮w運(yùn)動(dòng)的分解可有多種方法，在問(wèn)題中具體采用哪種方法，取決于求解問(wèn)題是否簡(jiǎn)單方便。在剛體平面運(yùn)動(dòng)中，一般就是通過(guò)這三組方程來(lái)求解相關(guān)問(wèn)題，也可以根據(jù)問(wèn)題在結(jié)合其它方法和其它輔助條件去求解。4.例題例515 如圖（例515圖）一質(zhì)量為的均勻細(xì)桿，桿長(zhǎng)為，用兩根輕質(zhì)細(xì)繩A、B水平懸掛。問(wèn)當(dāng)繩被剪斷的瞬間，繩上的張力有多大？ 例515圖解一：用平動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)分解法。本題是剛體平面運(yùn)動(dòng)問(wèn)題。運(yùn)動(dòng)分解為兩部分：細(xì)桿跟隨質(zhì)心（桿的中心）的平動(dòng)，細(xì)桿繞通過(guò)質(zhì)心的軸轉(zhuǎn)動(dòng)。設(shè)此時(shí)繩中張力為T，細(xì)桿質(zhì)心加速度為，滿足質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律： 以質(zhì)心C為軸，滿足轉(zhuǎn)動(dòng)定律： 細(xì)桿質(zhì)心加速度與細(xì)桿B端點(diǎn)繞通過(guò)質(zhì)心轉(zhuǎn)軸的角加速度滿足角量和線量的關(guān)系，類似純滾動(dòng)條件，B相對(duì)地面不動(dòng)，質(zhì)心相對(duì)地面的加速度為： 上面三式聯(lián)立求解，得繩子張力：解二：混合方法。對(duì)平動(dòng)用細(xì)桿質(zhì)心C的運(yùn)動(dòng)定律，對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)用細(xì)桿繞瞬時(shí)軸B的轉(zhuǎn)動(dòng)定律。質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律： 繞B軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定律： 式中合外力相對(duì)B軸的力矩，為細(xì)桿繞B軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。純滾動(dòng)條件： 繩的張力： 計(jì)算結(jié)果與解一完全相同，說(shuō)明剛體問(wèn)題的計(jì)算方法不是唯一的，例516 一半徑為R，質(zhì)量均勻分布并為m的剛性小球，放在有摩擦的水平面上，在如圖所示（例516圖）的外力F作用下，作無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)，設(shè)力的作用線到質(zhì)心的垂直距離為d,求摩擦力f的大小方向。例516圖解 由于質(zhì)量均勻?qū)ΨQ分布，質(zhì)心就是球心?？梢耘袛嗍莿傮w平面運(yùn)動(dòng)，剛體質(zhì)心始終在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)剛體又繞通過(guò)質(zhì)心C的轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)。設(shè)質(zhì)心加速度為，方向水平向右。設(shè)小球在純滾動(dòng)時(shí)受到的摩擦力為f，方向向左。摩擦力f的方向并不能由題意直接正確判斷，因此在不違反題意的情況下先設(shè)一個(gè)方向，此方向?yàn)閰⒖颊较颍瑢?shí)際方向與它相同，解出的f值為正的，否則為負(fù)的。小球滿足質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律：小球滿足繞通過(guò)質(zhì)心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定律： 式中為小球所受合外力矩，是小球轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于轉(zhuǎn)動(dòng)角加速度，是直接用角量轉(zhuǎn)換為線量代入的。解得小球所受摩擦力為：由計(jì)算結(jié)果可分析出：當(dāng)時(shí)，f方向向左。當(dāng)時(shí)，。 當(dāng)時(shí)，f方向向右。例517 一質(zhì)量為m、半徑為R的圓柱體，無(wú)滑動(dòng)地從傾角為的斜坡上滾下（例517圖），求圓柱體質(zhì)心的加速度。 例517圖解 如圖（例517圖）沿斜坡建立坐標(biāo)系，圓柱體的質(zhì)心為幾何對(duì)稱中心，可判斷出圓柱體做平面運(yùn)動(dòng)。設(shè)為圓柱體受到的摩擦力，重力P在x軸上的投影為，圓柱體所滿足的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律為：繞通過(guò)質(zhì)心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定律： 無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)就是純滾動(dòng)，角量和線量變換滿足：上三式聯(lián)立解得圓柱體滾下時(shí)質(zhì)心加速度：例518 一輕質(zhì)細(xì)繩繞著A、B兩圓盤，繩與盤邊沿間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)。A盤半徑為，質(zhì)量為，可繞固定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)（例518a圖）。B盤半徑為，質(zhì)量為，求B下落時(shí)輪心C的加速度以及細(xì)繩的拉力。例518a圖 例518b圖解 建坐標(biāo)系，向下為正（例518b圖）。兩盤做平面運(yùn)動(dòng)，質(zhì)心都在盤心處。隔離物體，分別進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析。對(duì)A盤，只有定軸轉(zhuǎn)動(dòng)： 式中為繩子對(duì)A盤的拉力，為A盤所受合外力矩，為A盤角加速度。對(duì)B盤，有平動(dòng)有轉(zhuǎn)動(dòng)。所滿足的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律：式中為繩子對(duì)B盤的拉力，為B盤的質(zhì)心加速度。B盤滿足的轉(zhuǎn)動(dòng)定律： 式中為B盤所受合外力矩，為B盤角加速度。由純滾動(dòng)條件得： ，式中為A盤邊沿相對(duì)O軸做圓周運(yùn)動(dòng)的切向加速度，為B盤邊沿相對(duì)C軸做圓周運(yùn)動(dòng)的切向加速度。另根據(jù)相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系，B盤質(zhì)心相對(duì)地面的加速度等于： 兩段繩中的拉力相同：由上面式子可得B盤加速度： 繩子中的拉力：第七節(jié) 剛體的角動(dòng)量 角動(dòng)量守恒定律 在第四章中，我們研究了質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量問(wèn)題。在那里我們考察了外力矩對(duì)時(shí)間的積累作用改變了質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量。在本節(jié)中我們要來(lái)研究合外力矩對(duì)剛體持續(xù)的作用，對(duì)剛體運(yùn)動(dòng)的影響。1.沖量矩首先考察的合外力矩對(duì)剛體的持續(xù)作用，即合外力矩對(duì)時(shí)間的積累作用或合外力矩對(duì)時(shí)間的積分。我們稱其為剛體受到的沖量矩：為剛體所受相對(duì)定軸的合外力矩。沖量矩對(duì)剛體的運(yùn)動(dòng)會(huì)產(chǎn)生怎樣的影響？根據(jù)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律：代入沖量矩的計(jì)算式： （563）通過(guò)計(jì)算我們得到：沖量矩的作用會(huì)改變剛體的狀態(tài)量。是什么狀態(tài)量呢？2.剛體對(duì)軸的角動(dòng)量 圖520 剛體中任一質(zhì)點(diǎn)對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量剛體在做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體內(nèi)每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的都圍繞著轉(zhuǎn)軸做圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為、圓周運(yùn)動(dòng)的線速度為、轉(zhuǎn)動(dòng)半徑為、角動(dòng)量的大小為，方向沿著轉(zhuǎn)軸，符合右手螺旋關(guān)系（圖520）。由于剛體每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量方向都相同，剛體質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的總和L為： （564）式中用到，剛體中每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的角速度都相同，都等于剛體的角速度，將從每一項(xiàng)中提出來(lái)，剩下的部分就是剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量?，F(xiàn)在清楚了：就是剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量。剛體的角動(dòng)量： （565）注意：（1）剛體角動(dòng)量是瞬時(shí)值。（2）剛體角動(dòng)量是相對(duì)量，相對(duì)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的定軸。3.剛體對(duì)軸的角動(dòng)量定理通過(guò)上面的分析，沖量矩的作用是使得剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量變化。剛體對(duì)軸的角動(dòng)量定理：在剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，剛體所受沖量矩等于這個(gè)過(guò)程剛體角動(dòng)量的增量。積分形式： （566）注意：（1）剛體角動(dòng)量定理是過(guò)程方程。 （2）方程中各量都是相對(duì)同一轉(zhuǎn)軸的。（3）角動(dòng)量的增量與合外力矩方向相同。（4）可通過(guò)方程由狀態(tài)量求解相關(guān)過(guò)程量。（5）角動(dòng)量定理對(duì)于非剛體也成立，其公式為：，是時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，是時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。微分形式： （567） （568） 可以看出微分形式，不僅適用于剛體，而且適用于非剛體的情況。是比剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律適用范圍更廣的自然定律。4. 剛體對(duì)軸的角動(dòng)量守恒定律考察對(duì)軸的角動(dòng)量定理的微分形式，當(dāng)剛體所受合外力矩為零時(shí)： 則得到剛體對(duì)軸的角動(dòng)量守恒定律： （569） 定律表述：剛體在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，當(dāng)對(duì)轉(zhuǎn)軸的合外力矩為零時(shí)，剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量保持不變。 剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量守恒是經(jīng)?？梢砸?jiàn)到的 ，如人手持啞鈴的轉(zhuǎn)動(dòng)，芭蕾舞演員和花樣滑冰運(yùn)動(dòng)員作各種快速旋轉(zhuǎn)動(dòng)作（圖521），都利用了對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量守恒定律。 圖521 運(yùn)動(dòng)中的角動(dòng)量守恒注意：（1）守恒條件是相對(duì)轉(zhuǎn)軸的合外力矩為零。 （2）剛體(不變)的角動(dòng)量守恒。不變，故的大小，方向保持不變。如：直立旋轉(zhuǎn)的陀螺（圖522）。 圖522 直立旋轉(zhuǎn)的陀螺 （3）非剛體(可變)的角動(dòng)量守恒。當(dāng)增大，就減小，當(dāng)減小，就增大。如：芭蕾舞、花樣滑冰、跳水中的轉(zhuǎn)動(dòng)（圖523），恒星坍縮到中子星的形成等。圖523 跳水中的轉(zhuǎn)動(dòng)（4）多個(gè)物體的角動(dòng)量守恒。若系統(tǒng)由幾個(gè)物體組成，當(dāng)系統(tǒng)受到的外力對(duì)軸的