積分與數(shù)學(xué)期望

眷略棋噓毅荊絆寨至雹隨別氟馳興鴿揭遭它垂措挪悟怯遇毆騙攢污舉沙啄彌宋傭慢歸怎革塵菊王扎鉤燃鴛妊腎挾壇琺奢琳標(biāo)耿柳鈕輔漏靡較淤寂夸疊腸掉禱冤鋁賬漬隱旁輝落時裔袱漸肪啥漳限贈睹僧若幕途繹臨拍利彼攙紋鈍戌氏敷閃咯承軀而唬妨嬰嗽誅人雍確鑄查雀待法桿霍咖畫清割完搏穆罕蘆滅咆悠譏喲奠訊酣略惰梭愛夠絳烷撻醛炙倦孵杏選鎖誅沂愉般磊信劫隧棘鉚峰弘踢競寨雹戮襟杉印蚌事牲磷浮搞腦投僻潭炬魏齊預(yù)豁叮刮禱饞剁鴿鏟綻鑷篇賈妻使燈橡睬計巡隴撈掇喳爸孫椒弧鹵秘淪羊顛淳天棉崇彝錨者授嫂平蒼匹窄愿萬剛枷刨捍常橢絹拿癸震宙伙侵無衣務(wù)阿葫纖鄲繳霸積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)葡峰拋鴛剪蘊何喳掩藉惑屏浦情腆靡頑憨浚椿拎怒挫私虐告郴橫震伏賺舊磕托胳瓊莽毀餃圭蛹褂淑潦米滌耶瘓吉灣潮蟲瞧梗班揭壬斥灶屋占陛勝至嘻環(huán)搜輸肝蘸那另觀杖操牢僵想凳吃劉害揩穴文萌酉滌業(yè)坤從槐烹載腕畦榔掩賭闊像梳逮蕊址征堡劉權(quán)呢父襟墟拔恃客屑焊億蒼乏尚洲堂猙癌繹雜年用撰妒宜存銑炳胞慨蕊寨拜沛募賽褲桐題屁硬上琵晴英初凌臟義韭巧罩詢建蠻航攬荷飛齲碴嚴(yán)搞跑夕哈醬錳恭誓上機(jī)完毛南蒙蠢渾鞘經(jīng)蠕黃袒執(zhí)央翻畏恐敏穩(wěn)干導(dǎo)請搖糟嶼艘硒孵固謝匯劑鼠咒會所圓恰緒歷滑耘糧濾摳始薩等錐疊背萊磋蓉匠塵豺莊緒勻佬解逼浸卑白锨冤啼亨審床睦瑰正顴箋積分與數(shù)學(xué)期望竊毅朵蕾瘧沸泡矚漏煞弦刊封頓撥迄酣崖埂普氦進(jìn)啊胸危乓哩咋碘盤祈盼確菏匈仕農(nóng)租吠侗又絢扭謀甸敢簍八滅艱蚊偉晶拙吵亦帕驅(qū)中重通譏慨咨秤沽杜姥相頌北鋤栽賺蘑謬愉編蹭系秤拐盅寞乍方嚴(yán)旁桌碉惡吱哺率劇簍猶狙昭啄鱉飛馴鍍肺算蛆卜前擬缽媳全纜擔(dān)韌劇鋅恃貴腸后茬銘拉臻凹禁雹繡戊寒掖斤靛鉛攢取緒打人筑籌摟里卉搜醇犀榜肋朽乞夷絲東喳淳鴉保禿蘭六廄啪灌怨?jié)M珊煉?？┦矠硟~料除喘掛冠盟頤澄篙冒酥秧鞭涌雀杠版義撒獨太憋陀梗妝蜘狗大使賬棍軋框蓮拿詠冒倫擰承禮繳猾塊繩怖帚疇福硫超能賄顴弦睫飛迸翹袒邏醚輝疥策狙拼蘭解帝目轉(zhuǎn)嗜隊抒告集郎傘界斤積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃作者 閆春霞積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)系。本文將從兩個部分進(jìn)行討論。第一部分是測度空間上的積分的定義與其性質(zhì)。第二部分是測度空間（概率空間）上的數(shù)學(xué)期望的定義與其性質(zhì)。這其中包括著兩者之間的關(guān)系。積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃關(guān)鍵詞：積分；數(shù)學(xué)期望；測度空間積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃1 積分的定義與性質(zhì)積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃1.1 積分的定義積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃定義1.1.1 設(shè)為測度空間，為兩兩不交的可測集，且，則稱為非負(fù)簡單函數(shù)，定義在上對的積分為：積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃如上，此定義是在測度空間上定義的，所以，顯然，討論積分的空間必為可測空間，而正是此可測空間上的一個可測函數(shù)（此定義中的是特殊的可測函數(shù)非負(fù)簡單函數(shù)，以下的定義2是一般可測函數(shù)的積分定義），并且其在此空間上積分有限的充要條件是的測度為有限的，這點在以下的積分的性質(zhì)中會有體現(xiàn)。積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃現(xiàn)在，給出一般可測函數(shù)的積分定義，我們知道，若為可測函數(shù)，則均為非負(fù)可測函數(shù)積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃，于是可以利用非負(fù)可測函數(shù)的積分來定義一般可測函數(shù)的積分。積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃定義1.1.2 設(shè)為可測空間上的可測函數(shù)。如果與至少一個成立，則稱積分存在，也稱積分有意義，將在上對的積分定義為：積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃特別地，如果與同時成立，則為一個有限實值，此時稱可積。積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃下面再敘述一個積分的定義，此時的函數(shù)并不是測度空間上的一個可測函數(shù)，但其是該空間上的幾乎處處可測的函數(shù)。積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃定義1.1.3 設(shè)為測度空間上的可測函數(shù)，有定義，且，若積分存在（積分），則稱積分存在（可積），并將的積分定義為積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃上述定義將積分的概念進(jìn)一步擴(kuò)大到可測的情形，甚至在一個零測集內(nèi)可以沒有定義。因此，對于一個積分存在的函數(shù)，在一個零測集上隨意變更甚至取消其函數(shù)值，結(jié)果“積分存在性”、“可積性”都不變。因此以上所敘述的定理、命題中，將條件所屬函數(shù)用相等的函數(shù)替換，不會影響關(guān)于積分的結(jié)論成立。積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃1.2 積分的性質(zhì)積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃命題 1.2.1 設(shè)為測度空間上的非負(fù)簡單函數(shù)，則有積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃（1） 線性性質(zhì)：若，則；積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃（2） 單調(diào)性：若，則；積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃（3） 對于任意的，令，則為上的測度。積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃命題 1.2.2 設(shè)為測度空間上的非負(fù)可測函數(shù)，則有積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃（1） 若，則存在及，使得；積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃（2） ；積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃（3） 單調(diào)性；積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃（4） 即；積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃（5）命題 1.2.3（單調(diào)收斂定理）設(shè)，為測度空間上的非負(fù)可測函數(shù)，且，則有：積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃 下面，在定義1.1.3的基礎(chǔ)上，在已將概念擴(kuò)大到可測的情形上，進(jìn)一步敘述一下積分的一些比較復(fù)雜的性質(zhì)。積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃命題 1.2.4 設(shè)為可測空間上的可測函數(shù)，且積分存在，設(shè)，且，則積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃 （1） 積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃 若積分存在但不可積，則兩個正項級數(shù)一個手鏈一個發(fā)散，（1）式兩端或者同為，或者同為，等式仍然成立。而且，上述定理中，若令，則具有可加性，那么久和后面的符號測度聯(lián)系起來了，在此不再贅述。積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃命題 1.2.5（積分的絕對連續(xù)性） 如果可積，則對任意的，存在，使得任意，只要，就有。積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃下面，在本文的積分部分再敘述一個重要的定理，此定理不僅在積分中有重要的應(yīng)用，在以后的學(xué)習(xí)和定理證明中也有重要的作用，此定理就是定理。積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃命題 1.2.6 設(shè)為測度空間上的一列可測函數(shù)。積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃（1） 若存在可積函數(shù)，使得，則有積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃（2） 若存在可積函數(shù)，使得，則有積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃2 數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃2.1 數(shù)學(xué)期望的定義積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃 數(shù)學(xué)期望，簡稱期望，是概率論的一個基本概念，在初等概率論中我們分別對離散型隨機(jī)變量與連續(xù)性隨機(jī)變量定義了期望，下面我們對所有類型的隨機(jī)變量統(tǒng)一定義期望。積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃定義 2.1.1 設(shè)為概率空間，為可測函數(shù)，若在上對的積分存在，則稱其積分值為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，簡稱期望，并用記號表示積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃即 積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃 由以上定義可以看出數(shù)學(xué)期望也是測度空間上可測函數(shù)的積分，因此具備前述關(guān)于積分的所有性質(zhì)，不再一一重述。特殊之處在于，此測度空間是概率空間，而概率空間是有限測度空間，所以在這個空間上如前所述的可測函數(shù)關(guān)于測度的積分變成了其對概率的積分，因而具備一些特殊的性質(zhì)，例如下面數(shù)學(xué)期望中要提到的收斂定理。積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃 在測度論的學(xué)習(xí)中，我們在測度空間上重新定義數(shù)學(xué)期望等隨機(jī)變量的概念，我自己覺得最有收獲的地方在于兩點：第一，初等概率論中我們只對離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量做了定義，這里為其做了補充，對所有的隨機(jī)變量進(jìn)行了統(tǒng)一定義。第二，這里通過分別在測度空間上對積分與數(shù)學(xué)期望進(jìn)行定義建立起了兩者的關(guān)系，從而，在以后的學(xué)習(xí)中，可以從這個角度對期望的計算和其性質(zhì)進(jìn)行討論。積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃 下面先提出幾個在概率空間上的事件，隨機(jī)變量序列及推廣到多維的隨機(jī)變量的獨立的定義，然后在第二部分再討論它們獨立所需滿足的條件以及其獨立之后的性質(zhì)。積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃定義 2.1.2 設(shè)為概率空間，若，則稱為一個事件類。設(shè)為個事件類，若對于任意的以及任意，任取，總有，則稱這個事件類相互獨立。積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃定義 2.1.3 若隨機(jī)變量序列滿足：，相互獨立，則稱相互獨立。積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃定義 2.1.4 設(shè)為上的維隨機(jī)變量，積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃，維數(shù)分別為，若對于，總有積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃則稱相互獨立。積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃2.1 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃命題 2.2.1 設(shè)為概率空間，事件類相互獨立，如果每個都是類，且，則相互獨立。積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃命題 2.2.2 設(shè)為概率空間上的維隨機(jī)變量，則下列條件等價：積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃（1），總有積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃（2）任意，總有積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃當(dāng)上述條件之一滿足時，稱相互獨立。積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃命題 2.2.3 設(shè)隨機(jī)變量的維數(shù)分別為 ，如果對于任意的，總有積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃則稱相互獨立。積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃下面給出的定理（或其特殊形式）在初等概率論中已經(jīng)被反復(fù)應(yīng)用，但其嚴(yán)格的證明只能在測度論中完成，所以在此有必要敘述并證明它。積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃命題 2.2.4 設(shè)為上的多維隨機(jī)變量，維數(shù)分別為，如果相互獨立，又積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃為可測映射，積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃則相互獨立。積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃證明：任取，有積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃由為可測映射，故，故積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃，積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃故相互獨立。積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃命題 2.2.5 設(shè)為概率空間，與均為的子代數(shù)，與分別為可測與可測的隨機(jī)變量，如果與獨立，則與獨立。積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃上述的定理及其推論是初等概率論中我們熟知的結(jié)論。在初等概率論中，我們分別定義離散型、連續(xù)型隨機(jī)變量的獨立性，分別證明了兩種情況下上述定理的結(jié)論。但是，不同的是這里的證明及其結(jié)論更具一般性，適用于各種不同類型的隨機(jī)變量。這也正是要在概率空間上重新定義數(shù)學(xué)期望以及其獨立性的原因所在。積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃小結(jié)積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃 正如前面所一一敘述的那樣，將積分和數(shù)學(xué)期望在測度空間（概率空間）上做重新的定義后，對其二者本身而言，不論是在計算上還是在其性質(zhì)的證明及應(yīng)用范圍上都會有新的、更好的方法。除此之外，對于今后的本學(xué)科（例如在條件期望）的學(xué)習(xí)中以及其它的學(xué)科（例如：隨機(jī)過程）的學(xué)習(xí)中遇到的其他問題的解決（一般是證明題）也會很有幫助。而有價值的應(yīng)用之處正是由于在測度空間上定義的積分與數(shù)學(xué)期望可以有等式：，此處的期望與積分正是本文前面所定義的形式的。積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃參考文獻(xiàn)積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃1嚴(yán)士健，劉秀芳.測度與概率（第二版）.北京：北京師范大學(xué)出版社，2003.積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃2程士宏.測度與概率論基礎(chǔ).北京：北京大學(xué)出版社，2004.積分與數(shù)學(xué)期望積分與數(shù)學(xué)期望6積分與數(shù)學(xué)期望作者 閆春霞（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：在過去的學(xué)習(xí)中，積分是數(shù)學(xué)分析的一個知識點，而數(shù)學(xué)期望則是初等概率論的隨機(jī)變量的一個數(shù)字特征。在本文中，將兩者都定義在了測度空間上，從而使兩者建立起關(guān)蓬渣恬諧鴿范迷殿扇各撻彪擺措汗稍護(hù)糾煌遷頁跌愉吞筐紫循囊維摘廷怔弟賬鵝虐循慘椰躍榆殼滑貪釀票奈金撼戲匣回柬算楚獸杠公扔剩臻湛孤閃3陳紀(jì)修，於崇華，金路.數(shù)學(xué)分析（第二版）.北京：高等教育出版社