高中數(shù)學(xué) 9.5幾何概型配套課件 蘇教版.ppt

第五節(jié)幾何概型 高考指數(shù) 隨機(jī) 都一樣 指定區(qū)域中的點(diǎn) 線段 平面圖形 立體圖形 即時(shí)應(yīng)用 1 思考 古典概型與幾何概型有何區(qū)別 提示 古典概型與幾何概型中基本事件發(fā)生的可能性都是相等的 但古典概型要求基本事件有有限個(gè) 幾何概型要求基本事件有無(wú)限個(gè) 2 判斷下列概率模型 是否是幾何概型 請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中填寫(xiě) 是 或 否 在區(qū)間 10 10 內(nèi)任取一個(gè)數(shù) 求取到1的概率 在區(qū)間 10 10 內(nèi)任取一個(gè)數(shù) 求取到絕對(duì)值不大于1的數(shù)的概率 在區(qū)間 10 10 內(nèi)任取一個(gè)整數(shù) 求取到大于1而小于2的數(shù)的概率 向一個(gè)邊長(zhǎng)為4cm的正方形abcd內(nèi)投一點(diǎn)p 求點(diǎn)p離中心不超過(guò)1cm的概率 解析 中概率模型不是幾何概型 雖然區(qū)間 10 10 有無(wú)限多個(gè)點(diǎn) 但取到 1 只是一個(gè)數(shù)字 不能構(gòu)成區(qū)域長(zhǎng)度 中概率模型是幾何概型 因?yàn)閰^(qū)間 10 10 和 1 1 上有無(wú)限多個(gè)數(shù)可取 滿(mǎn)足無(wú)限性 且在這兩個(gè)區(qū)間內(nèi)每個(gè)數(shù)被取到的機(jī)會(huì)是相等的 滿(mǎn)足等可能性 中概率模型不是幾何概型 因?yàn)樵趨^(qū)間 10 10 內(nèi)的整數(shù)只有21個(gè) 是有限的 不滿(mǎn)足無(wú)限性特征 中概率模型是幾何概型 因?yàn)樵谶呴L(zhǎng)為4cm的正方形和半徑為1cm的圓內(nèi)均有無(wú)數(shù)多個(gè)點(diǎn) 且這兩個(gè)區(qū)域內(nèi)的任何一個(gè)點(diǎn)都有可能被投到 故滿(mǎn)足無(wú)限性和等可能性 答案 否 是 否 是 3 有一杯2升的水 其中含一個(gè)細(xì)菌 用一個(gè)小杯從水中取0 1升水 則此小杯中含有這個(gè)細(xì)菌的概率是 解析 答案 0 05 4 在平面直角坐標(biāo)系xoy中 設(shè)f是橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的絕對(duì)值均不大于2的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域 e是到原點(diǎn)的距離不大于1的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域 向f中隨機(jī)投一點(diǎn) 則所投的點(diǎn)落在e中的概率是 解析 如圖 區(qū)域f表示邊長(zhǎng)為4的正方形abcd的內(nèi)部 含邊界 區(qū)域e表示單位圓及其內(nèi)部 因此p 答案 a b c d 5 在集合a m 關(guān)于x的方程無(wú)實(shí)根 中隨機(jī)地取一元素m 恰使式子lgm有意義的概率為 解析 由于得 10 在數(shù)軸上表示為 故所求概率為 答案 與長(zhǎng)度 角度 有關(guān)的幾何概型 方法點(diǎn)睛 1 與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型如果試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用長(zhǎng)度表示 則其概率的計(jì)算公式為 2 與角度有關(guān)的幾何概型當(dāng)涉及射線的轉(zhuǎn)動(dòng) 扇形中有關(guān)落點(diǎn)區(qū)域問(wèn)題時(shí) 應(yīng)以角的大小作為區(qū)域度量來(lái)計(jì)算概率 且不可用線段代替 這是兩種不同的度量手段 提醒 有時(shí)與長(zhǎng)度或角度有關(guān)的幾何概型 題干并不直接給出 而是將條件隱藏 與其他知識(shí)綜合考查 例1 1 在半徑為1的圓內(nèi)的一條直徑上任取一點(diǎn) 過(guò)這個(gè)點(diǎn)作垂直于直徑的弦 則弦長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)接等邊三角形邊長(zhǎng)的概率為 2 在等腰rt abc中 過(guò)直角頂點(diǎn)c在 acb內(nèi)作一條射線cd與線段ab交于點(diǎn)d 則ad ac的概率為 解題指南 1 問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為 直徑上到圓心o的距離小于的點(diǎn)構(gòu)成的線段長(zhǎng)與直徑長(zhǎng)之比 2 要使ad ac 可先找到ad ac時(shí) acd的度數(shù) 再求出相應(yīng)區(qū)域的角 利用幾何概型的概率公式求解即可 規(guī)范解答 1 記事件a為 弦長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng) 如圖 不妨在過(guò)等邊三角形bcd的頂點(diǎn)b的直徑be上任取一點(diǎn)f作垂直于直徑的弦 當(dāng)弦為cd時(shí) 就是等邊三角形的邊長(zhǎng) 弦長(zhǎng)大于cd的充要條件是圓心o到弦的距離小于of 此時(shí)f為oe的中點(diǎn) 由幾何概型概率公式得 答案 2 射線cd在 acb內(nèi)是均勻分布的 故 acb 90 可看成試驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域 在線段ab上取一點(diǎn)e 使ae ac 則可看成事件構(gòu)成的區(qū)域 所以滿(mǎn)足條件的概率為答案 互動(dòng)探究 1 若將本例 1 中條件改為 從圓周上任取兩點(diǎn) 連結(jié)兩點(diǎn)成一條弦 其他條件不變 求弦長(zhǎng)超過(guò)此圓內(nèi)接正三角形邊長(zhǎng)的概率 2 若將本例 2 中條件改為 在斜邊ab上任取一點(diǎn)d 其他條件不變 求ad ac的概率 解析 1 記事件a為 弦長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)接正三角形邊長(zhǎng) 如圖 取圓內(nèi)接正三角形的頂點(diǎn)b作為弦的一個(gè)端點(diǎn) 當(dāng)另一個(gè)端點(diǎn)e在劣弧上時(shí) be bc 而劣弧的長(zhǎng)恰為圓周長(zhǎng)的由幾何概型概率公式有 2 在ab上截取ae ac 且記事件m ad的長(zhǎng)小于ac的長(zhǎng) 則所以ad的長(zhǎng)小于ac的長(zhǎng)的概率是 反思 感悟 將每個(gè)基本事件理解為從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn) 該區(qū)域中每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣 而一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域中的點(diǎn) 這樣的概率模型就可以用幾何概型來(lái)求解 變式備選 1 在長(zhǎng)為12cm的線段ab上任取一點(diǎn)m 并以線段am為一邊作正方形 則此正方形的面積介于36cm2到81cm2之間的概率為 解析 正方形的面積介于36cm2到81cm2之間 所以正方形的邊長(zhǎng)介于6cm到9cm之間 線段ab的長(zhǎng)度為12cm 則所求概率為答案 2 在區(qū)間 1 1 上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x 的值介于0到之間的概率為 解析 在區(qū)間 1 1 上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x 即x 1 1 要使的值介于0到之間 需使或 或區(qū)間長(zhǎng)度為由幾何概型知的值介于0到之間的概率為答案 與面積有關(guān)的幾何概型問(wèn)題 方法點(diǎn)睛 1 與面積有關(guān)的幾何概型問(wèn)題如果試驗(yàn)的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用面積表示 則其概率的計(jì)算公式為 2 與體積有關(guān)的幾何概型問(wèn)題如果試驗(yàn)的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用體積表示 則其概率的計(jì)算公式為 例2 1 設(shè)有一個(gè)等邊三角形網(wǎng)格 其中各個(gè)最小等邊三角形的邊長(zhǎng)都是現(xiàn)用直徑為2cm的硬幣投擲到此網(wǎng)格上 則硬幣落下后與格線沒(méi)有公共點(diǎn)的概率為 2 正方體abcd a1b1c1d1的棱長(zhǎng)為1 在正方體內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)m 則使四棱錐m abcd的體積小于的概率為 解題指南 1 硬幣落下后與格線沒(méi)有公共點(diǎn)即表示硬幣中心到三角形各邊 格線 的距離都大于1 在等邊三角形內(nèi)作三條與等邊三角形三邊距離均為1的直線構(gòu)成小等邊三角形 當(dāng)硬幣的中心在小三角形內(nèi)時(shí) 硬幣與三邊都無(wú)交點(diǎn) 所以硬幣與格線沒(méi)有公共點(diǎn)就轉(zhuǎn)化為硬幣中心落在小等邊三角形內(nèi)的問(wèn)題 2 先根據(jù)四棱錐m abcd體積等于時(shí)m的位置 再找出體積小于時(shí)m的位置 規(guī)范解答 1 記e 硬幣落下后與格線沒(méi)有公共點(diǎn) 如圖所示 小三角形的邊長(zhǎng)為答案 2 正方體abcd a1b1c1d1中 設(shè)m abcd的高為h 則又s四邊形abcd 1 h 若體積小于則h 即點(diǎn)m在正方體的下半部分 答案 互動(dòng)探究 本例 2 中條件不變 求m落在三棱柱abc a1b1c1內(nèi)的概率 求m落在三棱錐b a1b1c1內(nèi)的概率 解析 v正方體 1 所求概率 所求概率 反思 感悟 幾何圖形類(lèi)的幾何概型問(wèn)題對(duì)于幾何圖形中的幾何概型問(wèn)題 尋求事件構(gòu)成區(qū)域的關(guān)鍵是先找出符合題意的臨界位置 如本例 1 中 在等邊三角形內(nèi)作三條與等邊三角形三邊距離均為1的直線構(gòu)成小等邊三角形 2 中先找出滿(mǎn)足條件時(shí)臨界值m的位置 再尋求事件構(gòu)成的區(qū)域 變式備選 設(shè) 1 a 1 1 b 1 則關(guān)于x的方程x2 ax b2 0有實(shí)根的概率是 解析 由題知該方程有實(shí)根滿(mǎn)足條件作平面區(qū)域如圖 由圖知陰影面積為1 總的事件對(duì)應(yīng)的面積為正方形的面積 故概率為答案 生活中的幾何概型問(wèn)題 方法點(diǎn)睛 生活中的幾何概型度量區(qū)域的構(gòu)造將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何概型中的長(zhǎng)度 角度 面積 體積等常見(jiàn)幾何概型的求解問(wèn)題 構(gòu)造出隨機(jī)事件a對(duì)應(yīng)的幾何圖形 利用幾何圖形的度量來(lái)求隨機(jī)事件的概率 根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的具體情況 合理設(shè)置參數(shù) 建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系 在此基礎(chǔ)上將試驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果一一對(duì)應(yīng)于該坐標(biāo)系的點(diǎn) 便可構(gòu)造出度量區(qū)域 提醒 當(dāng)基本事件受兩個(gè)連續(xù)變量控制時(shí) 一般是把兩個(gè)連續(xù)變量分別作為一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo) 這樣基本事件就構(gòu)成了平面上的一個(gè)區(qū)域 即可借助平面區(qū)域解決 例3 甲 乙兩船駛向一個(gè)不能同時(shí)停泊兩艘船的碼頭 它們?cè)谝粫円箖?nèi)到達(dá)該碼頭的時(shí)刻是等可能的 如果甲船停泊時(shí)間為1h 乙船停泊時(shí)間為2h 求它們中的任意一艘都不需要等待碼頭空出的概率 解題指南 要使兩船都不需要等待碼頭空出 當(dāng)且僅當(dāng)甲比乙早到達(dá)1h以上或乙比甲早到達(dá)2h以上 規(guī)范解答 這是一個(gè)幾何概型問(wèn)題 設(shè)甲 乙兩艘船到達(dá)碼頭的時(shí)刻分別為x與y a為 兩船都不需要等待碼頭空出 則0 x 24 0 y 24 要使兩船都不需要等待碼頭空出 當(dāng)且僅當(dāng)甲比乙早到達(dá)1h以上或乙比甲早到達(dá)2h以上 即y x 1或x y 2 故所求事件構(gòu)成集合a x y y x 1或x y 2 x 0 24 y 0 24 a為圖中陰影部分 全部結(jié)果構(gòu)成集合 為邊長(zhǎng)是24的正方形 所求概率為 x y o 1 2 24 24 y x 1 x y 2 反思 感悟 解答本題的關(guān)鍵是把兩個(gè)時(shí)間分別用x y兩個(gè)坐標(biāo)表示 構(gòu)成平面內(nèi)的點(diǎn) x y 從而把時(shí)間是一段長(zhǎng)度問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形的二維面積問(wèn)題 進(jìn)而轉(zhuǎn)化成面積型幾何概型的問(wèn)題 變式訓(xùn)練 甲 乙兩人約定上午7 00至8 00之間到某站乘公共汽車(chē) 在這段時(shí)間內(nèi)有3班公共汽車(chē) 它們開(kāi)車(chē)時(shí)刻分別為7 20 7 40 8 00 如果他們約定 見(jiàn)車(chē)就乘 求甲 乙乘同一車(chē)的概率 解析 設(shè)甲到達(dá)汽車(chē)站的時(shí)刻為x 乙到達(dá)汽車(chē)站的時(shí)刻為y 則7 x 8 7 y 8 x y o 8 00 7 40 7 20 7 00 7 20 7 40 8 00 即甲 乙兩人到達(dá)汽車(chē)站的時(shí)刻 x y 所對(duì)應(yīng)的區(qū)域在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出 如圖所示 是大正方形 將三班車(chē)到站的時(shí)刻在圖形中畫(huà)出 則甲 乙兩人要想乘同一班車(chē) 必須滿(mǎn)足即 x y 必須落在圖形中的三個(gè)帶陰影的小正方形內(nèi) 所以由幾何概型的計(jì)算公式得 即甲 乙乘同一車(chē)的概率為 易錯(cuò)誤區(qū) 對(duì)幾何圖形認(rèn)識(shí)不清致誤 典例 2011 江西高考 小波通過(guò)做游戲的方式來(lái)確定周末活動(dòng) 他隨機(jī)地往單位圓內(nèi)投擲一點(diǎn) 若此點(diǎn)到圓心的距離大于則周末去看電影 若此點(diǎn)到圓心的距離小于則去打籃球 否則 在家看書(shū) 則小波周末不在家看書(shū)的概率為 解題指南 根據(jù)條件先求出小波周末去看電影的概率 再求出他去打籃球的概率 易得周末不在家看書(shū)的概率 規(guī)范解答 記 看電影 為事件a 打籃球 為事件b 不在家看書(shū) 為事件c 答案 閱卷人點(diǎn)撥 通過(guò)高考中的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié) 我們可以得到以下誤區(qū)警示和備考建議 1 2011 福建高考改編 如圖 矩形abcd中 點(diǎn)e為邊cd的中點(diǎn) 若在矩形abcd內(nèi)部隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)q 則點(diǎn)q取自 abe內(nèi)部的概率等于 解析 由題意知 答案 2 2011 湖南高考 已知圓c x2 y2 12 直線l 4x 3y 25 1 圓c的圓心到直線l的距離為 2 圓c上任