導數(shù)典型例題 (1).doc

.導數(shù)典型例題高中數(shù)學導數(shù)的定義,公式及應用總結(jié)導數(shù)的定義:當自變量的增量xxx0，x0時函數(shù)增量yf（x） f（x0）與自變量增量之比的極限存在且有限,就說函數(shù)f在x0點可導，稱之為f在x0點的導數(shù)（或變化率).函數(shù)yf（x）在x0點的導數(shù)f（x0）的幾何意義：表示函數(shù)曲線在P0x0，f（x0） 點的切線斜率（導數(shù)的幾何意義是該函數(shù)曲線在這一點上的切線斜率）。一般地，我們得出用函數(shù)的導數(shù)來判斷函數(shù)的增減性（單調(diào)性)的法則：設(shè)yf(x )在（a，b）內(nèi)可導。如果在（a，b）內(nèi)，f（x）0,則f（x）在這個區(qū)間是單調(diào)增加的（該點切線斜率增大，函數(shù)曲線變得“陡峭”，呈上升狀）。如果在（a，b）內(nèi)，f（x）0且a不等于1) (x1/2)=2(x1/2)(-1) (1/x)=-x(-2)導數(shù)的應用:1函數(shù)的單調(diào)性(1)利用導數(shù)的符號判斷函數(shù)的增減性 利用導數(shù)的符號判斷函數(shù)的增減性，這是導數(shù)幾何意義在研究曲線變化規(guī)律時的一個應用，它充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想 一般地，在某個區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果f(x)，那么函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果f(x)，那么函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減 如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有f(x)=0，則f(x)是常數(shù)函數(shù) 注意：在某個區(qū)間內(nèi)，f(x)是f(x)在此區(qū)間上為增函數(shù)的充分條件，而不是必要條件，如f(x)=x3在R內(nèi)是增函數(shù)，但x=0時f(x)=0。也就是說，如果已知f(x)為增函數(shù)，解題時就必須寫f(x)0。 (2)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟（不要按圖索驥 緣木求魚 這樣創(chuàng)新何言？1.定義最基礎(chǔ)求法2.復合函數(shù)單調(diào)性) 確定f(x)的定義域； 求導數(shù)； 由（或）解出相應的x的范圍當f(x)0時，f(x)在相應區(qū)間上是增函數(shù)；當f(x)0時，f(x)在相應區(qū)間上是減函數(shù)2函數(shù)的極值(1)函數(shù)的極值的判定 如果在兩側(cè)符號相同，則不是f(x)的極值點； 如果在附近的左右側(cè)符號不同，那么，是極大值或極小值.3求函數(shù)極值的步驟確定函數(shù)的定義域； 求導數(shù)； 在定義域內(nèi)求出所有的駐點與導數(shù)不存在的點，即求方程及的所有實根； 檢查在駐點左右的符號，如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f(x)在這個根處取得極小值4函數(shù)的最值(1)如果f(x)在a,b上的最大值（或最小值）是在(a，b)內(nèi)一點處取得的，顯然這個最大值（或最小值）同時是個極大值（或極小值），它是f(x)在(a，b)內(nèi)所有的極大值（或極小值）中最大的（或最小的），但是最值也可能在a，b的端點a或b處取得，極值與最值是兩個不同的概念 (2)求f(x)在a，b上的最大值與最小值的步驟 求f(x)在(a，b)內(nèi)的極值； 將f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值5生活中的優(yōu)化問題生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題稱為優(yōu)化問題，優(yōu)化問題也稱為最值問題解決這些問題具有非?，F(xiàn)實的意義這些問題通?？梢赞D(zhuǎn)化為數(shù)學中的函數(shù)問題，進而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大（?。┲祮栴}導數(shù)作為考試內(nèi)容的考查力度逐年增大.考點涉及到了導數(shù)的所有內(nèi)容，如導數(shù)的定義，導數(shù)的幾何意義、物理意義，用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的最（極）值等等，考查的題型有客觀題（選擇題、填空題）、主觀題（解答題）、考查的形式具有綜合性和多樣性的特點.并且，導數(shù)與傳統(tǒng)內(nèi)容如二次函數(shù)、二次方程、三角函數(shù)、不等式等的綜合考查成為新的熱點. 一、與導數(shù)概念有關(guān)的問題【例1】函數(shù)f(x)=x(x-1) (x-2)(x-100)在x=0處的導數(shù)值為A.0 B.1002 C.200 D.100！解法一 f(0)= =(x-1)(x-2)(x-100)=（-1）（-2）（-100）=100！ 選D.解法二 設(shè)f(x)=a101x101+ a100x100+ a1x+a0，則f(0)= a1，而a1=（-1）（-2）（-100）=100！. 選D.點評 解法一是應用導數(shù)的定義直接求解，函數(shù)在某點的導數(shù)就是函數(shù)在這點平均變化率的極限.解法二是根據(jù)導數(shù)的四則運算求導法則使問題獲解.【例2】 已知函數(shù)f(x)=，nN*，則= .解 =2+=2f(2)+ f(2)=3 f(2)，又f(x)=，f(2)= （2）=(1+2)n-1= (3n-1).點評 導數(shù)定義中的“增量x”有多種形式，可以為正也可以為負，如，且其定義形式可以是，也可以是（令x=x-x0得到），本題是導數(shù)的定義與多項式函數(shù)求導及二項式定理有關(guān)知識的綜合題，連接交匯、自然，背景新穎.【例3】 如圓的半徑以2 cm/s的等速度增加，則圓半徑R=10 cm時，圓面積增加的速度是 .解 S=R2，而R=R(t)，=2 cm/s，=2R=4R，/R=10=4R/R=10=40 cm2/s.點評 R是t的函數(shù)，而圓面積增加的速度是相當于時間t而言的（R是中間變量），此題易出現(xiàn)“S=R2，S=2R，S/R=10=20 cm2/s”的錯誤.本題考查導數(shù)的物理意義及復合函數(shù)求導法則，須注意導數(shù)的物理意義是距離對時間的變化率，它是表示瞬時速度，因速度是向量，故變化率可以為負值.2004年高考湖北卷理科第16題是一道與實際問題結(jié)合考查導數(shù)物理意義的填空題，據(jù)資料反映：許多考生在求出距離對時間的變化率是負值后，卻在寫出答案時居然將其中的負號舍去，以致痛失4分.二、與曲線的切線有關(guān)的問題【例4】 以正弦曲線y=sinx上一點P為切點的切線為直線l，則直線l的傾斜角的范圍是A. B. C. D. 解 設(shè)過曲線y=sinx上點P的切線斜率角為，由題意知，tan=y=cosx.cosx-1，1， tan-1，1，又，.故選A.點評 函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù)f(x0)表示曲線，y=f(x)在點（x0，f(x0)）處的切線斜率，即k=tan(為切線的傾斜角)，這就是導數(shù)的幾何意義.本題若不同時考慮正切函數(shù)的圖像及直線傾斜角的范圍，極易出錯.【例5】 曲線y=x3-ax2的切線通過點（0，1），且過點（0，1）的切線有兩條，求實數(shù)a的值.解 點（0，1）不在曲線上，可設(shè)切點為（m,m3-am2）.而y=3x2-2ax，k切=3m3-2am，則切線方程為y=(3m3-2am)x-2m3-am2.切線過（0，1），2m3-am2+1=0.(*)設(shè)（*）式左邊為f(m)，f(m)=0，由過（0，1）點的切線有2條，可知f(m)=0有兩個實數(shù)解，其等價于“f(m)有極值，且極大值乘以極小值等于0，且a0”.由f(m)=2m3-am2+1，得f(m)= 6m3-am2=2m(3m-a)，令f(m)=0，得m=0，m=，a0，f(0)f()=0，即a0，-a3+1=0，a=3.點評 本題解答關(guān)鍵是把“切線有2條”的“形”轉(zhuǎn)化為“方程有2個不同實根”的“數(shù)”，即數(shù)形結(jié)合，然后把三次方程（*）有兩個不同實根予以轉(zhuǎn)化.三次方程有三個不同實根等價于“極大值大于0，且極小值小于0”.另外，對于求過某點的曲線的切線，應注意此點是否在曲線上.三、與函數(shù)的單調(diào)性、最（極）值有關(guān)的問題【例6】 以下四圖，都是同一坐標系中三次函數(shù)及其導函數(shù)的圖像，其中一定不正確的序號是A.、 B.、 C.、 D.、解 由題意知導函數(shù)的圖像是拋物線.導函數(shù)的值大于0，原函數(shù)在該區(qū)間為增函數(shù)；導函數(shù)的值小于0，原函數(shù)在該區(qū)間為減函數(shù)，而此拋物線與x軸的交點即是函數(shù)的極值點，把極值點左、右導數(shù)值的正負與三次函數(shù)在極值點左右的遞增遞減結(jié)合起來考慮，可知一定不正確的圖形是、，故選C.點評 f(x)0（或，其中是方程f(x)=x的實數(shù)根；an+1=f(an)，nN*；f(x)的導數(shù)f(x)（0，1）.（1）證明：an，nN*；（2）判斷an與an+1的大小，并證明你的結(jié)論.（1）證明：（數(shù)學歸納法）當n=1時，由題意知a1，原式成立.假設(shè)當n=k時，ak，成立.f(x)0，f(x)是單調(diào)遞增函數(shù).ak+1= f(ak) f()=，（是方程f(x)= x的實數(shù)根）即當n=k+1時，原式成立.故對于任意自然數(shù)N*，原式均成立.（2）解：g(x)=x-f(x),x，g(x)=1-f(x)，又0 f(x)0.g(x)在上是單調(diào)遞增函數(shù).而g()=-f()=0，g(x)g() (x)，即xf(x).又由（1）知，an，anf(an)=an+1.點評 本題是函數(shù)、方程、數(shù)列、導數(shù)等知識的自然鏈接，其中將導數(shù)知識融入數(shù)學歸納法，令人耳目一新.四、與不等式有關(guān)的問題【例9】 設(shè)x0，比較A=xe-x，B=lg(1+x)，C=的大小.解 令f(x)=C-B=-lg(1+x)，則f(x)= 0，f(x)為上的增函數(shù)，f(x)f(0)=0，CB.令g(x)=B-A=lg(1+x)-xe-x，則當x0時，g(x)=0，g(x)為上的增函數(shù)，g(x)g(0)=0，BA.因此，CBA（x=0時等號成立）.點評 運用導數(shù)比較兩式大小或證明不等式，常用設(shè)輔助函數(shù)法，如f(a)=(a)，要證明當xa時，有f(a)=(a)，則只要設(shè)輔助函數(shù)F(x)= f(a)-(a)，然后證明F(x)在xa單調(diào)遞減即可，并且這種設(shè)輔助函數(shù)法有時可使用多次，2004年全國卷的壓軸題就考查了此知識點.五、與實際應用問題有關(guān)的問題【例10】 某汽車廠有一條價值為a萬元的汽車生產(chǎn)線，現(xiàn)要通過技術(shù)改造來提高該生產(chǎn)線的生產(chǎn)能力，提高產(chǎn)品的增加值，經(jīng)過市場調(diào)查，產(chǎn)品的增加值y萬元與技術(shù)改造投入x萬元之間滿足：y與(a-x)和x2的乘積成正比；當時，y=a3.并且技術(shù)改造投入比率：,其中t為常數(shù)，且t.（1）求y=f(x)的解析式及定義域；（2）求出產(chǎn)品的增加值y的最大值及相應的x值.解：（1）由已知，設(shè)y=f(x)=k(a-x)x2，當時，y= a3，即a3=k，k=8，則f(x)=8-(a-x)x2.0t，解得0x.函數(shù)f(x)的定義域為0x.（2）f(x)= -24x2+16ax=x(-24x+16a)，令f(x)=0，則x=0（舍去），當0x0，此時f(x)在（0，）上單調(diào)遞增；當x時，f(x)0，此時f(x)是單調(diào)遞減.當時，即1t2時，ymax=f()=；當時，即0t1時，ymax=f()=.綜上，當