小學數學知識概要(講解版).doc

小學數學知識概要四大領域：數與代數、空間與圖形、統計與概率、實踐與綜合應用數與代數數的認識1整數的認識。表示物體個數的1、2、3都是自然數，0也是自然數，它們都是整數。自然數的個數是無限的，沒有最大的自然數，0是最小的自然數。2小數的意義與性質。分母是10、100、1000的分數都可以用小數表示。一位小數表示十分之幾，兩位小數表示百分之幾，三位小數表示千分之幾小數的末尾添上“0”或者去掉“0”，小數的大小不變，這是小數的性質。利用小數的這一性質，通?？梢匀サ粜的┪驳?，把小數化簡；也可以根據需要在小數的末尾添上0；還可以在整數個位的右下角點上小數點，再添上0，把整數改寫成小數的形式。3分數的意義及其基本性質。把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數叫做分數。分數的分子和分母同時乘或除以相同的數（零除外），分數的大小不變，這是分數的基本性質。4百分數的認識。表示一個數是另一個數的百分之幾的數叫做百分數，也叫做百分率或百分比。5負數的認識。像+4、19、+8844這樣的數都是正數，像-4、-11、-7、-15這樣的數都是負數。0既不是正數，也不是負數?！懊肯噜彽膬蓚€計數單位間的進率都是十”，這種計數方法叫做十進制計數法。它是“數的認識”的基本原理，其核心是“滿十進一”的進位制和位值制。復習本身是一個“串點成線”的過程，理一點明一片，明一片會一面。例如在整理“倍數和因數”一單元內容時，就需要我們注意前后知識之間的聯系：（1）只有在這個乘法算式中的因數和積都是整數的情況下，才能討論因數和倍數的概念。如50.84，雖然等式成立，但不能說5和0.8是4的因數，或4是和0.8的倍數。（2）倍數和因數是一對相互依存的概念，不能單獨存在。描述倍數或因數時必須說清楚誰是誰的倍數（或因數），如“2是12的因數，12是2的倍數”，而不是“2是因數，1是倍數”。（3）要區(qū)分乘法算式各部分名稱中的“因數”和本單元中“因數”的聯系和區(qū)別。前者是相對于“積”而言的，可以是整數，也可以是小數或分數；而后者只能是整數。（4）要注意區(qū)分“倍數”與前面學過的“倍”的聯系與區(qū)別?！氨丁钡母拍畋取氨稊狄獜V，如我們可以說“15是3的5倍”，也可以說“1.5是0.3的倍”，但我們只能說“15是3的倍數”，卻不能說“1.5是0.3的倍數”。關系概念：因數、倍數、質數、合數、分解質因數數的運算（一）四則運算。1四則運算的意義。加法：把兩個數合并成一個數的運算。減法：已知兩個加數的和與其中一個加數，求另一個加數的運算。乘法：一個數乘以整數&就是求幾個相同加數的和的簡便運算。一個數乘以分數，就是求這個數的幾分之幾是多少。除法：已知兩個因數的積與其中一個因數，求另一個因數的運算。加法和減法互為逆運算&乘法和除法互為逆運算。（錯）我們知道，減法是加法的逆運算，除法是乘法的逆運算，那么，加法是不是減法的逆運算呢，乘法是不是除法的逆運算呢？ 關于這個問題，可以從運算的數學意義角度理解。 一般說運算都指代數運算，它是集合中的一種對應。對于集合A中的有序元素對a、b，有集合A中唯一確定的第三個元素c與它們對應，叫做集合A中定義了一種運算。(例如，(3，2)這對數按照某種法則與5相對應，這就是一種加法運算，3+2=5。如果這對數與6相對應，就是乘法運算，32=6。) 所謂逆運算，就是把c以及a、b中的一個當作已知，把a、b中的另一個當做所求的運算。這樣看來，對于前面元素對a,b與c對應的運算來說，就存在兩種逆運算。它的第一個逆運算是：對于元素對c、b，使元素a與它們對應；它的第二個逆運算是：對于元素對c、a，使元素b與它們對應。 如果一個運算滿足交換律，即這個運算對于任意一對元素a、b或b、a，永遠得到同一的結果，那么，這個運算的兩個逆運算是一致的。也就是說，在這種情況下，這個運算有唯一的逆運算。 對于整數集來說，任意兩個整數的加法運算滿足加法交換律，加法算式中的兩個加數都可以用“和減去一個加數等于另一加數”求出來，所以加法有唯一的逆運算減法。 例如，數對(3，2)與5對應，確定加法運算后，已知3和5，可以用減法求出2，已知2和5也可以用減法求出3。 但是，每一個運算并不都有逆運算。例如，減法算式中的被減數和減數，只有被減數可以用“差與減數相加”這種加法運算得到，減數卻不能用加法運算得到。例如，數對(3，2)與1對應確定減法運算后，已知2和1可以用加法求出3，但已知3和1，卻不能用加法求出2。 所以不能說加法是減法的逆運算，也就不能說加法和減法互為逆運算。 同樣道理，我們也不能說乘法是除法的逆運算，或者乘除法是互逆運算。2 四則運算的法則。3四則運算各部分之間的關系。一個加數和另一個加數被減數差減數減數被減數差一個因數積另一個因數被除數商除數除數被除數商4 四則混合運算的順序。在四則混合運算中，運算順序規(guī)定如下：（1）在一個沒有括號的算式里，如果只含有同一級運算，則應按照從左到右的順序進行計算。（2）在一個沒有括號的算式里，如果既含有第一級運算，又含有第二級運算，則應先算第二級運算，后算第一級運算。也就是“先算乘或除，后算加或減”，簡稱“先乘除，后加減”。（3）在一個有括號的算式里，應先做括號內的運算。運算順序是先算小括號里的算式，再算中括號里的算式，最后算大括號里的算式。5運算定律和性質。簡算，顧名思義能使計算簡便、簡潔，但簡算必須要有依據，不能想當然，否則只會弄巧成拙。運算定律和運算性質是進行簡算的基本依據。（二）解決問題。1解決整數、小數問題。2解決分數、百分數問題。1熟悉基本的數量關系。解決問題的重點是分析問題，核心是分析數量關系。2掌握分析問題的思路和方法。分析問題的“思路”好比解決問題的“向導”，它為我們指明了思考的方向。其中，基本的思路有兩種：一種是“從條件想起”，另一種是“從問題想起”。分析問題的“方法”如同解決問題的“工具”，它能幫助我們理解題意和分析數量關系。重要的方法有：列表。適合解決有多種情況的問題，如解決租車、租船問題時，設計最省錢的租車、租船方案。假設。適合解決具體數量未知的問題。畫示意圖。適合解決跟圖形有關的問題。畫線段圖。適合解決行程問題、分數問題。這些方法，在解決簡單問題時看似作用不大，但在解決復雜問題時幫助很大。因此，我們需要切實掌握，并會靈活運用。3解決問題的一般步驟。弄清題意，看清條件，明確問題。分析題里數量間的關系，確定先算什么，再算什么。確定每一步該怎樣算，列出算式并計算。對答案進行檢驗，寫答句。式與方程一、知識要點1用字母表示數。認識用字母表示數的意義和作用，能夠用字母表示學過的運算定律和計算公式，能夠在具體的情境中用字母表示數和數量關系。會根據字母所取的值，求含有字母式子的值。2解簡易方程。明確“方程”、“方程的解”、“解方程”的含義，會用方程表示簡單情境中的等量關系，理解等式的兩條基本性質等式兩邊加上或減去相等的數，等式不變；等式兩邊同時乘或除以相同的數（0除外），等式不變。會用等式的性質解簡易方程。3列方程解決實際問題。用簡易方程解決一些實際問題，能根據具體情況，靈活選擇算法。上述三個知識要點中，“用字母表示數”是學習“方程”的基礎，“方程的意義”是學習“解簡易方程”的基礎，“列方程解決實際問題”則是“解簡易方程”的發(fā)展。“列算式解”和“列方程解”是我們在解決實際問題時常用的方法。“列算式解”的算式中全是已知數，未知數不參加列式，它是通過已知數量的加、減、乘、除，得出問題的結果；“列方程解”則是將未知數設為字母參與列式，通過列出符合題意的等式，求解等式得出問題的結果。兩種解法各有優(yōu)勢，我們在解決問題的過程中要根據題意，合理選擇方法。不過，在解答比較簡單的分數除法實際問題時，如果用算術方法解，需要逆向思考，即從“已知一個數的幾分之幾是多少，求這個數”的角度去理解數量關系。用方程解，只要根據分數乘法的意義，順向思考，就能找到等量關系并列出方程。所以在解決此類問題時，列方程比列算式更容易思考。常見的量1貨幣單位。認識貨幣單位元、角、分及各種面值的人民幣，熟悉相鄰兩個單位之間的進率，會進行簡單的計算。2時間單位。認識時間單位世紀、年、季、月、日、時、分、秒，了解它們之間的關系，知道每個月以及平年、閏年各有多少天，會用24時計時法表示時刻，能計算簡單的經過時間。3長度單位。認識長度單位千米km、米m、分米dm、厘米cm、毫米mm熟悉相鄰兩個單位之間的進率，建立長度觀念，會進行簡單的單位換算。4質量單位。認識質量單位噸t、千克kg、克g，建立1克和1千克的觀念，熟悉相鄰兩個單位之間的進率，能進行簡單的計算。5面積單位。認識面積單位平方千米km2、公頃hm2、平方米m2、平方分米dm2、平方厘米cm2、平方毫米mm2，建立1平方米、1平方分米、1平方厘米的表象，熟悉相鄰兩個單位之間的進率，會進行簡單的單位換算。6 體積（容積）單位。認識體積單位立方米m3、立方分米dm3、立方厘米cm3、立方毫米mm3，容積單位升L、毫升ml，熟悉相鄰兩個單位之間的進率，會進行單位之間的換算。適度擴展：長度單位（英里、海里、碼、英寸、忽米、微米、光年等）時間單位（傳說故事。天文歷法等）凡含有計量單位名稱的數統稱為名數。名數的改寫有兩類：一類是單名數之間的改寫，一類是單名數與復名數之間的改寫。顧名思義，單名數是指只含有一個計量單位名稱的名數；復名數是指含有兩個或兩個以上計量單位名稱的名數。熟練掌握名數的改寫。比和比例一、知識要點1比。比的意義，比與分數、除法的關系，比的基本性質，化簡比，求比值，運用比的知識解決實際問題。2比例。比例、正比例和反比例的意義，比例的基本性質，解比例，比例尺，圖形的放大與縮小，用比例知識解決實際問題。比例尺表示圖上距離與實際距離的比，根據圖上距離與實際距離求比例尺的方法是：首先依據比例尺的意義確定比的前項和后項，寫出比，圖上距離與實際距離位置不能寫錯；接著把兩項化成相同的單位；最后化簡比。若要把線段比例尺改寫成數值比例尺，只需根據線段比例尺寫出圖上距離與實際距離的比。需要注意的是由于圖上距離和實際距離的單位不同，要把不同單位化成相同單位，另外比例尺是一個比，無需帶單位名稱。1數字比例尺 數字比例尺一般用分子為1的分數形式表示。設圖上某一直線的長度為d，地面上相應線段的水平長度為D，則圖的比例尺為 式中M為比例尺分母。當圖上1cm代表地面上水平長度10m(即1000cm)時尺就是。通常稱1：1000000、1：500000、1：200000為小比例尺地形圖；1：100000、1：50000和1：25000為中比例尺地形圖；1：10000、1：5000、1：2000、1：1000和1：500為大比例尺地形圖。建筑類各專業(yè)通常使用大比例尺地形圖。按照地形圖圖式規(guī)定，比例尺書寫在圖幅下方正中處。 2圖示比例尺 為了用圖方便，以及減弱由于圖紙伸縮而引起的誤差，在繪制地形圖時，常在圖上繪 制圖示比例尺。1: 1000的圖示比例尺，繪制時先在圖上繪兩條平行線，再把它分成若干相等的線段，稱為比例尺的基本單位，般為2cm；將左端的一段基本單位又分成十等分，每等分的長度相當于實地2m。而每一基本單位所代表的實地長度為2cm100020m。數學思考1探索規(guī)律。探索給定圖形或數字中隱含的簡單規(guī)律。2排列組合。有順序地、全面地找出事物的排列數和組合數。如用三個數字卡片組成三位數，找出不同三位數的排列數；兩件上裝和三件下裝不同搭配，找出不同穿法的組合數。3邏輯推理。能根據已知條件通過判斷推出結論。4集合思想。用集合圈準確分類，直觀、形象地表示出數學概念，用集合的思想方法解決簡單的實際問題。5等量代換。明確等量代換是指一個量用與它相等的量去代替，在解決實際問題的過程中體會等量代換的思想。6統籌優(yōu)化。從優(yōu)化的角度在解決問題的多種方案中尋找最優(yōu)的方案。7植樹問題。找準總數和間隔數之間的關系，能根據不同的情況總結出規(guī)律，并利用這些規(guī)律解決類似的實際問題。8數字編碼。會用數字或者符號進行編碼，準確地表示出事物蘊含的客觀規(guī)律。9雞兔同籠。用“假設法”和列方程的方法解決雞兔同籠問題。10抽屜原理。準確區(qū)分什么是“待分的東西”，什么是“抽屜”，“抽屜”有幾個，會用“抽屜原理”解決簡單的實際問題。人教版教材從一年級下冊開始，每一冊都安排了一個單元“找規(guī)律”或“數學廣角”的內容。其中“找規(guī)律”是探索給定圖形或數字中簡單的排列規(guī)律，“數學廣角”中滲透了排列、組合、集合、等量代換、邏輯推理、統籌優(yōu)化、數字編碼、抽屜原理等方面的數學思想方法。通過全面回顧，使原來分散學習的知識得以梳理，由知識點串成知識線，由知識線構成知識網，從而幫助我們完善頭腦中的數學認知結構，增進持久記憶。數學思想方法看上去很抽象，很繁雜，其實它是有規(guī)律可循的?！爸矘鋯栴}”關鍵要分清是一條線段還是一條首尾相接的封閉曲線，若是一條線段還需考慮兩端栽的情況；“排列、組合”的要領是有序、不重復、不遺漏；“找次品”的最優(yōu)策略是把待測物品盡量平均分成3份，不能平均分的要使多的一份與少的一份只相差1；“抽屜原理”具有一個普遍性的結論要把a個物體放進n個抽屜，如果an=bc（c0），那么一定有一個抽屜至少可以放（b1）個物體可見，每一類數學思想方法都有相應的要領、思路和方法，關鍵在于我們要善于把握規(guī)律，化繁為簡，以簡馭繁?？臻g與圖形一、知識要點（一）圖形的認識與測量。1平面圖形的特征。2平面圖形周長和面積的計算。3立體圖形的特征。4立體圖形表面積和體積的計算。（二）圖形與變換。1圖形的平移和旋轉。2圖形的放大與縮小。3軸對稱圖形。(將圖形變換的觀點和內容適當地引入我國基礎教育的數學課程中，順應了數學科學和數學教育的發(fā)展趨向。通俗地講，所謂平移，就是將一個圖形按一定的方向移動一定的距離；所謂旋轉，就是將一個圖形繞一個頂點轉動一定的角度。這樣描述，比較適合中小學生的認知水平，但對教師來說，絕對是不夠的。請看一個案例。在一堂教學平移與旋轉的公開課中，老師創(chuàng)設了一個玩游樂場的情境。當討論到摩天輪的運動時，起初同學們都認為是旋轉。不料一位同學執(zhí)著地要求發(fā)言，他說：老師，我坐過摩天輪，我坐在上面，始終是頭朝上、腳朝下，所以我認為我坐在上面是平移，不是旋轉。大家一時都愣住了，教師的應變對策是讓學生小組討論。這下熱鬧了，有的同意，認為人的方向沒變；有的反對，理由是人在轉圈。直到下課，都沒有搞清楚是平移，是旋轉，還是兩者都不是。課后，前來觀摩的教師也都議論紛紛，多數認為坐在摩天輪上的人與座倉的運動不是平移，也有少數認為是平移的。那么是否旋轉呢？同樣有兩種意見，莫衷一是。由此可見教師自身搞清楚概念是十分必要的。所謂變換是指某個集合中符合一定要求的一種對應規(guī)律。就圖形的變換來講，因為幾何圖形都是點的集合，所以圖形變換可以通過點的變換來實現。如果一個平面圖形的每一個點，都對應于該平面內某個新圖形的一個點，并且新圖形中的每一個點只對應于原圖形中的一個點，這樣的對應就叫做變換。幾何變換中最重要的是全等變換與相似變換。2.什么是平移變換、旋轉變換和軸對稱變換？先說平移與旋轉。如果原圖形中任意一個點到新圖形中相對應點的連線，方向相同，長度相等，這樣的全等變換稱為平移變換，簡稱平移。也就是說，平移的基本特征是，圖形移動前后“每一點與它對應點之間的連線互相平行（或者重合），并且相等”。顯然，確定平移變換需要兩個要素：一是方向，二是距離。如果新圖形中的每個點都是由原圖形中的一個點繞著一個固定點（叫做旋轉中心）轉動相等角度得到的，這樣的全等變換稱為旋轉變換，簡稱旋轉。也就是說，旋轉的基本特征是，圖形旋轉前后“對應點到旋轉中心的距離相等，并且各組對應點與旋轉中心連線的夾角都等于旋轉的角度”。顯然，確定旋轉變換需要三個要素：旋轉中心、旋轉方向與旋轉角度?，F在我們可以回答摩天輪座倉里的人是否在平移或旋轉的問題了。摩天輪在旋轉，但上面的座倉及里面的人始終頭朝上，腳朝下，是不是在平移呢？我們可以依據平移的基本特征，畫出運動過程中任意兩個位置上座倉上下 圖1 圖2部中點的連線（如圖1），它們平行并且相等，所以是平移。那么座倉及里面的人是否在旋轉呢？依據旋轉的基本特征，畫出座倉下部中點與摩天輪旋轉中心的連線（如圖2），它們的長明顯不相等。明明摩天輪在旋轉，而座倉與里面的人卻不是在旋轉，是在平移，這是怎么回事呢？原來，摩天輪在帶動座倉順時針旋轉的同時，地球的引力使得掛在吊鉤上的座倉也在逆時針細微地轉動，從而使座倉與里面的人始終保持向上的方向，并且座倉與人上的每個點都移動相同的距離。其實，數學中所說的旋轉、平移，主要考察運動開始、終止狀態(tài)下兩個靜止圖形對應點之間的關系，它與物理學中研究物體“轉動”、“平動”的側重點有所不同。（三）圖形與位置。1根據方向和距離確定位置。2用數對表示位置。3辨認方向和使用路線圖。這部分內容最重要的數學思想是“轉化”。重要的操作技能：畫直線、射線、線段、角垂線（高）、平行線長方形、正方形、圓形角的度量、統計與概率1一個統計過程一般包括：收集數據、整理數據、描述數據和分析數據四個階段。2收集數據的方法：調查，測量，做實驗，有時也可以直接從報刊中引用，或上網查詢獲得。3整理數據的方法：分類整理和分段整理。整理時會用畫“正”字法計數。4描述數據：能根據具體問題，選擇適當的統計圖表，并能正確繪制。5分析數據：能解釋統計結果，并根據統計結果作出簡單的判斷和預測。統計圖的特點和作用。共同點：用統計圖表示有關數量之間的關系，比統計表更加形象具體，使人一目了然，印象深刻。各自的特點和作用見下表：（二）統計量：平均數，中位數，眾數。平均數、中位數和眾數是三個“從不同角度”描述一組數據“集中趨勢”的統計量。三個統計量，意義不同，特點和適用范圍也不同：平均數反映的是一組數據的平均情況。它的大小跟每個數據都有關，任何數據的變化都會引起平均數的變化。當一組數據中沒有極端數據（特別大或特別小的數據）時，用平均數作代表比較合適。中位數反映的是一組數據的中等情況。求中位數時，首先要將一組數據從大到小或從小到大排列起來。中位數的特點是：不受偏大或偏小數的影響。當一組數據中出現個別極端數據時，取中位數作代表比較合適。如果數據是偶數個時，取正中間的兩個數的平均數為中位數。眾數反映的是一組數據的多數情況。當一組數據中某個數據出現次數較多時