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文檔簡介
第4課時 排列組合綜合題基礎過關1解排列組合題中常用的方法有直接法、間接法、兩個原理、元素位置分析法、捆綁法、插空法、 枚舉法、隔板法、對稱法;常用的數(shù)學思想主要有分類討論、思想轉化、化歸思想、對應思想.2解排列組合綜合題一般要遵循以下的兩個原則(1)按元素性質進行分類(2)按事情發(fā)生的過程進行分步.3處理排列組合綜合性問題時一般方法是先取(選)后排,但有時也可以邊取(選)邊排.4對于有多個約束條件的問題,先應該深入分析每個約束條件,再綜合考慮如何分類或分步,但對于綜合性較強的問題則需要交叉使用兩個原理來解決問題.典型例題例1. 五個人站成一排,求在下列條件下的不同排法種數(shù):(1)甲必須在排頭;(2)甲必須在排頭,并且乙在排尾;(3)甲、乙必須在兩端;(4)甲不在排頭,并且乙不在排尾;(5)甲、乙不在兩端;(6)甲在乙前;(7)甲在乙前,并且乙在丙前;(8)甲、乙相鄰;(9)甲、乙相鄰,但是與丙不相鄰;(10)甲、乙、丙不全相鄰解析:(1)特殊元素是甲,特殊位置是排頭;首先排“排頭”有種,再排其它4個位置有種,所以共有:=24種(2)甲必須在排頭,并且乙在排尾的排法種數(shù):=6種(3)首先排兩端有種,再排中間有種,所以甲、乙必須在兩端排法種數(shù)為:=12種(4)甲不在排頭,并且乙不在排尾排法種數(shù)為:2+=78種(5)因為兩端位置符合條件的排法有種,中間位置符合條件的排法有種,所以甲、乙不在兩端排法種數(shù)為=36種(6)因為甲、乙共有2!種順序,所以甲在乙前排法種數(shù)為:2!=60種(7)因為甲、乙、丙共有3!種順序,所以甲在乙前,并且乙在丙前排法種數(shù)為:3!=20種(8)把甲、乙看成一個人來排有種,而甲、乙也存在順序變化,所以甲、乙相鄰排法種數(shù)為=48種(9)首先排甲、乙、丙外的兩個有,從而產生3個空,把甲、乙看成一個人與丙插入這3個空中的兩個有,而甲、乙也存在順序變化,所以甲、乙相鄰,但是與丙不相鄰排法種數(shù)為=24種(10)因為甲、乙、丙相鄰有,所以甲、乙、丙不全相鄰排法種數(shù)為=84種變式訓練1:某棟樓從二樓到三樓共10級,上樓只許一步上一級或兩級,若規(guī)定從二樓到三樓用8步走完,則不同的上樓方法有( )A45種B36種 C28種D25種解:C. 8步走10級,則其中有兩步走兩級,有6步走一級一步走兩級記為a,一步走一級記為b,所求轉化為2個a和6個b排成一排,有多少種排法故上樓的方法有C28種;或用插排法例2. (1) 某校從8名教師中選派4名教師同時去4個遠地區(qū)支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能事去或同不去,則不同的選派方案菜有多少處?(2) 5名乒乓選手的球隊中,有2名老隊員和3名新隊員,現(xiàn)從中選出3名隊員排成1、2、3號參加團體比賽,則入選的3名隊員中至少有一名老隊員,且1、2號中至少有1名新隊員的排法有多少種?解:(1)分類:第一為甲丙都去,第二類不去共有種(2)分類:第一類兩名老隊員都去,第二類去一名老隊員共有種變式訓練2:某班新年聯(lián)歡會原定的六個節(jié)目已安排成節(jié)目單,開演前又增加了三個新節(jié)目,如果將這三個節(jié)目插入原來的節(jié)目單中,那么不同的插法種數(shù)是( )A504B210 C336D120 解:A504 故選A 例3. 已知直線ax+by+c=0中的系數(shù)a,b,c是從集合-3,-2,-1,0,1,2,3中取出的三個不同的元素,且該直線的傾斜角為銳角,請問這樣的直線有多少條?解:首先把決定“直線條數(shù)”的特征性質,轉化為對“a,b,c”的情況討論。設直線的傾斜角為,并且為銳角。則tan=0,不妨設ab,那么b0當c0時,則a有3種取法,b有3種取法,c有4種取法,并且其中任意兩條直線不重合,所以這樣的直線有334=36條當c=0時, a有3種取法,b有3種取法, 其中直線:3x-3y=0,2x-2y=0,x-y=0重合,所以這樣的直線有33-2=7條故符合條件的直線有7+36=43條變式訓練3:將5名大學生畢業(yè)生分配到某公司所屬的三個部門中去,要求每個部門至少分配一人,則不同的分配方案共有_種.解: 例4. 從集合1,2,3,20中任選3個不同的數(shù),使這3個數(shù)成等差數(shù)列,這樣的等差數(shù)列可以有多少個?解:a,b,c a,b,c成等差數(shù)列 要么同為奇數(shù),要么同為偶數(shù),故滿足題設的等差數(shù)列共有AA180(個)變式訓練4:某賽季足球比賽中的計分規(guī)則是:勝一場得3分,平一場得1分,負一場得0分,一球 隊打完15場,積33分,若不考慮順序,該隊勝負平的情況共有多少種?解:設該隊勝負平的情況是:勝x場,負y場,則平15(xy)場,依題意有:x9 。故有3種情況,即勝、負、平的場數(shù)是:9,0,6;10,2,3;11,4,0小結歸納1排列組合應用題的背景豐富無特定的模式和規(guī)律可循,背景陌生時,必須認真
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