平面直角坐標變換

精品文檔5.7 平面直角坐標變換為了考慮同一圖形在不同的坐標系下的方程之間的關(guān)系，我們首先需要建立同一個點在不同的坐標系下的坐標之間的關(guān)系，這就是坐標變換的問題，因為我們研究的圖形是點的軌跡我們僅考慮平面直角坐標變換設(shè)在平面上給出了由兩個標架 O；i, j 和 O；i, j 所決定的右手直角坐標系，這里i和j以及i 和j 是兩組坐標基向量，它們是平面上的兩個標準正交基，我們依次稱這兩個坐標系為舊坐標系和新坐標系由于坐標系的位置完全由原點和坐標基向量所決定，所以新坐標系與舊坐標系之間的關(guān)系，就由O 在 O；i, j 中的坐標以及i 和j 在 O；i, j 中的分量所決定任一直角坐標變換總可以分解成移軸（也叫坐標平移）和轉(zhuǎn)軸（也叫坐標旋轉(zhuǎn)）兩個步驟1移軸如果兩個標架 O；i, j 和 O；i, j 的原點O與O 不同，O 在O；i, j 中的坐標為 (x0，y0)，但兩標架的坐標基向量相同，即有i = i， j = j那么標架 O；i, j 可以看成是由標架 O；i, j 將原點平移到O點而得來的（圖5.7.1）這種坐標變換叫做移軸（坐標平移）設(shè)P是平面內(nèi)任意一點，它對標架 O；i, j 和 O；i, j 的坐標分別為 (x，y) 與 ()，則有但 ，于是有故 x，y = x0，y0 x，y 根據(jù)向量相等的定義得移軸公式為圖5.7.1(5.71)從中解出x 和y，就得逆變換公式為(5.72)2轉(zhuǎn)軸若兩個標架 O；i, j 和 O；i, j 的原點相同，即O = O，但坐標基向量不同，且有(i，i ) = a，則標架 O；i，j 可以看成是由標架 O；i，j 繞O點旋轉(zhuǎn)a 角而得來的（圖5.7.2）這種由標架 O；i，j 到標架 O；i，j的坐標變換叫做轉(zhuǎn)軸（坐標旋轉(zhuǎn)）下面推導轉(zhuǎn)軸公式設(shè)P是平面內(nèi)任意一點，它對 O；i, j 和 O；i, j 的坐標分別為 (x，y) 與 ()，即有因為(i，i ) = a，新舊坐標基本向量之間有關(guān)系圖5.7.2于是有因為O和O是同一點，故可直接得到轉(zhuǎn)軸公式：(5.73)從（5.73）中解出x 和y ，就得到用舊坐標表示新坐標的逆變換公式：(5.74)式中的a 為坐標軸的旋轉(zhuǎn)角（5.74）式也可看成是由標架 O；i，j 繞O旋轉(zhuǎn) a 角變到 O；i，j 的轉(zhuǎn)軸公式* 根據(jù)線性代數(shù)的理論，（5.73）可寫為，這里的坐標變換的矩陣是一個正交矩陣，因而其逆矩陣，逆變換公式可以直接由寫出3一般坐標變換公式在一般情況下，由舊坐標系Oxy變成新坐標系Oxy，總可以分兩步來完成即先移軸使坐標原點與新坐標系的原點O 重合，變成坐標系O，然后再由輔助坐標系Oxy 轉(zhuǎn)軸而成新坐標系Oxy（圖5.7.3）設(shè)平面上任一點P的舊坐標與新坐標分別為 (x，y) 與 (x，y )，而在輔助坐標系Oxy 中的坐標為 (x，y )，那么由（5.71）與（5.74）分別得 與 由上兩式得一般坐標變換公式為圖5.7.3(5.75)由（5.75）解出x，y 便得逆變換公式(5.76)平面直角坐標變換公式（5.75）是由新坐標系原點的坐標 (x0, y0) 與坐標軸的旋轉(zhuǎn)角 a 決定的4由給定的新坐標軸確定的坐標變換確定坐標變換公式，除了坐標平移和旋轉(zhuǎn)外，還可以有其它方法假定已給出了新坐標系的兩坐標軸在舊坐標系中的方程，并規(guī)定了一個軸的正方向，就可以確定又一種坐標變換公式設(shè)在直角坐標系xOy里給定了兩條相互垂直的直線l1：，l2：其中如果取直線l1為新坐標系中的橫軸Ox，而直線l2為縱軸Oy，并設(shè)平面上任意點M的舊坐標與新坐標分別是（x，y）與（x，y）因為 | x | 是點M（x，y）到Oy 軸的距離，也就是M點到l2的距離（圖5.7.4），所以有圖5.7.4同理可得于是在去掉絕對值符號以后，便得到一個坐標變換公式(5.77)為了使新坐標系仍然是右手坐標系，可將（5.77）式與公式（5.74）比較來決定（5.77）中的符號因因此（5.77）中的第一式右端的x的系數(shù)應與第二式的右端的y的系數(shù)相等，所以（5.77）的符號選取要使得這兩項的系數(shù)是同號的這種坐標變換的方法常用來在求得一般中心二次曲線的主直徑的情況下，用兩條主直徑作為新坐標軸，把二次曲線的方程化為標準方程以上給出的坐標變換的公式（5.75）、（5.76）和（5.77）實質(zhì)上都是一樣的* 5坐標變換下代數(shù)曲線及其次數(shù)的不變性在直角坐標系下，如果我們所討論的平面曲線的方程能寫成F (x，y) = 0的形式，其中F (x，y) 是關(guān)于x和y的多項式，那么這種方程就叫做代數(shù)方程，它所表示的平面曲線叫做代數(shù)曲線不是代數(shù)曲線的曲線叫做超越曲線代數(shù)方程的次數(shù)叫做代數(shù)曲線的次數(shù)由于上面給出的幾個坐標變換公式都是一次式（線性的），而任何代數(shù)方程經(jīng)過一次式的變換之后必然還是代數(shù)方程，任何超越方程經(jīng)過一次式的變換之后也必然還是超越方程因此有命題5.7.1 曲線的代數(shù)性和超越性在線性坐標變換下保持不變另一方面，代數(shù)方程的次數(shù)在一次式的變換之下也是保持不變的，因此還有命題5.7.2 代數(shù)曲線的次數(shù)在線性坐標變換下保持不變例1 已知新坐標系的x 軸與y 軸的方程分別為3x 4y 60與4x 3y 170，求坐標變換公式，并求點A（0，1）關(guān)于新坐標系的坐標解 由題意，設(shè)M (x，y) 是舊坐標系下任一點，其新坐標為 ( x, y )，則有根據(jù)上面的符號選取法則得變換公式為或若選第一個坐標變換公式，則點A (0，1) 關(guān)于新坐標系的坐標是（ 14/5， 2/5）；若選第二個，則點A (0，1) 關(guān)于新坐標系的坐標是（14/5，2/5）注 若用前一公式，絕非將坐標原點平移到，而是移到了點 (2，3)2和3是由（