中國(guó)計(jì)量學(xué)院參賽論文-鄧鈞丞-蔡洪斌-于聰.doc

2010高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽承 諾 書我們仔細(xì)閱讀了中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的競(jìng)賽規(guī)則.我們完全明白，在競(jìng)賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問(wèn)題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號(hào)是（從A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫）： A 我們的參賽報(bào)名號(hào)為（如果賽區(qū)設(shè)置報(bào)名號(hào)的話）： 所屬學(xué)校（請(qǐng)?zhí)顚懲暾娜?中國(guó)計(jì)量學(xué)院 參賽隊(duì)員 (打印并簽名) ：1. 鄧鈞丞 2. 蔡洪斌 3. 于聰 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名)： 數(shù)模組 日期： 2010 年 9 月 13 日賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：2010高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽編 號(hào) 專 用 頁(yè)賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：賽區(qū)評(píng)閱記錄（可供賽區(qū)評(píng)閱時(shí)使用）：評(píng)閱人評(píng)分備注全國(guó)統(tǒng)一編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)送交全國(guó)前編號(hào)）：全國(guó)評(píng)閱編號(hào)（由全國(guó)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：21儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定分析摘要本文主要對(duì)儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定的問(wèn)題進(jìn)行了分析。對(duì)儲(chǔ)油罐變位情況尋找出合理精確的標(biāo)定罐容表的方法是很重要的。在問(wèn)題（1）中，首先，我們根據(jù)試驗(yàn)中橢圓型儲(chǔ)油罐的形狀尺寸，用積分的方法建立了模型一，即未變位時(shí)的儲(chǔ)油量與油位高度關(guān)系的模型。用模型一標(biāo)定了一組罐容表作為未變位時(shí)的原罐容表，當(dāng)發(fā)生傾斜角為的縱向變位后，我們用題目給出的實(shí)際檢測(cè)數(shù)據(jù)，與原罐容表進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)存在很大的差異。然后我們對(duì)變位后的儲(chǔ)油罐，同樣用積分方法建立模型二，即傾斜角為的縱向變位后的儲(chǔ)油量與油位高度關(guān)系的模型?？紤]到實(shí)際儲(chǔ)油方法中系統(tǒng)誤差的存在，我們?cè)賹?duì)模型二進(jìn)行改進(jìn)，加入一個(gè)修正數(shù)，由實(shí)際數(shù)據(jù)擬合出修正數(shù)，得到了改進(jìn)的模型二。再計(jì)算得到修正后的數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)之間的平均誤差僅為0.11%，即驗(yàn)證了模型二精確度高。并用模型二計(jì)算標(biāo)定出了變位后油位高度間隔為1cm的罐容表。在問(wèn)題（2）中，我們首先根據(jù)儲(chǔ)油罐傾斜后的情況，理論推出橫向變位不改變?nèi)莘e的計(jì)算，只影響實(shí)際的油位高度。而縱向變位后，計(jì)算方法將發(fā)生改變，不再與未變位時(shí)相同。我們同第（1）問(wèn)一樣，用積分的方法建立模型三來(lái)計(jì)算儲(chǔ)油量。實(shí)際模型中，儲(chǔ)油罐的主體圓柱體內(nèi)的容積計(jì)算方法類似于模型二的容積計(jì)算方法。對(duì)于兩旁的球缺部分，我們根據(jù)液面重心近似法，將斜面近似轉(zhuǎn)化成與重心在同一平面的水平面。此時(shí)的液面高度就是球缺部分液面的平均高度。之后，我們把頂板液面近似為一橢圓面并用積分法寫出容積。然后，我們根據(jù)題目給出的出油量擬合出傾斜角度。擬合時(shí)，由于模型三的式子很復(fù)雜，無(wú)法直接擬合，我們用泰勒公式把式子展開化簡(jiǎn)為二次多項(xiàng)式，通過(guò)最小二乘擬合解得縱向傾斜角度為，橫向傾斜角度為。將角度代入模型三，對(duì)罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表進(jìn)行標(biāo)定，得到罐容表。接著，我們進(jìn)一步利用附件2中的實(shí)際檢測(cè)油高數(shù)據(jù)，用模型三求得儲(chǔ)油量，算出各時(shí)的理論出油量，與實(shí)際的出油量比較，得到的理論值與實(shí)際值基本吻合，因此驗(yàn)證了我們的模型三是正確并且可靠的。最后，我們對(duì)模型的優(yōu)缺點(diǎn)進(jìn)行了評(píng)價(jià)，提出了模型改進(jìn)的方向，并對(duì)模型進(jìn)行了簡(jiǎn)單的應(yīng)用與推廣。關(guān)鍵詞：變位識(shí)別；罐容表標(biāo)定；泰勒展開；擬合一、問(wèn)題的提出與重述1.1問(wèn)題的提出通常加油站都有若干個(gè)儲(chǔ)存燃油的地下儲(chǔ)油罐，并且一般都有與之配套的“油位計(jì)量管理系統(tǒng)”，采用流量計(jì)和油位計(jì)來(lái)測(cè)量進(jìn)/出油量與罐內(nèi)油位高度等數(shù)據(jù)，通過(guò)預(yù)先標(biāo)定的罐容表（即罐內(nèi)油位高度與儲(chǔ)油量的對(duì)應(yīng)關(guān)系）進(jìn)行實(shí)時(shí)計(jì)算，以得到罐內(nèi)油位高度和儲(chǔ)油量的變化情況。許多儲(chǔ)油罐在使用一段時(shí)間后，由于地基變形等原因，使罐體的位置會(huì)發(fā)生縱向傾斜和橫向偏轉(zhuǎn)等變化（以下稱為變位），從而導(dǎo)致罐容表發(fā)生改變。按照有關(guān)規(guī)定，需要定期對(duì)罐容表進(jìn)行重新標(biāo)定。附圖1是一種典型的儲(chǔ)油罐尺寸及形狀示意圖，其主體為圓柱體，兩端為球冠體。附圖2是其罐體縱向傾斜變位的示意圖，附圖3是罐體橫向偏轉(zhuǎn)變位的截面示意圖。1.2 問(wèn)題重述現(xiàn)用數(shù)學(xué)建模方法研究解決儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定的如下兩個(gè)問(wèn)題：（1）為了掌握罐體變位后對(duì)罐容表的影響，利用如圖4的小橢圓型儲(chǔ)油罐（兩端平頭的橢圓柱體），分別對(duì)罐體無(wú)變位和傾斜角為的縱向變位兩種情況做了實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如附表1所示。請(qǐng)建立數(shù)學(xué)模型研究罐體變位后對(duì)罐容表的影響，并給出罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標(biāo)定值。（2）對(duì)于圖1所示的實(shí)際儲(chǔ)油罐，試建立罐體變位后標(biāo)定罐容表的數(shù)學(xué)模型，即罐內(nèi)儲(chǔ)油量與油位高度及變位參數(shù)（縱向傾斜角度a和橫向偏轉(zhuǎn)角度b ）之間的一般關(guān)系。請(qǐng)利用罐體變位后在進(jìn)/出油過(guò)程中的實(shí)際檢測(cè)數(shù)據(jù)（附表2），根據(jù)你們所建立的數(shù)學(xué)模型確定變位參數(shù)，并給出罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標(biāo)定值。進(jìn)一步利用附件2中的實(shí)際檢測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)分析檢驗(yàn)?zāi)銈兡Ｐ偷恼_性與方法的可靠性。二、問(wèn)題分析本題要解決的是有關(guān)儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定的問(wèn)題。加油站的儲(chǔ)油罐原先都有配套的“油位計(jì)量管理系統(tǒng)”，通常采用流量計(jì)和油位計(jì)來(lái)測(cè)量進(jìn)/出油量與罐內(nèi)油位高度等數(shù)據(jù)，來(lái)預(yù)先標(biāo)定的罐容表。但許多儲(chǔ)油罐在使用一段時(shí)間后，由于地基變形等原因，使罐體的位置會(huì)發(fā)生變位，從而使罐容表的值不再準(zhǔn)確，需重新進(jìn)行標(biāo)定。經(jīng)初步分析得：對(duì)于問(wèn)題（1），要通過(guò)附圖4的小橢圓型儲(chǔ)油罐，來(lái)研究罐體變位后對(duì)罐容表的影響，并重新標(biāo)定罐容表?？梢韵雀鶕?jù)小橢圓型儲(chǔ)油罐的形狀和尺寸，運(yùn)用高數(shù)知識(shí)推導(dǎo)出小橢圓型儲(chǔ)油罐在未變位時(shí)的儲(chǔ)油量與油位高度的關(guān)系式，以此標(biāo)定出小橢圓型儲(chǔ)油罐的罐容表，并以此表作為原先標(biāo)準(zhǔn)的罐容表。再對(duì)題目中給出的傾斜角為a=4.10的縱向變位的儲(chǔ)油罐進(jìn)行研究，由此時(shí)的位高所對(duì)應(yīng)的儲(chǔ)油量與罐容表對(duì)應(yīng)的儲(chǔ)油量進(jìn)行對(duì)比做比較，看傾斜后的變化，再同樣根據(jù)該儲(chǔ)油罐的形狀尺寸和傾斜度，運(yùn)用高數(shù)知識(shí)推導(dǎo)出該儲(chǔ)油罐此時(shí)的儲(chǔ)油量與油位高度的關(guān)系式，根據(jù)關(guān)系式就可以給出罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標(biāo)定值了。對(duì)于問(wèn)題（2），要對(duì)附圖1所示的實(shí)際儲(chǔ)油罐，建立罐體變位后標(biāo)定罐容表的數(shù)學(xué)模型，即罐內(nèi)儲(chǔ)油量與油位高度及變位參數(shù)（縱向傾斜角度a和橫向偏轉(zhuǎn)角度b ）之間的一般關(guān)系。當(dāng)儲(chǔ)油罐發(fā)生縱向傾斜角度a和橫向偏轉(zhuǎn)角度b的變位后，根據(jù)位置和形狀尺寸，用數(shù)學(xué)積分的方法，在儲(chǔ)油罐上取一微分容積，進(jìn)行積分就可以求得油量關(guān)于探針測(cè)得的油位高度的函數(shù)關(guān)系式，即得實(shí)際儲(chǔ)油罐的油容積模型。再利用附表2中罐體變位后在進(jìn)/出油過(guò)程中的實(shí)際檢測(cè)數(shù)據(jù)，根據(jù)所建立的數(shù)學(xué)模型確定變位后的縱向和橫向的傾斜角度參數(shù)。這樣就得到了此時(shí)位置下的儲(chǔ)油量關(guān)于實(shí)測(cè)油位高的關(guān)系，然后根據(jù)該關(guān)系式給出罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標(biāo)定值。最后再用附表2中實(shí)際的儲(chǔ)油量數(shù)據(jù)來(lái)與此模型的計(jì)算值進(jìn)行比較，根據(jù)對(duì)比結(jié)果可分析判斷出此模型的正確性和方法可靠性。三、模型假設(shè)1、油位探針位置相對(duì)與油罐不發(fā)生變動(dòng)。2、忽略油面張力導(dǎo)致的表面油接觸罐壁時(shí)油面不平情況。3、忽略儲(chǔ)油罐的壁厚，即儲(chǔ)油罐的形狀數(shù)據(jù)可視為油罐內(nèi)部數(shù)據(jù)。四、符號(hào)及變量說(shuō)明:為小橢圓型儲(chǔ)油罐未變位的儲(chǔ)油量(L)；：為小橢圓型儲(chǔ)油罐變位后的儲(chǔ)油量(L)；：為實(shí)際儲(chǔ)油罐的儲(chǔ)油量(L)；：為小橢圓型儲(chǔ)油罐未變位的油位高(dm)；：為小橢圓型儲(chǔ)油罐變位后的油位高(dm)；：為小橢圓型儲(chǔ)油罐的罐長(zhǎng)(dm)；：為實(shí)際儲(chǔ)油罐的油位高度(dm)；：為實(shí)際儲(chǔ)油罐發(fā)生橫向傾斜后實(shí)際油面高(dm)；：為實(shí)際儲(chǔ)油罐計(jì)算球缺頂部分容積的油面高(dm)；：為實(shí)際儲(chǔ)油罐兩側(cè)球體頂點(diǎn)到圓柱體的距離(dm)；：為實(shí)際儲(chǔ)油罐兩側(cè)球體的半徑(dm)；：為實(shí)際儲(chǔ)油罐主體圓柱體的直徑(dm)。五、模型建立與求解5.1 問(wèn)題（1）的模型建立與求解：加油站的儲(chǔ)油罐都有對(duì)應(yīng)的罐容表，此罐容表是在儲(chǔ)油罐水平無(wú)變位時(shí)測(cè)出的，但使用一段時(shí)間后，由于地基變形等原因，使罐體的位置會(huì)發(fā)生變位。為了研究罐體變位后對(duì)罐容表的影響，在這一問(wèn)，我們利用小橢圓型儲(chǔ)油罐，建立了分別在未變位時(shí)和變位后的兩個(gè)罐容表標(biāo)定的模型進(jìn)行研究。5.1.1模型一（未變位）：A模型一的建立小橢圓型儲(chǔ)油罐為兩端平頭的橢圓柱體，儲(chǔ)油罐中油的體積是油面高度的函數(shù)，可表示如下： （1）式中：為儲(chǔ)油體積（L），為油位高度（mm）。a-ab-b油面截面dy（x,y）h圖5 橢圓罐側(cè)剖圖由圖5，根據(jù)積分概念，體積元素為： （2）式中：為截面面積，是關(guān)于的函數(shù)，是截面與橢圓相交時(shí)橢圓的縱坐標(biāo)。的表達(dá)式如下： (3)式中：為截面與橢圓相交時(shí)橢圓的橫坐標(biāo)，為儲(chǔ)油罐的縱向從長(zhǎng)度。 橢圓方程為： （4）式中：為短半長(zhǎng)軸，為長(zhǎng)半長(zhǎng)軸。再有與油面高度的關(guān)系為: (5)由以上（1）.（5）5個(gè)式子可以解得儲(chǔ)油罐中油的體積和油面高度的函數(shù)模型如下：模型一 B模型一的求解與結(jié)果檢驗(yàn)分析運(yùn)用MATLAB軟件，分別帶入附表1中未變位的進(jìn)油與出油時(shí)測(cè)得的油位高度值求得對(duì)應(yīng)的儲(chǔ)油量。再分別由附表1中未變位的進(jìn)油與出油量算得相應(yīng)各油位高度時(shí)的實(shí)際儲(chǔ)油量，做出對(duì)應(yīng)油位高度的理論算得的儲(chǔ)油量與實(shí)際的儲(chǔ)油量的分布圖如下圖6所示：圖6 理論算得的儲(chǔ)油量與實(shí)際的儲(chǔ)油量的分布圖由結(jié)果可以看出：（1）進(jìn)油與出油在兩種情況中都幾乎重合，可以認(rèn)為進(jìn)油與出油時(shí)，儲(chǔ)油量與油位高度的關(guān)系相同；（2）相同油位高度時(shí)，理論計(jì)算出的儲(chǔ)油量比實(shí)際的儲(chǔ)油量稍大，且隨高度的增加，差值增大。C模型一改進(jìn)與改進(jìn)后檢驗(yàn)根據(jù)上一步的結(jié)果分析，理論值與實(shí)際值之間存在一定的誤差，且隨油位的增加而增大，可以認(rèn)為這個(gè)誤差包含公式精度、隨油位的增加壓強(qiáng)增大導(dǎo)致的體積減小、儲(chǔ)油罐的不規(guī)則、探針和進(jìn)出油管的體積等因素。對(duì)模型一進(jìn)行改進(jìn)，因?yàn)椴钪惦S油位的增加大致成線性增加，我們給模型一加一個(gè)修正數(shù)，如下： （6）式中：為修正數(shù)，是關(guān)于油位的函數(shù)，如下： （7）式中：c、d為參數(shù)。用實(shí)際值和理論計(jì)算出的值進(jìn)行擬合，用MATLAB解得： (8)改進(jìn)后的模型一：加上修正數(shù)后，進(jìn)油與出油時(shí)的理論值與實(shí)際值分布如圖7所示：圖7 油與出油時(shí)的理論值與實(shí)際值分布圖 由圖7可以得到，改進(jìn)后的模型求解的值與實(shí)際值幾乎吻合，且平均誤差為0.57%，認(rèn)為該模型較為精確。用此模型一做出小橢圓型儲(chǔ)油罐未變位時(shí)的罐容表如附表3所示。5.1.2模型二（變位后）：當(dāng)小橢圓型儲(chǔ)油罐發(fā)生傾斜角為的縱向變位后，觀察附表1中傾斜變位后進(jìn)出油的各油位高時(shí)的儲(chǔ)油量，與附表3中未變位的原罐容表的對(duì)應(yīng)相同油位時(shí)的儲(chǔ)油量，可以發(fā)現(xiàn)，傾斜變位后的油位高所對(duì)應(yīng)的實(shí)際儲(chǔ)油量與原罐容表所對(duì)應(yīng)的儲(chǔ)油量發(fā)生了很大變化，原罐容表不再適用于傾斜變位后的儲(chǔ)油罐了，需重新標(biāo)定傾斜變位后儲(chǔ)油罐的罐容表。A模型二的建立小橢圓型儲(chǔ)油罐發(fā)生傾斜角為的縱向變位，我們?nèi)∷恼晥D建立坐標(biāo)系，以儲(chǔ)油罐的正視圖的邊位坐標(biāo)軸，并由傾斜的角度，根據(jù)油面的不同情況將油面在儲(chǔ)油罐中分為5種情形進(jìn)行分析求解，如圖8所示：A(0,0)B(4,0)C(24.5，0)D（24.5，11.2438）E（24.5，11.5305）F（24.5，12）G(4,12)H(0,12)I（0，1.7562）G（0，0.2867）K(4,1.469)L(4,11.7133)油面圖8 油罐正面剖視圖假設(shè)油位探針?biāo)鶞y(cè)油位高為，單位為m,儲(chǔ)油量為，單位為L(zhǎng)。對(duì)5種情況分別計(jì)算：第1種情況：當(dāng)油面剛達(dá)到或未達(dá)到BG時(shí)，此時(shí)剛達(dá)到或未達(dá)到油位探針的最低端B點(diǎn)，油位探針?biāo)@示的油位高為0m，此時(shí)有最大時(shí)為油面與BG重合時(shí)的儲(chǔ)油量，由于油面在BG以下時(shí)，探針不能測(cè)出，這里只要知道最大的油量即可。此時(shí)有： （9）第2種情況：當(dāng)油面在BG與CI之間時(shí)，油面在探針BK段，所測(cè)油位高的取值范圍為,如下圖9所示：A(0,0)B(4,0)C(20.5，0)DEFG(4,12)H(0,12)IGK(4,1.469)L(4,11.713)油面dy圖9 第2中情況時(shí)的油罐正面剖視圖根據(jù)圖有： （10）第3種情況：當(dāng)油面在CI與DH之間時(shí)，油面在探針KL段，所測(cè)油位高的取值范圍為,如下圖10所示：A(0,0)B(4,0)C(20.5，0)DEFG(4,12)H(0,12)IGK(4,1.469)L油面MN圖10第3中情況時(shí)的油罐正面剖視圖由圖可以以MN為界將容積分為兩部分，即： (11)其中：為上面部分容積，為下面部分容積。計(jì)算與第2種情況一樣，的計(jì)算同模型一的計(jì)算方法一樣。則有： （12） （13）第4種情況：當(dāng)油面在DH與EG之間時(shí)，油面在探針LG段，所測(cè)油位高的取值范圍為，如下圖11所示：A(0,0)B(4,0)C(20.5，0)DEFG(4,12)H(0,12)IGK(4,1.469)L(4,11.713)油面PQ圖11第4中情況時(shí)的油罐正面剖視圖由圖可以以PQ為界將容積分為兩部分，即： (14)其中：為上面部分容積，為下面部分容積。計(jì)算與第2種情況一樣，的計(jì)算同模型一的計(jì)算方法一樣。則有： （15） （16）第5種情況：當(dāng)油面剛達(dá)到或超過(guò)EG后，此時(shí)油面剛達(dá)到或已超過(guò)油位探針的測(cè)量范圍，油位探針?biāo)@示的油位高為1.2m，此時(shí)儲(chǔ)油量為： （17）通過(guò)以上分析可得儲(chǔ)油量的關(guān)系如下模型二：第1種情況： 第2種情況：第3種情況： 第4種情況： 第5種情況： B模型二的求解與結(jié)果檢驗(yàn)分析 由模型一的結(jié)果和分析知道，進(jìn)油與出油的油位高度與儲(chǔ)油量間的關(guān)系沒(méi)有變化，這里我們就只考慮用進(jìn)油的數(shù)據(jù)進(jìn)行求解。運(yùn)用MATLAB軟件，帶入附表1中傾斜變位后的進(jìn)油時(shí)測(cè)得的油位高度值求得對(duì)應(yīng)的儲(chǔ)油量。再由附表1中傾斜變位后的進(jìn)油量算得相應(yīng)各油位高度時(shí)的實(shí)際儲(chǔ)油量，做出對(duì)應(yīng)油位高度的理論算得的儲(chǔ)油量與實(shí)際的儲(chǔ)油量的分布圖如下圖12所示：圖12 理論算得的儲(chǔ)油量與實(shí)際的儲(chǔ)油量的分布圖 由結(jié)果可以看出：理論計(jì)算出的值與實(shí)際值之間存在較大的誤差。C模型二改進(jìn)與改進(jìn)后檢驗(yàn)根據(jù)上一步的結(jié)果分析，理論值與實(shí)際值之間存在一定的誤差，即理論進(jìn)行計(jì)算時(shí)，相比實(shí)際情況還存在一些誤差。對(duì)模型一進(jìn)行改進(jìn)，加一個(gè)修正數(shù)，即： （18）式中：為修正數(shù)。計(jì)算出實(shí)際值與理論計(jì)算出的值之間的誤差，做出誤差隨油位高度的分布，并擬合出得到的表達(dá)式如下： （19）則改進(jìn)后的模型二為： （20） 運(yùn)用改進(jìn)后的模型二進(jìn)行求解得到一組理論計(jì)算值，再與實(shí)際值做分布進(jìn)行對(duì)比，如圖13所示：圖13 理論計(jì)算值與實(shí)際值分布圖 由圖可以得到，改進(jìn)后的模型求解的值與實(shí)際值幾乎吻合，且平均誤差為0.11%，認(rèn)為該模型精確。用此模型二對(duì)小橢圓型儲(chǔ)油罐傾斜a=4.10變位后的罐容表進(jìn)行重新標(biāo)定，重新標(biāo)定后罐容表如表4所示：表4油位高（dm）儲(chǔ)油量（L）油位高（dm）儲(chǔ)油量（L）油位高（dm）儲(chǔ)油量（L）00,1.67154965.6582661.40.13.5254.110058.12703.50.26.25974.21044.68.22745.50.39.96874.31084.58.32787.20.414.7534.41124.88.42828.70.520.6864.51165.38.528700.627.8484.61206.28.62911.10.736.3134.71247.28.72951.80.846.1394.81288.68.82992.30.957.3894.91330.18.93032.5170.12251371.993072.41.184.395.11413.89.131121.2100.255.214569.23151.21.3117.745.31498.39.33190.11.4136.925.41540.89.43228.61.5157.825.51583.59.53266.71.6180.255.61626.39.63304.41.7203.995.71669.29.73341.71.8228.95.81712.29.83378.51.9254.885.91755.39.93414.92281.8561798.5103450.72.1309.756.11841.810.13486.12.2338.546.21885.110.23520.92.3368.146.31928.510.33555.12.4398.526.41971.910.43588.82.5429.656.52015.410.53621.82.6461.486.62058.810.63654.22.7493.996.72102.310.73685.92.8527.146.82145.710.83716.92.9560.96.92189.110.93747.23595.2472232.5113776.63.1630.147.12275.811.13805.33.2665.587.22319.111.238333.3701.527.32362.311.33859.83.4737.957.42405.411.43885.63.5774.857.52448.411.53910.33.6812.27.62491.311.63933.93.7849.977.7253411.739563.8888.157.82576.611.83976.63.9926.717.92619.111.93995.5124012.7,4110.15.2 問(wèn)題（2）的模型建立與求解：根據(jù)問(wèn)題（1）的分析，當(dāng)儲(chǔ)油罐發(fā)生變位傾斜后，探針?biāo)鶞y(cè)的油位高度所對(duì)應(yīng)的實(shí)際儲(chǔ)油量與對(duì)應(yīng)原未變位時(shí)的罐容表所示的儲(chǔ)油量之間有很大的差別，原罐容表不再適用傾斜變位后的，需重新進(jìn)行罐容表的標(biāo)定。對(duì)于附圖1所示的實(shí)際儲(chǔ)油罐，我們建立罐體的位置為一般情況下，即縱向傾斜角度a和橫向偏轉(zhuǎn)角度b變位，測(cè)量的油位高度與儲(chǔ)油量的函數(shù)關(guān)系模型三，再由此模型來(lái)標(biāo)定傾斜后的罐容表。A模型三的建立附圖1所示的實(shí)際儲(chǔ)油罐，其主體為圓柱體，兩端為球冠體。由附圖2可以看出，縱向傾斜后，不僅對(duì)測(cè)量油面高度產(chǎn)生影響，還對(duì)容積的計(jì)算產(chǎn)生影響。由附圖3可以看出，橫向傾斜時(shí)，由于實(shí)際的儲(chǔ)油罐，其主體為圓柱體，兩端為球冠體，所以不對(duì)容積的計(jì)算產(chǎn)生影響，只對(duì)測(cè)量油面高度產(chǎn)生影響。橫向偏轉(zhuǎn)角度b變位，縱向傾斜角度a變位，側(cè)面截面圖如下圖14所示：oHH1Rb油面探針圖14 側(cè)面截面圖則有： （21）式中：實(shí)際油面高，為測(cè)量的油面高，為儲(chǔ)油罐圓柱體的半徑。正面截面圖如下圖15所示：h1油面探針VaVbVc圖15 正面截面圖則有模型三，即總油量為： （22）式中：為左邊球內(nèi)的油量，為中間在圓柱體內(nèi)的油量，為右邊球內(nèi)的油量。對(duì)于的計(jì)算，與模型二的類似，只是這里是圓柱體，模型二是橢圓體，也可分為5種情況，這里我們不再細(xì)分列出，而用一個(gè)總式子表示，即： （23）對(duì)與和的計(jì)算，由于罐體傾斜，使頂型部分的液面也相對(duì)為一個(gè)傾斜面，若采用水平狀態(tài)計(jì)算其部分容積，此時(shí)的液面高度就應(yīng)該是液面的平均高度。我們把頂板液面近似為一半橢圓面，根據(jù)文獻(xiàn)1，得其重心在罐體軸先方向的距離為（為短半長(zhǎng)軸）。如圖16所示；若高端液面高為時(shí)，頂型體內(nèi)液面半橢圓的重心為G，則： (24)就可用OE液面來(lái)近似代替OF液面來(lái)計(jì)算液面以下頂型部分的油量。油量高為： （25）H1CGFEOIAH2圖16 正面截面圖球頂部分容積的計(jì)算，如圖17所示：D/2edexlROH2dee圖17 球缺頂頂型部分容積計(jì)算原理圖取球缺體上一微分容積，即： （26）因?yàn)?(27)所以 （28）球缺體在高度下的部分容積： （29）運(yùn)用泰勒公式展開得：其中：,，。 根據(jù)式子（21）、（13）（29），帶入（22）式，即得模型三。B模型三的參數(shù)求解與罐容表的標(biāo)定由于模型三的式子很復(fù)雜且很長(zhǎng)，用計(jì)算機(jī)直接進(jìn)行擬合無(wú)法算出結(jié)果。我們先對(duì)模型三的式子用泰勒公式展開化簡(jiǎn)，得到一個(gè)相對(duì)原來(lái)較簡(jiǎn)化的式子：其中：然后根據(jù)附表2中的出油量和油位高度兩組數(shù)據(jù)，對(duì)模型三中的兩個(gè)傾斜角度進(jìn)行擬合，即：通過(guò)MATLAB擬合得到：，。將角度代入模型三中，再對(duì)罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表進(jìn)行標(biāo)定，標(biāo)定的罐容表如表5所示：表5油位高度（dm）儲(chǔ)油量（L）油位高度（dm）儲(chǔ)油量（L）油位高度（dm）儲(chǔ)油量（L）00101438820414611143111689921441372438.71219495224674831065.91322159234927942275.41424876245171453804.51527631255403465577.51630409265622077551.11733196275825189693.618359762860101911980193873629617433063241C模型三的正確性和可靠性的分析根據(jù)附表2中顯示油高的數(shù)據(jù)，代入模型三，計(jì)算出對(duì)應(yīng)的儲(chǔ)油量，再由儲(chǔ)油量算出油高差值對(duì)應(yīng)的理論出油量，做出與附表2中出油量的分布圖，如圖18所示：圖18 實(shí)際出油量與理論出油量分布圖 由圖18可以看出，理論算出的出油量與實(shí)際的出油量基本吻合，既可以驗(yàn)證模型三是正確的，并且可靠。六、模型檢驗(yàn) 此部分內(nèi)容見第五步模型建立與求解中：5.1.1B、5.1.1C、5.1.2B、5.1.2C和5.2C步驟。七、模型評(píng)價(jià)與改進(jìn)模型的優(yōu)點(diǎn)： 1、使用積分的方法求得的容積數(shù)據(jù)精確；2、計(jì)算方法簡(jiǎn)單，易于理解；3、通過(guò)泰勒展開使得一個(gè)看似無(wú)比巨大的積分化為具有相當(dāng)精度的二次展開式。模型的不足之處：對(duì)誤差的處理不夠。可行的改進(jìn)方向：在實(shí)際生活生產(chǎn)中，我們不能隨時(shí)高精度測(cè)量計(jì)算誤差，有時(shí)我們不得不進(jìn)行誤差較大但可行度較高的近似算法，此處我們推薦泰勒的一次線性展開式，通過(guò)計(jì)算可得： 帶入實(shí)際數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)在已知，情況下，實(shí)測(cè)液高可以很好反映儲(chǔ)蓄罐中的液容量。八、模型的應(yīng)用與推廣本文提出的模型，是使用積分的方法來(lái)求體積，結(jié)果精確，對(duì)類似的儲(chǔ)油罐的容量標(biāo)定都可以應(yīng)用。特別是一般情況的模型三，可以應(yīng)用到很多場(chǎng)合。 對(duì)于一般其他形狀的儲(chǔ)油罐，或傾角方向改變，也可以用本文提出的方法類似進(jìn)行計(jì)算。參考文獻(xiàn)：1廉育英，容量計(jì)量技術(shù)M，北京：中國(guó)計(jì)量出版社，2006。2劉慧穎，MATLAB R2006a基礎(chǔ)教程M，北京：清華大學(xué)出版社，2007。3同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系，高等數(shù)學(xué)M，北京：高等教育出版社，2007。4曾強(qiáng)鑫，油品計(jì)量員培訓(xùn)教程M,北京：中國(guó)石化出版社，2005。附錄：程序：模型一部分程序：h=load(h.txt);h=h./100;v=;for i=1:78 (h)2*8.9/6*24.5*(62-(h-6)2)(0.5); fun=(h)2*8.9/6*24.5*(62-(h-6)2)(0.5); v(i)=quadv(fun,0,h(i);endvh1=load(h1.txt);h1=h1./100;v3=;for i=1:74 (h1)2*8.9/6*24.5*(62-(h1(i)-6)2)(0.5); fun=(h1(i)2*8.9/6*24.5*(62-(h1(i)-6)2)(0.5); v3(i)=quadv(fun,0,h1(i);endv3v2=load(v2.txt);v1=load(v1.txt);v1=v1+262;plot(h,v1,h,v,，h1,v2,*,h1,v3,*)V=v-v1; H=h; V=V; H=ones(78,1) H; b,bint=regress(V,H) V1=v+b(1).*h+b(2); plot(h,v1,h,V1); V2=v3+b(1).*h1+b(2); plot(h1,v2,h1,V2)plot(h1,v2,h1,V2,h,v1,h,V1)模型二部分程序：for i=1:15y2(i)=0.01*(i-1);fun=(y)2*0.89*sqrt(1-(y-0.6)2/0.36)*(-y/tan(2*pi*4.1/360)+0.4+y2(i)/tan(2*pi*4.1/360);v0(i)=quadv(fun,0,y2(i)+0.4*tan(2*pi*4.1/360);endv0for i=1:103 y2(i)=0.15+0.01*(i-1); fun1=(x)4.9*0.89*sqrt(1-(x-0.6).2/0.36); fun2=(y)2*0.89*sqrt(1-(y-0.6)2/0.36)*(2.45-(y-y2(i)+2.05*tan(2*pi*4.1/360)/tan(2*pi*4.1/360);v1(i)=quadv(fun1,0,y2(i)-2.05*tan(2*pi*4.1/360); v2(i)=quadv(fun2,y2(i)-2.05*tan(2*pi*4.1/360),0.4*tan(2*pi*4.1/360)+y2(i);endv3=v1+v2for i=1:3 y2(i)=1.18+0.01*(i-1); funa=(x)4.9*0.89*sqrt(1-(x-0.6).2/0.36);funb=(y)2*0.89*sqrt(1-(y-0.6)2/0.36)*(2.45-(y-y2(i)+2.05*tan(2*pi*4.1/360)/tan(2*pi*4.1/360);V1(i)=quadv(funa,0,y2(i)-2.05*tan(2*pi*4.1/360); V2(i)=quadv(funb,y2(i)-2.05*tan(2*pi*4.1/360),1.2);endV3=V1+V2模型三部分程序：clearclcsyms a y2=2.6;R=1.625;D=3;h=1;y1=2*tan(a)+y2;H=4*sin(a)*(sqrt(1.625)2-(y1-1.5)2)-0.625)/3*pi+y1;%if H=3 %H=3;%endt=2*acos(1-2*H/D);V1=0.5*t*(D/2)2*(h-R)-2/3*(R-h)3+2/3*R3)+sin(t/2)*cos(t/2)*(-(D/2)2*h+1/12*(D/2)4/R+1/120*(D/2)6/R3)+sin(t/2)*(cos(t/2)3*(1/6*(D/2)4/R+1/90*(D/2)6/R3)+1/45*(D/2)6/R3*sin(t/2)*(cos(t/2)5;y3=-6*tan(a)+y2;H=-4*sin(a)*(sqrt(1.625)2-(y3-1.5)2)-0.625)/3*pi+y3;t=2*acos(1-2*H/D);V2=0.5*t*(D/2)2*(h-R)-2/3*(R-h)3+2/3*R3)+sin(t/2)*cos(t/2)*(-(D/2)2*h+1/12*(D/2)4/R+1/120*(D/2)6/R3)+sin(t/2)*(cos(t/2)3*(1/6*(D/2)4/R+1/90*(D/2)6/R3)+1/45*(D/2)6/R3*sin(t/2)*(cos(t/2)5;syms yy1=2*tan(a)+y2;y3=y2-6*tan(a);fun1=2*sqrt(9-(3-y)2)*