可化為一元二次方程的分式方程和無理方程.doc

億庫教育網(wǎng) http:/www.eku.cc 百萬教學(xué)資源免費下載第二單元 可化為一元二次方程的分式方程和無理方程一、教 法 建 議拋磚引玉本單元向同學(xué)們介紹了公式方程與無理方程.對分式方程（可化為一元一次方程的分式方程）同學(xué)已學(xué)過，并不陌生.因而，在教學(xué)中以其為突破口，自然地過渡到解可化為一元二次方程的分式方程.它的基本思想與可化為一元一次方程的分式方程基本相似，在教學(xué)中，緊緊地抓住“把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程”這條主線，研究“轉(zhuǎn)化”的條件.結(jié)合具體實例，突出“轉(zhuǎn)化”，突出解可化為一元二次方程的分式方程的步驟與解可化為一元一次方程的分式方程的步驟完全相同.再結(jié)合例題，剖析產(chǎn)生增根的原因，使學(xué)生深知驗根的必要性和重要性及驗根的方法.在本單元教學(xué)中，通過例2培養(yǎng)學(xué)生敏銳的觀察力，使他們發(fā)現(xiàn)兩個分式的分母、分子互相交換位置，可看作互為倒數(shù)，自然引到換元法上來，通過換元把此分式方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程，簡捷，易解，激發(fā)他們對換元法的興趣，抓住這一契機，進一步強調(diào)換元法應(yīng)用的廣泛性、重要性.應(yīng)用題教學(xué)應(yīng)注意對題目中一些相等關(guān)系的分析，使他們在分析問題、解決問題的能力方面在原有基礎(chǔ)上再提高一步.無理方程對學(xué)生來說是新內(nèi)容，在教學(xué)中結(jié)合實例使學(xué)生了解無理方程的概念，掌握其解法乘方法及換元法.強調(diào)解無理議程驗根的必要性及其方法步驟.指點迷津解可化為一元二次方程的分式方程，重點是抓住把分式方程“轉(zhuǎn)化”為整式方程.因此，要注意“轉(zhuǎn)化”的條件.要引導(dǎo)學(xué)生善于觀察，捕捉習題的特點來選取轉(zhuǎn)化的方法，通常（如課本P45例1）選取去分母法，也可采取換元法（如果方程的兩項成倒數(shù)關(guān)系，二次項的底數(shù)與一次項底數(shù)相等，采取換元法為宜）.對于解分式方程最后一道“關(guān)”檢驗，務(wù)必不能漏掉，必須向同學(xué)們進一步強調(diào).列方程解應(yīng)用題盡管同學(xué)們多次接觸，與以前學(xué)過列方程（整式方程）解應(yīng)用題幾乎完全相同，但找相等關(guān)系要比以前學(xué)過的復(fù)雜一些.只要強化對題目中的一些相等關(guān)系的分析，癥結(jié)也可化解.引出無理方程的概念后，指出以前學(xué)過的整式方程和分式方程統(tǒng)稱有理方程，這樣對代數(shù)方程有一個完整認識，再通過實例強調(diào)無理方程必須掌握乘方法及換元法，常規(guī)方法是乘方法.至于如何選取換元法，必須善于觀察，若發(fā)現(xiàn)根號內(nèi)外對應(yīng)項系數(shù)成比例或兩個根號內(nèi)的兩項互為倒數(shù)關(guān)系等，應(yīng)果斷選取換元法，無理方程的驗根這一環(huán)也必須扣緊，來不得半點含糊.二、學(xué) 海 導(dǎo) 航思維基礎(chǔ)1. 方程叫分式方程，解分式方程一般是把方程兩邊同乘以 或用 法，使原方程轉(zhuǎn)化為 去求解.2. 方程叫無理方程.解無理方程一般是把方程兩邊同時 或 法，使原方程轉(zhuǎn)化為 去求解.3.解分式方程和無理方程的轉(zhuǎn)化過程中，有可能產(chǎn)生 ，因此解這兩種方程的最后必須進行 .4.檢驗分式方程增根的一般方法是 .5.檢驗無理方程增根的一般方法是 .【學(xué)法指要】例1 解方程：.【思考】1.解分式方程通常使用哪兩種方法？2.本例應(yīng)用何種方法解之為宜？3.解分式方程應(yīng)注意什么？4.分母為多項式首先應(yīng)怎么辦？如何去分母呢？【思路分析】本例是一道分式方程.通常采用去分母法，因此首先應(yīng)觀察各項分母，如能分解因式必須先分解因式，如本例可分解因式為.待分解因式后再找各分母的最小公倍式.如本例為“”.用此整式去乘方程的每一項，便可約去分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解.在去分母的過程中要注意兩點：（1）必須注意符號的變化規(guī)律（如本例“12-x”與“x-12”的關(guān)系）；（2）用整式乘以方程的每一項，一項都不能漏.最后應(yīng)檢驗，至此例可找到本例完整解答.解：原方程就是，方程兩邊都乘以，約去分母，得，整理后，得.解這個方程，得.檢驗：， 均為原方程根.例2 解方程：（1）；（2）.【思考】1.解分式方程可用換元法，一是二次項與一次項相同，采取同底換元法；二是含未數(shù)的二項方程為一常數(shù)，呈倒數(shù)關(guān)系，可采取倒數(shù)換元法，你說對嗎？2.對本例采取何方法解之？請你探索.【思路分析】（1）觀察方程（1）可發(fā)現(xiàn)二次項底數(shù)與一次項未知底數(shù)相同，因而，可考慮換元法為宜.解：設(shè).則原方程可化為， .當y1=-2時，即；當y2=-3時，即. 均為原方程的根.【思路分析】（2）觀察方程（2）可發(fā)現(xiàn)這個方程左邊兩個分式中的與互為倒數(shù)，根據(jù)這個特點，可以用換元法來解.解：設(shè)，那么，于是原方程變形為，去分母，得 ， ，解得 y1=3/8,y2=1.當 y=3/8時，.去分母并整理，得.解得 .當y=1時，即.去分母并整理，得.檢驗：把分別代入原方程的分母，各分母都不等于0，所以它們都是原方程的根.原方程根是：.（2）的又一解法：設(shè)，于是有 這樣根據(jù)課本P31“以兩個數(shù)x1,x2為根的一元二次方程（二次項系數(shù)為1）是x2-(x1+x2)x+x1x2=0”，可找到思路.進而知以a，b為根的一元二次方程是. t1=3,t2=8.即，亦為.（下同原解法）由此可以看出，解分式方程“轉(zhuǎn)化”為整式方程（一元一次方程或一元二次方程）用去分母法是基礎(chǔ)方法，解分式方程應(yīng)首先考慮用基本方法求解，然后再根據(jù)分式方程特點（如倒數(shù)關(guān)系式）考慮換元法，便可達到轉(zhuǎn)化的目的，找到思路.對于解題過程的每一個步驟都不能疏忽，才能正確求解.例3 解方程：.【思考】1.解無理方程通常使用哪些方法？2.本例采用哪種解法好？【思路分析】 本例是一道無理方程，應(yīng)首先考慮用乘方法求解，然而，當我們觀察原方程可發(fā)現(xiàn)，含根號的未知數(shù)項均在等號左邊，立即采取乘法將會使求解陷入困境，此時把方程左邊一項適時移到等號右邊，再采取乘方法，將會走出困境，出現(xiàn)新的曙光.這也是解此類無理方程的技巧、方法.由此，采取乘方法本例便可很順利了.解：移項得 ，兩邊平方，得 ，整理，得 ，兩邊再平方，得 ， . .把x1=2，x2=3分別代入原方程，使得左邊=右邊，因此，x1=2，x2=3是原方程的根.原方程的根是x1=2,x2=3.例4 解方程：（1）；（2）.【思考】1.解分式方程可采取換元法嗎？如何進行換元？2.這兩例各有什么特點？【思路分析】（1）將（1）方程進行適當變形為此時例可發(fā)現(xiàn)根號內(nèi)外相同項的對應(yīng)系數(shù)成比例，即31=155=31，抓住這個特征，適時換元，便可打開思路.解：設(shè)，則原方程可變成3y2+2y-5=0，(3y+5)(y-1)=0， .當,無解；當. .經(jīng)檢驗都是原方程的根.【思路分析】（2）觀察方程左邊兩項，它們互為倒數(shù)，捕捉這一信息，便迅速作出換元的決策，思路自然暢通.解：設(shè). . .余下步驟略.通過對例3、例4的學(xué)習，我們體會到，如何能想到解題思路呢？只有認真審題，敏銳觀察，抓住試題的特點，如倒數(shù)關(guān)系，根號內(nèi)外對應(yīng)項系數(shù)成比例等，便可立即采取換元法，不然便是乘方法，在初中只向同學(xué)們介紹了這兩種最基礎(chǔ)的方法，二者必居其一，只要按照課本所教的方法去探索，去觀察，去分析，老師能想到的思路，同學(xué)們也同樣想得到！例5 某校學(xué)生甲、乙二人分別從A，B兩地同向出發(fā)，甲經(jīng)過B地后再走3小時12分鐘在C地追地追上乙，這時二人共走了72千米，而C，A兩地的距離等于乙走5小時的路程，求A，B兩地的距離.【思考】1.列方程解應(yīng)用題通常有哪些步驟？2.對行程問題要抓住哪三者之間的關(guān)系？3.列分式方程解應(yīng)用題還要檢驗嗎？檢驗后還應(yīng)注意什么？【思路分析】要解決行程問題，迅速找到思路，首要條件是把實際問題用線段圖清晰表示出來；其次抓住“速度、時間、距離”三者之間關(guān)系，列出代數(shù)式；再者找相等關(guān)系用代數(shù)式表示，便可列出方程，大功告成.然后求解，檢驗，答便接近尾聲.抓住“首先、其次、再者”這三部曲，你自然能想到解行程問題思路.如本例.解：一、畫線段圖 圖代12-2-1二、根據(jù)三者（，s，t）關(guān)系結(jié)合線段圖列代數(shù)式：乙從B走到C的距離是：千米，甲從B走到C的距離亦是：千米，甲從A走到C的距離是：千米.乙的速度是：千米/小時.甲的速度是：千米/小時.三、找相等關(guān)系式，布列方程.甲從A走到C的時間=乙從B走到C時間. . . ） （負值舍）. s=8（千米）.經(jīng)檢驗s=8是原方程根，且符合題意.答：A，B兩地距離是8千米.由上可知，該道應(yīng)用題十分復(fù)雜，盡管千頭萬緒，但對行程問題只要遵循“三部曲”，你自然能想到怎樣解，而且能順利找到思路.總之，對列方程解應(yīng)用題要認真分析，采取畫線段圖、列表等手段輔助分析，列出代數(shù)式，最關(guān)鍵的是找準相等關(guān)系，一切攔路虎便可降服了.思維體操例：甲、乙二人自A，B兩村騎自行車同時相向而行，相遇在離A村8公里處，相遇后兩人繼續(xù)按原方向前進，分別到達A和B后又立即返回，在離B村10公里處相遇，求兩村間的距離.【思考】1.行程問題可把總路程看作單位1嗎？相同時間呢？2.對行程問題分析可采取列表法、畫線段圖法等，本例采取哪種方法好呢？【思路分析】依題意，畫線段圖如圖代12-2-2，第一次相遇甲行8公里，乙行（s-8）公里；第二 圖12-2-2次相遇，甲共行了（s+10）公里，乙共行了（2s-10）公里.第一次相遇后至第二次相遇甲行了（s-8+10）=(s+2)公里，乙行了（8+s-10）公里.只要抓住“甲行走所用時間=乙行走所用時間”這一相等關(guān)系式，問題就能得到解決.【擴散1】設(shè)兩村的距離為s公里，甲速度為1公里/時，乙速度為2公里/時，則有 ， . 得 . . .s0，s=14（公里）.【擴散2】設(shè)法同擴散1，則有 .【擴散3】設(shè)兩村間的距離為s公里，第一次相遇時他們行了t小時，則有. （s-8）(s+10)=8(2s-10). s2+2s-80=16s-80. s2-14s=0.s0， s=14（公里）.【擴散4】設(shè)同擴散3，則有 .【擴散5】設(shè)兩村間的距離為s公里，兩次相遇共用3t小時，則有. 8（2s-10）=(s+10)(s-8). 16s-80=s2+10s-80. s2-14s=0.s0, s=14(公里).【擴散6】設(shè)同擴散5,則有.【擴散7】設(shè)兩村間的距離為s公里,第一次相遇后至第二次相遇所行時間為t小時,則有.【擴散8】設(shè)同擴散7,則有.【擴散9】設(shè)兩村間的距離為s公里,第一次相遇兩人行1單位時間,則甲的速度為8公里/1單位時間,乙的速度為(s-8)公里/1單位時間,于是得. (s+10)(s-8)=8(2s-10). s2+2s-80=16s-80. s2-14s=0.s0,s=14(公里).【擴散10】設(shè)同擴散9,則有.【擴散11】設(shè)兩村的距離為s公里,兩次相遇共用1單位時間,則有. 8(2s-10)=(s+10)(s-8). 16s-80=s2+2s-80. s2-14s=0.s0,s=14(公里).【擴散12】設(shè)法同擴散11,則有.【擴散13】設(shè)兩村間的距離為s公里,第一次相遇后至第二次相遇共行了1單位時間,則有. 8s-16=(s+2)(s-8)=s2-6s-16. s2-14s=0.s0,s=14(公里).【擴散14】設(shè)同擴散13,則有.【擴散15】設(shè)兩村間的距離為s公里，甲、乙二人兩次相遇共走3s公里，又知從出發(fā)到第一次相遇，甲、乙二人共走3s公里，其中甲共走8公里，由于速度不變，兩次相遇甲共走（83）公里，同時又知甲共走（s+10）公里，于是有（公里）.根據(jù)“解法擴散15”可推廣為解兩次相遇問題的通法.如將原題中把“8公里”改為“a公里”，“10公里”改為“b公里”，根據(jù)“解法擴散15”分析可得下列關(guān)系式：.應(yīng)用這一公式，解與例題相同的一類兩次相遇問題十分簡捷、迅速、易求，試舉例.清晨，甲、乙二人分別從A，B兩地同時開始跑步鍛煉，甲從A跑到B立刻再返回A，乙從B跑到A再立即返回B，在距離A 600米處第一次相遇，在距離B 400米處兩人第二次相遇，假定甲、乙各自速度不變，則A，B兩處的距離是 .【思路分析】這里a=600米，b=400米.由公式得 （米）.故A，B兩處距離為1 400米.再舉兩例，供同學(xué)們練習：1. 甲、乙二人分別從A，B兩地同時出發(fā)，相向而行，第一次相遇時離B地700米，兩人繼續(xù)往前走，到達對方出發(fā)地立即返回，結(jié)果又在距離A地400米處相遇，求A，B兩地的距離.（s=1 700米）2. 甲、乙二人自A，B兩地同時相向而行，在距B地5千米處相遇，各自到達對方出發(fā)地立即返回，又在距A地1千米處相遇，求A，B兩地的距離.（s=14千米）“擴散115”從不同角度分析問題.“擴散12”增設(shè)速度，借“橋”過“河”，天塹變通途.“擴散38”增設(shè)時間，借梯登樓視野開闊，“擴散914”借助單位1，簡捷又明快.“擴散15”抓住甲、乙二人速度不變，找出“甲走的總路程=甲走的總路程”這一相等關(guān)系，抓住問題質(zhì)，使這一類問題產(chǎn)生質(zhì)的變化.三、智 能 顯 示心中有數(shù)分式方程、無理方程是代數(shù)方程的重要組成部分.解方程必然要學(xué)會解分式方程、解無理方程.對于解可化為一元二次方程的分式方程一定要駕馭去分母法、換元法.這種方法既基本又實用，也是解開這一類問題的常用方法，只要熟練掌握，遇到類似問題，你一定可想到好的解法，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解.無理方程的解法通常采取乘方法或換元法，根據(jù)無理方程的不同特點，靈活選取這兩種方法，一定能奏效.列方程解應(yīng)用題，重點在分析，如畫圖、列表等輔助分析，進而再根據(jù)分析，找出相等關(guān)系，便可有新的突破，找到思路.總之，對本單元的三大塊知識要熟練掌握，它們之間既有區(qū)別又有聯(lián)系，抓住它們的脈搏，才能卓有成效，收到好的學(xué)習效果.動手動腦1. 解方程：.2. 解方程：.創(chuàng)新園地解關(guān)于的方程：，解之得.請同學(xué)應(yīng)用此題結(jié)論解方程（組）.1.；2.；3.；4.；5.；6.；7.；8.；9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.四、同 步 題 庫一、 填空題1. 在方程中，若設(shè)，則原方程化為關(guān)于y的方程是 .2.當m= 時，關(guān)于x的分式方程沒有實數(shù)解.3.若關(guān)于x的方程有實數(shù)根，則a的取值范圍是 .4.用換元法解方程時，可設(shè) =y,這時原方程變?yōu)?.5.方程的根是 ；的根是 ；的根是 .6.無理方程的根為，則a的值為 .7.若a，b都是正實數(shù)，且，則 .8.若a+b=1，且ab=25,則2a-b= .9.當a= 時，方程無實數(shù)根.10.若，則 .二、 選擇題11.下列方程中既不是分式方程，也不是無理方程的有（ ） A. B. C. D. E. F.12方程的最簡公分母是（ ） A.24（x+3）(x-3) B.(x+3)(x-3)2 C.24（x+3）(x-3)2 D.12（x+3）(x-3)213.觀察下列方程，經(jīng)分析判斷得知有實數(shù)根的是（ ） A. B. C. D.14.如果，那么的值是（ ） A.1 B.-1 C.1 D.415.方程的解是（ ） A.0 B.2 C.0或2 D.16.設(shè)y=x2+x+1,則方程可變形為（ ） A.y2-y-2=0 B.y2+y+2=0 C.y2+y-2=0 D.y2-y+2=017.若，則a的取值范圍是（ ） A.全體實數(shù) B.a0 C.a D.A18.已知，則相等關(guān)系成立的式子是（ ） A. B. C D.19.關(guān)于x的方程的根是（ ） A.x=a B.x=-a C.x1=a；x2=- D.x1=a；x2=20.一個數(shù)和它的算術(shù)平方根的4倍相等，那么這個數(shù)是（ ） A.0 B.16 C.0或16 D.4或16三、 解下列方程21.；22.；23.；24.；25.；26.；27.；28.；29.30.關(guān)于x的方程，其中p是實數(shù).（1） 若方程沒有實數(shù)根，求p的范圍.（2） 若p0，問p為何值時，方程有兩個相等的實數(shù)根？并求出這兩個根.四、 解答題31.已知直角三角形兩條直角邊之差為7，它的周長為30，求各邊之長.32.如圖，ABC內(nèi)接于O，AB是直徑，D是圓上的點，BD交AC于E，已知AB=5，sinCAB=. 圖代12-2-3（1） 設(shè)CE=m，DE/BE=k，試用含m的代數(shù)式表示k.（2） 當ADOC時，求k的值.（3） 當BE=6DE時，求DC的長（下列數(shù)據(jù)供選用：，結(jié)果中保留）.33.甲、乙二人分別從A，B兩地同時相向而行，相遇時甲比乙多走了6千米，相遇后他們?nèi)砸栽俣惹斑M，甲經(jīng)過小時到達B地，乙經(jīng)過8小時到達A地，求A，B間的距離.34.某校學(xué)生甲、乙二人分別從A，B兩地同時同向行走，甲經(jīng)過B地后再后3小時12分鐘在C地追上乙，這時二人共走了72公里，而C，A兩地的距離等于乙走5小時的路程，求A，B兩地的距離.35.某校初三甲、乙兩班同學(xué)向水災(zāi)地區(qū)捐款的總數(shù)為3 600元，已知甲班比乙班少5人，但平均每人比乙班多捐5元，結(jié)果兩班的捐款數(shù)相同，求甲、乙兩班平均每人的捐款數(shù).36.已知一個矩形和一個正方形的面積相等，它們的周長之和為108，且矩形的長比寬多18，求矩形的長和寬以及正方形的邊長.37.淮河上有A,B兩地相距14千米,一只船在兩地往返一趟需2小時24分,船在靜水中的速度是12千米/時,問一個漂流物從A地漂到B地需要多少時間?38.從甲站到乙站有150千米，一列快車和一列慢車同時從甲站開出，1小時后快車在慢車前12千米，快車到達乙站時，慢車還差25千米沒走完，快車和慢車每小時各走多少千米？若都提高速度50%，快慢車行這段各節(jié)省多少時間？39.一項工程甲隊獨完成比乙隊單獨完成少用15天，現(xiàn)甲隊先做10天后，再由乙隊單獨做15天就完成了這項工作的，求甲、乙兩隊單獨完成這項工程的天數(shù).參 考 答 案動腦動手1. 解法1：由原方程去分母，得 .展開后，得 .合并，得. . .經(jīng)檢驗，都是原方程的根.解法2：將原方程變形，得. .去分母，得4（x+2）(x-4)(x+3)+(x+5)(x+4)(x+3) =3(x+5)(x+2)(x+3)+2(x+5)(x+2)(x+4).展開后，得 .合并，化簡，得.解法3：同解法2，原方程化為.移項，得 .兩邊通分，得 . .解之，得.2. 解：設(shè)，則. ， . . +，得 ，即 .將方程兩邊平方后，整理，得. .經(jīng)檢驗知 均為原方程根.創(chuàng)新園地由方程我們可發(fā)現(xiàn)方程左右兩邊結(jié)構(gòu)一致，且（常數(shù)），只要具有這個條件，我們用觀察法，便可利用結(jié)論，口算出答案.1. 由原方程得， .2. 由原方程，得. .3.由原方程，得. .4.由原方程，得. .5.由原方程，得. .6.由原方程，得 . .7.由原方程，得 . .8.由原方程，得 . .9. .10. .11. .12. （舍）.13.由原方程組得 . .14. 由原方程組，得 . 15. .同步題庫一、 填空題1.； 2.4或-6； 3.a-2； 4.； 5.0，0和1，0； 6.； 7.； 8.； 9.-2，1； 10.2.二、 選擇題11.A 12.D 13.C 14.A 15.B 16.A 17.D 18.B 19.D 20.C三、 解下列方程21.解 ， ， ， . .經(jīng)檢驗知：x=1是增根，x=-4是原方程的根.22.解 ， ， ， ， . .經(jīng)檢驗知：x=44是增根，x=4是原方程的根.23.解 設(shè) . 2y2-9y+10=0， （2y-5）(y-2)=0. y1；y2=2.把代入中，得， ， ， . .把代入中，得經(jīng)檢驗知：均為原方程的根.24.解: ,.經(jīng)檢驗知:x=-2是增根；x=3是原方程的根.25.解： .設(shè).把得代入中，得經(jīng)檢驗知：均為原方程的根.26.解 ， 經(jīng)檢驗知：x=2是增根；x=1是原方程的根.27.解： ，經(jīng)檢驗知：x=2是原方程的根.28.解：設(shè)，則 ，把代入中，則把代入中，則經(jīng)檢驗知：均為原方程的根.29.解：設(shè)，則，把y=2代入中，得.經(jīng)檢驗知：x=3是原方程的根.30.解：（1）