安徽馬鞍山高三數(shù)學(xué)一模文

安徽省馬鞍山市2019屆高三數(shù)學(xué)一模試題 文（含解析）一、選擇題（本大題共12個(gè)題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符題目要求的）1.設(shè)集合，則A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先解不等式得集合A，再根據(jù)補(bǔ)集以及交集定義求結(jié)果.【詳解】因?yàn)?；或；故選：【點(diǎn)睛】本題考查集合運(yùn)算以及解一元二次不等式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.2.已知為虛數(shù)單位，若為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)的模等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先根據(jù)復(fù)數(shù)純虛數(shù)的概念，得到實(shí)數(shù)所滿足的關(guān)系式，求出參數(shù)值，再由復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式求得結(jié)果【詳解】設(shè),則2-i=abi-b,故,解之得,則,故,應(yīng)選B.【點(diǎn)睛】本題考查了純虛數(shù)的概念和復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)的計(jì)算，復(fù)數(shù)中需要注意的有：（1）中的負(fù)號(hào)易忽略；（2）對(duì)于復(fù)數(shù)mni，如果m，nC(或沒(méi)有明確界定m，nR)，則不可想當(dāng)然地判定m，nR；(3)對(duì)于abi(a，bR)為純虛數(shù)的充要條件，只注意了a0而漏掉了b0.3.同時(shí)擲兩枚骰子，則向上的點(diǎn)數(shù)和是9的概率為( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】基本事件總數(shù)，利用列舉法求出向上的點(diǎn)數(shù)和是9包含的基本事件有4個(gè)，由此能求出向上的點(diǎn)數(shù)和是9的概率【詳解】同時(shí)擲兩枚骰子，基本事件總數(shù)，向上的點(diǎn)數(shù)和是9包含的基本事件有：，共4個(gè)，則向上的點(diǎn)數(shù)和是9的概率，故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查概率的求法，考查列舉法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題4.如圖，網(wǎng)格紙的各小格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，粗實(shí)線畫(huà)出的是一個(gè)幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體的表面積是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先還原幾何體，再根據(jù)圓錐與圓柱表面積公式求解.【詳解】由三視圖得到該幾何體是上、下兩個(gè)圓錐與中間圓柱體的組合體，如圖所示；其中底面圓的半徑為1，圓錐的高為1，圓柱的高為2，組合體表面積為故選：【點(diǎn)睛】本題考查三視圖以及圓錐與圓柱表面積公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.5.某數(shù)學(xué)教師為了解、兩個(gè)班級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)競(jìng)騫成績(jī)，將兩個(gè)班級(jí)各10名參加競(jìng)賽選拔考試的成績(jī)繪成莖葉圖如圖所示設(shè)、兩班的平均成績(jī)分別為，中位數(shù)分別為、，則A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)莖葉圖求平均數(shù)以及中位數(shù)，再比較大小.【詳解】由莖葉圖可知：，可得：，故選：【點(diǎn)睛】本題考查莖葉圖、平均數(shù)以及中位數(shù)，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.6.若函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心為，則函數(shù)的一條對(duì)稱軸為A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)與余弦函數(shù)對(duì)稱軸與對(duì)稱中心關(guān)系，確定選項(xiàng).【詳解】函數(shù)的對(duì)稱中心和的對(duì)稱軸在一條直線上的，若的對(duì)稱中心為，則函數(shù)的一條對(duì)稱軸為故選：【點(diǎn)睛】本題考查正弦函數(shù)與余弦函數(shù)對(duì)稱軸與對(duì)稱中心關(guān)系，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.7.數(shù)列為等比數(shù)列，若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則A. B. C. 7D. 31【答案】A【解析】【分析】先求等比數(shù)列通項(xiàng)公式，再根據(jù)等比數(shù)列求和公式求結(jié)果.【詳解】數(shù)列等比數(shù)列，解得，數(shù)列的前項(xiàng)和為，故選：【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式與求和公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.8.等邊的邊長(zhǎng)為1，是邊的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：先為基底，把用基底表示后再進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算.詳解：由已知， ，故選A.點(diǎn)睛：本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，解題關(guān)鍵是選取基底，把其它向量都用基底表示，然后進(jìn)行計(jì)算即可，因此也考查了平面向量基本定理，屬于基礎(chǔ)題.9.函數(shù)的大致圖象為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用，以及函數(shù)的極限思想，可以排除錯(cuò)誤選項(xiàng)得到正確答案?！驹斀狻?，排除，B，C，當(dāng)時(shí)，則時(shí)，排除A，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)圖象的識(shí)別和判斷，利用排除法結(jié)合函數(shù)的極限思想是解決本題的關(guān)鍵。10.若雙曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長(zhǎng)為2，雙曲線的離心率為A. B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】先求雙曲線漸近線方程，再根據(jù)垂徑定理得圓心到漸近線的距離，最后解方程得離心率.【詳解】雙曲線的一條漸近線方程設(shè)為，圓的圓心為，半徑，可得圓心到漸近線的距離為，則，化為，故選：【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線漸近線方程、離心率以及直線與圓弦長(zhǎng)，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.11.在三棱錐中，平面平面，則三棱錐的外接球體積為A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理得平面，再根據(jù)正弦定理求的外接圓的直徑，最后根據(jù)球心位置列式求半徑，即得結(jié)果.【詳解】平面平面，平面平面，平面，平面， ，所以，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，由正弦定理得的外接圓的直徑為，所以，該球的直徑為，則，因此，三棱錐的外接球體積為故選：【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直性質(zhì)定理、正弦定理以及外接球體積，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.12.若函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為A. B. 2C. D. 【答案】A【解析】【分析】先將函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為直線與曲線相切問(wèn)題，再利用導(dǎo)數(shù)求切點(diǎn)即得切線斜率，即得的值.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋艉瘮?shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)為恰有一個(gè)根，即只有一個(gè)根，即函數(shù)和的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的切線,設(shè)，切點(diǎn)為，則，因?yàn)?，切線斜率，則切線方程為，切線過(guò)原點(diǎn)，即，因?yàn)樗?，此時(shí)，故選：【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)零點(diǎn)以及導(dǎo)數(shù)幾何意義，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知實(shí)數(shù)、滿足，則的最大值為_(kāi)【答案】【解析】【分析】先作可行域，再根據(jù)目標(biāo)函數(shù)幾何意義確定最優(yōu)解，解得結(jié)果.【詳解】的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn)的斜率，作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，由圖象知的斜率最大，由解得，此時(shí)，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃求最值以及直線斜率，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.14.若函數(shù)，則不等式的解集為_(kāi)【答案】，【解析】【分析】先研究函數(shù)單調(diào)性與奇偶性，再根據(jù)函數(shù)性質(zhì)化簡(jiǎn)不等式，解得結(jié)果.【詳解】，則函數(shù)是奇函數(shù)，又在定義域上，是增函數(shù)，則不等式等價(jià)為，則，即，即不等式的解集為(，)，故答案為：(，)【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性與奇偶性以及利用函數(shù)性質(zhì)化簡(jiǎn)不等式，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.15.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交于、兩點(diǎn)，交的準(zhǔn)線于點(diǎn)，若為的中點(diǎn)，則_【答案】【解析】【分析】先根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得，再根據(jù)條件求，最后根據(jù)拋物線定義求弦長(zhǎng).【詳解】如圖，由拋物線，得，為中點(diǎn)，則由焦點(diǎn)弦性質(zhì)得，所以， 故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查拋物線定義以及焦點(diǎn)弦性質(zhì)，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.16.在中，角、所對(duì)的邊分別邊、，若，則的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】先根據(jù)余弦定理求C,再根據(jù)正弦定理化為角的函數(shù)關(guān)系式，最后根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求結(jié)果.【詳解】， ，又，因此， ， ，故答案為【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理、正弦定理以及正弦函數(shù)性質(zhì)，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.三、解答題（共70分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟第17-21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答）17.已知數(shù)列滿足（1）求、；（2）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（3）求數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】（1），； （2）見(jiàn)解析； （3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系式依次代入求解，（2）根據(jù)等差數(shù)列定義以及遞推關(guān)系化簡(jiǎn)即得結(jié)果，（3）先求通項(xiàng)公式，即得，再利用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】（1），；（2）， ， ，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列；（3）由（2）知：，【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列定義、等差數(shù)列通項(xiàng)公式以及裂項(xiàng)相消法求和，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.18.在一次“綜藝類(lèi)和體育類(lèi)節(jié)目，哪一類(lèi)節(jié)目受中學(xué)生歡迎”調(diào)查中，隨機(jī)調(diào)查了男女各100名學(xué)生，其中女同學(xué)中有73人更愛(ài)看綜藝類(lèi)節(jié)目，另外27人更愛(ài)看體育類(lèi)節(jié)目；男同學(xué)中有42人更愛(ài)看綜藝類(lèi)節(jié)目，另外58人更愛(ài)看體育類(lèi)節(jié)目（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)填好如下列聯(lián)表：綜藝類(lèi)體育類(lèi)總計(jì)女男總計(jì)（2）試判斷是否有的把握認(rèn)為“中學(xué)生更愛(ài)看綜藝類(lèi)節(jié)目還是體育類(lèi)節(jié)目與性別有關(guān)”參考公式：臨界值表：0.0250.010.0050.0015.0246.6357.87910.828【答案】（1）見(jiàn)解析； （2）有的把握認(rèn)為“中學(xué)生更愛(ài)看綜藝類(lèi)節(jié)目還是體育類(lèi)節(jié)目與性別有關(guān)”【解析】【分析】（1）根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)填寫(xiě)表格，（2）根據(jù)公式計(jì)算，再對(duì)照數(shù)據(jù)作判斷.【詳解】（1）根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)填寫(xiě)列聯(lián)表，如下；綜藝類(lèi)體育類(lèi)總計(jì)女7327100男4258100總計(jì)11585200（2）估計(jì)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算，所以有的把握認(rèn)為“中學(xué)生更愛(ài)看綜藝類(lèi)節(jié)目還是體育類(lèi)節(jié)目與性別有關(guān)”【點(diǎn)睛】本題考查列聯(lián)表以及卡方公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.19.如圖，四棱錐中，為中點(diǎn)，（1）證明：平面平面；（2）若，求三棱錐的體積【答案】（1）見(jiàn)解析； （2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)計(jì)算可得，再根據(jù)線面垂直判定定理得平面，最后根據(jù)面面垂直判定定理得結(jié)果，（2）取中點(diǎn)，利用面面垂直性質(zhì)定理得平面，再根據(jù)錐體體積公式求結(jié)果.【詳解】（1）證明：由，可得，從而是等邊三角形，平分為中點(diǎn)，又，平面平面，平面平面；（2）解：由（1）知，平面，則平面平面，取中點(diǎn)，連接，則平面平面，平面平面，平面，又 【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直判定定理、面面垂直判定與性質(zhì)定理以及錐體體積公式，考查綜合分析論證與求解能力，屬中檔題.20.在直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于、兩點(diǎn)（1）求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，若點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，直線交軸于，證明：為定值【答案】（1），； （2）見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）先將直線與橢圓方程聯(lián)立方程組，再根據(jù)判別式大于零求結(jié)果，（2）先解出坐標(biāo)，再利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)，解得結(jié)果.【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線為：代入橢圓得：，若直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，則，解得：，（2）設(shè)，、，、由（1）得：由，直線的方程為：令，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：，故即為定值1【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓位置關(guān)系，考查綜合分析論證與求解能力，屬中檔題.21.已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求在，（1）處的切線方程；（2）當(dāng)，時(shí)，恒成立，求的取值范圍【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率，最后根據(jù)點(diǎn)斜式方程得結(jié)果，（2）先分類(lèi)討論，再變量分離轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性，利用極限求最值，即得結(jié)果.【詳解】（1）時(shí)，故（1），（1），故切線方程是：，即；（2）當(dāng)，時(shí)，恒成立，即，時(shí)，顯然成立，時(shí)，只需在恒成立，令，則，令，則，故在遞減，故（1），故恒成立，故在遞減，而，故【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)幾何意義以及利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將橢圓上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的一半，得曲線C，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為寫(xiě)出曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；已知點(diǎn)且直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，求的值【答案】（1），；（2）【解析】【分析】設(shè)為橢圓上的點(diǎn)，在已知變換下變?yōu)镃上點(diǎn)，依題意，得由此能求出曲線C的普通方程；由直線l的極坐標(biāo)方程，能求出直線l的直角坐標(biāo)方程；求出直線l的參數(shù)方程并代入，得：，結(jié)合，求解即可。【詳解】將橢圓上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的一半，得曲線C，設(shè)為橢圓上的點(diǎn)，在已知變換下變?yōu)镃上點(diǎn)，依題意，得由，得，曲線C的普通方程為直線l的極坐標(biāo)方程為直線l的直角坐標(biāo)方程為點(diǎn)且直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，在直線l上，把直線l的參數(shù)方程代入，得：，則，【點(diǎn)睛】本題考查圖形的伸縮變換、極坐標(biāo)方程與普通方