【原創(chuàng)——每日一練,為高考加油】數(shù)學(xué)方法選講整理合集word版2-2.doc

例八已知都是小于1的正數(shù)，且。求證：。解題分析 看到輪換對稱式，想到實(shí)際上可以通過恒等變形得到。證一 根據(jù)由于，所以。而且點(diǎn)評 這個(gè)證明我們采用了兩種辦法，一種是恒等變形和均值不等式，一種是首先固定求極值然后討論的不同取值求極值，核心在于分步求極值。解題分析 看到題目中含有的形式，想到構(gòu)造二次方程。證二 假設(shè)，那么：所以是方程的兩個(gè)根，而且兩個(gè)根都在內(nèi)，因此：而且。由此我們得到：和點(diǎn)評 二次方程構(gòu)造的辦法明顯比證一好得多，關(guān)鍵在于能否理解字母背后的意義和進(jìn)行不等式放縮。例九求證：。解題分析 使用待定系數(shù)法開三次根號。證一 假設(shè)，那么假設(shè)，那么得到：分解因式：代入原來的方程得到：。所以。同理：。所以：結(jié)論得證。點(diǎn)評 大多數(shù)同學(xué)看到根號之后想利用移項(xiàng)三次方開根號，但是效果不好，真正的開根號的方法是利用待定系數(shù)法，把結(jié)構(gòu)看清楚再開。解題分析 注意到含有兩個(gè)形式相近的數(shù)相加的形式，所以考慮構(gòu)造二次方程。證二 構(gòu)造方程。因?yàn)樗允欠匠痰囊粋€(gè)根，同時(shí)容易證明1和是方程的另一個(gè)根。因此根據(jù)韋達(dá)定理，也就得到結(jié)論。點(diǎn)評 這個(gè)方法巧妙的避開了開三次根號，注意在構(gòu)造方程的時(shí)候?qū)嶋H上我們先是利用了結(jié)論構(gòu)造方程，然后再證明三者都是方程的根。例十三角形中，求證：。解題分析 注意到乘法元算可以轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，聯(lián)系等號成立的條件之一是三者相等。證一 當(dāng)三角形不是銳角三角形的時(shí)候。否則，構(gòu)造函數(shù)，其中。那么根據(jù)函數(shù)的凸凹性：于是我們得到：點(diǎn)評 這個(gè)證法的前提假定是大家已經(jīng)能夠利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的凸凹性，并且明確凸凹性的定義。把乘法化成加法使這個(gè)證明的關(guān)鍵之處。解題分析 這道題還可以按照求極值的思路來。證二 不妨假設(shè)三角形是銳角三角形，并且角是固定的。那么由于在的時(shí)候單調(diào)遞增，在的時(shí)候單調(diào)遞減，所以我們可以得到：在的時(shí)候達(dá)到最大值，這時(shí)候：注意到的導(dǎo)函數(shù)為：它在是單調(diào)遞增的，在是單調(diào)遞減的。所以最大值在的時(shí)候取得，是。于是命題得證。點(diǎn)評 從這個(gè)命題的證明上看，多元函數(shù)的極值問題可以通過分步求極值得到解答。解題分析 下面大家看一種方程的構(gòu)造思路。證三 令，那么整理之后可以得到：所以。點(diǎn)評 這個(gè)辦法很簡捷，但是很難構(gòu)思出來，關(guān)鍵是把二次的形式構(gòu)思出來，而且不等式恰好能夠湊巧碰上。例十一設(shè)是兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，求證：。解題分析 注意到可以分解因式，而且比較容易利用平均值不等式。證一 注意到兩個(gè)數(shù)不相等，所以也就證明了后面一個(gè)不等式。而同上：也就證明了前面一個(gè)不等式。點(diǎn)評 這種解法是非常常見的解法。關(guān)注于把恒等式表達(dá)成的形式。解題分析 注意到題目中的恒等式變形之后很接近的形式。證二 設(shè)，那么題目給出的條件恒等式可以表達(dá)為：而是方程的兩個(gè)解，所以：由此得到后一個(gè)不等式。至于前一個(gè)不等式由即可得到。點(diǎn)評 這種方法側(cè)重于構(gòu)造，方法和上面的構(gòu)造類似。例十二已知：，求證：。解題分析 首先想到的是消元法。證一 由我們可以得到：于是：根據(jù)：，于是我們得到結(jié)論。點(diǎn)評 這種方法是常規(guī)方法，應(yīng)該不難想到。解題分析 注意到很像二次方程的判別式，所以我們猜測可以構(gòu)造二次方程。證二 構(gòu)造方程注意到根據(jù)條件可以得到：于是是方程的一個(gè)解，因此判別式不小于零，即：，即得結(jié)論。點(diǎn)評 這種方法實(shí)際上是和上面的幾個(gè)題目剛好相反，上面的題目是構(gòu)造平方和，然后說無根或重根，判別式不大于零，而這個(gè)題目是說求出根，說明判別式不小于零。構(gòu)造高次方程例十三求證：解題分析 注意到其中含有類似于方程的根的形式。證明 由于滿足方程，因此：。展開之后就是三次方程：也就是說：將這個(gè)根帶入就可以得到答案。點(diǎn)評 本題的解法也比較巧妙，不過有了題目中的明顯暗示，所以思路也就不難猜測，關(guān)鍵在于二次方程向三次方程轉(zhuǎn)化的時(shí)候要注意銜接。例十四已知實(shí)數(shù)滿足求證：全都是1。解題分析 注意到可以用不等式。證一 根據(jù)是下凸函數(shù)，可以得到：等號當(dāng)且僅當(dāng)?shù)臅r(shí)候才成立，而，所以：。而這種情況滿足方程組。點(diǎn)評 注意到這種證法實(shí)際上只是利用了方程組的前兩個(gè)方程。解題分析 題目中的已知條件實(shí)際上是一個(gè)元多次方程組，顯然一般情況下我們是無從著手的。但是這個(gè)題目有特殊點(diǎn)，我們應(yīng)該充分利用這個(gè)特殊點(diǎn)。證二 構(gòu)造以為根的一元次方程：于是我們知道：全部相加得到：由此我們得到1是方程的一個(gè)根，也就是說中有一個(gè)是1，不妨設(shè)是，在原方程組銷掉我們就得到了新的方程組。同樣利用這個(gè)辦法，就可以逐步的得到所有的都是1。點(diǎn)評 這種構(gòu)造高次方程的方法需要大家仔細(xì)體會。高考構(gòu)造應(yīng)用例十五設(shè)二次函數(shù)，方程的兩個(gè)根滿足。求證：當(dāng)?shù)臅r(shí)候，。解題分析 觀察該命題的特