2018版高中數(shù)學(xué)專題07解鎖圓錐曲線中的定點與定值問題特色訓(xùn)練新人教選修.docx

專題08 解密導(dǎo)數(shù)的幾何意義一、解答題1【陜西省榆林市第二中學(xué)2018屆高三上學(xué)期期中】已知橢圓的左右焦點分別為，離心率為；圓過橢圓的三個頂點.過點且斜率不為0的直線與橢圓交于兩點.（）求橢圓的標準方程；（）證明：在軸上存在定點，使得為定值；并求出該定點的坐標.【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（）設(shè)圓過橢圓的上、下、右三個頂點，可求得，再根據(jù)橢圓的離心率求得，可得橢圓的方程；（）設(shè)直線的方程為，將方程與橢圓方程聯(lián)立求得兩點的坐標，計算得 。設(shè)x軸上的定點為，可得，由定值可得需滿足，解得可得定點坐標。解得。橢圓的標準方程為.（）證明：由題意設(shè)直線的方程為，由消去y整理得，設(shè)，則， (1)假設(shè)定點坐標，根據(jù)題意選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線系方程，而該方程與參數(shù)無關(guān)，故得到一個關(guān)于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即所求定點；(2)從特殊位置入手，找出定點，再證明該點符合題意2【四川省成都市第七中學(xué)2017-2018學(xué)年高二上學(xué)期半期考】已知斜率為的直線經(jīng)過點與拋物線（為常數(shù)）交于不同的兩點，當(dāng)時，弦的長為.（1）求拋物線的標準方程；（2）過點的直線交拋物線于另一點，且直線經(jīng)過點，判斷直線是否過定點？若過定點，求出該點坐標；若不過定點，請說明理由.【答案】（1）;（2）直線過定點【解析】試題分析：（1）根據(jù)弦長公式即可求出答案；（2）由（1）可設(shè)，則，則；同理： ；.由在直線上（1）；由在直線上將（1）代入 （2）將（2）代入方程，即可得出直線過定點（2）設(shè)，則，則即；同理： ；.由在直線上，即（1）；由在直線上將（1）代入 （2）將（2）代入方程，易得直線過定點3【四川省成都市第七中學(xué)2017-2018學(xué)年高二上學(xué)期半期考】已知拋物線過點， 是上一點，斜率為的直線交于不同兩點（不過點），且的重心的縱坐標為.（1）求拋物線的方程，并求其焦點坐標；（2）記直線的斜率分別為，求的值.【答案】（1）方程為;其焦點坐標為（2）【解析】試題分析：（1）將代入，得，可得拋物線的方程及其焦點坐標；（2）設(shè)直線的方程為，將它代入得，利用韋達定理，結(jié)合斜率公式以及的重心的縱坐標，化簡可 的值；所以，又.所以.4已知橢圓的短軸端點到右焦點的距離為2（）求橢圓的方程；（）過點的直線交橢圓于兩點，交直線于點，若，求證： 為定值【答案】(1) ;(2)詳見解析.【解析】試題分析：（）利用橢圓的幾何要素間的關(guān)系進行求解；（）聯(lián)立直線和橢圓的方程，得到關(guān)于或的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系和平面向量的線性運算進行證明. 由，消元得， 設(shè)， ，則且， 方法一：因為，所以. 同理，且與異號， 所以 . 所以， 為定值. 當(dāng)時，同理可得. 所以， 為定值.【點睛】本題考查直線和橢圓的位置關(guān)系，其主要思路是聯(lián)立直線和橢圓的方程，整理成關(guān)于或的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系進行求解，因為直線過點，在設(shè)方程時，往往設(shè)為 ，可減少討論該直線是否存在斜率.5【四川省綿陽南山中學(xué)2017-2018學(xué)年高二上學(xué)期期中考】設(shè)拋物線： ， 為的焦點，過的直線與相交于兩點.（1）設(shè)的斜率為1，求；（2）求證： 是一個定值.【答案】(1) （2）見解析【解析】試題分析：（1）把直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系及拋物線的定義、弦長公式即可得出；（2）把直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系、向量的數(shù)量積即可得出；試題解析：(1)解：由題意可知拋物線的焦點為，準線方程為，直線的方程為設(shè)，由得，由直線過焦點，則.點睛：熟練掌握直線與拋物線的相交問題的解題模式、根與系數(shù)的關(guān)系及拋物線的定義、過焦點的弦長公式、向量的數(shù)量積是解題的關(guān)鍵，考查計算能力,直線方程設(shè)成也給解題帶來了方便.6【內(nèi)蒙古包頭市第三十三中2016-2017學(xué)年高一下學(xué)期期末】已知橢圓C: 的離心率為,右焦點為(,0).(1)求橢圓C的方程;(2)若過原點作兩條互相垂直的射線,與橢圓交于A,B兩點,求證:點O到直線AB的距離為定值.【答案】(1) ,(2) O到直線 的距離為定值.【解析】試題分析：（1）根據(jù)焦點和離心率列方程解出a，b，c；（2）對于AB有無斜率進行討論，設(shè)出A，B坐標和直線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系和距離公式計算；有OAOB知x1x2+y1y2=x1x2+(k x1+m) (k x2+m)=(1+k2) x1x2+k m(x1+x2)=0 代入,得4 m2=3 k2+3原點到直線AB的距離 ， 當(dāng)AB的斜率不存在時, ,可得, 依然成立.所以點O到直線的距離為定值 . 點睛： 本題考查了橢圓的性質(zhì)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，分類討論思想，對于這類題目要掌握解題方法設(shè)而不求，套用公式解決7【四川省成都市石室中學(xué)2017-2018學(xué)年高二10月月考】已知雙曲線漸近線方程為， 為坐標原點，點在雙曲線上（）求雙曲線的方程；（）已知為雙曲線上不同兩點，點在以為直徑的圓上，求的值【答案】（）；（） .【解析】試題分析：（1）根據(jù)漸近線方程得到設(shè)出雙曲線的標準方程，代入點M的坐標求得參數(shù)即可；（2）由條件可得，可設(shè)出直線的方程，代入雙曲線方程求得點的坐標可求得。（）由題意知。設(shè)直線方程為，由 ，解得，。由直線方程為.以代替上式中的，可得。 8【湖南省株洲市醴陵第二中學(xué)、醴陵第四中學(xué)2018屆高三上學(xué)期兩校期中聯(lián)考】已知橢圓E: 經(jīng)過點P(2,1)，且離心率為（）求橢圓的標準方程；（）設(shè)O為坐標原點，在橢圓短軸上有兩點M，N滿足，直線PM、PN分別交橢圓于A，B探求直線AB是否過定點，如果經(jīng)過定點請求出定點的坐標，如果不經(jīng)過定點，請說明理由【答案】（1）；（2）直線AB過定點Q（0，2）.【解析】試題分析：（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)得到橢圓方程；（2）先由特殊情況得到結(jié)果，再考慮一般情況，聯(lián)立直線和橢圓得到二次函數(shù)，根據(jù)韋達定理，和向量坐標化的方法，得到結(jié)果。又直線PA的方程為y1=（x2），即y1=（x2），因此M點坐標為（0， ），同理可知：N（0， ），由，則+=0，化簡整理得：（24k）x1x2（24k+2t）（x1+x2）+8t=0，則（24k）（24k+2t）（）+8t=0， 當(dāng)且僅當(dāng)t=2時，對任意的k都成立，直線AB過定點Q（0，2）. 9【廣西桂林市第十八中學(xué)2018屆高三上學(xué)期第三次月考】已知橢圓的左，右焦點分別為.過原點的直線與橢圓交于兩點，點是橢圓上的點，若， ，且的周長為.（1）求橢圓的方程；（2） 設(shè)橢圓在點處的切線記為直線，點在上的射影分別為，過作的垂線交軸于點，試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.【答案】(1) ;(2)1.（2）由（1）知，直線的方程為： ，由此可得.，又， 的方程為，可得則可得，又， .，故.當(dāng)直線平行于軸時，易知，結(jié)論顯然成立.綜上，可知為定值1.有，則，綜合可得： 橢圓的方程為： . （2）由（1）知，直線的方程為： 即： ，所以.， 的方程為，令，可得， 則【點睛】本題考查的知識點是直線與圓錐曲線的關(guān)系，橢圓的標準方程，直線與圓的位置關(guān)系，是解析幾何的綜合應(yīng)用，難度較大10【云南省玉溪第一中學(xué)2018屆高三上學(xué)期第三次月考】在平面直角坐標系xOy中，直線與拋物線y24x相交于不同的A，B兩點,O為坐標原點(1) 如果直線過拋物線的焦點且斜率為1，求的值；（2）如果，證明：直線必過一定點，并求出該定點.【答案】（1）8；（2）證明見解析【解析】試題分析：（）根據(jù)拋物線的方程得到焦點的坐標，設(shè)出直線與拋物線的兩個交點和直線方程，是直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，得到關(guān)于y的一元二次方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，求出弦長；（）設(shè)出直線的方程，同拋物線方程聯(lián)立，得到關(guān)于y的一元二次方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系表示出數(shù)量積，根據(jù)數(shù)量積等于4，做出數(shù)量積表示式中的b的值，即得到定點的坐標試題解析：(1)解, , (2)證明由題意：拋物線焦點為(1,0)，設(shè)l：xtyb，代入拋物線y24x，消去x得y24ty4b0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y24t，y1y24b，x1x2y1y2(ty1b)(ty2b)y1y2 t2y1y2bt(y1y2)b2y1y24bt24bt2b24bb24b.令b24b4，b24b40，b2，直線l過定點(2,0)若4，則直線l必過一定點點睛：定點、定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定“定點”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒定的. 定點、定值問題同證明問題類似，在求定點、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時應(yīng)設(shè)參數(shù)，運用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點、定值顯現(xiàn).11【黑龍江省佳木斯市第一中學(xué)2017-2018學(xué)年高二上學(xué)期期中】已知橢圓，且橢圓上任意一點到左焦點的最大距離為，最小距離為.（1）求橢圓的方程；（2）過點的動直線交橢圓于兩點，試問：在坐標平面上是否存在一個定點，使得以線段為直徑的圓恒過點?若存在，求出點的坐標：若不存在，請說明理由.【答案】(1) 橢圓方程為;(2) 以線段為直徑的圓恒過點.【解析】試題分析：（1）通過橢圓的幾何意義得到橢圓的方程；（2）先考慮直線的特殊情況，和軸垂直，和軸平行，通過這兩種情況得到最終結(jié)果再證明一般情況. 以線段為直徑的圓恒過點，轉(zhuǎn)化為，通過韋達定理解決即可。若直線的斜率不存在，上述己經(jīng)證明. 若直線的斜率存在，設(shè)直線， ， .，即以線段為直徑的圓恒過點.點睛：這個題是圓錐曲線中的典型題目，證明定值定點問題。第一問考查幾何意義，第二問是常見的將圖的垂直關(guān)系，轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，將垂直轉(zhuǎn)化為向量點積為0 ，再者就是向量坐標化的意識。還有就是這種證明直線過定點問題，可以先通過特殊位置猜出結(jié)果，再證明。12【四川省成都市新津中學(xué)2018屆高三11月月考】已知橢圓的離心率為，且過點.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)是橢圓長軸上的一個動點，過點作斜率為的直線交橢圓于兩點，求證： 為定值.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】試題分析：（1）由橢圓的離心率，求得，由，得，將點代入，即可求得和的值，求得橢圓方程；（2）設(shè)， 直線的方程是與橢圓的方程聯(lián)立，利用韋達，根據(jù)兩點間的距離公式將用 表示，化簡后消去即可得結(jié)果.試題解析：（1）由橢圓方程可知： ，焦點在軸上， ，即，由，即，將點代入，解得， 橢圓方程為.【方法點睛】本題主要考查待定待定系數(shù)法橢圓標準方程、韋達定理的應(yīng)用以及圓錐曲線的定值問題，屬于難題. 探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種： 從特殊入手，先根據(jù)特殊位置和數(shù)值求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)； 直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.13【北京朝陽日壇中學(xué)2016-2017學(xué)年高二上學(xué)期期中】已知橢圓的離心率為，半焦距為，且，經(jīng)過橢圓的左焦點，斜率為的直線與橢圓交于， 兩點， 為坐標原點（I）求橢圓的標準方程（II）設(shè)，延長， 分別與橢圓交于， 兩點，直線的斜率為，求證： 為定值【答案】（I）；（II）見解析.【解析】試題分析：（I）依題意,得,再由求得,從而可得橢圓的標準方程;（II）設(shè)， 可求得直線的方程為,與橢圓方程聯(lián)立,由韋達定理可求得,進一步可求, 同理,從而可得,化簡運算即可.則， ， ，同理點睛：本題主要考查了橢圓的方程及直線與橢圓的位置關(guān)系，是高考的必考點，屬于難題求橢圓方程的方法一般就是根據(jù)條件建立的方程，求出即可，注意的應(yīng)用；涉及直線與圓錐曲線相交時，未給出直線時需要自己根據(jù)題目條件設(shè)直線方程，要特別注意直線斜率是否存在的問題，避免不分類討論造成遺漏，然后要聯(lián)立方程組，得一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系寫出，再根據(jù)具體問題應(yīng)用上式，其中要注意判別式條件的約束作用14【20172018學(xué)年高中數(shù)學(xué)（蘇教版）選修11 課時跟蹤訓(xùn)練】已知平面內(nèi)的動點P到定直線l：x的距離與點P到定點F(，0)之比為.(1)求動點P的軌跡C的方程；(2)若點N為軌跡C上任意一點(不在x軸上)，過原點O作直線AB，交(1)中軌跡C于點A、B，且直線AN、BN的斜率都存在，分別為k1、k2，問k1k2是否為定值？【答案】(1) (2) k1k2 【解析】試題分析：（1）設(shè)出點P，利用兩點間的距離公式分別表示出P到定直線的距離和到點F的距離的比，建立方程求得x和y的關(guān)系式，即P的軌跡方程（2）設(shè)出N，A，則B的坐標可知，代入圓錐曲線的方程相減后，可求得k1k2證明原式15【河北省雞澤縣第一中學(xué)2017-2018學(xué)年高二10月月考】如圖，已知橢圓的左焦點為，過點F做x軸的垂線交橢圓于A，B兩點，且(1)求橢圓C的標準方程：(2)若M，N為橢圓上異于點A的兩點，且直線的傾斜角互補，問直線MN的斜率是否為定值?若是，求出這個定值；若不是，請說明理由【答案】(1) ;(2) .【解析】試題分析:(1) 由題意可知，令，代入橢圓可得，又，解出a,b,可得橢圓方程;(2) 由（1）可知， ，代入橢圓可得，所以， 因為直線的傾斜角互補，所以直線的斜率與的斜率互為相反數(shù)；設(shè)直線方程為： ，與橢圓方程聯(lián)立,根據(jù)韋達定理可求出點M的坐標,同理求出N點坐標,根據(jù)兩點的斜率公式,代入化簡可得定值.試題解析:（1）由題意可知， 令，代入橢圓可得，所以，又，兩式聯(lián)立解得： ， . 所以， ， ， 又直線的斜率與的斜率互為相反數(shù)，在上式中以代替，可得， ,所以直線的斜率， 即直線的斜率為定值，其值為.點睛: 本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系，所使用方法為韋達定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題，故用韋達定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點方法之一，尤其是弦中點問題，弦長問題，可用韋達定理直接解決，但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用16【北京市西城魯迅中學(xué)2016-2017學(xué)年高二上學(xué)期期中】過點且與直線相切，設(shè)圓心的軌跡為曲線， ， （在軸的右側(cè)）為曲線上的兩點，點，且滿足（）求曲線的方程（）若，直線的斜率為，過， 兩點的圓與拋物線在點處共同的切線，求圓的方程（）分別過， 作曲線的切線，兩條切線交于點，若點恰好在直線上，求證： 與均為定值【答案】(1) (2) (3)見解析【解析】試題分析：（1）由拋物線定義得曲線為拋物線，根據(jù)基本量可得其標準方程（2）先根據(jù)直線AB方程與拋物線方程解出A,B兩點坐標，再利用導(dǎo)數(shù)求出在點處的切線的斜率，則得圓心與A連線的直線方程，設(shè)圓一般式方程，利用三個條件解方程組得圓的方程（3）設(shè)， ， ，則利用導(dǎo)數(shù)求出在點處的切線的斜率，利用點斜式寫出切線方程，同理可得，即得兩根為，利用韋達定理化簡直線AB斜率得，即得AB方程為，因此，再根據(jù)向量數(shù)量積可計算得=0（）直線的方程為，即，由，得， ，即，拋物線在點處切線的斜率直線的方程為，圓的方程為，整理得（）設(shè)， ， ，過點的切線方程為，即，同理得， ，又，方程為： ，與均為定值點睛：1.求定值問題常見的方法有兩種(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值2定點的探索與證明問題(1)探索直線過定點時，可設(shè)出直線方程為，然后利用條件建立等量關(guān)系進行消元，借助于直線系的思想找出定點(2)從特殊情況入手，先探求定點，再證明與變量無關(guān)17【南寧市2018屆高三畢業(yè)班摸底聯(lián)考】已知拋物線上一點到焦點的距離為.（l）求拋物線的方程；（2）拋物線上一點的縱坐標為1，過點的直線與拋物線交于兩個不同的點（均與點不重合），設(shè)直線的斜率分別為，求證：為定值.【答案】(1)；(2)證明見解析.【解析】試題分析：（1）由焦半徑定義和點在拋物線上建立兩個方程，兩個未知數(shù)，可求得拋物線方程。（2）由（1）知拋物線的方程，及，設(shè)過點的直線的方程為,代入得,由韋達定理可求得為定值上。（2）點在拋物線上，且.，設(shè)過點的直線的方程為，即，代入得，設(shè)，則，所以.18如圖，橢圓經(jīng)過點，且離心率為（）求橢圓的方程（）經(jīng)過點，且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點，（均異于點），判斷直線與的斜率之和是否為定值？若是定值，求出改定值；若不是定值，請說明理由【答案】（1）（）斜率之和為定值【解析】（1）根據(jù)題意知：，結(jié)合，解得：，橢圓的方程為：故直線、斜率之和為定值點睛：本題主要考查了橢圓的方程及直線與橢圓的位置關(guān)系，是高考的必考點，屬于難題求橢圓方程的方法一般就是根據(jù)條件建立的方程，求出即可，注意的應(yīng)用；涉及直線與圓錐曲線相交時，未給出直線時需要自己根據(jù)題目條件設(shè)直線方程，要特別注意直線斜率是否存在的問題，避免不分類討論造成遺漏，然后要聯(lián)立方程組，得一元二次方程，利用根與系數(shù)